|
|
Статистика учебник. Тарновская ли. Статистика учебное пособие
1. Собственно-случайная выборка – этот способ ориентированна выборку единиц из генеральной совокупности без всякого расчленения на части или группы. При этом для соблюдения основного принципа выборки
– равной возможности всем единицам генеральной совокупности быть отобранными – используются схема случайного извлечения единиц путем жеребьевки (лотереи) или таблицы случайных чисел. Возможен повторный и бесповторный отбор единиц. Средняя ошибка собственно-случайной выборки представляет собой среднеквадратическое отклонение возможных значений выборочной средней от генеральной средней. Средние ошибки выборки при собственно- случайном методе отбора представлены в табл. 7.2. Таблица 7.2 При отборе Средняя ошибка выборки
μ повторном бесповторном Для средней Для доли
( В таблице использованы следующие обозначения
2
σ – дисперсия выборочной совокупности
n
– численность выборки
N
– численность генеральной совокупности
n
m
=
ω
– выборочная доля единиц, обладающих изучаемым признаком
Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с.
m
– число единиц, обладающих изучаемым признаком
n
– численность выборки. Для увеличения точности вместо множителя следует брать множитель, но при большой численности
N
различие между этими выражениями практического значения не имеет. Предельная ошибка собственно-случайной выборки
x
Δ рассчитывается по формуле
μ
Δ
t
x
=
, (7.6) где
t
– коэффициент доверия зависит от значения вероятности. Пример. При обследовании ста образцов изделий, отобранных из партии в случайном порядке, 20 оказались нестандартными. С вероятностью определите пределы, в которых находится доля нестандартной продукции в партии.
Решение
. Вычислим генеральную долю (Р Доля нестандартной продукции
0,2 100 Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0,954 рассчитывается по формуле (7.6) с применением формулы табл. 7.2 для доли
(
)
0,08;
100 0,8 0,2 2
ω
1
ω
Δ
=
⋅
=
−
=
n
t
0,28.
0,12 0,08 С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля нестандартной продукции в партии товара находится в пределах 12 % ≤
P
≤ 28 %. В практике проектирования выборочного наблюдения возникает потребность определения численности выборки, которая необходима для обеспечения определенной точности расчета генеральных средних. Предельная ошибка выборки и ее вероятность при этом являются заданными. Из формулы
μ
Δ
t
x
=
и формул средних ошибок выборки устанавливается необходимая численность выборки. Формулы для определения численности выборки (
n
) зависят от способа отбора. Расчет численности выборки для собственно-случайной выборки приведен в табл. 7.3.
Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Таблица 7.3 Формулы Предполагаемый отбор для средней для доли Повторный
2
2
2
Δ
σ
x
x
t
(
)
2
ω
2
Δ
ω
1
ω
−
t
Бесповторный
2
2 2
2
2
σ
Δ
σ
x
x
x
t
N
N
t
+
(
)
(
)
ω
1
ω
Δ
ω
1
ω
2 2
ω
2
−
+
−
t
N
t
2. Механическая выборка. При этом методе исходят из учета некоторых особенностей расположения объектов в генеральной совокупности, их упорядоченности (по списку, номеру, алфавиту. Механическая выборка осуществляется путем отбора отдельных объектов генеральной совокупности через определенный интервал (каждый й или й. Интервал рассчитывается по отношению
N
n
, где
n
– численность выборки,
N
– численность генеральной совокупности. Так, если из совокупности веди- ниц предполагается получить 2 ю выборку, те. отобрать 10 000 единиц, то пропорция отбора составит
10000
:
500000 1
50 Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией через равные интервалы. Если расположение объектов в генеральной совокупности носит случайный характер, то механическая выборка по содержанию аналогична случайному отбору. При механическом отборе применяется только бесповторная выборка
[1, 5–10]. Средняя ошибка и численность выборки при механическом отборе подсчитываются по формулам собственно-случайной выборки см. табл. 7.2 и 7.3).
3. Типическая выборка, при которой генеральная совокупность делится по некоторым существенным признакам на типические группы отбор единиц производится из типических групп. При этом способе отбора генеральная совокупность расчленяется на однородные в некотором отношении группы, которые имеют свои характеристики, и вопрос сводится к определению объема выборок из каждой группы. Может быть равномерная выборка при этом способе из каждой типической группы отбирается одинаковое число единиц
).
(
2 1
m
n
n
n
=
=
Такой подход оправдан лишь при равенстве численностей исходных типических групп. При типическом отборе, непропорциональном объему групп, общее число отбираемых единиц делится на число типических групп, полученная величина дает численность отбора из каждой типической группы.
Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Более совершенной формой отбора является пропорциональная выборка. Пропорциональной называется такая схема формирования выборочной совокупности, когда численность выборок, взятых из каждой типической группы в генеральной совокупности, пропорциональна численно- стям, дисперсиям (или комбинированно и численностям, и дисперсиям. Условно определяем численность выборки в 100 единиц и отбираем единицы из групп
• пропорционально численности их генеральной совокупности табл. 7.4). В таблице обозначено
N
i
– численность типической группы
d
j
– доля (
N
i
/
N
);
N
– численность генеральной совокупности
n
i
– численность выборки из типической группы, вычисляется как
n
d
n
j
i
⋅
=
, (7.7) где n
– численность выборки из генеральной совокупности. Таблица 7.4 Группы
N
i
d
j
n
i
1 300 0,3 30 2 500 0,5 50 3 200 0,2 20 1000 1,0 100
• пропорционально среднему квадратическому отклонению (табл.
7.5). Здесь
σ
i
– среднее квадратическое отклонение типических групп
n
i
– численность выборки из типической группы, вычисляется по формуле) Таблица 7.5
N
i
σ
i
∑
i
i
σ
σ
n
i
300 5 0,25 25 500 7 0,35 35 200 8 0,40 40 1000 20 1,0 100
Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с.
•
комбинированно
(табл. 7.6). Численность выборки вычисляется по формуле
∑ ⋅
⋅
⋅
=
i
i
i
i
i
N
N
n
n
σ
σ
. (7.9) Таблица 7.6
i
N
σ
i
σ
i
N
i
∑ ⋅
⋅
i
i
i
i
N
N
σ
σ
i
n
300 5 1500 0,23 23 500 7 2100 0,53 53 200 8 1600 0.24 24 1000 20 6600 1,0 100 При проведении типической выборки непосредственный отбор из каждой группы проводится методом случайного отбора. Средние ошибки выборки рассчитываются по формулам табл. 7.7 в зависимости от способа отбора из типических групп. Таблица 7.7 Повторный
Бесповторный Способ отбора для средней для доли для средней для доли Непропорциональный объему групп 2
σ
1
∑
(
)
i
n
i
N
i
i
N
2
ω
1
ω
1
−
∑
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
×
×
∑
i
N
i
n
i
N
i
n
i
N
1
1
σ
2 2
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
×
×
−
∑
i
N
i
n
i
N
i
n
i
i
N
1
ω
1
ω
1 Пропорциональный объему групп )
n
ω
1
ω
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
N
n
n
i
1
σ
2
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
N
n
n
1
ω
1
ω
Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Повторный
Бесповторный Способ отбора для средней для доли для средней для доли Пропорциональный колеблемо сти в группах (является наивыгоднейшим)
i
i
i
n
N
N
σ
1 Здесь
∑
∑
=
i
i
i
i
n
n
2 2
σ
σ
– средняя из внутригрупповых дисперсий типических групп
i
ω – доля единиц, обладающих изучаемым признаком
(
)
∑
∑
−
=
−
i
i
i
i
n
n
)
ω
(1
ω
ω
1
ω
– средняя из внутригрупповых дисперсий для доли
i
σ – среднее квадратическое отклонение в выборке из й типической группы
i
n – объем выборки из типической группы
n – общий объем выборки
i
N – объем типической группы
N – объем генеральной совокупности. Численность выборки из каждой типической группы должна быть пропорциональна среднему квадратическому отклонению в этой группе
)
(σ
i
. Расчет численности
)
(
i
n производится по формулам, приведенным в табл. 7.8. Таблица 7.8 Повторный
Бесповторный Для определения средней
2
2
2
Δ
σ
x
x
t
n
=
2
2 Для определения доли
2
ω
Δ
ω)
ω(1 2
−
=
t
n
ω)
ω(1
Δ
ω)
ω(1 2
2
ω
2
−
+
−
=
t
N
N
t
n
4. Серийная выборка удобна в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. При серийной выборке
Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. генеральную совокупность делят на одинаковые по объему группы – серии. В выборочную совокупность отбираются серии. Сущность серийной выборки заключается в случайном или механическом отборе серий, внутри которых производится сплошное обследование единиц. Средняя ошибка серийной выборки с равновеликими сериями зависит от величины только межгрупповой дисперсии. Средние ошибки сведены в табл. 7.9. Таблица 7.9 Формулы Способ отбора серии для средней для доли Повторный
r
x
2
δ
r
p
2
δ
Бесповторный
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
≈
≈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
R
r
r
x
R
r
R
r
x
1 2
δ
1
δ
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
≈
≈
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
R
r
r
p
R
r
R
r
p
1 2
δ
1 Здесь R – число серий в генеральной совокупности
r – число отобранных серий
2
δ
x
– межсерийная (межгрупповая) дисперсия средних
2
δ
p
– межсерийная (межгрупповая) дисперсия доли. При серийном отборе необходимую численность отбираемых серий определяют также, как и при собственно-случайном методе отбора. Расчет численности серийной выборки производится по формулам, приведенным в табл. 7.10. Таблица 7.10 Повторный
Бесповторный Для определения среднего признака
2 2
2
Δ
δ
x
x
t
r
=
2 2
2 Для определения доли
2 2
ω
Δ
)
ω
(1
ω
r
r
t
r
−
=
)
ω
(1
ω
ω
Δ
)
ω
(1
ω
2 Пример В механическом цехе завода в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабочих была произведена 20 %- я серийная бесповторная выборка, в которую вошли две бригады. Получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам
Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Рабочие Разряды рабочих в бригаде 1 Разряды рабочих в бригаде
2 Рабочие Разряды рабочих в бригаде
1 Разряды рабочих в бригаде
2 1
2 3
4 5
2 4
5 2
5 3
6 1
5 3
6 7
8 9
10 6
5 8
4 5
4 2
1 3
2 Необходимо определить с вероятностью 0,997 пределы, в которых находится средний разряд рабочих механического цеха. Решение. Определим выборочные средние по бригадами общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних
3,8.
20 46 30
3,0;
10 2
3 1
2 4
3 5
1 6
3
4,6;
10 46 10 5
4 8
5 6
5 2
5 4
2
c
11 Определим межсерийную дисперсию по формулам (5.25):
0,64.
2 3,8)
(3,0 3,8)
(4,6
δ
2 Рассчитаем среднюю ошибку выборки по формуле табл. 7.9:
0,5.
10 2
1 2
0,64
μ
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Вычислим предельную ошибку выборки с вероятностью 0,997:
1,5.
3 С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний разряд рабочих механического цеха находится в пределах
5,0.
2,0
≤
≤ x
5. Комбинированная выборка. В практике статистических исследований, помимо рассмотренных выше способов отбора, применяется и их комбинация. Например, можно комбинировать типическую и серийную выборки, когда серии отбираются в установленном порядке из нескольких типических групп. Возможна также комбинация серийного и случайного отборов, при которой отдельные единицы отбираются внутри серии в случайном порядке [1, 5–11].
Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с.
7.3. Малая выборка При большом числе единиц выборочной совокупности (n>100) распределение случайных ошибок выборочной средней, в соответствии с теорией А. М. Ляпунова, нормально или приближается к нормальному по мере увеличения числа наблюдений. Вероятность выхода ошибки за определенные пределы оценивается на основе таблиц интеграла Лапласа. Расчет ошибки выборки базируется на величине генеральной дисперсии ген, так как при больших n коэффициент
1
−
n
n
, на который для получения генеральной дисперсии умножается выборочная дисперсия, большой роли не играет. Однако в практике статистического исследования в условиях рыночной экономики все чаще приходится сталкиваться с небольшими по объему так называемыми малыми выборками. Под малой выборкой понимается такое выборочное наблюдение, численность единиц которого не превышает. В настоящее время малая выборка используется более широко, чем раньше, прежде всего за счет статистического изучения деятельности малых и средних предприятий, коммерческих банков, фермерских хозяйств и т. д. Разработка теории малой выборки была начата английским статистиком В. С. Госсетом (печатавшимся под псевдонимом «Стьюдент») в 1908 г. Он доказал, что оценка расхождения между средней малой выборкой иге- неральной средней имеет особый закон распределения. При оценке результатов малой выборки величина генеральной дисперсии в расчетах не используется. Для определения возможных пределов ошибки пользуются так называемым критерием Стьюдента, определяемым по формуле
M.B
μ
x
x
t
−
=
, (7.10) где
1
σ
μ
M.B
−
=
n
. (7.11) Ее называют мерой случайных колебаний выборочной средней в малой выборке. Величина
σ вычисляется на основе данных выборочного наблюдения. Она равна
)
(
σ
2
n
x
x
i
∑
−
=
(7.12) Данная величина используется лишь для исследуемой совокупности, а не в качестве приближенной оценки σ в генеральной совокупности. При
Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. небольшой численности выборки распределение Стьюдента отличается от нормального. Предельная ошибка малой выборки
)
(Δ
M.B
в зависимости от средней ошибки
)
(μ
M.B
представлена как
μ
Δ
M.B
M.B
⋅
= t
(7.13) Нов данном случае величина t иначе связана с вероятной оценкой, чем при большой выборке. Согласно распределению Стьюдента, вероятная оценка зависит как от величины t, таки от объема выборки в случае, если предельная ошибка не превысит кратную среднюю ошибку в малых выборках. В заключение отметим, что расчет ошибок в малой выборке мало отличается от аналогичных вычислений в большой выборке. Различие заключается в том, что при малой выборке вероятность нашего утверждения несколько меньше, чем при большой выборке. Однако все это не означает, что можно использовать малую выборку тогда, когда нужна большая выборка. Во многих случаях расхождения между найденными пределами могут достигать значительных размеров, что вряд ли удовлетворяет исследователей. Поэтому малую выборку следует применять в статистическом исследовании социально-экономических явлений с большой осторожностью, при соответствующем теоретическом и практическом обосновании
[1, 3, 4]. Тесты Тестовые задания включают 10 теоретических утверждений, для каждого из которых предлагается четыре варианта ответа (правильными могут быть один или два. Выберите правильный вариант ответа.
1. Отклонение выборочных характеристик от соответствующих характеристик генеральной совокупности, возникающее вследствие нарушения принципа случайности отбора, называется а) систематической ошибкой репрезентативности б) случайной ошибкой репрезентативности в) предельной ошибкой выборки г) средней ошибкой выборки.
2. Чтобы уменьшить ошибку выборки, рассчитанную в условиях механического отбора, можно а) уменьшить численность выборочной совокупности б) увеличить численность выборочной совокупности в) применить серийный отбор г) применить типический отбор.
|
|
|
Скачать 3.85 Mb.