Статистика учебник. Тарновская ли. Статистика учебное пособие
 Скачать 3.85 Mb.
|
|
Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. 5.2. Виды дисперсий и правило их сложения Если совокупность разбита на группы (части) по изучаемому признаку, то для такой совокупности рассчитывают следующие виды дисперсий общую, групповую (частную, среднюю из групповых, межгрупповую. Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Общая диспер- сияравна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака от общей средней x . Она может быть исчислена как простая средняя n x x n i i ∑ = − = σ 1 2 2 ) ( (5.15) или как взвешенная ∑ ∑ = = ⋅ − = σ n i i n i i i f f x x 1 1 2 2 ) ( . (5.16) Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в совокупности. Групповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы (групповой средней. Она может быть исчислена как простая или как взвешенная средняя n x x n i n i n ∑ = − = σ 1 2 2 ) ( ; (5.17) ∑ ∑ = = ⋅ − = σ n i i n i i n i n f f x x 1 1 2 2 ) ( . (5.18) Эта дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин, действующих внутри группы. Средняя из групповых частных дисперсий – это средняя арифметическая, взвешенная из дисперсий групповых ∑ ∑ = = ⋅ σ = σ n i i n i i n n f f 1 1 2 2 (5.19) Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Межгрупповая дисперсия равнасреднему квадрату отклонений групповых средних n x от общей средней x : ∑ ∑ = = ⋅ − = δ n i i n i i n f f x x 1 1 2 2 ) ( (5.20) Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака за счет группировочного признака. Между указанными видами дисперсий существует определенное соотношение общая дисперсия равна сумме средней из групповых дисперсий и межгрупповой дисперсии 2 2 2 δ σ σ + = n . (5.21) Это соотношение называют правилом сложения дисперсий. Сего помощью, зная два вида дисперсий, можно определить третий [1, 5–9]. Пример. Имеются данные о производительности рабочих за один час работы (табл. 5.1). Таблица 5.1 Табельный Изготовлено продукции зач Табельный Изготовлено продукции зач 9 22 1 1 4 17 2 4 10 20 –1 1 5 16 1 1 11 24 3 9 6 15 0 0 12 23 2 4 Итого 90 10 126 28 Исчислить групповые дисперсии среднюю из групповых дисперсий, межгрупповую и общую дисперсии. Решение. Групповые дисперсии. Исчислим средние по группам, используя формулу (5.1): 21. 6 126 15; 16 90 2 1 = = = = x x Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Исчислим групповые дисперсии по формуле (5.20): 4,66 6 28 σ 1,67; 6 10 σ 2 2 2 1 = = = = 2. Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий по формуле (5.24): 16 , 3 12 6 66 , 4 6 67 , 1 2 = ⋅ + ⋅ σ = n 3. Определим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних 18 12 6 21 Исчислим межгрупповую дисперсию по формуле (5.25): 9 12 6 ) 18 21 ( 6 ) 18 15 ( δ 2 2 2 = ⋅ − + ⋅ − = 4. Исчислим общую дисперсию по правилу сложения дисперсий по формуле (5.26): 12,16. 9 3,16 σ 2 = + = 5.3. Относительные показатели вариации Для сравнения показателей вариации разных признаков, имеющих существенное различие в уровнях признаков, и для оценки интенсивности вариации используются относительные показатели вариации Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Различают следующие относительные показатели 1) относительный размах вариации (коэффициент осцилляции) % 100 ⋅ = x R V R ; 2) относительное линейное отклонение (линейный коэффициент вариации 3) коэффициент вариации %. 100 ⋅ σ = σ x V В коэффициенте вариации устраняется не только несопоставимость, связанная с различными единицами измерения изучаемого признака, но и несопоставимость, которая возникает вследствие различия величин сред Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. них арифметических. Коэффициент вариации пригоден для сравнения ко- леблемости различных по своему характеру и размеру σ и V, которые являются известными «мерилами» надежности средних. Чем меньше их значение, тем однороднее изучаемая совокупность и надежнее полученная средняя. Тесты Тестовые задания включают 10 теоретических утверждений, для каждого из которых предлагается четыре варианта ответа (правильными могут быть один или два. Выберите правильный вариант ответа. 1. Вариация – это … а) изменение массовых явлений во времени б) изменение структуры статистической совокупности в пространстве в) изменение значений признака во времени ив пространстве г) изменение состава совокупности. 2. Что характеризует коэффициент вариации а) диапазон вариации признака б) степень вариации признака в) тесноту связи между признаками г) пределы колеблемости признака 3. Если все значения признака увеличить враз, то дисперсия а) не изменится б) увеличится враз в) увеличится враз г) увеличится в 4 раза. 4. Чему равна межгрупповая дисперсия, если отсутствуют различия между вариантами внутри группа) единице б) нулю в) колеблется от нуля до единицы г) общей дисперсии 5. Дисперсия альтернативного признака рассчитывается по формуле а) pq ; б) p + в) n m p = ; г) n x x i ∑ − 2 ) ( 6. Что характеризует коэффициент вариации а) диапазон вариации признака Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. б) степень вариации признака в) тесноту связи между признаками г) пределы колеблемости признака 7. Какой показатель служит базой сравнения при расчете относительных показателей вариации а) среднее квадратическое отклонение б) средняя арифметическая вразмах г) среднее линейное отклонение 8. Какое соотношение называют правилом сложения дисперсий а) %. 100 ⋅ σ = σ x V ; б) 2 2 2 δ σ σ + = n ; в) ∑ ∑ = = ⋅ σ = σ n i i n i i n n f f 1 1 2 2 ; г) ∑ ∑ = = ⋅ = n i i n i i i f f x x 1 1 ? 9. Среднее квадратическое отклонение – это … а) показатель степени однородности изучаемой совокупности б) средняя арифметическая квадратов отклонений значений признака от средней величины в) разность между максимальными минимальным значениями признака г) вариация отклонений значений признака от средней величины. 10. К основным свойствам дисперсии относятся а) уменьшение всех значений признака в К раз уменьшает дисперсию в К 2 раз; б) увеличение всех значений признака в К раз уменьшает дисперсию в К раз; в) уменьшение всех значений признака на одну и туже величину Ане меняет величины дисперсии г) уменьшение частот признака в К раз уменьшает дисперсию в К 2 раз. Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. ГЛАВА 6. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ 6.1. Закономерности распределения При массовых наблюдениях можно заметить определенную зависимость между изменением значений признака и частотами их встречаемости в ряду распределения. Это свидетельствует о том, что частоты в вариационных рядах изменяются закономерно с изменением вариационного признака. Такие закономерности изменения частот в вариационных рядах называются закономерностями распределения. Большое значение для нахождения закономерностей распределения имеет правильное построение самого вариационного ряда. Основная задача анализа вариационных рядов – выявление подлинной закономерности распределения путем исключения влияния второстепенных, случайных факторов, что достигается увеличением объема исследуемой совокупности при одновременном уменьшении интервала ряда. Из математической статистики известно, что если увеличить объем совокупности и уменьшить интервал группировки, изобразить эти данные графически, то полигон (гистограмма) распределения все более и более приближается к плавной линии, являющейся для них пределом и носящей название кривой распределения Получение кривой распределения на основе полигона или гистограммы) можно представить лишь для гипотетического случая, соответствующего бесконечно большому числу единиц совокупности и бесконечно малой ширине интервала ряда. Только при этих идеализированных условиях кривая распределения будет выражать функциональную связь между значениями варьирующего признака и соответствующими им частотами и представлять так называемое теоретическое распределение. Различают следующие разновидности кривых распределения • одновершинные кривые симметричные, умеренно асимметричные и крайне асимметричные • многовершинные кривые. Для однородных совокупностей характерны одновершинные распределения. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. Выяснение общего характера распределения предполагает оценку его однородности, а также вычисление показателей асимметрии и эксцесса. Для симметричных (нормальных) распределений частоты любых двух вариант, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для таких распределений средняя арифметическая, мода и медиана равны Мe. Мo = = х Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. При сравнительном изучении асимметрии нескольких распределений с разными единицами измерения вычисляется относительный показатель асимметрии. Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле σ Mo − = x K As (6.1) или σ Me − = x K As (6.2) Его величина может быть положительной и отрицательной. Если 0 > As K , наблюдается правосторонняя асимметрия (см. рис. 6.1). Если 0 < As K , то левосторонняя асимметрия (см. рис. 6.2). Принято считать если коэффициент асимметрии выше 0,5 (независимо от знака, то асимметрия считается значительной, если он меньше 0,25, то – незначительной. Наиболее широко применяется для расчета коэффициента отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению данного ряда в кубе σ 3 Рис. 6.1. Правосторонняя асимметрия Рис. 6.2. Левосторонняя асимметрия Оценка асимметрии производится на основе коэффициента асимметрии и средней квадратической ошибки, которая зависит от числа наблюдений) и рассчитывается по формуле 3) 1)( ( 1) 6( σ + + − = n n n As Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. В случае 3 σ > As As K асимметрия существенна и распределение признака в генеральной совокупности несимметрично. В противном случае, если 3 σ < As As K , асимметрия несущественна и ее наличие может быть вызвано случайными обстоятельствами. Для симметричных распределений может быть рассчитан показатель эксцесса ( к Е ).Наиболее точно он определяется по формуле с использованием центрального момента четвертого порядка 4 4 ; ( ) i x x M n − ∑ = (6.3) 3. σ 4 4 к − = M Е (6.4) На рис. 6.3, 6.4 представлены два вида распределения • островершинное ( к Е > 0); • плосковершинное ( к Е < 0). В нормальном распределении к Е = 0. Среднеквадратическая ошибка эксцесса ( к Е σ ) рассчитывается по формуле 5) ( 3) ( 1) ( 3) ( 2) ( 24 σ 2 к + ⋅ + ⋅ − − ⋅ − ⋅ = n n n n n n Е , (6.5) где n – число наблюдений. Рис. 6.3. Островершинное Рис. 6.4. Плосковершинное распределение распределение Эти показатели позволяют сделать вывод о возможности применения данного эмпирического распределения к типу кривых нормального распределения Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. 6.2. Теоретические распределения в анализе вариационных рядов В статистике используются различные виды теоретических распределений нормальное распределение, биноминальное распределение, распределение Пуассона и др. Каждое из теоретических распределений имеет специфику и свою область применения в различных отраслях знаний. Чаще всего в качестве теоретического распределения используется нормальное распределение, или закон Гаусса – Лапласа. В 1773 г. Де-Муавр вывел закон нормального распределения вероятностей. В разработку этого закона, основные идеи которого впервые были использованы в теории ошибок, в XIX столетии внесли существенный вклад Гаусс и Лаплас. Общие условия возникновения закона нормального распределения установил А. М. Ляпунов. Нормальное распределение признака наблюдается в тех случаях, когда на величину вариантов, входящих в состав вариационного ряда, действует множество случайных, независимых или слабо зависимых факторов, каждый из которых играет в общей сумме незначительную роль. Нарушение нормального характера распределения часто является свидетельством неоднородности совокупности. Закон нормального распределения вычисляется по формуле 2 2 2 1 t t e y − ⋅ π = , (6.6) где t y – ордината кривой нормального распределения σ − = x x t i – нормированная величина π , e – математические постоянные i x – варианты вариационного ряда x – средняя величина σ – среднее квадратическое отклонение. Функция t y широко используется в экономических расчетах, а ее значение при разных t табулированы и представлены в таблицах, графическое изображение дает кривую нормального распределения (рис. 6.5). Нормальное распределение определяется двумя параметрами средней арифметической ( x ) и средним квадратическим отклонением ( σ). Подчиненность закону нормального распределения проявляется тем точнее, чем больше случайных величин действуют вместе. Если ни одна из случайно действующих причин по своему действию не окажется преобладающей над другими, то закон распределения очень близко подходит к нормальному Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Рис. 6.5. Нормальное распределение с одно, двух, трехсигмовыми пределами Свойства кривой нормального распределения 1. Функция нормального распределения четная, те. Следовательно, изображающая ее кривая распределена симметрично относительно оси ординат, те. ММ. Функция имеет бесконечно малые значения при t = ± ∞. Это означает, что ветви кривой удалены в бесконечность и асимптотически приближаются коси абсцисс. 3. Функция имеет максимум при t = 0. Отсюда следует, что модального значения кривая достигает при t = 0 или при x x = . Величина максимума составляет π 2 / 1 4. При t = ±1 функция дает точки перегиба. Следовательно, при отклонении значений признаках) от среднего значения ) ( x в положительном и отрицательном направлениях на одно стандартное отклонение от) кривая дает переход от выпуклости к вогнутости. 5. Если случайная величина представляет сумму двух независимых случайных величин, следующих нормальному закону, то она тоже следует нормальному закону. 6. Площадь между кривой и осью Ot равна единице. В условиях нормального распределения существует следующая зависимость между величиной среднего квадратического отклонения и количеством наблюдений в промежутке между и, при t =+1 и t = –1, заключается 68,26 % всех значений признаков между и, при t = +2 и t = –2, располагается 95,44 % всех значений признаков между и, при t = +3 и t = –3, находится значений признаков. На рис. 6.5 показано нормальное распределение с одно, двух, трехсигмовыми пределами. Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. На практике почти не встречаются отклонения, которые превышают 3σ ± . Отклонение 3σ может считаться максимально возможным. Это положение называют правилом трех сигм». В математической статистике нормальное распределение играет роль некоторого стандарта, с которым сравнивают другие распределения. При построении кривой по эмпирическим данным используют следующую формулу 2 1 2 2 1 t n i i t e f h y − = ⋅ π ⋅ σ = ∑ , (6.7) где h – величина интервала сумма всех частот, равная объему совокупности σ – среднее квадратическое отклонение. Пример Построить нормальную кривую поданным о распределении 200 деталей повесу (см. табл. 6.1). Решение Находим среднюю по способу моментов по формуле (4.10), избираем центр отсчета Аи Находим среднее квадратическое отклонение по формуле (5.10): 9,79. 328,5) (323,2 25 200 Находим t в каждой строке по формуле σ − = x x t i , а затем F(t). Для вычисления теоретических частот (те. ординат нормальной кривой) находим множитель 14 , 102 1 = σ ∑ = n i i f h и все найденные величины F(t) умножаем на 102,14. Так, для первой теоретической частоты получаем 102,14 ⋅0,1295≈13 и т. д. Учитывая, что полученные теоретические частоты могут быть только целыми числами, округляем их и находим сумму, равную. Таким образом, видим несовпадение суммы теоретических частот (192) с суммой фактических частот (200). Такое расхождение бывает в тех случаях, когда крайние теоретические частоты значительно отличаются от нуля. В этих случаях теоретическую кривую надо продлевать. В нашем примере нормальная кривая должна быть продолжена в сторону отрицательных отклонений от средней, так как первая неуточненная частота, как мы видели, равна 13. |