Составитель Борис Демешев
 Скачать 1.58 Mb.
|
|
соответственно, будут равны 0,9; 0,5; а) Какова вероятность выиграть первую партию? б) Какова вероятность выиграть вторую партию, если вы выиграли первую? Задача 3.19. В каких из перечисленных случаях вероятность наличия флэша больше, чем при полном отсутствии информации: а) первая карта из имеющихся - это туз б) первая карта из имеющихся - это туз бубей в) на руках имеется хотя бы один туз г) на руках имеется туз бубей Задача 3.20. Подбрасывается правильный кубик. Узнав результат, игрок выбирает, подкидывать ли кубик второй раз. Игрок получает сумму денег равную количеству очков при последнем подбрасывании. а) Каков ожидаемый выигрыш игрока? б) Каков ожидаемый выигрыш игрока, если максимальное количество подбрасываний равно трем? Задача 3.21. Игрок получает 13 карт из колоды в 52 карты. а) Какова вероятность того, что у него как минимум два туза, если известно, что у него есть хотя бы один туз? б) Какова вероятность того, что у него как минимум два туза, если известно, что у него есть туз 1 Цифры условные. Celui qui ne mange pas de bifsteak au cause de la vache folle - il est fou! Jolivaldt. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 21 пик? в) Объясните, почему эти две вероятности отличаются. Задача 3.22. В уездном городе 𝑁 проживают 10 человек. Каждый из них обладает редким даром ясновидения с вероятностью 𝑝 = а) Каково ожидаемое количество ясновидящих? б) Известно, что Петя - ясновидящий, какова вероятность найти еще одного ясновидящего в городе 𝑁 ? Задача 3.23. Ген карих глаз доминирует ген синих. Те. у носителя пары bb глаза синие, ау носителя пари- карие. У диплоидных организмов (а мы такие :)) одна аллель наследуется от папы, а одна - от мамы. В семье у кареглазых родителей два сына - кареглазый и синеглазый. Кареглазый женился на синеглазой девушке. Какова вероятность рождения у них синеглазого ребенка? Задача 3.24. Предположим, что вероятности рождения мальчика и девочки равны, а полпервого и второго ребенка независимы. а) У тети Маши двое детей. Хотя бы один ребенок - мальчик. Какова вероятность того, что другой ребенок - девочка? б) У тети Маши двое детей. Тетя Маша наугад выбирает одного своего ребенка и посылает к тете Оле, вернуть учебник по теории вероятностей. Это оказывается мальчик. Какова вероятность того, что другой ребенок - девочка? в) У тети Маши двое детей. Старший ребенок - мальчик. Какова вероятность того, что другой ребенок- девочка? Задача 3.25. В урне 5 белых и 11 черных шаров. Два шара извлекаются по очереди. Какова вероятность того, что второй шар будет черным Какова вероятность того, что первый шар - белый, если известно, что второй шар - черный? Задача 3.26. Monty-hall (if you don’t Выиграете в Поле Чудес и Вам предлагают «3 шкатулки. Назовем их a, b и c. Водной из трех шкатулок лежит 1000 рублей (Введем соответственно события A, B и C, где A означает деньги лежат в шкатулке a»). Вы выбираете наугад одну из трех шкатулок. Ведущий, который знает, где лежат деньги, убирает одну пустую шкатулку, не выбранную Вами (среди двух не выбранных Вами обязательно есть пустая, если таковых две, то ведущий убирает любую наугад. Допустим, Вы выбрали шкатулку b, а ведущий после этого убрал шкатулку Найдите условную вероятность того, что приз лежит в выбранной Вами шкатулке. Имеет ли Вам смысл изменить Ваш выбор? Альтернативный вариант условия-1 После того, как Вы выбрали шкатулку, ведущий открывает наугад одну из пустых шкатулок (при этом он может открыть Вашу и разочаровать Вас. Допустим, Вы выбрали шкатулку b, а ведущий после этого открыл шкатулку c. Найдите условную вероятность того, что приз лежит в выбранной Вами шкатулке. Имеет ли Вам смысл изменить Ваш выбор? Альтернативный вариант условия-2 После того, как Вы выбрали шкатулку, ведущий открывает наугад одну из оставшихся шкатулок (при этом он может оказаться открытой шкатулка с деньгами. Допустим, Вы выбрали шкатулку а ведущий после этого открыл шкатулку c иона оказалась пустой. Найдите условную вероятность того, что приз лежит в выбранной Вами шкатулке. Имеет ли Вам смысл изменить Ваш выбор? Задача 3.27. multi-stage monty hall Suppose there are four doors, one of which is a winner. The host says: «You point to one of the doors, and then I will open one of the other non-winners. Then you decide whether to stick with your original pick or ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 22 switch to one of the remaining doors. Then I will open another (other than the current pick) non-winner. You will then make your final decision by sticking with the door picked on the previous decision or by switching to the only other remaining door» Optimal strategy? source: cut-the-knot – Bhaskara Задача is the probability that a random 2 digit base b number will be relativly prime with its digit reversal? Comment: maybe many cases... Задача 3.29. Неправильную монетку, у которой орел выпадает с вероятностью 𝑝, подбрасывали 50 раз. При этом оказалось, что она выпала на орла 41 раз. При каком 𝑝 вероятность этого события будет максимальной? Задача 3.30. Игральный кубик подбрасывается 100 раз. Найдите ожидаемую сумму очков, дисперсию суммы, стандартное отклонение суммы. Задача 3.31. В школе тридевятых класса, А, Б и В, одинаковые по численности. В А классе 30% обожают учителя географии, в Б классе - 40% ив В классе - 70%. Девятиклассник Петя обожает учителя географии. Какова вероятность того, что он из Б класса? Задача 3.32. В урне 7 красных, 5 желтых и 11 белых шаров. Два шара выбирают наугад. Какова вероятность, что это красный и белый, если известно, что они разного цвета. Задача 3.33. Саша едет надень рождения к Маше и ищет ее дом. Ее дом находится южнее. Одна треть встречных прохожих - местные. Местные всегда лгут, неместные говорят правду с вероятностью 4 . Изначально Саша оценивает вероятность того, что дом находится южнее, как 𝑎. Саша спросил первого встречного прохожего и получил ответ севернее. Как Саша изменит свою субъективную вероятность? Задача 3.34. Самолет упал в горах, в степи или в море. Вероятности, соответственно, равны 0, 5, 0, 3 и 0, 2. Если он упал в горах, то при поиске его найдут с вероятностью 0, 7. В степи - 0, 8, на море - 0, 2. Самолет искали в горах, в степи и не нашли. Какова вероятность того, что он упал в море? Задача 3.35. Русская рулетка. Давайте сыграем в русскую рулетку. Вы привязаны к стулу и не можете встать. Вот пистолет. Вот его барабан - в нем шесть гнезд для патронов, и они все пусты. Смотрите у меня два патрона. Вы обратили внимание, что я их вставил в соседние гнезда барабана Теперь я ставлю барабан на место и вращаю его. Я подношу пистолет к вашему виску и нажимаю на спусковой крючок. Щелк Вы еще живы. Вам повезло Сейчас я собираюсь еще раз нажать на крючок. Что вы предпочитаете чтобы я снова провернул барабанили чтобы просто нажал на спусковой крючок? http://forum.eldaniz.ru/index.php?topic=293.60 Задача 3.36. Четыре свидетеля, A, B, C и D, говорят правду независимо друг от друга с вероятностью 3 . утверждает, что B отрицает, что C заявил, что D солгал. Какова условная вероятность того, что сказал правду? Задача 3.37. Подробности о пожаре (Ах, а правда ли, что тетя Соня забыла выключить утюг) передаются по цепочке из четырех человек (А, каждый из которых говорит следующему имеющуюся у него информацию с вероятностью 𝑝, ас вероятностью 1 − 𝑝 говорит совершенно противоположное. говорит, что тетя Соня утюг выключила. Как зависит от 𝑝 условная вероятность того, что тетя Соня действительно выключила утюг? Задача 3.38. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. Есть четыре населенных пункта 𝐴, 𝐵, 𝐶 и 𝐷. Прямая дорога между каждыми двумя существует с вероятностью а) Какова вероятность того, что можно добраться изв б) Какова вероятность того, что можно добраться изв, если между 𝐵 и 𝐶 нет прямой дороги? Задача 3.39. Мосты Картинка. На картинке два берега, посреди мелкие острова, расположенные прямоугольником размера. В результате паводка каждый мост был размыт с вероятностью 1/2 независимо от других. Какова вероятность того, что с одного берега можно добраться на другой? Задача 3.40. В урне лежат 5 пронумерованных (от одного до пяти) шаров. По очереди вытаскиваются два шара. Какова вероятность того, что разница в номерах будет больше двух Какова вероятность того, что первым был вытащен шар с номером 2, если разница в номерах была больше двух? Задача 3.41. A regular 𝑁 - polygon has vertices numbered 0, 1, 2..., 𝑁 − 1 in clockwise. Let the vertex 0 be a starting point. When you roll a dice, you will move the coin clockwise by the number on the dice. Denote the number of the arriving vertice by 𝑋. Again roll a dice, you will move from the vertex 𝑋 to the vertex 𝑌 . a) Are 𝑋 and 𝑌 independent? b) Find the value of 𝑁 such that 𝑋 and 𝑌 are independent Source: Kyoto University entrance exam/Science , Problem 6, 1st Round, 1990 Задача 3.42. Будем говорить, что событие 𝐴 благоприятствует (способствует) событию 𝐵, если 𝑃 (𝐵|𝐴) > 𝑃 (Известно, что 𝐴 благоприятствует 𝐵, 𝐵 благоприятствует Верно ли, что 𝐴 благоприятствует 𝐶? Задача 3.43. а) Известно, что 𝑃 (𝐴|𝐵) > 𝑃 (𝐴). Верно ли, чтоб) Известно, что 𝑃 (𝐴|𝐵) > 𝑃 (𝐵). Верно ли, что 𝑃 (𝐵|𝐴) > 𝑃 (𝐴)? Задача 3.44. На Древе познания Добра и Зла растет 6 плодов познания Добра и 5 плодов познания Зла. Адам и Ева съели по 2 плода. Какова вероятность того, что Ева познала Зло, если Адам познал Добро? Задача 3.45. A sniper has 0.8 chance to hit the target if he hit his last shot and 0.7 chance to hit the target if he missed his last shot. It is known he missed on the 1st shot and hit on the 3rd shot. What is the probability he hit the second shot? Задача 3.46. Снайпер попадает в яблочко с вероятностью 0.8, если в предыдущий раз он попал в «яблочко»; и с вероятностью 0.7, если в предыдущий раз он не попал в яблочко или если это был первый выстрел. Снайпер стрелял по мишени 3 раза. а) Какова вероятность попадания в яблочко при втором выстреле? б) Какова вероятность попадания в яблочко при втором выстреле, если при первом снайпер попала при третьем - промазал? Задача 3.47. Есть две неправильные монетки. Первая выпадает орлом с вероятностью 0.1, вторая выпадает орлом с вероятностью 0.9. Из этих двух монеток равновероятно выбирают одну и подбрасывают ее 2 раза. а) Верно ли, что результат первого и второго подбрасывания независимы? б) Известно, что выбрали первую монетку. Верно ли, что результат первого и второго подбрасывания независимы? Задача 3.48. Вы равновероятно могли получить письмо из Москвы или из Игарки. Все буквы в названии города в обратном адресе кроме одной нечитаемы из-за загрязнения на конверте. Единственная различимая ТВИМС-задачник. Демешев Борис. буква - это буква а. Какова условная вероятность того, что письмо пришло из Москвы? Задача 3.49. Вася кидает дротик в мишень три раза. Его броски независимы друг от друга. Известно, что во второй раз он попал дальше от центра, чем в первый раз. Какова условная вероятность того, что в третий раз он попадет ближе к центру, чем в первый раз? Задача 3.50. В одном мешке лежат только спелые яблоки, в другом - одинаковое количество спелых и зеленых. Вы случайным образом вытаскиваете яблоко из мешка, оно - спелое, вы кладете его обратно. Какова вероятность, что следующее яблоко из того же мешка будет зеленым? Какова вероятность, что следующее яблоко из того же мешка будет зеленым, если было 𝑛 попыток достать яблоко, и каждый раз вытаскивалось и клалось обратно спелое яблоко? Задача 3.51. Three dice are rolled. If no two show the same face, what is the probability that one is an “ace” (one spot Задача that a throw with ten dice produced at least one ace, what is the probability of two or more aces? Задача 3.53. Определение. События и называются условно независимыми относительно события 𝐵, если (𝐴 1 ∩ 𝐴 2 |𝐵) = 𝑃 (𝐴 1 |𝐵) · 𝑃 (а) Приведите пример таких 𝐴 1 , и 𝐵, что и 𝐴 2 , независимы, ноне являются условно независимыми относительно б) Приведите пример таких 𝐴 1 , и 𝐵, что и 𝐴 2 , зависимы, но являются условно независимыми относительно 𝐵. Задача 3.54. В урне 99 белых и один черный шар. Один шар извлекается из урны наугад. Петя сказал, что шар - белый. Вася сказал, что шар - белый. Какова вероятность того, что шар действительно белый, если Петя говорит правду с вероятностью 0.8, а Вася - с вероятностью 0.9, независимо от Пети? Задача 3.55. У нас ходят два автобуса - 10-ый и 20-ый. Десятый приходит через десять минут после го 20-ый - через 20 минут после десятого. Я прихожу на остановку в случайный момент времени. а) Сколько мне в среднем ждать автобуса? б) Сколько мне еще в среднем ждать автобуса, если я уже прождал 𝑚 минут? Задача 3.56. Русская рулетка Шестизарядный револьвер. В нем три пули занимают три соседних места. Барабан крутят один раз. Задем первый игрок стреляет себе в голову. Если он остается жив, то барабан не перекручивается, и второй игрок стреляет себе в голову. Затем револьвер возвращается первому игроку и т.д., до тех пор, пока кто-то не погибнет. Кем лучше быть в этой игре, первым или вторым? Задача 3.57. In a tournament, there are no ties. There are 7 teams and each team plays each other exactly once. Each team has a 50% chance of winning each game. The winner is awarded 1 point and loser no points. Total points are accumulated to decide the ranking of the teams. In the first game, Team A beats team B. What is the probability that A finishes with more points than B? source: aops, t=110957 Задача 3.58. Нестандартный кубик Нестандартный кубик изготавливают следующим образом на каждой грани равновероятно независимо от других граней пишут одно из чисел от одного до шести. Те. на кубике могут оказаться даже только шестерки. Затем этот кубик подбрасывается два раза. а) Верно ли, что результаты подбрасываний независимы ТВИМС-задачник. Демешев Борис. б) Какова вероятность того, что в первый раз выпадет шесть? в) Какова вероятность того, что во второй раз выпадет шесть, если в первый раз выпало шесть? г) Какова вероятность того, что шесть выпадет два раза подряд? д) Чему равна корреляция результатов подбрасываний? е) Чему равно ожидаемое количество шестерок на кубике, если из 𝑛 подбрасываний оказалось 𝑘 шестерок? Задача 3.59. Suppose ten balls are inserted into a bag based on the tosses of an unbiased coin using the following rules: insert white ball when the coin turns up heads and insert black ball when the coin turns up tails. Suppose someone who knows how the balls were selected but not what their colors are selects ten balls from the bag one at a time at random, returning each ball and mixing the balls thoroughly before making another selection. If all ten examined balls turn out to be white, what is the probability to the nearest percent that all ten balls in the bag are white? Задача 3.60. Неподписанную работу мог написать один из трех человек Аня - отличница, Петечка и Вовочка - двоешники. Аня всегда отвечает на вопросы теста правильно, Петечка и Вовочка - наугад. Тест - данетка. а) Какова вероятность того, что на 4-ый вопрос теста будет дан верный ответ? б) Какова вероятность того, что на 4-ый вопросы теста будет дан верный ответ, если на первые три вопроса даны верные ответы source: used at NYC interview (wilmott, bt) Задача 3.61. Есть 101 мешок конфет. В каждом мешке 100 шоколадных конфет, неотличимых с виду. В ом мешке − конфета с орехом, остальные без ореха. Мы выбираем мешок наугад и съедаем из него две конфеты. а) Какова вероятность, что первая будет с орехом? б) Какова вероятность, что вторая с орехом, если первая с орехом Разложение в сумму Задача 4.1. Гипергеометрическое распределение В задачнике 𝑁 задач. Из них 𝑉 - Вася умеет решать, а 𝑁 − 𝑉 - не умеет. На экзамене предлагается равновероятно выбираемые 𝑛 задач. Пусть 𝑋 - число решенных Васей задач на экзамене. а) Найдите б) Найдите 𝑉 𝑎𝑟(𝑋) Задача 4.2. [ Чернова, пример Кубик подбрасывается 𝑛 раз. Пусть 𝑋 1 - число выпадений 1, а 𝑋 6 - число выпадений 6. Найдите, Подсказка 𝐶𝑜𝑣(𝑋 1 , 𝑋 1 + ... + вам в помощь... Задача 4.3. По 10 коробкам наугад раскладывают 7 карандашей. Каково ожидаемое (среднее) количество пустых коробок Подсказка представьте результат в виде суммы и случайных величин. Задача 4.4. [ Mosteller] Среднее число совпадений Из хорошо перетасованной колоды на стол последовательно выкладываются карты лицевой стороной наверх, после чего Аналогичным образом выкладывается вторая колода, так что каждая карта первой колоды лежит под картой из второй колоды. Каково среднее число совпадений нижней и верхней карт? Задача 4.5. ТВИМС-задачник. Демешев Борис. roah@yandex.ru 26 Grimmett, В группе 20 человек. Каждый из них подбрасывает по кубику. Найдите ожидаемый выигрыши дисперсию выигрыша группы, если: а) за каждую пару игроков, выкинувших одинаковое количество очков, группа получает один тугрик б) за каждую пару игроков, выкинувших одинаковое количество очков, группа получает эту сумму в тугриках Задача 4.6. Coupon’s collector Внутри упаковки шоколадки Веселые животные находится наклейка с изображением одного из животных. Предположим, что все наклейки равновероятны. Большой приз получит каждый, кто соберет наклейки всех животных. Какое количество шоколадок в среднем нужно купить, чтобы выиграть большой приз? Задача 4.7. [ Mosteller] В 𝑛 урн случайным образом бросают (один за одним) 𝑘 шаров. Найдите математическое ожидание числа пустых урн. Задача 4.8. У Васи 100 рублей, у Пети - 150. Они играют в орлянку правильной монеткой до тех пор, пока все деньги не перейдут к одному игроку. Какова вероятность, что победит Вася? Задача 4.9. На карточках написаны числа от 1 до 𝑛. В игре участвуют 𝑛 человек. В первом туре каждый получает случайным образом по одной карточке. Во втором туре карточки выдаются заново. Призы раздаются последующему принципу Человек не получает приз, только если найдется кто-то другой, |