Главная страница
Навигация по странице:

  • 2.3.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

  • 2.3.3. Линейные инвариантные системы

  • 2.3.4. Цифровые фильтры

  • 2.3.5. КИХ фильтры

  • 2.3.6. Z-преобразование. Фильтры первого порядка

  • 2.3.7. Фильтры второго и высших порядков

  • Уч пос по обработке биосигналов. Современные технологии обработки биомедицинских


    Скачать 1.57 Mb.
    НазваниеСовременные технологии обработки биомедицинских
    Дата06.09.2019
    Размер1.57 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаУч пос по обработке биосигналов.pdf
    ТипДокументы
    #86111
    страница4 из 6
    1   2   3   4   5   6
    2.3.1. Преобразование Фурье
    Важнейшей характеристикой исходного сигнала является его преобразование Фурье [4]. Если исходный сигнал задан функцией
    )
    (t
    f
    , заданной на всей оси вещественных чисел, то его преобразование Фурье задается формулой:
    dt
    t
    f
    e
    F
    iwt
    )
    (
    )
    (
    2








    . (2.10)
    Функция
    )
    (

    F
    или ее модуль трактуется как интенсивность исходного сигнала на частоте

    . Обратное преобразование задается аналогичной формулой:



    d
    F
    e
    t
    f
    iwt
    )
    (
    )
    (
    2





    . (2.11)
    Справедливость указанных формул возможна лишь при определенных ограничениях на исходные функции. В зависимости от наложенных ограничений данным формулам придают различный смысл.
    Мы не будем уточнять данное обстоятельство, предполагая, что все выполняемые операции типа изменения порядка интегрирования законны.
    Однако в любом случае при обычном понимании интегрирования необходимым условием является убывание функций на бесконечности. В реальных условиях это ограничение не имеет места, поэтому предварительно нужно ознакомиться со специальным математическим аппаратом, позволяющим в некоторых случаях обойти данное ограничение.
    Прежде, чем переходить к изложению этого аппарата, напомним основные свойства преобразования Фурье. Для краткости связь между функцией и ее преобразованием Фурье будем обозначать
    )
    (
    )
    (
    w
    F
    t
    f

    Если
    ),
    (
    )
    (
    ),
    (
    )
    (
    w
    G
    t
    g
    w
    F
    t
    f


    то
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    w
    bG
    w
    aF
    t
    bg
    t
    af



    ,
    )
    (
    )
    (
    2
    w
    F
    e
    a
    t
    f
    iwa





    42
    Сверткой двух функций называется функция
    )
    (
    *
    )
    (
    )
    (
    t
    g
    t
    f
    t
    h

    , заданная формулой:






    dx
    x
    g
    x
    t
    f
    t
    h
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    . (2.12)
    Имеет место соотношение
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    w
    G
    w
    F
    t
    h

    Двойственное соотношение имеет вид
    )
    (
    *
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    w
    G
    w
    F
    t
    g
    t
    f

    . Вообще говоря, не предполагается, что функция
    )
    (t
    f
    - вещественная. Если же это так, то
    )
    (
    )
    (
    w
    F
    w
    F



    ,
    )
    (
    2
    )
    (
    w
    wiF
    x
    f



    . Эта формула получается формальным дифференцированием под знаком интеграла в (2.10).
    2.3.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
    Установим свойства дискретного преобразования
    Фурье аналогичные свойствам непрерывного преобразования. Как обычно, преобразования типа почленного интегрирования ряда, перестановки порядка суммирования и тому подобные будут проводится без какого-либо обоснования. Предполагается, что соответствующие функции обладают необходимыми свойствами.
    Основное определение дискретного преобразования Фурье:


    



    n
    iwn
    e
    n
    x
    w
    X

    2
    ]
    [
    )
    (
    . (2.13)
    Как уже отмечалось, ДПФ является периодической функцией. В дальнейшем при изложении свойств ДПФ будем предполагать, что
    1

    S
    В этом случае период ДПФ равен 1. Обратное преобразование получается почленным интегрированием ряда. Если
    ]
    [
    )
    (
    n
    x
    w
    X

    , то обратное преобразование задается формулой


    1 0
    2
    )
    (
    ]
    [
    dw
    e
    w
    X
    n
    x
    inw

    . Данная формула вытекает из соотношения: интеграл
    dt
    e
    imt

    1 0
    2

    равен 0 при
    0

    m
    и 1 иначе.
    Свертка двух последовательностей определяется формулой:




    k
    k
    k
    n
    n
    n
    n
    n
    y
    x
    z
    y
    x
    z
    ,
    *
    . (2.14)
    ДПФ от свертки двух последовательностей равняется произведению из преобразований
    Фурье, а
    ДПФ от произведения двух последовательностей есть свертка их преобразований Фурье.

    43
    Найдем преобразование от произведения последовательностей.
    Имеем:
    ]
    [
    ]
    [
    n
    y
    n
    x
    =
    dv
    e
    v
    Y
    du
    e
    u
    X
    inv
    inu


    2 1
    0 1
    0 2
    )
    (
    )
    (


    =
    dv
    du
    e
    u
    X
    v
    Y
    v
    u
    in
     

    1 0
    )
    (
    2 1
    0
    )
    (
    )
    (

    . (**)
    В силу периодичности подынтегральных функций, получим:



    1 0
    1 0
    2
    )
    (
    )
    (
    du
    u
    X
    u
    w
    Y
    e
    inw

    . (**)
    Найдем ДПФ от свертки. По определению ДПФ



    n
    iwn
    e
    n
    x
    w
    X

    2
    ]
    [
    )
    (
    ,



    k
    iwk
    e
    n
    y
    w
    Y

    2
    ]
    [
    )
    (
    . Перемножая эти ряды и собирая коэффициенты при одинаковых степенях, получим



    n
    iwn
    e
    n
    z
    w
    Y
    w
    X

    2
    ]
    [
    )
    (
    )
    (
    Отметим очевидные следствия вещественности исходной последовательности:
    )
    (
    )
    (
    w
    X
    w
    X


    2.3.3. Линейные инвариантные системы
    Рассматриваются последовательности
    ]}
    [
    { n
    x
    . Очевидным образом определяются сумма последовательностей и произведение на число. В результате сдвига получается новая последовательность
    ]
    [
    ]
    [
    a
    n
    x
    n
    z


    Дальнейшее работа с последовательностью, полученной в результате дискретизации, заключается в преобразовании с помощью различных устройств.
    T
    ]
    [n
    x
    ]
    [n
    y
    Рисунок 2.5. Преобразующая система
    Система
    T
    осуществляет это преобразование:
    ]}
    [
    {
    ]}
    [
    {
    n
    y
    n
    x
    T

    отметим, что выходная последовательность является функцией от всей входной последовательности, то есть каждый член входной последовательности зависит, вообще говоря, от всех членов входной последовательности.
    Система
    T
    называется инвариантной, если
    ]}
    [
    {
    ]}
    [
    {
    a
    n
    y
    a
    n
    x
    T



    для любого
    a

    44
    Точечные системы:
    ])
    [
    (
    ])
    [
    (
    n
    x
    f
    n
    x
    T

    , где
    f
    – произвольная функция, являются инвариантными.
    Для произвольного фиксированного
    M
    , инвариантная система




    M
    k
    k
    n
    x
    n
    n
    y
    1
    ]
    [
    ]
    [
    не будет инвариантной. Примем
    ]
    [
    ]
    [
    a
    n
    x
    n
    z


    Согласно определению:












    M
    k
    M
    k
    a
    n
    y
    a
    k
    n
    x
    n
    k
    n
    z
    n
    n
    y
    1 1
    ]
    [
    ]
    [
    ]
    [
    ]
    [
    . (**)
    Таким образом, система называется линейной инвариантной (ЛИС), если она линейна и инвариантна.
    2.3.4. Цифровые фильтры
    Цифровые фильтры являются частным случаем линейных инвариантных систем (ЛИС). Существенное ограничение связано с физической реализуемостью системы.
    Система называется физически реализуемой, если сигнал на выходе в момент времени t зависит от входных сигналов в моменты времени
    t

    Пусть имеется ЛИС
    T
    . Рассмотрим сосредоточенную в одной точке последовательность
    0
    ,
    0
    ]
    [
    ,
    1
    ]
    0
    [
    :






    t
    t
    . Пусть
    ]}
    [
    {
    }
    {
    n
    h
    T


    , а по определению
    ]
    [
    ]
    [
    k
    t
    t
    k




    . Для произвольной последовательности
    ]}
    [
    { n
    x
    справедливо разложение



    k
    k
    k
    x
    n
    x
    ]
    [
    ]}
    [
    {
    В силу линейности



    k
    k
    T
    k
    x
    n
    x
    T
    },
    {
    ]
    [
    ]}
    [
    {
    а в силу инвариантности
    ]}
    [
    {
    }
    {
    k
    n
    h
    T
    k



    Окончательно, если
    ]}
    [
    {
    ]}
    [
    {
    n
    x
    T
    n
    y

    , то



    k
    k
    n
    h
    k
    x
    n
    y
    ]
    [
    ]
    [
    ]
    [
    (2.15)
    Другими словами, реакция на любую последовательность получается с помощью свертки этой последовательности и последовательности
    ]}
    [
    { n
    h
    , называемой импульсной реакцией или функцией отклика.
    Если имеются две последовательно соединенных ЛИС, то в силу ассоциативности операции свертки, результирующая функция отклика получается как свертка функций отклика отдельных систем. Отсюда следует неожиданный вывод о коммутативности последовательного соединения. При параллельном соединении в качестве функции отклика получаем сумму функций, отвечающих отдельным слагаемым.
    Вообще говоря, сумма в (2.15) бесконечная. Чтобы она имела смысл, надо ввести дополнительные ограничения.

    45
    Система (2.15) называется устойчивой, если она переводит любую ограниченную последовательность в ограниченную.
    Система устойчива тогда и тогда и только тогда, когда



    |
    ]
    [
    |
    n
    h
    (2.16)
    Достаточность условия очевидна. Для доказательства необходимости заметим, что функция отклика ограничена, поскольку это реакция на ограниченную последовательность.
    Возьмем в качестве входной последовательности
    |
    ]
    [
    |
    ]
    [
    ]
    [
    n
    h
    n
    h
    n
    x



    , если
    0
    ]
    [

    n
    h
    . Реакция в нуле на эту последовательность имеет вид





    k
    k
    h
    k
    h
    k
    x
    y
    |
    ]
    [
    |
    ]
    [
    ]
    [
    ]
    0
    [
    Пусть имеется ЛИС с функцией отклика
    ]}
    [
    { n
    h
    , на вход которой подается
    ]}
    [
    { n
    x
    , а на выходе получается последовательность
    ]}
    [
    { n
    y
    Переходя в (2.15) к преобразованиям Фурье, получим
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    w
    X
    w
    H
    w
    Y

    (2.17)
    Уравнение (2.17) является основным в теории фильтрации. Функция
    )
    (w
    H
    называется передаточной функцией фильтра. Если выборка велась с частотой
    T
    /
    1
    , то
    )
    (w
    H
    будет периодической функцией с периодом
    T
    /
    1
    Если последовательность
    ]}
    [
    { n
    h
    - вещественная, то
    )
    (
    )
    (
    w
    H
    w
    H


    . Отсюда следует, функция
    |
    )
    (
    |
    w
    H
    является симметричной. В этой связи эту функцию рассматривают лишь на интервале
    ]
    2 1
    ,
    0
    [
    T
    и изображают модуль, так как он определяет коэффициент усиления на каждой из частот.
    2.3.5. КИХ фильтры
    Предположим, что в последовательности
    ]}
    [
    { n
    h
    лишь конечное число элементов отличны от нуля. В этом случае фильтр называется фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ, FIR). В этом случае




    L
    M
    k
    k
    n
    x
    k
    h
    n
    y
    ]
    [
    ]
    [
    ]
    [
    Переходя к преобразованиям
    Фурье и учитывая, что
    )
    (
    ]
    [
    )
    (
    ]
    [
    2
    w
    X
    e
    k
    n
    x
    w
    X
    n
    x
    ikw






    , получим, что




    L
    M
    k
    ikw
    w
    X
    e
    k
    h
    w
    Y
    )
    (
    ]
    [
    )
    (
    2

    Другими словами, передаточная функция фильтра имеет вид

    46




    M
    L
    k
    ikw
    e
    k
    h
    w
    H

    2
    ]
    [
    )
    (
    (2.18)
    2.3.6. Z-преобразование. Фильтры первого порядка
    Иногда вместо преобразования Фурье используют z-преобразование.
    Оно определяется формулой


    



    k
    k
    z
    k
    x
    z
    X
    ]
    [
    )
    (
    (2.19)
    В формуле (2.19) ряд является формальным, если же он сходится, то определяет аналитическую функцию. Для z-преобразования справедливы аналоги свойств, доказанных для преобразования Фурье. Это же относится и к передаточной функции фильтра. В случае фильтра с бесконечным временем отклика
    )
    (
    1
    )
    (
    1
    z
    X
    z
    a
    z
    b
    z
    Y
    N
    k
    k
    k
    M
    L
    k
    k
    k








    (2.20)
    Формула (2.20) удобна в том случае, когда переменная z может принимать любые значения на комплексной плоскости. Еще раз обратим внимание на то, что в формуле (2.20) предполагается, что ряд для
    )
    (z
    X
    имеет лишь конечное число ненулевых коэффициентов при положительных степенях. В этом случае мы можем в явной форме получить члены выходной последовательности.
    Риc. 2.6. Передаточная функция идеального фильтра
    Под идеальным фильтром понимается фильтр, у которого передаточная функция имеет прямоугольную форму. Покажем, что такой фильтр не является физически реализуемым. Действительно, если w
    0
    w

    47



    k
    iwk
    k
    e
    a
    w
    H

    2
    )
    (
    , то
    dw
    e
    a
    w
    w
    iwk
    k



    0 2

    , откуда вытекает, что бесконечное число слагаемых отличны от нуля как с отрицательными, так и с положительными индексами. Это означает, что в передаточной функции присутствуют слагаемые, как до момента измерения, так и после. Если бы число слагаемых "после" было бы конечным, то дело свелось бы лишь к временной задержке.
    Рассмотрим фильтр вида:






    M
    L
    k
    x
    k
    n
    x
    b
    n
    ay
    n
    y
    ]
    [
    ]
    1
    [
    ]
    [
    (2.21)
    Это общий вид фильтра первого порядка. Его передаточная функция имеет вид:
    2
    /
    1
    |
    |
    ),
    (
    1
    )
    (
    2 2







    w
    w
    X
    ae
    e
    b
    w
    Y
    iw
    M
    L
    k
    iwk
    k


    (2.22)
    Первый вопрос связан с устойчивостью фильтра. Переходя к z- преобразованию видим, что все сводится к сходимости ряда
    1 1
    1

    az
    при z =
    1, которая имеет место тогда и только тогда, когда
    1
    |
    |

    a
    . В простейшем случае при
    0

    M
    L
    передаточная функция фильтра принимает вид
    iw
    ae
    b

    2 0
    1


    . В зависимости от знака
    a
    график модуля имеет вид фильтра низких или высоких частот (фильтр низких частот пропускает низкие частоты).
    Рисунок 2.7. Передаточные функции фильтров первого порядка

    48
    2.3.7. Фильтры второго и высших порядков
    Примером фильтра второго порядка является фильтр:
    ]
    [
    ]
    2
    [
    ]
    1
    [
    ]
    [
    2 1
    n
    bx
    n
    y
    a
    n
    y
    a
    n
    y






    . (2.23)
    Рассматриваем только вещественный случай. Переходя к z- преобразованию, получим:
    )
    (
    1
    )
    (
    2 2
    1 1
    z
    X
    z
    a
    z
    a
    b
    z
    Y





    Найдя корни многочлена в знаменателе, перепишем:
    )
    (
    )
    1
    )(
    1
    (
    )
    (
    1 2
    1 1
    z
    X
    z
    e
    z
    e
    b
    z
    Y





    . (**)
    Это означает, что фильтр есть последовательное соединение двух фильтров первого порядка. Для устойчивости достаточно потребовать, чтобы все корни были по модулю меньше единицы. Это означает, что
    1
    |
    4
    /
    2
    /
    |
    |
    |
    2 2
    1 1





    a
    a
    a
    e
    Рассмотрим вещественный случай:
    0 4
    /
    2 2
    1

    a
    a
    Это область под параболой. Условие на модуль первого корня имеет вид
    2
    /
    1 4
    /
    2
    /
    1 1
    2 2
    1 1
    a
    a
    a
    a






    . Возводя второе неравенство в квадрат, получим
    0 1
    2 1



    a
    a
    . Для выполнения первого из неравенств достаточно чтобы
    2 1

    a
    . Аналогичное рассмотрение условия на второй корень дает
    0 1
    2 1



    a
    a
    . Окончательно, область имеет форму. Для комплексных корней
    0 4
    /
    2 2
    1

    a
    a
    . Кроме того, квадрат модуля корня равен
    2
    a
    , откуда вытекает, что
    1 2

    a
    . Объединяя обе области, получаем треугольник устойчивости (рис. 2.8).
    Рисунок 2.8. Треугольник устойчивости фильтра
    Другими словами, если точка с координатами
    )
    ,
    (
    2 1
    a
    a
    попадает внутрь треугольника, соответствующий фильтр будет устойчивым.
    Предположим, что передаточная функция фильтра имеет вид:
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    1 1



    z
    q
    z
    p
    z
    H
    , (**)

    49 где в числителе и знаменателе стоят вещественные многочлены, причем
    )
    (z
    q
    имеет степень выше двух.
    В этом случае имеет место разложение
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    1
    z
    q
    z
    q
    z
    q
    s


    на неприводимые многочлены первой и второй степеней с вещественными коэффициентами, а сам фильтр можно заменить последовательным соединением
    s
    фильтров. Если
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    2 1
    z
    q
    z
    q
    z
    q

    и сомножители взаимно простые, то для некоторых многочленов
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    1 2
    1 1
    2
    z
    q
    z
    p
    z
    q
    z
    p


    . Отсюда следует, что
    )
    (
    1
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    )
    (
    2 2
    1 1
    z
    q
    z
    q
    z
    p
    z
    q
    z
    p


    . Другими словами, фильтр можно представить как параллельное соединение двух фильтров. Построив базисные фильтры второго и первого порядка, можно с их помощью реализовать фильтр любого порядка.
    1   2   3   4   5   6


    написать администратору сайта