Статистика учебник. Тарновская ли. Статистика учебное пособие
 Скачать 3.85 Mb.
|
|
Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем вероятности для закона нормального распределения (см. гл. Среднее число серий Среднее квадратическое отклонение числа серий Полученные границы интервала округляют до целых чисел, уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю. Если число серий выходит за пределы случайного поведения, рассчитанного для исследуемого временного ряда, следовательно, имеется общая закономерность тенденции. Пример. В табл. 10.1 представлены месячные данные оборотных средств предприятия. Необходимо выяснить наличие тенденции для данного временного ряда. Таблица 10.1 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 t y 6,7 7,3 7,6 7,9 7,4 8,6 7,8 7,7 7,9 8,2 8,4 9,1 8,3 8,7 8,9 9,1 9,5 10,4 10,5 10,2 Тип А А А А А В А А А А В В А В В В В В В В В Медиана временного ряда равна 8,35. Определили тип для каждого значения временного ряда. По типу рассчитали количество серий R = 6. Среднее число серий 11 2 1 Среднее квадратическое отклонение 22 , 2 4 ) 1 21 ( = − = σ R ; 15 7 ; 22 , 2 2 11 22 , 2 Показатель числа серий R = 6 выходит за пределы возможного случайного поведения, – следовательно, временной ряд имеет общую тенденцию развития. Графический метод Для подтверждения наличия тренда часто достаточно представить уровни ряда на графике. Характеристика методов прогнозирования, основанных на анализе временных рядов, приведена в табл. 10.2. Непосредственное выделение тренда осуществляется методами укрупнения интервалов (см. гл. 9) и другими методами, характеристика которых приведена в табл. При выявлении тенденции развития часто используется распространенный прием – сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда рас Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 счетными, которые в меньшей степени подвержены колебаниям. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития. Приемы сглаживания условно делят на два класса, опирающиеся на различные подходы алгоритмический и аналитический. Алгоритмический подход основан на разработке алгоритма расчета в любой заданный момент времени, который сглаживает случайные и периодические колебания. Методы сглаживания временных рядов с помощью простого скользящего среднего и взвешенного скользящего среднего относятся к этому подходу. Аналитический подход основан на допущении, что можно задать общий вид функции, описывающей статистические данные. В теории и практике анализа социально-экономических явлений наиболее часто используются полиномиальные и экспоненциальные кривые роста. Таблица 10.2 Характеристика методов прогнозирования Метод прогнозирования Количество статистических данных Модель данных Горизонт прогноза Время на подготовку прогноза Простое скользящее среднее От 5 до 10 наблюдений для установления весовых коэффициентов Данные должны быть стационарными Краткосрочный Малое Взвешенное скользящее среднее От 10 до 15 наблюдений для установления весовых коэффициентов Тренд без сезонных колебаний От краткосрочного до среднесрочного Малое Экспоненциальное сглаживание 4–5 наблюдений за сезон Тренд и сезонные колебания От краткосрочного до среднесрочного Малое Регрессионные трендо- вые модели От 10 до 20; для сезонного – 5 за сезон Тренд и сезонные колебания От краткосрочного до среднесрочного Малое Причинные регрессионные модели 10 наблюдений на независимую переменную Тренд, циклические и сезонные колебания Краткосрочный, среднесрочный идол- госрочный Длительный период разработки Декомпозиция временных рядов Достаточно двух экстремальных значений Циклические и сезонные колебания может определять экстремальные точки От краткосрочного до среднесрочного От малого до среднего Простейшие полиномиальные кривые роста имеют следующий вид Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. полиномом первой степени ; 1 полиномом второй степени ; 2 2 1 полиномом третьей степени , 3 3 2 где 3 2 1 0 , , , a a a a – параметры полиномов. Параметра называют линейным приростом, параметра ускорением роста, параметра изменением ускорения роста [14, 15]. 10.2.1. Сглаживание временных рядов с помощью простой скользящей средней Если социально-экономические явления имеют резкие периодические и случайные флуктуации, для прогноза используют метод скользящего среднего. Простая скользящая средняя позволяет сгладить колебания и выявить имеющуюся тенденцию в развитии. Алгоритм сглаживания может быть представлен в виде последовательности следующих стадий – определяют длину интервала сглаживания включающего в себя l последовательных уровней ряда. Чем шире интервал сглаживания, тем в большей степени поглощаются колебания и тенденция носит более плавный характер – разбивают весь временной ряд на активные участки (уровни ряда, которые берутся для расчета среднего значения – рассчитывают средние арифметические уровней ряда, образующих участки – заменяют фактические значения ряда на соответствующие средние значения. Формула для простого скользящего среднего – n y y y y n t t t t − − − + + + = 2 1 , где t y – прогноз на будущий период n t t t y y y − − − ,..., , 2 1 – фактические значения в прошлые периоды n – число периодов усреднения. Простая скользящая средняя учитывает уровни ряда с равными весами. Недостаток метода в том, что он применим лишь для рядов, имеющих линейную зависимость. Например осуществить прогноз на будущие периоды методом простого скользящего среднего при трех- и девятинедельном интервале усреднения поданным, приведенным в табл. 10.3. По формуле простой скользящей средней были рассчитаны сглаженные значения для трех- и девятинедельных интервалов. Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Аналогично можно осуществить прогноз на ю, ю и т. д. недели. Чем длиннее интервал усреднения, тем лучше сглаживаются флуктуации, но если в исходных данных наблюдается тренд роста или спада, то усиливается эффект запаздывания тренда (лаговый эффект. Поэтому, несмотря на то, что короткий интервал усреднения дает большие разбросы, его использование лучше отслеживает тренд. Более продолжительный интервал усреднения дает сглаженный результат, но приводит к лаговому эффекту. Таблица 10.3 Текущий спроси прогноз методом простого скользящего среднего при трех- и девятинедельном интервале усреднения Неделя Спрос Трехнедельное усреднение Девяти- недельное усреднение Неделя Спрос Трехнедельное усреднение Девяти- недельное усреднение 19 1900 1900 1911 5 1500 1300 20 2400 1967 1933 6 1300 1333 21 2400 2167 2011 7 1800 1433 22 2600 2233 2111 8 1700 1533 23 2000 2467 2144 9 1300 1600 24 2500 2333 2111 10 1700 1600 1367 25 2600 2367 2167 11 1700 1567 1467 26 2200 2367 2267 12 1500 1567 1500 27 2200 2433 2311 13 2300 1633 1556 28 2500 2333 2311 14 2800 1833 1644 29 2400 2300 2378 15 2000 2033 1733 30 2100 2367 2378 Графики на рис. 10.1, построенные поданным табл. 10.3, показывают влияние интервала усреднения назначение скользящего среднего. Тренд роста выравнивается примерно к й неделе. Трехнедельное усреднение лучше отражает фактические изменения спроса, чем девятинедельное, хотя последнее более сглаженное. Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Рис. 10.1. Прогноз методом простого скользящего среднего при трех- и девятинедельном интервале усреднения по сравнению с текущим спросом Простые скользящие средние позволяют выявить тенденцию в общих чертах, так как при сглаживании исчезают изгибы линии тенденции и некоторые уровни показывают вместо спада, имевшего место реально, подъем или наоборот. Более совершенным приемом считается взвешенная скользящая средняя. 10.2.2. Сглаживание временных рядов с помощью взвешенной скользящей средней Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами, а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка. Это вызвано тем, что при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке проводится по прямой (полином первого порядка, а при сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы более высоких порядков, чаще всего второго и третьего. При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной ∑ ∑ = + − = + − = p t p t i i p t p t i i i t w w y yˆ , где w i – весовые коэффициенты (t – p) и (t + p) – количество уровней активного участка. Весовые коэффициенты определяются с помощью метода наименьших квадратов (см. гл. 9) либо могут быть взяты как коэффициенты бино- Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. ма Ньютона. Они обладают следующими свойствами – симметричны относительно центрального уровня – сумма весов равна единице – наличие положительных и отрицательных значений. Например, пусть длина интервала сглаживания l = 7, а поведение сглаженного временного ряда внутри каждого активного участка описывается с помощью полинома третьего порядка. Перенесем начало координат в середину временного интервала, те. моменты времени t = –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3. Неизвестные коэффициенты полинома третьего порядка оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (см. гл. 8). После соответствующих математических преобразований получают систему нормальных уравнений, решая которую находят неизвестный параметр a 0 (т. к. a 0 является центральным значением полинома третьего порядка, которое принимается за сглаженное) и весовые коэффициенты. В табл. 10.4 представлены весовые коэффициенты в зависимости от длины интервала сглаживания. Так как веса симметричны относительно центрального уровня, тов таблице использована символическая запись приведены веса для половины уровней активного участка последнее значение веса в строке относится к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Таблица 10.4 Весовые коэффициенты для взвешенной скользящей средней Длина интервала сглаживания Весовые коэффициенты 5 [ ] 17 ; 12 ; 3 35 1 + + − 7 [ ] 7 ; 6 ; 3 ; 2 21 1 + + + − 9 [ ] 59 ; 54 ; 39 ; 14 ; 21 231 1 + + + + − 11 [ ] 89 ; 84 ; 69 ; 44 ; 9 ; 36 429 1 + + + + + − 13 [ ] 25 ; 24 ; 21 ; 9 ; 0 ; 11 143 Пример Поданным объемов продаж продукции залет см. табл. 10.5) рассчитать трех- и семилетние скользящие средние и графически сравнить результаты пятилетнюю взвешенную скользящую среднюю. Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. При трехлетней скользящей средней 3 4 10,3 14,3 7,7 ˆ 10,8; 3 14,3 7,7 15,8 ˆ 12,6 и т. д. 3 y y + + = = + + = = При семилетней скользящей средней 7 8 10,3 14,3 7,7 15,8 14,4 16,7 15,3 ˆ 13,5; 7 14,3 7,7 15,8 14,4 16,7 15,3 20,2 ˆ 14,9 и т. д. 7 y y + + + + + + = = + + + + + + = = Таблица 10.5 Результаты расчета скользящих средних Скользящие средние Текущий номер года, t Объем продаж, тыс. у.д.е., t y l = 3 l =7 Взвешенная скользящая средняя l = 5 1 10,3 – – – 2 14,3 – – – 3 7,7 10,8 – – 4 15,8 12,6 – – 5 14,4 12,6 – 11,9 6 16,7 15,6 – 12,6 7 15,3 15,5 13,5 16,2 8 20,2 17,4 14,9 15,2 9 17,1 17,5 15,3 17,4 10 7,7 15,0 15,3 18,8 11 15,3 13,4 15,2 15,2 12 16,3 13,1 15,5 11,7 13 19,9 17,2 16,0 12,5 14 14,4 16,9 15,8 18,1 15 18,7 17,7 15,6 17,3 16 20,7 17,9 16,1 17,1 Графический анализ показывает (рис. 10.2), что ряд, сглаженный по семилетней скользящей средней, носит более гладкий характер. Это объясняется тем, что чем больше длина интервала сглаживания, тем более гладкий ряд получается на выходе модели. Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Рис. 10.2. Сглаживание ряда урожайности с помощью скользящих средних фактические уровни t y ; – ; 3 = l – Для вычисления значений пятилетней взвешенной скользящей средней воспользуемся таблицей весовых коэффициентов. Тогда ( ) 5 6 1 ˆ ( 3 10,3 12 14,3 17 7,7 12 15,8 3 14.4) 11,9; 35 1 ˆ 3 14,3 12 7,7 17 15,8 12 14,4 3 16,7 12,6 и т.д. 35 y y = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ = = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − Как видим, взвешенные скользящие средние несколько ближе подходят к фактическим данным по сравнению с простыми скользящими средними, те. сглаженная кривая в значительной мере сохраняет различные изгибы кривой тренда. 10.2.3. Экспоненциальное сглаживание Главным недостатком методов простого и взвешенного скользящего среднего является необходимость использования большого количества прошлых данных, значимость которых уменьшается стечением времени, причем самые последние периоды исключаются, что вносит ошибки в эти методы. Экспоненциальное сглаживание усиливает влияние последних периодов. Оно чаще всего используется для прогнозирования. Этот метод является составной частью всех компьютерных программ прогнозирования. Экспоненциальные модели имеют высокую точность. Смысл экспоненциальных средних состоит в том, чтобы найти такие средние, в которых влияние прошлых наблюдений затухает по мере удаления от момента, для которого определяются средние. Веса в экспоненциальных средних устанавливаются в виде коэффициентов α . Веса повремени убывают экспоненциально, а сумма весов стремится кВ качестве весов используют ряд Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 сит. д. Экспоненциальная средняя определяется по формуле ( ) 1 ˆ 1 ˆ − α − + ⋅ α = t t t y y y , где t yˆ – экспоненциально сглаженный прогноз на период t; α – вес текущего наблюдения при расчете экспоненциальной средней фактический уровень динамического ряда в момент времени t; 1 ˆ − t y – экспоненциально сглаженный прогноз, сделанный для предшествующего периода. Это уравнение показывает, что сглаженный по экспоненциальной средней уровень динамического ряда линейно зависит от фактического уровня ряда на данный момент времени и среднего сглаженного уровня, рассчитанного для предыдущего периода. Вес, с которым участвует каждый уровень ряда, зависит от параметра сглаживания α . Если коэффициент близок кто веса убывают медленно, и при прогнозе учитываются все прошлые наблюдения. Если коэффициент близок кто при прогнозировании учитываются в основном наблюдения последних лет, тем в большей мере сглаженные уровни воспроизводят фактические уровни ряда. Пример. Осуществить экспоненциальное сглаживание объемов выпуска продукции поданным, приведенным в табл. 10.6. Таблица 10.6 Экспоненциальные средние Годы Объем выпуска продукции, тыс. т, при α = 0,1 при α = при α = при α = 0,9 при α = 0,95 1996 35 35 35 35 35 35 1997 31 34,6 33,8 33,0 31,4 31,2 1998 40 35,1 35,7 36,5 39,1 39,6 1999 34 35,0 35,2 35,3 34,5 34,3 2000 18 33,3 30,0 26,6 19,6 18,8 2001 30 33,0 30,0 28,3 29,0 29,4 2002 34 33,1 31,2 31,1 33,5 33,8 2003 40 33,8 33,8 35,6 39,3 39,7 2004 29 33,3 32,4 32,3 30,0 29,5 2005 40 34,0 34,7 36,1 3(.0 39,5 2006 42 34,8 36,9 39,1 41,7 41,9 2 ) ˆ ( t t y y − ∑ 426,6 283,7 157,1 7,6 1,9 Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Для проверки была рассчитана сумма квадратов отклонений фактических данных от выравненных при разных значениях α . Поданным таблицы наименьшая сумма квадратов отклонений фактических от экспоненциальных средних имеет место при α = 0,95. Выбор константы сглаживания зависит от сущности и вида прогноза. В прогнозировании уравнение для однократного экспоненциального сглаживания имеет следующий вид ( ) 1 1 1 ˆ ˆ ˆ − − − − α + = t t t t y y y y , где t yˆ – экспоненциально сглаженный прогноз на период t; α – вес текущего наблюдения при расчете экспоненциальной средней фактический уровень динамического ряда предшествующего периода 1 ˆ − t y – экспоненциально сглаженный прогноз, сделанный для предшествующего периода. Пример Продажи предприятия ОАО «ХимСибСнаб» возрастали в течение последних 5 лет. Менеджер по продажам предсказал в 2001 г, что продажи удобрений в 2002 г. составят 410 тыс. тонн (см. табл. 10.7). Используя экспоненциальное сглаживание с весом α = 0,3, дадим развитие прогноза на 2003 – 2007 гг. по уравнению. Таблица 10.7 № пп. Год Продажи, тыс. т X Прогноз, тыс. т Y 1 2002 450 410 2 2003 495 422 3 2004 518 444 4 2005 563 466 5 2006 584 495 6 2007 |