Статистика учебник. Тарновская ли. Статистика учебное пособие
 Скачать 3.85 Mb.
|
66 , 9 6577 , 2 2883 , 9 2 2 2 2 2 2 Для второй гармоники величина периода, через который ряд начинает повторяться, равна 10 месяцам, что соответствует графику на рис. 10.7. При использовании же только одной гармоники период повторения составит месяцев, и, естественно, выравненный временной ряд плохо аппроксимирует исходные данные (см. рис. 10.7). Для прогноза в нашем примере можно использовать ряд Фурье с двумя гармониками. С этой целью в уравнение с двумя гармониками подставляется следующее по порядку значение t. Так, для прогноза на й месяц π = 2 t : 0 4 sin ; 1 4 cos 2 cos ; 0 2 sin ; 1 Соответственно, прогноз окажется равным 25 ≈ 25,4 = 1 ⋅ 9,2883 + 1 ⋅ 0,6667 − 15,45 = = π 2,6577 − π 9,2883 + + π 7948 Поскольку в экономике чаще всего периодический ряд имеет тенденцию, то временной ряд не является стационарным. В этом случае ряд Фурье применим, если привести его к стационарному виду. Если временной ряд обладает линейным трендом и периодическими колебаниями, то строится суммарный прогноз, те. прогноз по тренду и плюс прогноз по ряду Фурье для остаточных величин. Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Рис. 10.7. Ряд с одной гармоникой (а ряд с двумя гармониками (б) Предположим, что для 12 месяцев года спрос на товар В характеризовался трендом t 6 + 25 = ˆ t y , где t = 1, 2, ..., 12. Отклонения от тренда представлены в виде ряда Фурье t t t t t t l t 0,8sin3 l,8cos3 2sin2 При его определении t принимало значения Прогноз на январь следующего года составит а) по тренду: б) для остаточных величин ; 2 , 2 0,8sin6 8cos6 ,l 2sin4 0,9cos4 l,2sin2 в) в целом 103 – 2,2 = 100,8. а б Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. 10.5. Прогнозирование при наличии сезонной компоненты Сезонные колебания – это разновидность периодических колебаний. Для них характерны внутригодичные, повторяющиеся устойчиво (из месяца в месяц, из квартала в квартал) изменения в уровнях. Иными словами, сезонные колебания – регулярно повторяющиеся подъемы и снижения уровней динамического ряда внутри года на протяжении ряда лет. Сезонность имеет место в самых различных областях экономики погодные изменения влияют на ассортимент реализации обуви (зимняя, весенне- осенняя, летняя, овощей и многих других товаров. Существуют две различные модели сезонности аддитивная и мультипликативная. В аддитивной модели сезонность выражается в виде абсолютной величины (например, 5 т, которая добавляется или вычитается из среднего значения ряда, чтобы выделить показатель сезонности. В мультиплика- тивной модели сезонность выражена как процент от среднего уровня например, который должен быть учтен при прогнозировании путем умножения на него среднего значения ряда. Методика построения аддитивной и мультипликативной модели различается в зависимости оттого, есть или нет тенденции в ряду динамики. Если в ряду динамики отсутствует тенденция, то уровень временного ряда рассматривается как функция сезонности и случайности ) , ( ε = S f y i , где i y – фактические уровни ряда S сезонная составляющая ε – случайная компонента. Графически такой ряд может быть представлен рис. 10.8. Рис. 10.8. Временной ряд с сезонной и случайной составляющей При аддитивной модели уровень такого ряда можно представить следующим образом ε + + = S y y i Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Общая колеблемость уровней ряда раскладывается на две составляющие влияние сезонности, ε – влияние случайности. Тогда ) ( ) ( ) ( s i s i y y y y y y − + − = − , где s y – средний уровень ряда соответствующего периода внутри года месяца, квартала) заряд лет. Величина отражает влияние сезонности (сезонная составляющая, а величина ) ( s i y y − характеризует влияние случайной компоненты (если бы его не было, то уровни ряда на рис. 10.8 представляли бы собой плавную, а не ломаную линию. При мультипликативной модели уровень динамического ряда можно представить как произведение его составляющих s i s i y y y y y y ⋅ ⋅ = , где отношение s s K y y = представляет собой коэффициент сезонности, а E y y s i = отражает влияние случайного фактора. Чем больше коэффициент сезонности, тем больше амплитуда колебаний уровней ряда относительно его среднего уровня, тем существеннее влияние сезонности. Чем меньше влияние случайной составляющей, тем в большей мере рассматриваемая модель адекватно описывает исходный временной ряд. Прогнозирование временного ряда с сезонными колебаниями при отсутствии в нем тенденции сводится к прогнозированию среднего уровняс последующей корректировкой его на сезонную компоненту при аддитивной модели и умножению на коэффициент сезонности при мультипликативной модели S y y t ± = – аддитивная модель мультипликативная модель. Значительно распространеннее ситуация, когда временной ряд имеет тенденцию. В этом случае уровень временного ряда рассматривается как функция тенденции, сезонностии случайности. Тогда аддитивная модель временного ряда примет вид ε + + = S y y t t ˆ , где t yˆ – теоретическое значение уровня ряда согласно тенденции. Общая колеблемость уровней временного ряда раскладывается натри составляющие Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( ) ( s i t s t i y y y y y y y y − + − + − = − , где ) ( y y i − – общая вариация ) ˆ ( y y t − – влияние тенденции ) ˆ ( t s y y − – влияние сезонности ) ( s i y y − – влияние случайности. Графически влияние этих составляющих может быть представлено на рис. 10.9. Рис. 10.9. Разложение динамического ряда на составляющие а – влияние тенденции б – влияние сезонности в – влияние случайности Чем больше угол наклона линии тренда к среднему значению ряда, тем большее влияние тенденции. Чем больше плавная кривая y s отклоняется от линии тренда, тем значительнее влияние сезонности. Чем ближе фактические уровни временного ряда (у) подходят к плавной линии точек y s , тем меньше влияние случайности. При мультипликативной модели уровень динамического ряда можно представить в виде сомножителей ˆ , где i y – фактические уровни динамического ряда теоретические значения уровней динамического ряда согласно тенденции коэффициент сезонности коэффициент влияния случайности. Результаты прогнозирования поданным моделям зависят от принятой методики расчета отдельных составляющих модели и прежде всего оттого, как найдены выравненные данные, отражающие тенденцию, а именно а) путем исключения сезонности изданных б) включая сезонность, те. выравнивая непосредственно исходные уровни ряда. а б в Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Пример. В табл. 10.20 приведены число официально зарегистрированных безработных в районе ( у i , тыс. чела также расчет сглаженных уровней ( y ) и показателей сезонности. Таблица 10.20 Показатели сезонности 2004 2005 2006 Ква рилы i y i y i S i s K i y i y i S i s K i y i y i S i s K 1 25 – – – 24 20,1 3,9 1,194 22 18,4 3,6 1,19 6 2 20 – – – 19 19,8 –0,8 0,960 17 17,8 –0,8 0,95 5 3 16 20,6 –4,6 0,777 15 19,3 –4,3 0,777 14 – – – 4 22 20,4 1,6 1,078 20 18,8 1,2 1,064 16 – Ввиду того что сезонность характеризует внутригодичные колебания при сглаживании уровней ряда методом скользящей средней, период скольжения должен быть равен году. Тогда удастся погасить влияние сезонности. Скользящая средняя может быть рассчитана по упрощенной формуле 4 5 2 1 4 3 2 1 2 Для примера 625 , 20 4 24 22 16 20 25 2 1 2 1 3 = ⋅ + + + + ⋅ = y и т. д. Данные этих расчетов приведены в табл. 10.16. Сглаженные уровни характеризуют движение числа безработных, в котором погашено влияние сезонности. Измерить сезонности можно в виде абсолютной величины i i i y y S − = ив виде коэффициента сезонности i i s y y K i = . Анализируя абсолютные показатели сезонности, видим, что под воздействием сезонного фактора в м квартале происходит резкое снижение численности безработных на 4,6 тыс. человек в 2004 г на 4,3 тыс. человек в 2005 г. Однако одна и та же абсолютная величина показателя сезонности может означать разную интенсивность сезонных колебаний, которая измеряется коэффициентом сезонности. Так, во втором квартале 2005 и 2006 г. абсолютные показатели сезонности одинаковы S = –0,8 тыс. человек. Вме- Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. сте стем коэффициенты сезонности несколько различаются 0,960 и 0,955 соответственно, демонстрируя чуть большее влияние сезонности в 2006 г. Поскольку анализируются данные заряд лет, то для каждого периода года получается несколько коэффициентов сезонности и соответственно столько же будет и абсолютных показателей сезонности. Поэтому рассчитываются средние показатели сезонности для одноименных кварталов (как средняя арифметическая простая , 2 где j – номер периода. Сезонные колебания взаимопогашаются в течение года. Поэтому 0 = ∑ j S , средняя величина коэффициентов сезонности равна 1, или 100 %, а их сумма за год –4, или 400 % (при помесячном разрезе 1200 %). При практических расчетах эти равенства могут незначительно нарушаться, поэтому проводится корректировка сезонной компоненты, те. рассчитывается поправочный коэффициент. Для аддитивной и мультипликативной моделей сезонная составляющая для примера приведена в табл. 10.21. Таблица 10.21 Аддитивная модель Мультипликативная модель Кварталы j S j Sˆ j K j Kˆ 1 3,75 3,775 1,195 1,195 2 –0,8 –0,775 0,958 0,958 3 –4,45 –4,425 0,777 0,777 4 1,4 1,425 1,071 1,070 Итого –0,1 0 4,001 4,000 Для аддитивной модели. Чтобы эта величина была равна нулю, к каждому значению j S надо прибавить 1/4 от 0,1, те. Это и будет поправочный коэффициент для расчета показателя сезонности по аддитивной модели. По мультипликативной модели практически можно считать, что найденные средние коэффициенты сезонности не требуют корректировки, так как поправочный коэффициент равен почти 1 ( 99975 , 0 001 , 4 4 = ). Сезонные показатели используются в анализе – для исключения сезонности изданных включения сезонности в прогноз. Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. Исключение сезонности позволяет получить более ясную картину тенденции. Чтобы удалить сезонную компоненту, можно разделить фактический уровень ряда на коэффициент сезонности. Если в нашем примере из фактических уровней динамического ряда вычесть сезонную компоненту, то получим значение уровней ряда без сезонности, те. тенденцию вместе со случайной составляющей. Далее, проведя аналитическое выравнивание этих данных, получим в виде уравнения тренда более четкое описание собственно тенденции ряда. Используя затем уравнение тренда для прогноза, включаем в прогноз показатели сезонности, те. проводим суммарный прогноз прогноз по тренду с учетом сезонной составляющей. Так, в нашем примере после удаления сезонной компоненты для мультипликативной модели уравнение тренда составило t y t 444 , 0 Таблица 10.22 Разложение уровней ряда по мультипликативной модели Годы Кварталы 25 1,195 20,9 21,6 25,8 0,969 4,2 –0,8 2 20 0,958 20,9 21,2 20,3 0,985 –0,9 –0,3 3 16 0,777 20,6 20,7 16,0 1,000 –4,7 0 2004 4 22 1,070 20,6 20,3 21,7 1,014 1,4 0,3 1 24 1,195 20,1 19,8 23,6 1,017 3,8 0,4 2 19 0,958 19,8 19,4 18,6 1,022 –0,8 0,4 3 15 0,777 19,3 18,9 14,6 1,027 –4,3 0,4 2005 4 20 1,070 18,7 18,5 19,8 1,010 1,3 0,2 1 22 1,195 18,4 18,1 21,6 1,018 3,5 0,4 2 17 0,958 17,7 17,6 16,8 1,012 –0,8 0,2 3 14 0,777 18,0 17,2 13,4 1,045 –3,8 0,6 2006 4 16 1,070 15,0 16,7 17,8 0,899 1,1 –1,8 ∑ 230 12 230 230 230 12,018 0 0 Используя данные расчета, можно осуществить прогноз на й квартал г, который по тренду составит 16,3 тыс. чел. Далее уточняем прогноз на сезонную компоненту, те. умножаем на скорректированный коэффициент сезонности го квартала 5 , 19 195 , 1 3 , 16 = ⋅ = t s y тыс. чел. и т. д. В табл. 10.19, в графе s y , приведены уровни ряда, обусловленные влиянием тенденции и сезонности. Влияние случайной составляющей E оп Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. ределится как у, y s . Чем оно меньше и ближе к 1, тем лучше модель описывает исходный временной ряд. Отклонение значения случайной составляющей Е от 1 фиксирует, какую долю составляет случайный фактор в теоретическом значении уровня временного ряда. Как видно из табл. 10.19, в большинстве случаев влияние случайной компоненты не превышает 3 % (лишь в последней позиции оно более весомо 10,1 %). Следовательно, рассмотренная мультипликативная модель хорошо описывает исходные данные и пригодна для прогнозирования. Это подтверждает и расчет среднего коэффициента случайной составляющей по средней арифметической простой значений Е : 0015 , 1 12 018 , 12 1 = = ∑ = i E n E . Незначительное его отклонение от 1 фиксирует хорошее качество модели. Тесты Тестовые задания включают 10 теоретических утверждений, для каждого из которых предлагается четыре варианта ответа (правильными могут быть один или два. Выберите правильный вариант ответа. 1. К методам прогнозирования относят а) взвешенное скользящее среднее б) экспоненциальное сглаживание в) метод опроса г) метод группировки. 2. Влияет ли автокорреляция на результаты измерения связи ада б) нет в) невозможно ответить однозначно г) да, влияет в исключительных случаях. 3. Какой метод прогнозирования основан на продолжении в будущее тенденций прошлого а) экспертных оценок б) построения сценариев в) экстраполяции г) интерполяции 4. Какие из этих утверждений неверны а) темп роста всегда больше темпа прироста б) базисный прирост равен сумме цепных в) метод наименьших квадратов всегда точнее метода избранных точек Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. г) коэффициент роста базисный равен произведению коэффициентов цепных 5. Какие из перечисленных приемов решают задачу определения тренда: а) метод Кокса и Стюарта; б) скользящей средней в) метод наименьших квадратов г) аналитического выравнивания 6. Формулы max min П , П c с выражают а) коэффициент роста цепной б) абсолютное изменение уровней ряда в) показатели сезонности г) абсолютное изменение 1 % прироста. 7. Полином второй степени выражается следующей зависимостью а) 2 2 1 0 t a t a a y t ⋅ + ⋅ + = ; б) 2 0 1 2 , n t n y a a t a t a t = + ⋅ + ⋅ +в) ; 1 г) sin cos 1 в. Аналитическое выражение метода экстраполяции а) ; 1 б) 0 1 1 cos sin t y a a t в в) t y y t Δ 0 + = ; г) пр А T Δ = 9. Рядом Фурье называется а) временной ряд, представленный как сумма среднего значения и ряда синусоид и косинусоид б 1 sin cos ; в) ; 1 г) E K y y s t i ⋅ ⋅ = ˆ Тарновская ЛИ. Статистика учебное пособие. – Томск Изд-во ТПУ, 2008. – 248 с. 10. Формула для расчета доверительных интервалов прогноза относительно тренда, имеющего вид полинома второго или третьего порядка, выглядит следующим образом а) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ − = − + + + ± = α 2 2 4 4 2 2 4 2 2 ˆ 2 1 1 ˆ n n n nt n t n n t n S t y Y y t t ; б) 2 1 ˆ ( ) σ n t t t y y n k = − = − ∑ ; в) 1 ˆ 1 δ 100 % n t t t t y y n y = − = ⋅ ∑ ; г) 2 2 1 2 1 ˆ ( ) ( ) n t t t n t t y y y y = = − ϕ = − ∑ ∑ |