Главная страница
Навигация по странице:

  • 2.3.9. Полосно-заграждающий фильтр

  • 2.3.10. Гребенчатый фильтр

  • 2.4. Фильтрация во временной области 2.4.1. Синхронное усреднение

  • 2.4.2. Фильтры скользящего среднего

  • 2.4.3. Операторы для устранения низкочастотных артефактов, основанные на производной

  • 2.5. Фильтрация в частотной области

  • 2.5.1. Устранение высокочастотных шумов: фильтры нижних частот Баттерворта

  • 2.5.2. Устранение низкочастотных шумов: фильтры верхних частот Баттерворта

  • 2.5.3. Устранение периодических артефактов: режекторные и гребенчатые фильтры

  • 2.6. Оптимальная фильтрация: фильтр Винера

  • 2.7. Выбор подходящего фильтра

  • Уч пос по обработке биосигналов. Современные технологии обработки биомедицинских


    Скачать 1.57 Mb.
    НазваниеСовременные технологии обработки биомедицинских
    Дата06.09.2019
    Размер1.57 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаУч пос по обработке биосигналов.pdf
    ТипДокументы
    #86111
    страница5 из 6
    1   2   3   4   5   6

    2.3.8. Полосовой фильтр
    Полосно-пропускающий фильтр  фильтр, который пропускает частоты, находящиеся в некоторой полосе частот.
    Полосовой фильтр  линейная система и может быть представлен в виде последовательности, состоящей из фильтра нижних частот и фильтра верхних частот.
    Идеальные полосовые фильтры характеризуются двумя характеристиками:
     нижняя частота среза;
     верхняя частота среза.
    В свою очередь, реализация полосового фильтра характеризуется шестью характеристиками:
     нижняя граница частоты пропускания;
     верхняя граница частоты пропускания;
     нижняя граница частоты задержания;
     верхняя граница частоты задержания;
     максимальное подавление в полосе пропускания;
     минимальное подавление в полосе подавления.
    2.3.9. Полосно-заграждающий фильтр
    Полосно-заграждающий фильтр (режекторный) – электронный или любой другой фильтр, не пропускающий колебания некоторой определённой полосы частот, и пропускающий колебания с частотами, выходящими за пределы этой полосы. Эта полоса подавления характеризуется шириной полосы заграждения и расположена приблизительно вокруг центральной частоты ω
    0
    (рад/с) подавления, или

    50 fо=ω
    0
    /2π (Гц). Заграждающий фильтр, предназначенный для подавления одной определённой частоты, называется узкополосным заграждающим фильтром.
    2.3.10. Гребенчатый фильтр
    Гребенчатый фильтр – электронный фильтр, при прохождении сигнала через который к нему добавляется он сам с некоторой задержкой.
    В результате получается фазовая компенсация. АЧХ гребенчатого фильтра состоит из ряда равномерно распределённых пиков, так что она выглядит как решётка.
    В цифровых системах, фильтр задаётся следующим уравнением:
    , (2.24) где τ - запаздывание.
    Гребенчатый фильтр представляет собой линейную стационарную систему. Его передаточная функция определяется как:
    . (2.25)
    2.4. Фильтрация во временной области
    2.4.1. Синхронное усреднение
    В случае, когда спектры сигнала и шума перекрываются, линейные фильтры оказываются неэффективными. Отделить повторяющийся сигнал от шума без искажения самого сигнала можно с использованием синхронного усреднения. Записи определённых отрезков сигналов ПСС и
    ССВП могут быть получены многократно путём повторения подачи стимулов; далее они могут быть усреднены с использованием стимулирующего сигнала для их синхронизации (выравнивания). Сигнал
    ЭКГ можно отфильтровать, определив сначала позиции QRS-комплексов и далее используя эти позиции для выравнивания кардиоциклов перед выполнением синхронного усреднения. Если шум является случайным процессом с нулевым средним и не коррелирован с сигналом, то усреднение улучшит отношение сигнал-шум.
    Пусть y
    k
    (n) представляет собой одну реализацию сигнала, где k = 1,2,
    ..., М – это номер реализации в ансамбле, а n = 1,2, ..., N – индекс отсчётов.
    (Некоторые авторы используют в качестве индекса дискретизованного сигнала обозначение nТ, T = 1/f
    s
    – интервал дискретизации, где f
    s
    – это

    51 частота дискретизации; мы в этой книге будем использовать просто n, номер отсчёта.) М – это количество доступных копий сигнала, а N – количество отсчётов в каждой копии этого сигнала (в каждом событии).
    Мы можем выразить наблюдаемый сигнал как:
    y
    k
    (n) = x
    k
    (n) + η
    k
    (n), (2.26) где x
    k
    (n) представляет собой исходный неискажённый сигнал и η
    k
    (n) представляет собой шум в k-й копии наблюдаемого сигнала.
    Теперь, если для каждого момента времени n мы сложим М копий сигнала, получим:








    M
    k
    M
    k
    k
    k
    M
    k
    k
    n
    n
    x
    n
    y
    1 1
    1
    )
    (
    )
    (
    )
    (

    , (2.27) где n = 1, 2, …, N.
    Если повторяющиеся реализации сигнала идентичны и выровнены по времени, то



    M
    k
    k
    n
    Mx
    n
    x
    1
    )
    (
    )
    (
    . Если шум является случайным и имеет нулевое среднее и дисперсию
    2


    , то


    M
    k
    k
    n
    1
    )
    (

    будет стремиться к нулю по мере увеличения М. При этом его дисперсия будет составлять
    2


    M
    Среднеквадратичное значение шума в усреднённом сигнале будет


    M
    Таким образом, отношение сигнал-шум в сигнале будет увеличиваться с коэффициентом
    M
    M /
    или
    M
    . Чем больше количество усредняемых эпох или реализаций, тем лучше будет отношение сигнал - шум для результата. Заметим, что синхронное усреднение является разновидностью усреднения по ансамблю.
    Алгоритм синхронного усреднения можно представить следующим образом:
    1.
    Получить некоторое количество реализаций исследуемого сигнала или события;
    2.
    Определить опорную точку для каждой реализации сигнала.
    Эта точка доступна непосредственно, если сигнал получается благодаря внешней стимуляции (например, в случае ПСС или ССВП), или может быть получена путём обнаружения повторяющихся событий в сигнале, если сигнал является квазипериодическим (как например QRS-комплекс в
    ЭКГ или составляющие S1 и S2 в сигнале ФКГ);
    3.
    Извлечь фрагменты сигнала, относящиеся к исследуемому событию, и сложить их в буфере. Отметим, что разные фрагменты сигнала могут иметь различные длительности. Выравнивание разных реализаций

    52 по точке синхронизации очень важно; конечные части всех сигналов обычно выровнять не удаётся;
    4.
    Поделить получившийся в буфере результат на количество просуммированных реализаций.
    2.4.2. Фильтры скользящего среднего
    Когда ансамбль из нескольких реализаций события недоступен, синхронное усреднение становится невозможным. В этом случае мы вынуждены использовать для устранения помех временное усреднение, предполагая, что исследуемый процесс является эргодическим, т. е. вместо статистик по ансамблю могут быть использованы статистики по времени.
    Поскольку статистики по времени вычисляются с использованием нескольких отсчётов сигнала по оси времени и для получения выходного сигнала в различные моменты времени временное окно отсчётов продвигается вдоль оси времени, такая процедура фильтрации в общем виде называется усреднением с помощью фильтра скользящего среднего
    (СС); термин фильтр скользящего среднего является общепринятым.
    Общая форма фильтра СС задаётся следующим образом:




    N
    k
    k
    k
    n
    x
    b
    n
    y
    0
    )
    (
    )
    (
    (2.28) где х и у – входной и выходной сигналы фильтра соответственно.
    Величины b
    k представляют собой коэффициенты фильтра или веса, k =
    0,1,2, ..., N, где N – это порядок фильтра.
    Операция деления на число используемых отсчётов (N + 1) учитывается в значениях коэффициентов фильтра. Структурная схема обобщённого фильтра СС показана на рисунке 2.9.
    Рис. 2.9. Структурная схема фильтра скользящего среднего
    Применяя z-преобразование, получаем передаточную функцию H(z) фильтра в виде:

    53





    N
    k
    k
    k
    z
    b
    z
    Y
    z
    X
    z
    H
    0
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    , (2.29) где
    X(z) и Y(z) являются z-преобразованиями от х(n) и у(n) соответственно.
    Простым фильтром СС для фильтрации помех является фильтр СС фон Ганна (von Harm) или Хеннинга (Hanning), задаваемый выражением:
    )]
    2
    (
    )
    1
    (
    2
    )
    (
    [
    4 1
    )
    (





    n
    x
    n
    x
    n
    x
    n
    y
    . (2.30)
    Структурная схема фильтра Хеннинга показана на рисунке 2.10.
    Импульсную характеристику этого фильтра можно получить при условии
    х(n) = δ(n); она имеет вид:
    )]
    2
    (
    )
    1
    (
    2
    )
    (
    [
    4 1
    )
    (





    n
    n
    n
    n
    h



    . (2.31)
    Передаточная функция фильтра
    Хеннинга определяется выражением:
    )
    2 1
    (
    4 1
    )
    (
    2 1





    z
    z
    z
    H
    . (2.32)
    Эта передаточная функция имеет двойной нуль при z = -1.
    Рис. 2.10. Структурная схема фильтра Хеннинга
    Фильтр СС представляет собой фильтр с конечной импульсной характеристикой (КИХ) и имеет следующие атрибуты и достоинства:

    54
     импульсная характеристика h(k) имеет конечное число членов: h(k)
    = b k
    , k = 0,1,2, ..., N;
     КИХ-фильтр может быть реализован нерекурсивно, т. е. без обратной связи;
     выход фильтра зависит только от текущего отсчёта входного сигнала и от нескольких последних входных отсчётов;
     фильтр представляет собой просто набор весовых коэффициентов и операций задержки;
     передаточная функция фильтра не имеет полюсов за исключением
    z = 0, т. е. фильтр по своей природе является устойчивым;
     фазовая характеристика фильтра является линейной при условии, что набор весовых коэффициентов фильтра является симметричным или антисимметричным.
    Частотная характеристика фильтра получается путём подстановки z
    = e jωT
    в выражение для H(z), где Т – интервал дискретизации в секундах, а
    ω - частота в радианах. ω = 2πf, где f – циклическая частота в Гц. Заметим, что мы можем положить Т = 1 и иметь дело с нормализованной частотой в диапазоне


    2 0


    и
    1 0

    f
    ; тогда f = 1 или ω = 2π представляют собой частоту дискретизации; при этом более низкие значения частот будут представлять нормализованные частоты в пределах частоты дискретизации.
    Частотная характеристика фильтра Хеннинга задаётся выражением:
    ]
    2 1
    [
    4 1
    )
    (
    2



    j
    j
    e
    e
    H





    . (2.33)
    Амплитудные и фазовые характеристики задаются как:
    )}
    cos(
    1
    {
    2 1
    )
    (




    H
    ,





    )
    (
    H
    . (2.34)
    Амплитудная и фазовая частотные характеристики фильтра
    Хеннинга показаны на рисунке 2.11. Хорошо видно, что данный фильтр является фильтром нижних частот с линейной фазовой характеристикой.

    55
    Рис. 2.11. Амплитудная и фазовая частотные характеристики фильтра Хеннинга
    Из амплитудной характеристики фильтра Хеннинга (рис. 2.11) хорошо видно, что компоненты ниже примерно 20% от частоты дискретизации, равной 1000 Гц, уменьшаются по амплитуде более чем на 3 дБ, что составляет меньше половины от их уровня на входе.
    Высокочастотные компоненты в полосе ниже 40% от частоты дискретизации подавляются более чем на 20 дБ по отношению к их входному уровню. Фильтр будет выполнять адекватную фильтрацию сигнала ЭКГ, дискретизованного с частотой 200 Гц, с коэффициентом усиления ниже -20 дБ за пределами частоты 80 Гц. Однако, если сигнал дискретизован с частотой 1000 Гц (как в данном примере), коэффициент усиления останется выше -20 дБ для частот вплоть до 400 Гц; такой фильтр нижних частот не годится для адекватной фильтрации сигнала ЭКГ, но может подойти для других сигналов, например для ФКГ или ЭМГ.
    2.4.3. Операторы для устранения низкочастотных артефактов,
    основанные на производной
    Оператор производной во временной области удаляет постоянную составляющую входного сигнала.
    При использовании оператора производной большие изменения во входном сигнале ведут к высоким значениям выходного сигнала.
    Лучшее понимание операции дифференцирования можно получить, изучая его преобразование в частотной области.
    А
    м п
    л и
    туд н
    ая ха ра к
    те ри ст и
    к а,
    д
    Б
    Ф
    аз а,
    г ра д
    Частота, Гц
    0 0

    56
    Идеальный оператор d/dt во временной области приводит к умножению преобразования Фурье первоначального сигнала на jω = j2πf в частотной области. Если X(f) представляет собой преобразование Фурье сигнала x(t), то преобразование Фурье от dx/dt соответствует j2πfX(f) или jωX(ω). Частотная характеристика этой операции соответствует Н(ω) = jω.
    Можно видеть, что коэффициент усиления частотной характеристики линейно возрастает с частотой, начиная с H(ω) = jω при ω = 0. Таким образом, постоянная составляющая удаляется оператором производной, а более высокие частоты линейно усиливаются: операция представляет собой фильтр верхних частот.
    Оператор производной может использоваться для устранения постоянной составляющей и подавления низкочастотных компонент, а также для усиления высокочастотных компонент.
    Легко убедиться, что оператор второй производной d
    2
    /dt
    2
    имеет частотную характеристику Н(ω) = ω
    2
    с квадратичным возрастанием коэффициента усиления для более высоких частот. Оператор производной второго порядка может использоваться для получения ещё более существенного усиления высоких частот, чем оператор производной первого порядка; первый из них может быть реализован как каскадное соединение двух операторов последнего типа.
    При цифровой обработке базовое определение производной даётся оператором первой разности:
    )]
    1
    (
    )
    (
    [
    1
    )
    (



    n
    x
    n
    x
    T
    n
    y
    . (2.35)
    Коэффициент усиления, содержащий интервал дискретизации Т, требуется для того, чтобы получить скорость изменения сигнала по отношению к истинному времени. Передаточная функция этого оператора будет иметь вид:
    )
    1
    (
    1
    )
    (
    1



    z
    T
    z
    H
    . (2.36)
    Фильтр имеет нуль при z = 0, что соответствует постоянной составляющей.
    )
    2
    sin(
    2
    )
    (


    T
    H

    ,
    2 2
    )
    (





    H
    . (2.37)
    Частотная и фазовая характеристики оператора первой разности показаны на рис. 2.12. Коэффициент усиления фильтра возрастает для

    57 более высоких частот до частоты свёртывания f s
    /2 (половины частоты дискретизации f s
    ).
    Рис. 2.12. Частотная и фазовая характеристики оператора первой разности
    Этот коэффициент усиления можно рассматривать приблизительно равным коэффициенту для идеального оператора дифференцирования, который составляет |ω| для низких значений ω. Если в сигнале присутствует высокочастотный шум, то он будет существенно усилен: результат будет, таким образом, очень зашумлён.
    Проблема усиления шума оператором первой разности, задаваемым выражением (2.28), может быть преодолена путём использования среднего двух последовательных выходных отсчётов:
    )]
    2
    (
    )
    (
    [
    2 1
    )
    (
    3



    n
    x
    n
    x
    T
    n
    y
    . (2.38)
    Передаточная функция описанного выше оператора, известного как трёхточечная центральная разность, определяется выражением
    )
    1
    (
    2 1
    )
    (
    2



    z
    T
    z
    H
    . (2.39)
    Обратите внимание, что передаточная функция трёхточечной центральной разности – это произведение передаточных функций простого оператора первой разности и двухточечного фильтра СС. Следовательно, оператор трёхточечной центральной разности может быть реализован
    А
    м п
    л и
    туд н
    ая ха ра к
    те ри ст и
    к а
    Ф
    аз а,
    ра д
    Частота, Гц

    58 путём каскадного соединения простого оператора первой разности и двухточечного фильтра СС.
    Амплитудная и фазовая характеристики оператора трёхточечной центральной разности показаны на рисунке 2.13. Передаточная функция имеет нули при z = 1 и при z = -1, где последний нуль приравнивает к нулю коэффициент усиления при частоте свёртывания: оператор представляет собой полосовой фильтр. Хотя данный оператор не имеет проблемы усиления шума, характерной для оператора первой разности, аппроксимация операции d/dt становится неудовлетворительной на частотах выше f s
    /10.
    Рис. 2.13. Амплитудная и фазовая характеристики оператора трёхточечной центральной разности
    Недостатком операторов первой разности и трёхточечной центральной разности является то, что фактически их амплитудные характеристики имеют низкие значения для значительной части частот далеко за пределами полосы, относящейся к дрейфу изолинии. Для оператора первой разности нуль при z = 1 необходим для устранения постоянной составляющей и очень низких частот. Однако было бы желательно поддерживать достаточно высокие уровни компонент, присутствующих в сигнале при частотах выше 0,5 – 1 Гц, т. е. было бы желательно иметь коэффициент усиления фильтра близким к единице после частоты примерно 0,5 Гц.
    Коэффициент усиления фильтра при каких-то частотах может быть увеличен путём размещения полюсов в соответствующих местах вдоль единичной окружности на z-плоскости. Для обеспечения устойчивости
    А
    м п
    л и
    туд н
    ая ха ра к
    те ри ст и
    к а
    Ф
    аз а,
    ра д
    Частота, Гц

    59 фильтра эти полюса должны быть размещены внутри единичной окружности. Поскольку мы заинтересованы в поддержании высокого коэффициента усиления при очень низких частотах, мы можем поместить полюс на реальную ось (нулевую частоту), предположим, при значении z =
    0,995. Передаточная функция такого модифицированного фильтра первой разности будет тогда задаваться выражением:









    995
    ,
    0 1
    1
    )
    (
    z
    z
    T
    z
    H
    . (2.40)
    Соотношение вход-выход во временной области будет определяться разностным уравнением:
    )
    1
    (
    995
    ,
    0
    )]
    1
    (
    )
    (
    [
    1
    )
    (





    n
    y
    n
    x
    n
    x
    T
    n
    y
    . (2.41)
    Две эквивалентные структурные схемы этого фильтра показаны на рисунке 2.14. Данный фильтр уже не является КИХ-фильтром.
    Форма H(z) в уравнении (2.34) с переменной z помогает в понимании графического метода оценки частотной характеристики фильтров, заданных в дискретновременной области. Частотные характеристики системы получают путём оценки его передаточной функции в различных точках на единичной окружности z-плоскости, т. е. полагая z = exp(jω) и оценивая H(z) для различных величин переменной частоты ω. Числитель в выражении (2.34) представляет собой векторное расстояние между какой- либо точкой на z-плоскости и нулём при z = 1; знаменатель лаёт расстояние до полюса при z = 0,995. Амплитудная передаточная функция системы для какого-либо определённого значения z получается как произведение расстояний от соответствующей точки на z-плоскости до всех нулей передаточной функции, поделенное на произведение расстояний до всех полюсов. Фазовая характеристика получается как сумма всех углов для векторов, соединяющих точку со всеми нулями, минус сумма всех углов для векторов, соединяющих точку со всеми полюсами. Очевидно, что амплитудная характеристика фильтра, заданного выражением (2.34), равна нулю при z = 1, благодаря присутствию нуля в этой точке. Более того, для величин г, отличных от z = 1, расстояние до нуля при z = 1 и до полюса при z = 0,995 будет почти одинаково; следовательно коэффициент усиления фильтра будет близок к единице для частот, больших чем примерно 1 Гц. Амплитудная и фазовая характеристики этого фильтра показаны на рис. 2.13 и подтверждают эти наблюдения: фильтр представляет собой фильтр верхних частот с нелинейной фазой.

    60
    Рисунок 2.14. Две эквивалентные структурные схемы фильтра для устранения низкочастотной помехи или дрейфа изоэлектрической линии: а
    – используются две задержки; б – только одна задержка
    Рисунок 2.15. Амплитудная и фазовая характеристики фильтра для устранения низкочастотной помехи или дрейфа изоэлектрической линии
    2.5. Фильтрация в частотной области
    Фильтры, описанные в предыдущем разделе, выполняют относительно простые операции во временной области. Хотя нами и рассматривались характеристики этих фильтров в частотной области, эти операторы не были специально разработаны так, чтобы в результате обладать какой-нибудь определённой частотной характеристикой. В частности, частотная характеристика фильтра СС оказалась не особенно привлекательной: ослабление в полосе задержки было невысоким и не
    А
    м п
    л и
    туд н
    ая ха ра к
    те ри ст и
    к а
    Ф
    аз а,
    ра д
    Частота, Гц

    61 было равномерным, а коэффициент усиления был ниже -20 дБ только вблизи нулей передаточной функции.
    Для получения фильтра с заданной частотной характеристикой, соответствующей фильтру верхних частот, фильтру верхних частот, полосовому фильтру или режекторному фильтру, разработка фильтра может выполняться в частотной области. Фильтры, работающие в частотной области, могут быть реализованы программно после получения преобразования Фурье входного сигнала, либо могут быть преобразованы в эквивалентные фильтры, работающие во временной области, и применены непосредственно к отсчётам входного сигнала.
    2.5.1. Устранение высокочастотных шумов: фильтры нижних частот
    Баттерворта
    Фильтр
    Баттерворта, возможно, является наиболее широко используемым фильтром в частотной области, благодаря его простоте и максимально плоской амплитудной характеристике в полосе пропускания.
    Для фильтра нижних частот Баттерворта порядка N первые 2N - 1 производных от квадрата амплитудно-частотной характеристики равны нулю при Ω = 0, где Ω представляет собой аналоговую частоту в радианах.
    Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта является монотонной как в полосе пропускания, так и в полосе задержки.
    Базовая функция фильтра нижних частот Баттерворта задаётся следующим выражением
    N
    c
    a
    j
    j
    j
    H
    2 2
    )
    /
    (
    1 1
    )
    (





    , (2.42) где Н
    а является частотной характеристикой аналогового фильтра и Ω
    c
    – частотой среза (рад/с).
    Фильтр Баттерворта полностью определяется его частотой среза Ω
    c и порядком N. С увеличением порядка N частотная характеристика фильтра становится более плоской в полосе пропускания, а переходная полоса становится короче и круче.
    2 1
    )
    (
    2


    c
    a
    j
    H
    для всех N.
    Переходя к переменной Лапласа s, получаем:
    N
    c
    a
    a
    j
    s
    s
    H
    s
    H
    2
    )
    /
    (
    1 1
    )
    (
    )
    (




    . (2.43)
    Полюса квадрата передаточной функции расположены на одинаковом расстоянии друг от друга вдоль окружности с радиусом Ω
    c на плоскости s и распределены симметрично по обеим сторонам мнимой оси

    62 s = jΩ. На самой мнимой оси нет ни одного полюса; при нечётных значениях N полюса появляются на вещественной оси. Угловое расстояние между полюсами составляет π/N. Если H
    a
    (s)H
    a
    (-s) имеет полюс при s = s p
    эта функция также имеет полюс и при s = -s p
    . Более того, для того чтобы коэффициенты фильтра были вещественными, комплексные полюса должны появляться в виде сопряжённых пар. Для получения стабильного каузального фильтра необходимо сформировать передаточную функцию
    Н
    а
    (s), имеющую только N полюсов в левой части s-плоскости. Положение полюсов на s-плоскости задаётся выражением:
















    N
    k
    j
    s
    c
    k
    2 1
    2 2
    1
    exp

    , k = 1, 2, …, 2N. (2.44)
    После того как определено положение полюсов на s-плоскости, они могут быть скомбинированы для получения передаточной функции в аналоговом пространстве Лапласа в виде:
    )
    )...(
    (
    )
    (
    1
    N
    a
    p
    s
    p
    s
    G
    s
    H



    , (2.45) где p k
    , k = 1,2, ... , N, являются N полюсами передаточной функции в левой половине s-плоскости, a G представляет собой коэффициент усиления, заданный так, как это необходимо, или нормализованный так, чтобы привести коэффициент усиления для постоянной составляющей (s = 0) к единице.
    Передаточная функция H
    a
    (s) может быть отображена на z-плоскость путём применения билинейного преобразования, т. е. путём подстановки
    


    







    1 1
    1 1
    2
    z
    z
    T
    s
    . Передаточная функция H(z) может быть тогда упрощена до вида:






    N
    k
    k
    k
    N
    z
    a
    z
    G
    z
    H
    0 1
    '
    )
    1
    (
    )
    (
    , (2.46) где a k
    , k = 1,2, ... , N, являются коэффициентами фильтра или весами (при а
    0
    = 1), a G’ является коэффициентом усиления (обычно рассчитанным так, чтобы получить |H(z)| = 1 для постоянной составляющей, т. е. при z = 1).
    Обратите внимание, что этот фильтр, благодаря использованию билинейного преобразования, имеет N нулей при z = -1. Теперь фильтр имеет знакомую форму БИХ-фильтра. На рисунках 2.16 и 2.17 показаны две формы реализации обобщённого БИХ-фильтра: первый представляет

    63 собой прямую реализацию, использующую 2N задержек и 2N + 1 умножителей (при а
    0
    = 1), в то время как второй использует только N задержек и 2N + 1 умножителей.
    Рис. 2.16. Структурная схема прямой реализации обобщённого фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтра).
    Эта форма использует 2N задержек и 2N + 1 умножителей для фильтра порядка N
    Если фильтр должен быть использован для отсчётов данных непосредственно во временной области, то необходимо получить его представление во временной области. Используя передаточную функцию
    H(z), легко представить фильтр во временной области в виде разностного уравнения:








    N
    k
    k
    N
    k
    k
    k
    n
    y
    a
    k
    n
    x
    b
    n
    y
    1 0
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    . (2.47)
    Коэффициенты b k
    получают, раскрывая выражение G'( 1 + z
    -1
    )
    N
    Можно также непосредственно задать фильтр Баттерворта в виде:
    N
    c
    H
    2 2
    )
    /
    (
    1 1
    )
    (





    , (2.48) x(n) y(n) b
    0
    Σ
    Σ z
    -1 z
    -1 b
    1 b
    2 b
    k z
    -1 b
    N z
    -1 z
    -1 z
    -1 a
    1 a
    2 a
    k a
    N
    +
    +
    +
    +
    -

    64 где
    ω
    – нормализованная частота в диапазоне
    (0,
    2π) для дискретизованного или дискретно-временного сигнала; в этом случае данное выражение справедливо только для диапазона (0, π), так как функция в диапазоне (π, 2 π) является отражением функции в диапазоне (0,
    π). Частота среза ω
    c должна быть задана в диапазоне (0, π).
    Рис. 2.17. Структурная схема реализации БИХ-фильтра, использующего только N задержек и 2N + 1 умножителей для фильтра порядка N
    Если для получения преобразования Фурье фильтрованного сигнала используется дискретное преобразование Фурье (ДПФ), то выражение может быть изменено следующим образом:
    N
    c
    k
    k
    k
    H
    2 2
    )
    /
    (
    1 1
    |
    )
    (
    |


    , (2.49) где k – индекс массива ДПФ, обозначающий дискретную частоту.
    Если К – это число точек в массиве ДПФ, то k с
    – индекс массива, соответствующий частоте среза ω
    c
    , т. е. k с
    = K(ω
    c
    / ω
    s
    ). Приведённое выше равенство справедливо для k = 0,1,2, ..., K/2, при этом вторая половина (К/2
    + 1, К - 1) является отражением первой половины (т. е. Н(k) = Н(К - k), k = x(n) y(n) z
    -1 z
    -1 b
    1 b
    2 b
    k z
    -1 b
    N a
    1 a
    2 a
    k a
    N
    Σ
    b
    0
    Σ
    -
    +
    +
    +

    65
    K/2 + 1, ..., K - 1). Заметим, что ДПФ включает два особых значения: компоненты постоянной составляющей при Н(0) и компоненты частоты свёртывания при Н(K/2). Переменная k в уравнении для фильтра также может быть использована для представления нормализованной частоты в диапазоне (0,1), где единица соответствует частоте дискретизации, 0,5 соответствует максимальной частоте, присутствующей в дискретизованном сигнале (т. е. частоте свёртывания), а переменная k с
    задана в диапазоне (0, 0,5).
    Для получения фильтрованного сигнала можно рассчитать ДПФ данного сигнала, умножить результат на |H(k)| и вычислить обратное преобразование Фурье. Преимуществом этой процедуры является то, что никаких фазовых изменений не происходит: данный фильтр является функцией, выполняющей чисто амплитудные преобразования. Описанная ранее реализация во временной области будет включать фазовую характеристику, которая может оказаться нежелательной. Однако реализация фильтра во временной области может оказаться необходимой для применений, где обработка сигнала выполняется в режиме on-line.
    2.5.2. Устранение низкочастотных шумов: фильтры верхних частот
    Баттерворта
    Фильтры верхних частот могут быть рассчитаны сами по себе или получены путем преобразования нормализованных фильтров-прототипов нижних частот. Последний подход более прост, поскольку фильтры- прототипы нижних частот с различными характеристиками широко доступны, так же как и преобразования, необходимые для получения фильтров нижних частот, пропускающих полосовых фильтров и заграждающих полосовых фильтров.
    Так же как и в случае фильтра нижних частот Баттерворта, фильтр верхних частот Баттерворта может быть задан непосредственно в дискретной частотной области как:
    N
    c
    k
    k
    k
    H
    2 2
    )
    /
    (
    1 1
    |
    )
    (
    |


    . (2.50)
    2.5.3. Устранение периодических артефактов: режекторные и
    гребенчатые фильтры
    Простейшим методом для удаления периодических артефактов является вычисление преобразования
    Фурье сигнала, удаление нежелательных компонент из спектра и затем вычисление обратного преобразования Фурье. Нежелательные частотные компоненты могут быть сделаны равными нулю или, что ещё лучше среднему уровню нескольких

    66 частотных компонент сигнала вблизи удаляемой компоненты. Первый из этих методов будет удалять шумовые компоненты одновременно с компонентами сигнала на той же самой частоте, в то время как при использовании второго метода предполагается, что спектр сигнала на рассматриваемом участке является гладким.
    Периодическая помеха может также быть удалена с использованием режекторных фильтров, у которых нули на единичной окружности в z- плоскости расположены на тех самых частотах, которые должны быть удалены. Если f
    0
    - это частота помехи, то углы соответствующие комплексно-сопряжённым нулям, должны иметь значения ±2π(f
    0
    /f s
    ); радиус, соответствующий нулям, должен быть единичным. Если, кроме того в сигнале присутствуют гармоники, то требуется несколько нулей на частотах ±2π(nf
    0
    /f s
    ), где переменная n представляет собой порядок присутствующих гармоник. Углы нулей ограничены диапазоном (-π, π).
    Такие фильтры называются гребенчатыми фильтрами. В некоторых ситуациях гармоники высокого порядка за пределами частоты f s
    /2 могут появиться в позициях, соответствующих эффекту наложения; в этом случае нули следует поместить также и на этих частотах.
    2.6. Оптимальная фильтрация: фильтр Винера
    При проектировании фильтров, описанных в предыдущих разделах, принимается внимание только ограниченная информация о временных и спектральных характеристиках сигнала и шума. Такие фильтры часто рассматриваются как эмпирически подобранные: можно попробовать несколько вариантов параметров и остановиться на таком фильтре, который, как представляется, даёт полезный результат. При этом получаемый результат не является гарантированно наилучшим достижимым: он не оптимизирован ни в каком смысле.
    Теория фильтров Винера даёт возможность получить оптимальную фильтрацию, принимая во внимание статистические характеристики сигнала и шума. Параметры фильтра оптимизированы с использованием некоего критерия эффективности. При этом гарантируется, что на выходе появляется наилучший достижимый результат при данных условиях и при данной доступной информации Фильтр Винера является мощным концептуальным инструментом, который изменяет традиционные подходы к обработке сигнала.
    Рассматривая задачу фильтрации биомедицинских сигналов для устранения шума, ограничимся БИХ-фильтром с одним входом и одним выходом, с вещественным входным сигналом и вещественными коэффициентами. На рис 2.18 показана обобщенная структурная схема фильтра с коэффициентами или весами ω
    i
    , i = 0, 1, 2, …, М - 1 входом x(n) и выходом
    )
    (


    n
    d
    . Обычно выход фильтра обозначается
    )
    (

    n
    d
    , так как он

    67 рассматривается как оценка некоторого «желаемого» сигнала
    )
    (n
    d
    , представляющего собой идеальный неискажённый сигнал.
    Рис. 2.18. Структурная схема фильтра Винера
    Если предположить, что желаемый сигнал доступен, то можно рассчитать оценки ошибки между выходом и требуемым сигналом как:
    )
    (
    )
    (
    )
    (

    n
    d
    n
    d
    n
    e


    . (2.51)
    Поскольку оценка
    )
    (

    n
    d
    является выходом линейного КИФ-фильтра, она может быть выражена как свертка входного сигнала х(n) с последовательностью весов
    ω
    i
    (которая одновременно является импульсной характеристикой фильтра) следующим образом:





    1 0

    )
    (
    )
    (
    M
    k
    k
    k
    n
    x
    n
    d

    . (2.52)
    Для упрощения процедур оптимизации последовательность весов может быть описана как весовой вектор размерностью М х 1:
    w = [ω
    0
    , ω
    1
    , …, ω
    M-1
    ]
    T
    , (2.53) где величина w представляет собой вектор, а верхний индекс Т обозначает транспонирование вектора. x(n) z
    -1 z
    -1 z
    -1
    ω
    0
    ω
    1
    ω
    k
    ω
    M-1
    Σ
    Σ
    )
    (n
    d
    e(n)
    +
    -

    68
    Поскольку веса в выражении свёртки комбинируются с М значениями входного сигнала, то можно также записать М входных величин как вектор размерностью М х 1:
    х(n) = [х(n), х(n - 1), ..., х(n - М + 1)]
    Т
    (2.54)
    Отметим, что вектор х(n) меняется во времени: в данный момент времени n вектор содержит текущий входной отсчёт х(n) и предыдущие (М
    - 1) входных отсчётов, начиная с х(n - 1) до х(n - М + 1). В этом случае выражение для свёртки может быть записано в более простой форме, как скалярное произведение векторов w и х(n):
    )
    (

    n
    d
    = w
    T
    x(n) = x
    T
    (n)w =
    w
    x,
    . (2.55)
    Ошибка оценки задаётся выражением:
    е(n) = d(n) - w
    T
    x(n). (2.56)
    Теория фильтров Винера оценивает последовательность весовых коэффициентов, которые минимизируют среднеквадратичную величину ошибки оценки; в этом случае выход можно назвать оценкой минимальной среднеквадратичной ошибки (МСКО) требуемого отклика, фильтр в этом случае называется оптимальным фильтром. Среднеквадратичная ошибка
    (СКО) определяется как:


    w
    n
    x
    n
    x
    E
    w
    w
    n
    x
    n
    d
    E
    n
    d
    n
    x
    E
    w
    n
    d
    E
    n
    e
    E
    w
    J
    T
    T
    T
    T
    )]
    (
    )
    (
    [
    )]
    (
    )
    (
    [
    )]
    (
    )
    (
    [
    )]
    (
    [
    )
    (
    )
    (
    2 2





    . (2.57)
    Отметим, что оператор математического ожидания не применим к переменной w, поскольку w не является случайной величиной.
    Приняв во внимание предположение, что входной вектор х(n) и требуемый отклик d(n) совместно стационарны, можно отметить, что выражения для математического ожидания в приведённом выше уравнении имеют следующие интерпретации:

    )]
    (
    [
    2
    n
    d
    E
    является дисперсией d(n), записанной как
    2
    d

    с последующим предположением, что среднее значение d(n) равно нулю.

    )]
    (
    )
    (
    [
    n
    d
    n
    x
    E
    представляет собой взаимную корреляцию между входным вектором х(n) и требуемым откликом d(n), являющуюся вектором размерностью М х 1.

    )]
    (
    )
    (
    [
    n
    x
    n
    d
    E
    T
    является просто транспонированием
    )]
    (
    )
    (
    [
    n
    d
    n
    x
    E
    , следовательно:
    )]
    (
    )
    (
    [
    n
    x
    n
    d
    E
    T
    T


    . (2.58)

    69

    )]
    (
    )
    (
    [
    n
    x
    n
    x
    E
    T
    представляет собой автокорреляцию входного вектора
    x(n), рассчитанную как векторное произведение вектора с самим собой и записанную в виде:
    )]
    (
    )
    (
    [
    n
    x
    n
    x
    E
    T


    . (2.59)
    С учётом перечисленных выше интерпретаций, выражение для СКО может быть упрощено до вида:
    w
    w
    w
    w
    w
    J
    T
    T
    T
    d







    2
    )
    (

    . (2.60)
    Получаем условие для оптимального фильтра в виде:



    0
    w
    . (2.61)
    Это уравнение известно как уравнение Винера-Хопфа (Wiener-Hopf).
    Оно также известно как нормальное уравнение, так как можно показать, что для оптимального фильтра каждый элемент входного вектора х(n) и ошибка оценки е(n) взаимно ортогональны и, более того, что выходной сигнал фильтра
    )
    (

    n
    d
    и ошибка е(n) взаимно ортогональны (т. е. математическое ожидание их произведения равно нулю). Оптимальный фильтр получается как:



    1 0
    w
    . (2.62)
    Применяя преобразование
    Фурье, получим частотную характеристику фильтра Винера:
    )
    (
    )
    (
    )
    (



    xx
    xd
    S
    S
    W

    , (2.63) где S
    xx
    (ω) — СПМ входного сигнала, a S
    xd
    (ω) — взаимная спектральная плотность ВСП (cross-spectral density, CSD) между входным сигналом и требуемым сигналом.
    Обратите внимание, что вывод оптимального фильтра требует достаточно специфических знаний о входном сигнале и требуемой характеристике в виде автокорреляционной функции Ф входного сигнала
    х(n) и функции взаимной корреляции θ между входным сигналом х(n) и требуемым откликом d(n). На практике, хотя требуемый отклик d(n) может быть не известен, должна существовать возможность получения его временных или спектральных статистик, которые могли бы быть

    70 использованы для оценки θ. Для достоверной оценки упомянутых выше характеристик требуется большое число отсчётов соответствующих сигналов.
    2.7. Выбор подходящего фильтра
    До сих пор рассматривалось пять подходов к устранению шума и помехи: 1) синхронное усреднение или усреднение по ансамблю для множества реализаций или копий сигнала, 2) фильтрация по методу скользящего среднего, 3) фильтрация в частотной области, 4) оптимальная фильтрация (фильтрация по Винеру. При использовании первых двух подходов сигнал обрабатывается непосредственно во временной области.
    Фильтрация в частотной области выполняется над спектром сигнала.
    Отметим, что импульсная характеристика фильтра, разработанного в частотной области, может быть использована для реализации фильтра во временной области в виде БИХ-фильтра или КИХ-фильтра. Более того, фильтры, предназначенные для фильтрации во временной области, для лучшего понимания их характеристик и воздействия на входной сигнал могут анализироваться в частотной области с помощью их передаточной функции или частотной характеристики. Фильтр Винера может быть реализован либо во временной области в виде нерекурсивного
    (трансверсального, КИХ) фильтра, либо в частотной области. Адаптивные фильтры воздействуют непосредственно на сигнал во временной области, но динамически меняют свои характеристики в ответ на изменение помехи. Таким образом, их частотная характеристика варьирует от одной временной точки к другой.
    Какими же принципами следует руководствоваться для решения вопроса о том, какие из перечисленных фильтров являются наилучшими для данного применения? Для принятия такого решения могут оказаться полезными следующие положения.
    Синхронное усреднение или усреднение по ансамблю возможно, когда:
     сигнал является статистически стационарным,
    (квази-) периодическим или циклически-стационарным;
     доступны многочисленные реализации или копии изучаемого сигнала;
     существует или может быть определена точка синхронизации или временной маркер для извлечения и выравнивания усредняемых фрагментов сигнала;
     шум является стационарным случайным процессом, который не коррелирован с сигналом и имеет нулевое (или известное) среднее значение.

    71
    Фильтр скользящего среднего во временной области подходит в случаях, когда:
     сигнал является статистически стационарным по крайней мере в пределах скользящего окна;
     помеха является случайным процессом с нулевым средним, который является стационарным, по крайней мере в пределах длительности скользящего окна, и не зависит от сигнала;
     сигнал представляет собой относительно медленное
    (низкочастотное) явление;
     необходима быстрая фильтрация в реальном масштабе времени.
    Фильтрация в частотной области применяется в случаях, когда:
     сигнал является статистически стационарным;
     шум является стационарным случайным процессом, который статистически не зависит от сигнала;
     спектр сигнала ограничен по полосе частот по сравнению со спектром помехи (или наоборот);
     потеря информации в полосе частот, удаляемой фильтром, не оказывает серьёзного воздействия на сигнал;
     не требуется фильтрация в реальном масштабе времени (для случая обработки в частотной области с использованием преобразования
    Фурье).
    Оптимальный фильтр Винера может быть разработан в случае, если:
     сигнал является статистически стационарным;
     шум является стационарным случайным процессом, который статистически не зависит от сигнала;
     известны особые детали (или модели), относящиеся к АКФ или
    СПМ сигнала и шума.

    72
    1   2   3   4   5   6


    написать администратору сайта