Статистика учебник. Тарновская ли. Статистика учебное пособие

• Название: Тарновская ли. Статистика учебное пособие
• Дата: 17.04.2022
• Размер: 3.85 Mb.
• Имя файла: Статистика учебник.pdf
• Тип: Учебное пособие; #481310
• страница: 14 из 25

–
522 Рассмотренный метод прогнозирования относится к классу адаптивных методов. Слово адаптация означает приспособление к условиям существования, те. каждый новый прогноз получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом ошибки (ошибка
1 1
ˆ
−
−
−
t
t
y
y
). Рассмотренные экспоненциальные средние представляют собой средние первого порядка, те. средние, полученные при первичном сглаживании уровней ряда. При прогнозировании могут использоваться экспоненциальные средние более высоких порядков, те. средние, полученные путем многократного сглаживания второго, третьего и т. д. порядков.

Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Экспоненциальные средние высоких порядков рекомендуются к применению, если после первичного сглаживания тенденция ряда проявляется недостаточно. Следует помнить, восходящий или нисходящий тренд в данных, собранных за последовательные периоды времени, приводит к отставанию экспоненциального прогноза от фактической ситуации. Экспоненциально сглаженные прогнозы можно откорректировать введением тренда. Для этого необходимы две константы сглаживания. Помимо константы сглаживания, в уравнении тренда используют константу сглаживания трен- да
δ, которая уменьшает влияние ошибки, те. разности между действительным значением и прогнозируемым. Вычисление прогноза с использованием тренда осуществляется последующим уравнениям
(
)
(
)
1 1
1 1
1 1
ˆ
;
ˆ
;
,
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
y
y
T
y
y
y
y
T
T
y
y
−
−
−
−
−
−
=
+
=
+ α
−
=
+ α ⋅ где
t
yˆ – экспоненциально сглаженный прогноз на период t;
T
t
– экспоненциально сглаженный тренд на период t;
T
t – 1
– экспоненциально сглаженный тренд предыдущего периода
t
y( – прогноз, включающий тренд в периоде t;
1
−
t
y(
– прогноз, включающий тренд предыдущего периода
α – константа сглаживания прогноза
1
−
t
y
– фактический уровень динамического ряда предшествующего периода
δ – константа сглаживания тренда. Пример Исходный прогноз
1
−
t
y(
=100 единицам, тренд T
t – 1
=10,
α = 0,2 и
δ = 0,3. Рассчитаем прогноз наследующий период при условии, что значение фактического спроса равно 115, а его прогнозное значение –
100:
3
,
121 3
,
10 111
ˆ
;
3
,
10
)
110 115
(
3
,
0 2
,
0 10
)
(
;
111
)
110 115
(
2
,
0 110
ˆ
;
110 10 100 1
1 Экспоненциальное прогнозирование всегда сопровождается ошибками, которые возникают по разным причинам. Ошибки делятся на систематические (погрешность измерения) и случайные. Для описания ошибок используют следующие показатели среднее абсолютное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение (их характеристика будет да

Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 сна ниже) и трекинг. Среднее абсолютное отклонение измеряет разброс фактических данных от прогнозных оценок и вычисляется по формуле Ошибки прогноза распределяются, как правило, в соответствии с законом нормального распределения.
Трекинг является инструментом соответствия насколько точно прогноз соответствует фактическим колебаниям увеличения или уменьшения. В прогнозировании трекинг – это отношение суммарной ошибки прогноза к соответствующему значению среднего абсолютного отклонения. Трекинг рассчитывается по формуле
d
y
y
TS
n
i
i
t
t
∑
−
=
=1
)
ˆ
(
, где
∑
−
=
n
i
i
t
t
y
y
1
)
ˆ
(
– кумулятивная сумма ошибок прогноза, учитывающая знак ошибки. Пример Осуществить вычисление среднего абсолютного отклонения и трекинга по прогнозными фактическим данным шестимесячного спроса на рынке. Прогнозируемый спрос установлен одинаковым. Данные приведены в табл. 10.8. Таблица 10.8 Показатели среднего абсолютного отклонения и трекинга по прогнозными фактическим данным Месяц Прогноз спроса Фактический спрос
)
ˆ
(
t
t
y
y
−
)
ˆ
(
1
t
n
i
t
y
y
−
∑
=
t
t
y
y
−
ˆ
i
n
i
t
t
y
y
∑
=
−
1
ˆ
d
TS
1 1000 950
-50
-50 50 50 50
-1 2
1000 1070
+70
[phone] 0,33 3 1000 1100
+100 [phone] 73,3 1,64 4
1000 960
–40
[phone] 1,2 5
1000 1090
+90
[phone] 2,4 6
1000 1050
+50
[phone] 66,7 3,3

Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Рис. 10.3. График трекинга, построенный поданным табл. 10.8 В приведенном примере трекинг изменяется от –1 до 3,3
d
. Это связано стем, что текущий спрос оказался выше прогнозируемого в четырех из шести месяцев. Для допустимых отклонений трекинга устанавливают контрольные границы, которые зависят от прогнозируемого спроса. Контрольные границы выбирают по необходимому проценту точек, попадающих в область допустимых отклонений
d
по табличным данным для нормального распределения. В правильно сформированной модели прогнозирования сумма текущих ошибок прогноза и трекинг должны быть равны нулю.
10.2.4. Регрессионные трендовые модели Регрессионный анализ (см. гл. 8 и 9) используется для предсказания экстраполяции) неизвестных значений в будущем по тенденции развития в прошлом. Под экстраполяцией понимают нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, те. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, – перспективная экстраполяция
Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях
– временной ряд экономического показателя действительно имеет тренд, те. преобладающую тенденцию
– общие условия, определявшие развитие показателя в прошлом, останутся без существенных изменений в течение прогнозируемого периода. Поскольку в действительности тенденция развития не остается неизменной, то данные, получаемые путем экстраполяции ряда, следует рассматривать как вероятностные оценки. Экстраполяцию рядов динамики осуществляют различными методами. Наиболее известны и широко применяются аналитические трендовые методы прогнозирования.

Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Аналитические методы экстраполяции тенденций основаны на применении метода наименьших квадратов к динамическому ряду и представлении закономерности развития явления во времени в виде уравнения тренда, те. математической функции уровней динамического ряда (у) от фактора времени (t): y = f (t). Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы
– выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда
– оценку параметров выбранных кривых
– проверку адекватности выбранных кривых исследуемому временному ряду, оценку точности и окончательного выбора кривых роста
– расчет точечного и интервального прогнозов.
10.2.4.1. Выбор полиномиальной кривой Первоначально осуществляют выбор полиномиальной кривой, по которой дают прогноз (как правило, краткосрочный. Наиболее простой путь – визуальный, опирающийся на графическое изображение временного ряда (см. рис. 10.4). Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует фактическому развитию процесса. Если на графике временного ряда тенденция развития недостаточно четко просматривается, то можно провести некоторые преобразования (например, сглаживание. Для выбора вида полиномиальной кривой наиболее распространенным методом является метод конечных разностей метод Тинтнера).
На первом этапе, например, для уровней временного ряда
y
1
, y
2
, y
3
, …, y
n
вычисляются абсолютные приросты до к-го порядка
1
−
−
=
Δ
t
t
t
y
y
,
1
−
Δ
−
Δ
=
Δ′
t
t
,
1
−
Δ′
−
Δ′
=
Δ ′′
t
t
и т. д. Обычно вычисляют конечные разности до четвертого порядка. Затем для исходного ряда и для каждого разностного ряда вычисляются дисперсии последующим формулам для исходного ряда
1 4
1 1
2 1
2 2
0
−
∑
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑
−
=
σ
=
=
n
y
y
n
t
n
t
t
t
; для разностного ряда г порядка (k = 1, 2, ...)
( )
(
)
k
k
n
k
t
k
t
k
C
k
n
2 1
2 2
−
∑ Δ
=
σ
+
=
;
k
k
C
2
– биномиальный коэффициент. Производится сравнение отклонений каждой последующей дисперсии от предыдущей, те. вычисляются величины
2 1
2
−
σ
−
σ
k
k
, и если для

Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. какого-либо k эта величина не превосходит некоторой наперед заданной положительной величины, те. дисперсии одного порядка, то степень полинома должна быть равна Например, полином первой степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны, полиномы второй степени – для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями, полиномы третьей степени – с постоянными третьими разностями и т. д. Более универсальным методом предварительного выбора является метод характеристик прироста. При этом методе исходный временной ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней. Например, для интервала сглаживания m = 3 сглаженные уровни рассчитываются по формуле
3 1
1
+
−
+
+
=
t
t
t
t
y
y
y
y
, причем, чтобы не потерять первый и последний уровни, их сглаживают по формулам
6 2
5 3
2 1
1
y
y
y
y
−
+
=
;
6 2
5 Затем вычисляются первые средние приросты
1
,...,
3
,
2
,
2 1
1
−
=
−
=
Δ′
−
+
n
t
y
y
t
t
t
, вторые средние приросты
2 1
1
−
+
Δ ′′
−
Δ′
=
Δ ′′
t
t
t
, а также ряд производных величин, связанных с вычисленными средними приростами и сглаженными уровнями ряда
2
log
;
log
;
log
;
t
t
t
t
t
t
t
y
y
y
Δ ′
Δ ′
Δ ′
Δ В соответствии с характером изменения средних приростов и производных показателей выбирается вид зависимости для исходного временного ряда, при этом используется табл. 10.9.

Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Таблица 10.9 Виды аналитических зависимостей (кривых роста) Показатель Изменение показателя во времени Вид кривой роста Первый средний прирост Примерно одинаковы Полином первого порядка (прямая) Тоже Изменяются линейно Полином второго порядка (парабола) Второй средний прирост
t
Δ Изменяются линейно Полином третьего порядка кубическая парабола) Примерно одинаковы Простая экспонента Изменяются линейно Модифицированная экспонента Изменяются линейно Кривая Гомперца
t
t
y Изменяются линейно
Логистическая кривая В тех случаях, когда с возрастанием одной величины y происходит возрастание или убывание другой величины t, используют полином первой степени
i
t
t
a
a
y
⋅
+
=
1 0
ˆ
. Для полинома первой степени характерен постоянный закон роста. Если рассчитать первые приросты по формуле
n
t
y
y
t
t
t
,...,
3
,
2
,
1
=
−
=
Δ′
−
, то они будут постоянной величиной и равны Кривые роста приведены на рис. 10.4. Таблица 10.10
t у = a
0
+ a
1
t + a
2
t
2
t
Δ′
t
Δ ′′
0
a
0
–
–
1
a
0
+ a
1
+ a
2
a
1
+ a
2
–
2
a
0
+ 2a
1
+ 4a
2
a
1
+ 3a
2 2a
2 3
a
0
+ 3a
1
+ 9a
2
a
1
+ 5a
2 2a
2 4
a
0
+ 4a
1
+ 16a
2
a
1
+ 7a
2 2a
2 5
a
0
+ 5a
1
+ 25a
2
a
1
+ 9a
2 2a
2

Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Рис. 10.4. Кривые роста В тех случаях, когда кривые дугообразны и имеют один изгиб, используют полином второй степени. Функция полинома второй степени рекомендуется для прогнозирования, если ряд характеризуется стабильным абсолютным ускорением, те. постоянными являются вторые разности приросты абсолютных приростов. Парабола второй степени означает смену тенденции за рассматриваемый период времени (рост сменяется падением или наоборот. Такое возможно, если существенно изменились условия функционирования. Предвидеть, что этот этап продлится достаточно долго, весьма проблематично. Такая функция используется для краткосрочного прогноза. В случае если ряд характеризуется тремя этапами развития (рост, спад и опять рост, то при прогнозе применяется парабола третьей степени. Во временном ряду стабильны третьи разности и применение этой функции затруднительно для долгосрочного и среднесрочного прогноза.
k
k
k
k

Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Таблица 10.11
t у = a
0
+ a
1
t + a
2
t
2
+ a
3
t
3
t
Δ′
t
Δ ′′
t
Δ ′′
′
0
a
0
–
– –
1
a
0
+ a
1
+ a
2
+ a
3
a
1
+ a
2
+ a
3
–
–
2
a
0
+ 2a
1
+ 4a
2
+ 8a
3
a
1
+ 3a
2
+ 7a
3 2a
2
+ 6a
3 6a
3 3
a
0
+ 3a
1
+ 9a
2
+ 27a
3
a
1
+ 5a
2
+ 19a
3 2a
2
+ 12a
3 6a
3 4
a
0
+ 4a
1
+ 16a
2
+ 64a
3
a
1
+ 7a
2
+ 37a
3 2a
2
+ 18a
3 6a
3 5
a
0
+ 5a
1
+ 25a
2
+ 125a
3
a
1
+ 9a
2
+ 61a
3 2a
2
+ 24a
3 Полиномы высоких степеней требуют достаточно длинных динамических рядов, чтобы параметры тренда были статистически надежными на каждый параметр при t должно приходиться не менее 6–7 временных единиц. Следовательно, парабола третьей степени должна содержать ряд, хотя бы влет. В экономических исследованиях чаще всего применяются две разновидности экспоненциальных (показательных) кривых простая экспонента и модифицированная экспонента. Если с возрастанием одной величины наблюдается резкое возрастание другой, то применяют уравнение простой экспоненты. Простая экспонента представляется в виде функции
t
t
a
a
y
1 0
=
или
t
a
a
e
y
1 0
+
=
, где аи положительные числа, при этом если a
1
больше единицы, то функция возрастает с ростом времени t, если a
1
меньше единицы – функция убывает. Эти функции рекомендуется использовать, если ряд динамики характеризуется стабильным темпом роста. Таблица 10.12
t
y = a
0
a
1
t Коэффициент роста
1
a
0
a
1
–
2
a
0
a
12
a
1 3
a
0
a
13
a
1 4
a
0
a
14
a
1 5
a
0 Рост по экспоненте означает геометрическую прогрессию уровней динамического ряда, что в экономике возможно в сравнительно небольшой период времени (ограничены ресурсы, меняются условия рынка. Данный вид тренда используется в краткосрочных прогнозах. Модифицированная экспонента имеет вид
t
a
a
k
y
1 0
+
=
,

Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. где постоянные величины a
0
– меньше нуля, a
1
– положительна и меньше единицы, а константа k носит название асимптоты этой функции, те. значения функции неограниченно приближаются (снизу) к величине k. Могут быть другие варианты модифицированной экспоненты, нона практике наиболее часто встречается указанная выше функция. Например, если изучается динамика детской смертности, то устанавливается нижняя асимптота значения y, ниже которых детская смертность не может быть, исходя из достигнутых условий жизни. Модифицированная экспонента характеризуется постоянным отношением последовательных во времени приростов. Величина этого отношения равна параметру a
1
. В этом можно убедиться, подставив в данную функцию последовательные значения t табл. 10.13). Таблица 10.13
t
t
a
a
k
y
1 0
⋅
+
=
i
Δ′
1
−
Δ′
Δ′
i
i
0 0
a
k
+
– –
1 1
0
a
a
k
⋅
+
)
1
(
1 0
−
a
a
–
2 2
1 0
a
a
k
⋅
+
)
1
(
1 1
0
−
⋅
a
a
a
1
a
3 3
1 0
a
a
k
⋅
+
)
1 1
2 1
0
(
−
⋅
a
a
a
1
a
4 4
1 0
a
a
k
⋅
+
)
1
(
1 3
1 0
−
⋅
a
a
a
1
a
5 5
1 0
a
a
k
⋅
+
)
1
(
1 4
1 Модифицированная экспонента применима, когда при прогнозе следует учитывать ограничение роста уровней динамического ряда. В экономике достаточно распространены процессы, которые сначала растут медленно, затем ускоряются, а затем снова замедляют свой рост, стремясь к какому-либо пределу. В качестве примера можно привести процесс ввода некоторого объекта в промышленную эксплуатацию, процесс изменения спроса на товары, обладающие способностью достигать некоторого уровня насыщения, и др. Для моделирования таких процессов используются так называемые образные кривые роста,
среди которых выделяют логи- стическую кривую и кривую Гомперца. Если в модифицированную экспоненту ввести обратную величину, то получим