Главная страница
Навигация по странице:

  • Законы распределения случайных величин

  • Контрольные карты Задание 4 Задание 4.1

    		•

    СМ в УК.РГЗ. Статистические характеристики случайных величин


    Скачать 270.11 Kb.
    НазваниеСтатистические характеристики случайных величин
    Дата11.12.2018
    Размер270.11 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаСМ в УК.РГЗ.docx
    ТипДокументы
    #59736
    страница2 из 5
    1   2   3   4   5

    Интервальное оценивание

    Интервальное оценивание математического ожидания случайной величины выполняется в соответствии с алгоритмами, приведенными в п. 6.1 и 6.2 ГОСТ Р 50779.21.

    Исходные данные для выполнения задания приведены в Приложении А методических указаний (колонка Х2).

    Для нахождения промежуточных значений квантилей распределения Стьюдента необходимо применить метод линейной интерполяции (Приложение Б, ГОСТ Р 50779.21).

    Задание №2

    2.1 Произвести точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности:

    • при известном значении дисперсии σ = 0,2;

    • при неизвестном значении дисперсии.

    Уровень доверия принять 0,95.

    Исходные данные:

    Х2
    75,5
    74,6
    87,1
    86,2
    83,1
    88,3
    76,0
    91,3
    76,8
    81,5
    74,3
    81,1
    81,2
    83,6
    86,8
    90,4
    84,1
    67,4
    85,7
    84,5

    77,9
    83,4
    81,5
    85,7
    83,2
    85,6
    88,4
    82,8
    74,2
    78,0
    90,7
    86,8
    79,9
    79,8
    86,4
    84,9
    85,1
    88,4
    84,1
    78,8

    При известном значении дисперсии:

    1.Статистические и исходные данные:

    -объем выборки:n=40;

    -сумма значений наблюдаемых величин: 3305,1;

    -известное значение дисперсии = 0,2;

    -выбранная доверительная вероятность: 1-=0,95;

    2. Табличные данные и вычисления:

    -квантиль стандартного нормального распределения уровня 1-

    ;

    Для 0,95 по табл. Приложения А.1

    ;

    ;

    -квантиль стандартного нормального распределения уровня 1-

    ;

    Для 0,975 по табл. Приложения А.1

    ;

    ;

    -вычислим среднее арифметическое :

    ;

    -вычислим (для одностороннего интервала):

    ;

    -вычислим (для двухстороннего интервала):

    ;

    3.Результаты

    -точечная оценка математического ожидания,

    ;

    -двусторонний симметричный доверительный интервал для

    ;

    ;

    0,3*0,450,3*0,45;

    82,5;

    -односторонние доверительные интервалы для

    ;

    ;

    ;
    ;

    ;

    ;

    При неизвестном значении дисперсии:

    1.Статистические и исходные данные:

    -объем выпорки: n=40;

    -сумма значений наблюдаемых величин: 3305,1;

    -сумма квадратов значений наблюдаемых величин ;

    =247176,6;

    -степень свободы ;
    ;

    -выбранная доверительная вероятность: 1-=0,95;

    2. Табличные данные и вычисления:

    -квантиль распределения Стьюдент (t) уровня с степенями свободы по табл.Приложения Б.1 ГОСТ Р 50779.21-2004

    Для нахождения промежуточных значений квантилей распределения Стьюдента необходимо применить метод линейной интерполяции:


    40
    1,697

    +

    +1,697=-0,0117+1,697=1,685;

    -квантиль распределения Стьюдента (t) уровня с степенями свободы по табл.Приложения Б.1 ГОСТ Р 50779.21-2004
    Для нахождения промежуточных значений квантилей распределения Стьюдента необходимо применить метод линейной интерполяции:


    40
    2,042

    +

    +2,042=-0,0189+2,042=2,023;

    -вычислим среднее арифметическое :

    ;

    -вычислим дисперсию :

    ;

    ==27,8;

    ;

    -вычислим коэффициент

    ;

    ;

    ;

    ;

    3. Результаты:

    -точечная оценка математического ожидания ;

    -точечная оценка генеральной совокупности ;

    -двусторонний симметричный доверительный интервал

    ;

    ;

    0,32*5,30,32*5,3;

    ;

    -односторонние доверительные интервалы для

    ;

    ;

    ;
    ;

    ;

    ;

    Законы распределения случайных величин

    Выполнение этого задания РГЗ заключается в решении задач по определению вероятности обнаружения несоответствующих единиц продукции в выборке с применением разных законов, описывающих распределение исследуемого параметра в генеральной совокупности.

    Задание №3

    3.1 Определить вероятность обнаружения ноль, одного, двух и трех несоответствующих изделий в выборке, используя гипергеометрическое распределение, если заданы объем партии, число несоответствующих изделий в партии и объем выборки.

    Результаты представить графически – в виде зависимости рассчитанной вероятности обнаружения несоответствующих изделий в выборке Pот числа несоответствий m.

    Определить математическое ожидание и дисперсию.

    Исходные данные:

    Объем партии:N=50

    Число несоответствующих изделий в партии:M=5

    Объем выборки:n=10

    Формула гипергеометрического распределения:

    ,где
    ;

    ;

    ;

    Для m=0

    ==1

    =

    ;

    0,31;

    Для m=1

    ==5

    =

    ;

    ;

    Для m=2

    ==10



    ;

    ;

    Для m=3

    ==10



    ;

    ;

    Полученные данные занесли в таблицу:

    m
    0
    1
    2
    3

    P(m)
    0,31
    0,43
    0,21
    0,04

    Рис.2. Зависимость вероятности обнаружения несоответствующих изделий.

    Определим математическое ожидание и дисперсию.

    Математическое ожидание:

    ;

    ;
    Дисперсию находим по формуле:

    ;
    ;
    Среднее квадратическое отклонение:

    =1,2;

    3.2 Используя биномиальное распределение, определить вероятность обнаружения ноль, одного и двух несоответствующих изделий, если заданы уровень несоответствий в партии (в виде процента несоответствующих изделий) и объем выборки.

    Результаты представить графически – в виде зависимости рассчитанной вероятности обнаружения несоответствующих изделий в выборке P от числа несоответствий m.

    Определить математическое ожидание и дисперсию.
    Исходные данные:

    Объем выборки:n=2;

    Процент несоответствующих изделий в выборке p=3% =0,03;

    Формула биноминального распределения:
    ;

    Где ;

    Для m=0

    ;

    Для m=1

    ;

    Для m=2

    ;

    Полученные данные занесли в таблицу:

    m
    0
    1
    2

    P(m)
    0,94
    0,06
    0,0009

    Рис.3. Зависимость вероятности обнаружения несоответствующих изделий.
    Определим математическое ожидание и дисперсию.

    Математическое ожидание:


    M(x) = n*p=2*0,03=0,06;
    Дисперсию находим по формуле:

    ;

    Среднее квадратическое отклонение:

    =0,24;

    3.3 Используя распределение Пуассона, определить вероятность обнаружения ноль, одного, двух и трех несоответствующих изделий в выборке, если заданы объем партии, объем выборки и количество несоответствующих изделий в партии.

    Результаты представить графически – в виде зависимости рассчитанной вероятности обнаружения несоответствующих изделий в выборке P от числа несоответствий m.

    Определить математическое ожидание и дисперсию.

    Исходные данные:

    Объем партии:N=100

    Число несоответствующих изделий в партии:M=10

    Объемвыборки:n=10

    Формула распределения Пуассона:

    , где

    ;

    Для m=0

    ;

    Для m=1

    ;

    Для m=2

    ;

    Для m=3

    ;

    Полученные данные занесли в таблицу:

    m
    0
    1
    2
    3

    P(m)
    0,36
    0,36
    0,18
    0,06

    Рис.4. Зависимость вероятности обнаружения несоответствующих изделий.

    Определим математическое ожидание и дисперсию.


    M(x) = ;

    M(x) = ;

    3.4 Проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности по критерию Пирсона Хи-квадрат.

    Исходные для выполнения задания приведены выше.

    Результаты расчетов (теоретические частоты) отразить на графике гистограммы распределения исходных данных.

    №

    Интервалы
















    1
    63,5-66,8
    65,2
    1
    -2,99
    0,0046
    1,84
    -0,84
    0,71
    0,39

    2
    66,8-70,1
    68,5
    2
    -2,44
    0,0203
    0,81
    1,19
    1,42
    1,75

    3
    70,1-73,4
    71,8
    2
    -1,89
    0,0669
    2,68
    -0,68
    0,46
    0,17

    4
    73,4-76,7
    75,1
    13
    -1,34
    0,1626
    6,51
    6,49
    42,12
    6,47

    5
    76,7-80,0
    78,4
    18
    -0,78
    0,2943
    11,79
    6,21
    38,56
    3,27

    6
    80,0-83,3
    81,7
    22
    -0,23
    0,3885
    15,57
    6,43
    41,34
    2,66

    7
    83,3-86,6
    85,0
    28
    0,32
    0,3790
    15,19
    12,81
    164,09
    10,8

    8
    86,6-89,9
    88,3
    21
    0,87
    0,2732
    10,95
    10,05
    101,0
    9,22

    9
    89,9-93,2
    91,6
    8
    1,42
    0,1456
    5,83
    2,17
    4,71
    0,81

    10
    93,2-96,5
    94,9
    4
    1,97
    0,0573
    2,29
    1,71
    2,92
    1,28

    11
    96,5-99,8
    98,2
    1
    2,52
    0,0167
    0,66
    0,34
    0,12
    0,18

    ∑xнабл.
    37,0

    =81,4;

    ;

    5,99;
    По таблице критических точек распределения , по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=s–3= 11-3=8 находим критическую точку правосторонней критической области.

    кр = 2,73;набл = 37,0.

    Так как набл>кр – гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности отвергаем. В результате нахождения двух величин видим, что эмпирические и теоретические частоты различаются значимо (рисунок 5).
    Рис.5. Гистограмма распределения исследуемой величины с эмпирическими и теоретическими частотами.

    Контрольные карты

    Задание 4

    Задание 4.1

    1. Описать область применения контрольных карт по количественному признаку

    2. Построить карту средних и размахов для количественного признака (-R карту), по данным таблицы 1.2 (колонки Х1, Х2 и Х3, первые 30 значений). Выделить признаки действия особых причин (неуправляемого состояния процесса) по критериям ГОСТ Р 50779.42-99.

    3. Определить показатели возможностей процесса и долю несоответствующей продукции.

    Ход решения

    1. Контрольные карты Шухарта по количественному признаку используются для статистического контроля и регулирования технологического процесса.

    2. Построение контрольной карты. Расчетные данные представления в таблице 18.

    Таблица 18 – Расчетные данные для построения Карты средних и размахов

    № партии
    Х1
    Х2
    Х3


    R

    1
    94,0
    75,5
    84,2
    84,6
    18,5

    2
    80,0
    74,6
    88,1
    80,9
    13,5

    3
    88,5
    87,1
    79,2
    84,9
    9,3

    4
    83,5
    86,2
    84,1
    84,6
    2,7

    5
    76,6
    83,1
    76,9
    78,9
    6,5

    6
    88,8
    88,3
    99,8
    92,3
    1,5

    7
    92,0
    76,0
    71,8
    79,9
    20,2

    8
    87,9
    91,3
    86,2
    88,5
    5,1

    9
    85,0
    76,8
    81,1
    81,0
    8,2

    10
    78,1
    81,5
    81,8
    80,5
    3,7

    11
    72,1
    74,3
    87,3
    77,9
    15,2

    12
    93,9
    81,1
    89,2
    88,1
    12,8

    13
    85,6
    81,2
    80,7
    82,5
    4,6

    14
    84,7
    83,6
    82,5
    83,6
    2,2

    15
    80,9
    86,8
    86,4
    84,7
    5,9

    16
    77,8
    90,4
    76,3
    81,5
    14,1

    17
    75,8
    84,1
    74,0
    78,0
    10,1

    18
    91,8
    67,4
    87,7
    82,3
    24,4

    19
    88,2
    85,7
    91,4
    88,4
    5,7

    20
    77,4
    84,5
    74,6
    78,8
    9,9

    21
    84,2
    77,9
    89,1
    83,7
    11,2

    22
    95,7
    83,4
    74,7
    84,6
    22,0

    23
    76,2
    81,5
    85,4
    81,0
    9,2

    24
    84,7
    85,7
    89,2
    86,5
    4,5

    25
    81,8
    83,2
    94,9
    86,6
    13,1

    Среднее
    83,4
    10,2



    Вычисляются контрольные границы для контрольной карты средних значений :






















    Наносим на график контрольные границы и полученные точки. Контрольные карты средних значений и размахов представлены на рисунке и рисунке 6 и 7.
    Рис.5. Контрольная карта средних значений()

    Рис.6 – Контрольная карта размахов(R)

    Контрольная карта средних и размахов показала, что процесс находится в статистически-управляемом состоянии. Основываясь на типовых структурах особых причин, приведенных в ГОСТ Р ИСО 7870-2-2015, можно сказать, что процесс стабилен, так как значения показателей не выходят за пределы допустимых значений.

    1. Расчет показателей возможностей процесса и доли несоответствующей продукции

    ; ;
    ;













    Доля несоответствующих единиц продукции была найдена по таблице 3 пункта 5.8 (ГОСТ Р 50779.46-2012). Для доля несоответствующих единиц равняется 0,3594. Такой результат очевиден, так как карты иллюстрируют стабильный процесс.

    Задание 4.2

    1. Описать область применения карты средних и стандартных отклонений (-S карты).

    2. Построить карту -S для количественного признака, по данным таблицы 1-2 (колонки Х1, Х2 и Х3, первые 25 значений).
    1   2   3   4   5

    написать администратору сайта