Метод_указания к Лабораторным работам (1). Структурную и функциональную классификацию вс

• Название: Структурную и функциональную классификацию вс
• Дата: 20.02.2022
• Размер: 2.03 Mb.
• Имя файла: Метод_указания к Лабораторным работам (1).doc
• Тип: Лабораторная работа; #367797
• страница: 10 из 11

Μ (а принадлежит М); непринадлежность а множеству Μ обозначается а М. Пример 1.

M1 - множество всех натуральных чисел: 1,2,3… В дальнейшем будем обозначать его N; элементы N - натуральные числа. Число 0 также считают натуральным числом, множество, полученное добавлением 0 к Ν , будем обозначать N₀.

М2-множество всех натуральных чисел, не превосходящих 100.

М3 - множество всех решений уравнения sin x =1; элементы М3 числа, являющиеся решениями этого уравнения.

М4 - множество всех чисел вида /2 k*, где N₀.

М5 - множество всех действительных чисел (в дальнейшем R).

М6 - группа АИС-98-2 (т.е. множество студентов этой группы).

М7 - множество всех групп на ФИТ.

Элементами М7 являются группы, т.е. множества типа М6. Таким образом; множества могут служить элементами других множеств; возможна множества множеств (М7), множества множеств множеств (множество всех факультетов в университете) и т.д.

Два множества Χ и Υ равны только в том случае, когда они состоят из одних и тех же элементов. Χ = Υ, если x Χ, то x Υ, а также, если у Y,·то y X. Если даны два множества Χ и Υ, то Χ Υ означает, что множество Χ содержится во множестве Υ. Другими словами, все элементы множества Χ являются элементами множества Υ или множество Χ есть подмножество множества Υ. Условие Χ=Υ означает, что множество Χ совпадает с множеством Υ, что эквивалентно Χ Υ и Υ X. Условие Χ Υ означает, что множество Χ не совпадает с множеством Υ. В случае множества множеств возникает опасность смешения знаков «содержится» и «принадлежит». Например, верно М6 М7, но неверно М6 М7 (так как М6 и М7 - множества разной природы).

Множества могут быть конечными (т.е. состоящими из конечного количества элементов) и бесконечными. Число элементов в конечном множестве М называется мощностью М и часто обозначается как |М|. Множество мощности 0, т.е. не содержащее элементов, называется пустым и обозначается . Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множества. Пустое множество введено в математике для удобства и единообразия языка. Например, если исследуется множество объектов, обладающих каким-либо свойством, и в последствии выясняется, что таких объектов не существует, удобнее сказать, что исследуемое множество пусто, чем объявлять его несуществующим. Утверждение - «множество Μ непусто» является более компактной формулировкой равносильного ему утверждения «существуют элементы, принадлежащие М».
2. Способы задания множеств
Множество может быть задано перечислением (списком своих элементов), порождающей процедурой или описанием характеристических свойств, которыми должны обладать его элементы. Списком можно задавать лишь конечные множества. Задание типа N=1,2,3,... - это не список, а условное обозначение, допустимое лишь тогда, когда оно заведомо не вызывает разночтений. Список обычно заключается в фигурные скобки. Например, А={a,b,d,h} означает, что множество А состоит из четырех элементов a, b, d и h.

Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов либо из других объектов. Элементами множества считаются все объекты, которые могут быть построены с помощью такой процедуры. Примером служит описание множества М4, где исходными объектами для построения являются натуральные числа, а порождающей процедурой - вычисление, описанное формулой /2 к*. Другой пример - множество М2 n=1,2,4,8,16..., порождающая процедура для которого определяется следующими двумя правилами:

1) 1 M_2n;

2) если M M_2n, то 2·m M_2n (Правила, описанные таким образом, называются индуктивными или рекурсивными). Весьма распространенной порождающей процедурой является образование множеств из других множеств с помощью операций над множествами, которые будут рассмотрены ниже.

Наиболее обычно задание множества описанием свойств его элементов. В примере 1 так заданы множества М2, М3, М5; и задание М4 можно интерпретировать как описание свойств его элементов, заключающегося в возможности представить их в вице /2 к*. Множество M_2n можно задать фразой M_2n - множество всех целых чисел, являющихся степенями двойки.

В случае, когда свойство элементов М может быть описано коротким выражением Р(х) (означающим «х обладает свойством Ρ»), Μ задается при помощи обозначения М{х|Р(х)}, которое читается так: «М - это множество х, обладающих свойством Р». Например, M_2n =
{х|x=2k, где k N₀}. К описанию свойств естественно предъявить требование точности и недвусмысленности. Например, множество всех хороших книг, написанных определенным автором, разные люди зададут разными списками (быть может, пустыми); сами критерии, по которым производится отбор, при этом будут различны. Такое множество нельзя назвать точно заданным.

Надежным способом точно описать свойство элементов данного множества служит задание распознающей (или, как говорят в математике, разрешающей) процедуры, которая для любого объекта устанавливает, обладает он данным свойством и следовательно, является элементом данного множества или нет. Например, для множества M_2n, т.е. для свойства «быть степенью двойки», разрешающей процедурой может служить любой метод разложения целых чисел на простые множители. В этом примере разрешающая процедура не является порождающей. Но ее нетрудно сделать таковой: берем последовательно все натуральные числа и каждое из них разлагаем на простые множители; те числа, которые не содержат множителей, отличных от 2, включаем в M_2n. С другой стороны, порождающая процедура может не быть разрешающей.

3. Операции над множествами

Пересечением множеств X_i (i=1,2,3,.....,n) называется множество элементов, принадлежащих всем множествам X_i. Пересечение множеств обозначается



При пересечении двух множеств Х и Y эта операция записывается символически как Χ Υ или Υ Χ, так как операция пересечения подчиняется переместительному закону. Если множества Х и Υ не пересекаются, то Χ Υ=0.

Пример 2.

А) A={a, b, d}, B={b, d, e, h}, A B={b, d }.

Б) M3 M4=M3=M4 (так как МЗ и М4 равны).

Сумма (объединение) двух множеств Х и Υ есть множество, элементы которого принадлежат множеству Х или множеству Υ. Операция объединения множеств символически записывается Χ Υ или Υ Χ, так как подчиняется переместительному закону. Объединение множеств X_i, где (i=1,2,3,...,n), обозначается



Пример 3.

A={a, b, d), B={b, d, e, h}, A B={a, b, d, e, h}.

Разность множеств Х и Υ есть множество элементов, принадлежащих множеству X, но не принадлежащих множеству Υ. Обозначается Χ\Υ. В отличие от двух предыдущих операций разность, во-первых, строго двуместна (т.е. определена только для двух множеств), а во-вторых, некоммутативна: Χ\Υ Υ\Χ.

Пример 4.

A={a, b, d}, B={b,d,e,h}, А\В={а}.

М7\М6 - множество всех групп на ФИТ, за исключением группы АИС-98-2. Эта запись не вызывает разночтений, но, строго говоря, она неточна: из М7 вычитается не множество М6 студентов (это бессмысленно, так как М6 и М7 имеют элементы разной природы), а одноэлементное множество {М6} групп. Правильная запись М7\{М6} .Аналогично этому запись А\а неверна, а запись А\{а} верна.

Дополнительным к множеству Χ по отношению к универсальному множеству А, если Х А, называется множество, состоящее из элементов множества А, не принадлежащих множеству X. Символически обозначается

Ca(x)

Прямым произведением множеств А и В (обозначение А В) называется множество всех пар (а.b) таких, что а А, b В. В частности, если А=В, то обе координаты принадлежат А. Такое произведение обозначается А². Аналогично прямым произведением множеств А1,..., An (обозначение Α1 ,…, Αn) называется множество всех векторов (а1,....,аn) длины n, таких, что а1 А1,.....,аn An. A ,…, A обозначается Аⁿ Множество R R=R² - это множество точек плоскости, точнее, пар вида (а, b), где a R, b R и являются координатами точек плоскости. Координатное представление точек плоскости, предложенное Декартом, исторически первый пример прямого произведения. Поэтому иногда прямое произведение называют декартовым.

Теорема. Пусть А1, А2,...,Аn - конечные множества и |A1|=m1, |A2|=m2,…, |A4|=m4. Тогда мощность множества Al A2 ,..., An равна произведению мощностей А1, А2 ,..., An: |A1 A2 ,…, An | =m1 m2,..., mn. Следствие: |Aⁿ|=|Aⁿ|.
Содержание отчета:
1. Постановка задачи.

2. Блок-схема алгоритма.

3. Листинг программы.

4. Результаты работы программы.
Контрольные вопросы
1. Что называют множеством?

2. Перечислить способы задания множеств.

3. Какие из вариантов задания множеств неверны:

а) {1,2,3,…, 10};

б) А=(а|а+1<0};

в) Х={0,-1,2,…,3};

г) Х={х-простое};

д) B={b|b=2*n+7, где n=1,2,3,…,100};

е) M1={a,c,d,w,e}, M2={c,d,k}, M3=M1 M2;

ж) А={а|а - решения уравнения arcsin x=/2}.

4. Что такое мощность конечного множества?

5. Что такое декартово произведение множеств?

6. Что называется объединением двух множеств?

7. Дать определение дополнительного множества к множеству Χ по отношению к множеству А.

8. Что такое пустое множество? В чем целесообразность его введения?

9. Чем является множество М={х|х А и х В}?
Приложения
Варианты индивидуальных заданий
Для вариантов 1-10 создать телефонный справочник, содержащий следующие данные: фамилию, домашний адрес, телефон. Количество записей - не менее 20.

1. Найти множество людей, чьи фамилии начинаются с буквы 'В' или 'Д', номера телефона - с 52, номера телефона не содержат цифры 4.

2. Вывести на экран множество адресов, по которым проживают люди, чьи фамилии содержат более 6 букв, а в номере телефона присутствуют цифры только oт 0 до 7, за исключением 5.

3. Найти множество телефонов, содержащих цифры 5 или 0, владельцы которых проживают на одной улице.

4. Найти множество людей, фамилии которых содержат менее 8 и более 5 букв, телефоны которых начинаются с одинаковой цифры.

5. Вывести на экран множество телефонов, номера которых начинаются с одинаковой цифры, фамилии владельцев которых не содержат буквы'Ή'.

6. Вывести на экран фамилии людей, проживающих на одной улице, в номере телефона которых встречаются цифры или 3, или 5, или 4.

7. Найти множество номеров телефонов, сумма цифр которых не превышает 10, в фамилии владельцев которых присутствует буква 'е'.

8. Найти множества людей, проживающих на одной улице, в номере телефона которых присутствует цифра 0 или 5.

9. Найти множества людей, проживающих в одном доме, фамилии которых содержат более 4-х и менее 10 букв.

10. Вывести на экран множество телефонов, номера которых содержат цифру 4, причем фамилии владельцев состоят более чем из 6 и менее, чем из 10 букв.
В вариантах 11-20 сгенерировать базу сведений о медосмотрах учащихся 2-х школ, содержащей следующую информацию: фамилия, класс, номер школы, дата медосмотра, код диагноза, состоящего из 2-х цифр, диагноз, соответствующий коду 01 - здоров.

11. Вывести множества фамилий учащихся каждой школы, имеющих одинаковый диагноз, медосмотр которых проводился не позднее, чем 2 года назад.

12. Найти множества классов каждой школы, имеющих наибольшее количество учащихся с кодом диагноза 01 по результатам медицинских осмотров за последние три года.

13. Найти множество учащихся 5-10 классов с диагнозом, отличным от 01, по результатам медосмотров за последние 3 года.

14. Найти множество учащихся 1-5 классов с диагнозом, отличным от 01, по результатам медосмотров за последние 4 года.

15. В какой год прошло медосмотр наибольшее количество учащихся? Сколько диагнозов с кодом 01 было поставлено в каждой школе учащимся 1-5, а сколько с 5-10 классов.

16. Вывести на экран фамилии учащихся 5-10 классов с кодом диагноза, отличным от 01, чьи фамилии начинаются с согласной буквы.

17. Найти множество учащихся 1-5 классов каждой школы с кодом диагноза 01, чьи фамилии начинаются с гласной буквы.

18. В какой школе было больше поставлено диагнозов с кодом 01? В каких классах обеих школ было поставлено больше диагнозов с таким же кодом за последние 3 года?

19. Вывести на экран фамилии учащихся 5-10 классов с кодом диагноза 01, чьи фамилии начинаются с согласной буквы.

20. Вывести множества фамилий учащихся каждой школы, имеющих одинаковый диагноз - 01, медосмотр которых проводился не позднее, чем 3 года назад.
В вариантах 21-30 сгенерировать базу данных поликлиники, содержащей поля: