Линейная алгебра. Тема 1. Основы линейной алгебры. Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Матрица. Основные понятия. Матрицей

• Название: Тема 1. Основы линейной алгебры. Матрицы. Виды матриц. Операции над матрицами. Матрица. Основные понятия. Матрицей
• Дата: 30.10.2022
• Размер: 431.7 Kb.
• Имя файла: Линейная алгебра.docx
• Тип: Документы; #761623
• страница: 2 из 3

Тема №3. Обратная матрица. Ранг матрицы. Понятие обратной матрицы 

1. Обратная матрица

Известно, что число   называется обратным к числу  , если  . Обратное число   существует для любого числа, кроме нуля, и при этом является единственным. Аналогично введем для квадратных матриц понятие обратной матрицы, используемой обычно при решении систем линейных уравнений.

Если две квадратные матрицы А и В одного и того же формата n таковы, что  , где E – единичная матрица формата n, то говорят, что матрицы А и В являются обратными друг другу, и используют обозначение  .

Таким образом, матрица   называется обратной по отношению к квадратной матрице  , если  .

Выясним, какие матрицы имеют обратные матрицы, и если матрица А имеет обратную  , то как ее находить.

Квадратная матрица А называется вырожденной или особенной, если ее определитель равен нулю  , в противном случае, то есть при  , матрица А называется невырожденной (неособенной).

Нахождение обратных матриц опирается на следующую теорему, которую приведем без доказательства.

Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, и притом единственную.

Пусть дана квадратная матрица формата n 

 

Приведем алгоритм вычисления обратной матрицы  :

1.     Вычисляем определитель   и убеждаемся, что  ;

2.     Составляем квадратную матрицу   формата n следующим образом: на место каждого элемента поставим алгебраическое дополнение этого элемента, то есть

 

3.     Транспонируем матрицу 

. 

Замечание. Полученная матрица   называется присоединенной или союзной матрицей.

4.     Находим обратную матрицу по формуле  .

5.     Проверяем правильность вычислений, убедившись, что соотношение   выполняется.

Пример. Дана матрица

. 

Найти обратную матрицу  .

 

1.     Находим определитель матрицы А



2.     Составляем квадратную матрицу  , для этого находим алгебраические дополнения элементов исходной матрицы:

;      ;

;    ;

;       ;

;    ;

.



3.     Транспонируем матрицу 



4.     Находим обратную матрицу 


5.     Проведем проверку:


 

2. Ранг матрицы 

Пусть дана матрица, содержащая m строк и n столбцов:

.

Выделим в ней произвольным образом k строк и k столбцов, причем  . Элементы выделенных строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k.

Определитель выделенной квадратной матрицы называется минором k-го порядка заданной матрицы А. В матрице А квадратиком выделен минор   -го порядка.

Количество комбинаций из k разных строк, отличающихся номером хотя бы одной строки, которые можно выделить из m строк заданной матрицы, определяется как число сочетаний из m элементов по k :   Аналогично из n столбцов заданной матрицы можно составить   комбинаций по k. Следовательно, в прямоугольной матрице порядка   можно составить   миноров k-го порядка.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров данной матрицы называется рангом матрицы А и обозначается r, r(A) или rang A.

Отличный от нуля минор наивысшего порядка называется базисным, а строки и столбцы, участвующие в образовании базисного минора, также называются базисными. Заметим, что базисных миноров у матрицы может оказаться больше чем один.

Из определения следует, что рангом обладает любая матрица, а ранг нулевой матрицы равен нулю. Если в матрице имеется хотя бы один отличный от нуля элемент, то ее ранг не меньше единицы. В случае, когда все миноры  k -го и выше порядков равны нулю,  .

Отметим, что из свойств определителей следует, что ранг матрицы не изменяется

-       при транспонировании матрицы, то есть  ;

-       при перестановке каких-либо строк (столбцов);

-       при умножении каждого элемента строки (столбца) на одно и тоже отличное от нуля число k;

-       при сложении элементов одной строки (одного столбца) с соответствующими элементами другой строки (другого столбца), умноженное на некоторое число  .

Ранг матрицы не изменяется и при элементарных преобразованиях матрицы. 

Пример. Найти ранг матрицы:

.

Решение. Все миноры третьего порядка равны нулю. Имеется минор второго порядка, отличный от нуля  . Следовательно,  .

 

На практике определение ранга представляет собой трудоемкую операцию, поэтому, чтобы найти ранг матрицы, ее обычно приводят к виду, когда базисный минор становится очевидным. С этой целью применяют так называемые элементарные преобразования матриц. Элементарными преобразованиями матриц являются:

1)     перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

2)     умножение всех элементов ряда матрицы на одно и то же отличное от нуля число.

3)     прибавление элементов какого-либо ряда матрицы к соответствующим элементам параллельного ряда, умноженных на одно и тоже не равное нулю число;

4)     вычеркивание ряда матрицы, являющегося линейной комбинацией других параллельных ему рядов, в том числе состоящих из одних нулей.

Примечание. Матрица, полученная из данной с помощью элементарных преобразований, называется эквивалентной этой матрице. Эквивалентность матриц обозначается знаком .

С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к ступенчатому виду:

 



 

Ранг полученной ступенчатой матрицы равен p.

Пример. Найти ранг матрицы



Решение. Приведем матрицу А к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

 



Полученная ступенчатая матрица содержит три ненулевых строки, а это означает, что ее ранг равен 3. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен 3.

Тема №4. Системы линейных алгебраических уравнений

1. Системы линейных алгебраических уравнений 

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система вида

 

 (4.1) 

Решением системы (4.1) называется такая совокупность n чисел

, при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что ни одного решения нет.

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она решений не имеет.

Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной, и неопределенной, если она имеет более чем одно решение.

Например, система уравнений   совместная и определенная, так как имеет единственное решение  ; система   

несовместная, а система   совместная и неопределенная, так как имеет более одного решения  .

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. В частности, две несовместные системы считаются эквивалентными.

Основной матрицей СЛАУ (4.1) называется матрица А размера  , элементами которой являются коэффициенты при неизвестных данной системы, то есть

.

Матрицей неизвестных СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец Х, элементами которой являются неизвестные системы (4.1):

. 

Матрицей свободных членов СЛАУ (4.1) называется матрица-столбец В, элементами которой являются свободные члены данной СЛАУ:

. 

С учетом введенных понятий СЛАУ (4.1) можно записать в матричном виде   или

. (4.2) 

2. Решение систем линейных уравнений. Метод обратной матрицы

Перейдем к изучению СЛАУ (4.1), которой соответствует матричное уравнение (4.2). Сначала рассмотрим частный случай, когда число неизвестных равно числу уравнений данной системы (   ) и  , то есть основная матрица системы  невырождена. В этом случае, согласно предыдущему пункту, для матрицы   существует единственная обратная матрица . Ясно, что она согласована с матрицами   и  . Покажем это. Для этого умножим слева обе части матричного уравнения (4.2) на матрицу  :

 

Следовательно, с учетом свойств умножения матриц получаем



Так как  , а  , тогда

. (4.3) 

Убедимся, что найденное значение   является решением исходной системы. Подставив (4.3) в уравнение (4.2), получим  , откуда имеем  .

Покажем, что это решение единственное. Пусть матричное уравнение (4.2) имеет другое решение  , которое удовлетворяет равенству

. 

Покажем, что матрица   равна матрице 

С этой целью умножим предыдущее равенство слева на матрицу.

В результате получим

 

Такое решение системы   уравнений с   неизвестными называется решением системы (4.1) методом обратной матрицы.

Пример. Найти решение системы



Выпишем матрицу системы:

, 

Для этой матрицы ранее (занятие 1) мы уже нашли обратную:

 

 или 

Здесь мы вынесли общий множитель  , так как нам в дальнейшем нужно будет произведение  .

 

Ищем решение по формуле:  .

 





Найденные значения переменных подставляем в уравнения системы и убеждаемся, что они являются ее решением.

Упражнение. Проверку этого факта сделайте самостоятельно.

3. Правило и формулы Крамера

Рассмотрим систему   линейных уравнений с   неизвестными



От матричной формы (4.3) перейдем к более удобным и в ряде случаев более простым при решении прикладных задач формулам для нахождения решений системы линейных алгебраических уравнений.

Учитывая равенство  , или в развернутом виде

. 

Таким образом, после перемножения матриц получаем:

 или

.

Заметим, что сумма   есть разложение определителя

 

по элементам первого столбца, который получается из определителя   путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов.

Таким образом, можно сделать вывод, что 

Аналогично:  , где   получен из   путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов,  .

Следовательно, нами найдено решение заданной системы по равенствам

,  ,  _,

известным и как формулы Крамера.

Для нахождения решения СЛАУ, последние равенства можно записать в общем виде следующим образом:

.  (4.4) 

Согласно этим формулам, имеем правило Крамера для решения СЛАУ:

- по матрице системы   вычисляется определитель системы  ;

- если  , то в матрице системы каждый столбец последовательно заменяется столбцом свободных членов и вычисляются определители   получаемых при этом матриц;

- решение системы находится по формулам Крамера (4.4).

Пример. С помощью формул Крамера решить систему уравнений