Уч пос по обработке биосигналов. Современные технологии обработки биомедицинских

• Название: Современные технологии обработки биомедицинских
• Дата: 06.09.2019
• Размер: 1.57 Mb.
• Имя файла: Уч пос по обработке биосигналов.pdf
• Тип: Документы; #86111
• страница: 4 из 6

2.3.1. Преобразование Фурье
Важнейшей характеристикой исходного сигнала является его преобразование Фурье [4]. Если исходный сигнал задан функцией
)
(t
f
, заданной на всей оси вещественных чисел, то его преобразование Фурье задается формулой:
dt
t
f
e
F
iwt
)
(
)
(
2








. (2.10)
Функция
)
(

F
или ее модуль трактуется как интенсивность исходного сигнала на частоте

. Обратное преобразование задается аналогичной формулой:



d
F
e
t
f
iwt
)
(
)
(
2





. (2.11)
Справедливость указанных формул возможна лишь при определенных ограничениях на исходные функции. В зависимости от наложенных ограничений данным формулам придают различный смысл.
Мы не будем уточнять данное обстоятельство, предполагая, что все выполняемые операции типа изменения порядка интегрирования законны.
Однако в любом случае при обычном понимании интегрирования необходимым условием является убывание функций на бесконечности. В реальных условиях это ограничение не имеет места, поэтому предварительно нужно ознакомиться со специальным математическим аппаратом, позволяющим в некоторых случаях обойти данное ограничение.
Прежде, чем переходить к изложению этого аппарата, напомним основные свойства преобразования Фурье. Для краткости связь между функцией и ее преобразованием Фурье будем обозначать
)
(
)
(
w
F
t
f

Если
),
(
)
(
),
(
)
(
w
G
t
g
w
F
t
f


то
)
(
)
(
)
(
)
(
w
bG
w
aF
t
bg
t
af



,
)
(
)
(
2
w
F
e
a
t
f
iwa





42
Сверткой двух функций называется функция
)
(
*
)
(
)
(
t
g
t
f
t
h

, заданная формулой:






dx
x
g
x
t
f
t
h
)
(
)
(
)
(
. (2.12)
Имеет место соотношение
)
(
)
(
)
(
w
G
w
F
t
h

Двойственное соотношение имеет вид
)
(
*
)
(
)
(
)
(
w
G
w
F
t
g
t
f

. Вообще говоря, не предполагается, что функция
)
(t
f
- вещественная. Если же это так, то
)
(
)
(
w
F
w
F



,
)
(
2
)
(
w
wiF
x
f



. Эта формула получается формальным дифференцированием под знаком интеграла в (2.10).
2.3.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Установим свойства дискретного преобразования
Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно, преобразования типа почленного интегрирования ряда, перестановки порядка суммирования и тому подобные будут проводится без какого-либо обоснования. Предполагается, что соответствующие функции обладают необходимыми свойствами.
Основное определение дискретного преобразования Фурье:






n
iwn
e
n
x
w
X

2
]
[
)
(
. (2.13)
Как уже отмечалось, ДПФ является периодической функцией. В дальнейшем при изложении свойств ДПФ будем предполагать, что
1

S
В этом случае период ДПФ равен 1. Обратное преобразование получается почленным интегрированием ряда. Если
]
[
)
(
n
x
w
X

, то обратное преобразование задается формулой


1 0
2
)
(
]
[
dw
e
w
X
n
x
inw

. Данная формула вытекает из соотношения: интеграл
dt
e
imt

1 0
2

равен 0 при
0

m
и 1 иначе.
Свертка двух последовательностей определяется формулой:




k
k
k
n
n
n
n
n
y
x
z
y
x
z
,
*
. (2.14)
ДПФ от свертки двух последовательностей равняется произведению из преобразований
Фурье, а
ДПФ от произведения двух последовательностей есть свертка их преобразований Фурье.

43
Найдем преобразование от произведения последовательностей.
Имеем:
]
[
]
[
n
y
n
x
=
dv
e
v
Y
du
e
u
X
inv
inu


2 1
0 1
0 2
)
(
)
(


=
dv
du
e
u
X
v
Y
v
u
in
 

1 0
)
(
2 1
0
)
(
)
(

. (**)
В силу периодичности подынтегральных функций, получим:



1 0
1 0
2
)
(
)
(
du
u
X
u
w
Y
e
inw

. (**)
Найдем ДПФ от свертки. По определению ДПФ



n
iwn
e
n
x
w
X

2
]
[
)
(
,



k
iwk
e
n
y
w
Y

2
]
[
)
(
. Перемножая эти ряды и собирая коэффициенты при одинаковых степенях, получим



n
iwn
e
n
z
w
Y
w
X

2
]
[
)
(
)
(
Отметим очевидные следствия вещественности исходной последовательности:
)
(
)
(
w
X
w
X


2.3.3. Линейные инвариантные системы
Рассматриваются последовательности
]}
[
{ n
x
. Очевидным образом определяются сумма последовательностей и произведение на число. В результате сдвига получается новая последовательность
]
[
]
[
a
n
x
n
z


Дальнейшее работа с последовательностью, полученной в результате дискретизации, заключается в преобразовании с помощью различных устройств.
T
]
[n
x
]
[n
y
Рисунок 2.5. Преобразующая система
Система
T
осуществляет это преобразование:
]}
[
{
]}
[
{
n
y
n
x
T

отметим, что выходная последовательность является функцией от всей входной последовательности, то есть каждый член входной последовательности зависит, вообще говоря, от всех членов входной последовательности.
Система
T
называется инвариантной, если
]}
[
{
]}
[
{
a
n
y
a
n
x
T



для любого
a

44
Точечные системы:
])
[
(
])
[
(
n
x
f
n
x
T

, где
f
– произвольная функция, являются инвариантными.
Для произвольного фиксированного
M
, инвариантная система




M
k
k
n
x
n
n
y
1
]
[
]
[
не будет инвариантной. Примем
]
[
]
[
a
n
x
n
z


Согласно определению:












M
k
M
k
a
n
y
a
k
n
x
n
k
n
z
n
n
y
1 1
]
[
]
[
]
[
]
[
. (**)
Таким образом, система называется линейной инвариантной (ЛИС), если она линейна и инвариантна.
2.3.4. Цифровые фильтры
Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем (ЛИС). Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы.
Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент времени t зависит от входных сигналов в моменты времени
t

Пусть имеется ЛИС
T
. Рассмотрим сосредоточенную в одной точке последовательность
0
,
0
]
[
,
1
]
0
[
:






t
t
. Пусть
]}
[
{
}
{
n
h
T


, а по определению
]
[
]
[
k
t
t
k




. Для произвольной последовательности
]}
[
{ n
x
справедливо разложение



k
k
k
x
n
x
]
[
]}
[
{
В силу линейности



k
k
T
k
x
n
x
T
},
{
]
[
]}
[
{
а в силу инвариантности
]}
[
{
}
{
k
n
h
T
k



Окончательно, если
]}
[
{
]}
[
{
n
x
T
n
y

, то



k
k
n
h
k
x
n
y
]
[
]
[
]
[
(2.15)
Другими словами, реакция на любую последовательность получается с помощью свертки этой последовательности и последовательности
]}
[
{ n
h
, называемой импульсной реакцией или функцией отклика.
Если имеются две последовательно соединенных ЛИС, то в силу ассоциативности операции свертки, результирующая функция отклика получается как свертка функций отклика отдельных систем. Отсюда следует неожиданный вывод о коммутативности последовательного соединения. При параллельном соединении в качестве функции отклика получаем сумму функций, отвечающих отдельным слагаемым.
Вообще говоря, сумма в (2.15) бесконечная. Чтобы она имела смысл, надо ввести дополнительные ограничения.

45
Система (2.15) называется устойчивой, если она переводит любую ограниченную последовательность в ограниченную.
Система устойчива тогда и тогда и только тогда, когда



|
]
[
|
n
h
(2.16)
Достаточность условия очевидна. Для доказательства необходимости заметим, что функция отклика ограничена, поскольку это реакция на ограниченную последовательность.
Возьмем в качестве входной последовательности
|
]
[
|
]
[
]
[
n
h
n
h
n
x



, если
0
]
[

n
h
. Реакция в нуле на эту последовательность имеет вид





k
k
h
k
h
k
x
y
|
]
[
|
]
[
]
[
]
0
[
Пусть имеется ЛИС с функцией отклика
]}
[
{ n
h
, на вход которой подается
]}
[
{ n
x
, а на выходе получается последовательность
]}
[
{ n
y
Переходя в (2.15) к преобразованиям Фурье, получим
)
(
)
(
)
(
w
X
w
H
w
Y

(2.17)
Уравнение (2.17) является основным в теории фильтрации. Функция
)
(w
H
называется передаточной функцией фильтра. Если выборка велась с частотой
T
/
1
, то
)
(w
H
будет периодической функцией с периодом
T
/
1
Если последовательность
]}
[
{ n
h
- вещественная, то
)
(
)
(
w
H
w
H


. Отсюда следует, функция
|
)
(
|
w
H
является симметричной. В этой связи эту функцию рассматривают лишь на интервале
]
2 1
,
0
[
T
и изображают модуль, так как он определяет коэффициент усиления на каждой из частот.
2.3.5. КИХ фильтры
Предположим, что в последовательности
]}
[
{ n
h
лишь конечное число элементов отличны от нуля. В этом случае фильтр называется фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ, FIR). В этом случае




L
M
k
k
n
x
k
h
n
y
]
[
]
[
]
[
Переходя к преобразованиям
Фурье и учитывая, что
)
(
]
[
)
(
]
[
2
w
X
e
k
n
x
w
X
n
x
ikw






, получим, что




L
M
k
ikw
w
X
e
k
h
w
Y
)
(
]
[
)
(
2

Другими словами, передаточная функция фильтра имеет вид

46




M
L
k
ikw
e
k
h
w
H

2
]
[
)
(
(2.18)
2.3.6. Z-преобразование. Фильтры первого порядка
Иногда вместо преобразования Фурье используют z-преобразование.
Оно определяется формулой






k
k
z
k
x
z
X
]
[
)
(
(2.19)
В формуле (2.19) ряд является формальным, если же он сходится, то определяет аналитическую функцию. Для z-преобразования справедливы аналоги свойств, доказанных для преобразования Фурье. Это же относится и к передаточной функции фильтра. В случае фильтра с бесконечным временем отклика
)
(
1
)
(
1
z
X
z
a
z
b
z
Y
N
k
k
k
M
L
k
k
k








(2.20)
Формула (2.20) удобна в том случае, когда переменная z может принимать любые значения на комплексной плоскости. Еще раз обратим внимание на то, что в формуле (2.20) предполагается, что ряд для
)
(z
X
имеет лишь конечное число ненулевых коэффициентов при положительных степенях. В этом случае мы можем в явной форме получить члены выходной последовательности.
Риc. 2.6. Передаточная функция идеального фильтра
Под идеальным фильтром понимается фильтр, у которого передаточная функция имеет прямоугольную форму. Покажем, что такой фильтр не является физически реализуемым. Действительно, если w
0
w

47



k
iwk
k
e
a
w
H

2
)
(
, то
dw
e
a
w
w
iwk
k



0 2

, откуда вытекает, что бесконечное число слагаемых отличны от нуля как с отрицательными, так и с положительными индексами. Это означает, что в передаточной функции присутствуют слагаемые, как до момента измерения, так и после. Если бы число слагаемых "после" было бы конечным, то дело свелось бы лишь к временной задержке.
Рассмотрим фильтр вида:






M
L
k
x
k
n
x
b
n
ay
n
y
]
[
]
1
[
]
[
(2.21)
Это общий вид фильтра первого порядка. Его передаточная функция имеет вид:
2
/
1
|
|
),
(
1
)
(
2 2







w
w
X
ae
e
b
w
Y
iw
M
L
k
iwk
k


(2.22)
Первый вопрос связан с устойчивостью фильтра. Переходя к z- преобразованию видим, что все сводится к сходимости ряда
1 1
1

 az
при z =
1, которая имеет место тогда и только тогда, когда
1
|
|

a
. В простейшем случае при
0

 M
L
передаточная функция фильтра принимает вид
iw
ae
b

2 0
1


. В зависимости от знака
a
график модуля имеет вид фильтра низких или высоких частот (фильтр низких частот пропускает низкие частоты).
Рисунок 2.7. Передаточные функции фильтров первого порядка

48
2.3.7. Фильтры второго и высших порядков
Примером фильтра второго порядка является фильтр:
]
[
]
2
[
]
1
[
]
[
2 1
n
bx
n
y
a
n
y
a
n
y






. (2.23)
Рассматриваем только вещественный случай. Переходя к z- преобразованию, получим:
)
(
1
)
(
2 2
1 1
z
X
z
a
z
a
b
z
Y





Найдя корни многочлена в знаменателе, перепишем:
)
(
)
1
)(
1
(
)
(
1 2
1 1
z
X
z
e
z
e
b
z
Y





. (**)
Это означает, что фильтр есть последовательное соединение двух фильтров первого порядка. Для устойчивости достаточно потребовать, чтобы все корни были по модулю меньше единицы. Это означает, что
1
|
4
/
2
/
|
|
|
2 2
1 1





a
a
a
e
Рассмотрим вещественный случай:
0 4
/
2 2
1

 a
a
Это область под параболой. Условие на модуль первого корня имеет вид
2
/
1 4
/
2
/
1 1
2 2
1 1
a
a
a
a






. Возводя второе неравенство в квадрат, получим
0 1
2 1



a
a
. Для выполнения первого из неравенств достаточно чтобы
2 1

a
. Аналогичное рассмотрение условия на второй корень дает
0 1
2 1



a
a
. Окончательно, область имеет форму. Для комплексных корней
0 4
/
2 2
1

 a
a
. Кроме того, квадрат модуля корня равен
2
a
, откуда вытекает, что
1 2

a
. Объединяя обе области, получаем треугольник устойчивости (рис. 2.8).
Рисунок 2.8. Треугольник устойчивости фильтра
Другими словами, если точка с координатами
)
,
(
2 1
a
a
попадает внутрь треугольника, соответствующий фильтр будет устойчивым.
Предположим, что передаточная функция фильтра имеет вид:
)
(
)
(
)
(
1 1



z
q
z
p
z
H
, (**)

49 где в числителе и знаменателе стоят вещественные многочлены, причем
)
(z
q
имеет степень выше двух.
В этом случае имеет место разложение
)
(
)
(
)
(
1
z
q
z
q
z
q
s


на неприводимые многочлены первой и второй степеней с вещественными коэффициентами, а сам фильтр можно заменить последовательным соединением
s
фильтров. Если
)
(
)
(
)
(
2 1
z
q
z
q
z
q

и сомножители взаимно простые, то для некоторых многочленов
)
(
)
(
)
(
)
(
1 2
1 1
2
z
q
z
p
z
q
z
p


. Отсюда следует, что
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2
1 1
z
q
z
q
z
p
z
q
z
p


. Другими словами, фильтр можно представить как параллельное соединение двух фильтров. Построив базисные фильтры второго и первого порядка, можно с их помощью реализовать фильтр любого порядка.