Часть лекций по высшей математике в формате Word. Тема Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная и дифференциал

• Название: Тема Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная и дифференциал
• Анкор: Часть лекций по высшей математике в формате Word.doc
• Дата: 28.01.2017
• Размер: 0.63 Mb.
• Имя файла: Часть лекций по высшей математике в формате Word.doc
• Тип: Документы; #896
• Категория: Математика

Тема 4.7. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Производная и дифференциал.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Из этого следует, что в этой точке бесконечно малому прира­щению аргу­мента x соответствует беско­нечно малое приращение функции f.

О. Производной функции y=f(x) по аргументу х называется конечный предел отношения приращения функции f =f(x+x) – f(x). к приращению аргумента x , при стремлении x  к 0:





Отношение f /x, как видно из рисунка 1, равно тангенсу угла , который составляет секущая MN кривой y = f(x) c положительным направлением горизонтальной оси координат.

Пусть x стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f(x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет приближаться к касательной к графику функции, при этомеё угол наклона  будет стремиться к углу  наклона касательной к кривой в точке x. Таким образом, геометрический смысл производной заключается в том, что произ­водная функции f(x)в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Физический смысл производной: производная есть скорость изменения функции в точке х.

Нахождение производной функции y = f(x) называется дифференцированием.

Производная функции f(x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x₀, но не иметь в этой точке производной.

Так функция y = x  не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке.

Таблица производных основных элементарных функций.

Таблица производных.

1. (xⁿ)'=nx^n-1 2. (a^x)'=a^xlna 3. (e^x)'=e^x

4. (log_ax)'= 5. (lnx)'= 6. (sinx)'=cosx

7. (cosx)'=-sinx 8. (tgx)'= 9.(ctgx)'=-

10. (arcsinx)'= 11. (arccosx)'=-

12. (arctgx)'= 13. (arcctgx)'=- 14. (х) '=1

Свойства операции дифференцирования.

1. (с)'=0, c-const 2. (f(x)+g(x)-r(x))'=f '(x)+g '(x)-r '(x)

3. (f(x)g(x))'=f '(x)g(x)+g '(x)f(x), 4. (cf(x))'=c(f '(x))

5. .
Пример. Найти производную функции y=x³.

Воспользуемся первой формулой в таблице, где n=3, и получим

y=3x^3-1=3x².

Пример. Найти производную функции y= y=

Для того чтобы воспользоваться формулой преобразуем функцию к табличному виду:

. Тогда ; ;

Пример. Найти производную функции y=sinx+e^x.

Применим правила дифференцирования к сумме двух табличных функций:

у =(sinx)+(e^x)=cosx+e^x.

Пример. y=5^x-x⁵

y=5^xlnx-5x⁴

Пример. Найти производную функции y=lnxtgx.

По правилу дифференцирования произведения функции получим:

у =( lnx)tgx+ lnx(tgx)=

Пример. Найти производную функции y=.


Теорема о производной сложной функции.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F (x) = f (z) g (x).

Приведем примеры вычисления производной сложной функции.

Пример. Найти производную функции y=(3x⁵+2)⁶.

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Обозначим 3x⁵+2=t, тогда у=t⁶. Получаем

у =(t⁶)_t(3x⁵+2)_x=6t⁵(35x⁴+0)=6(3x⁵+2)⁵15x⁴=90x⁴(3x⁵+2)⁵.

Пример. Найти производную функции y=sin⁵x.

Рассуждая аналогично предыдущему примеру, обозначим sinx=t. Тогда получим степенную функцию y=t⁴. Берем производную сначала от степени функции, затем от основной функции:

у =5t⁴(sinx)= 5t⁴cosx=5sin⁴xcosx.

В дальнейшем для упрощения решения примеров, особые обозначения промежуточных результатов будем опускать.

Пример. Найти производную функции y=cosx⁴.

у =-sinx⁴4x³=-4x³ sinx⁴.

Пример. Найти производную функции y=arcsin.



Нужно обратить внимание на то, что в производной функции y=arcsinx в качестве аргумента используется . Поэтому производная имеет выше указанный вид. Типичной ошибкой студентов является следующий вид решения:



Пример. Найти производную функции y=ln³tg(e^-x).


Тема 4.8. Логарифмическое дифференцирование.

Логарифмическое дифференцирование применяют в случае, если функция является показательно- степенной y=u^v (u и v являются функциями от х) или содержит логарифмические операции, т.е. умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Пусть функция имеет вид y=u^v. Прологарифмируем обе части, получим lny=ln u^v. По свойствам логарифма степень аргумента логарифма стоящего справа можно вынести перед знаком логарифма, тогда lny=vlnu. Продифференцируем обе части, получим (lny)=(vlnu) . Пример. Найти производную функции y=(lnx)^cosx. Прологарифмируем обе части: lny=ln(lnx)^cosx  lny=cosxln(lnx). Продифференцируем обе части равенства, получим

(lny) =(cosxln(lnx))  ;

Тема 4.9. Дифференциал функции

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на отрезке [a,b]. Производная этой функции в некоторой точке х этого отрезка определяется равенством

Отношение при х0 стремится к определенному числу f (x) и, следовательно отличается от производной f (x) на величину бесконечно малую, где 0 при х0 (стр 107 Пискунов).

Умножая члены последнего равенства на х, получим:

y=f (x)x+x. (4.3)

Так как в общем случае f (x)0, то при постоянном х и переменном х0 произведение f (x)x есть величина бесконечно малая одного порядка малости с x, второе слагаемое есть величина высшего порядка малости относительно x. Таким образом, произведение f (x)x является главной частью приращения (4.3), линейной относительно x. Это означает, что если приращение аргумента x уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз.

О. Дифференциалом функции y=f(x) называется главная часть приращения (4.3), линейная относительно x. Обозначается

dy= f (x)dx. (4.4)

Отсюда следует, что

,

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Свойства дифференциала.

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C  постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x),

4. d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x).

5. , если g(x) 0

Пусть y = f(x)   функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df(x) = f (x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y = F(t) = f(x(t)) сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy = F(t)dt = f (x)x (t)dt. Однако по определению дифференциала x (t)dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f (x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство x = dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.

Тема 4.10 Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a,b]. Значения производной f (x) зависят от х, т.е. производная f (x) тоже представляет собой некоторую функция от х. Дифференцируя эту функцию, мы получаем производную от производной.

О. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной. Обозначается

y =(f (x))=f (x). (4.5)

Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна v=f (t), а ускорение равно a= f (t).

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f(x).

О. Если определена n-я производная f ⁽ⁿ⁾(x) и существует её произ­водная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x):

f ^(n + 1)(x) = (f⁽ⁿ⁾(x)). (4.6)

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Дифференциал функции y=f(x) выражается в виде dy= f (x)dx. Тогда, если он является некоторой функцией от х, то справедливо следущее:

О. Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом:

d²y= f (x)dx². (4.7)

О. Дифференциал от дифференциала n-го порядка называется дифференциалом (n+1)-го порядка.

Пример. Найти дифференциал функции y=cosx.

Найдем f (x)=-sinx. Тогда по формуле (4.4): dy=-sinxdx.

Пример. Найти дифференциал второго порядка функции y=ln⁴x².

Найдем вторую производную от функции:

f (x)= f (x)= , тогда

d²y= dx².

Пример. Найти дифференциал функции y=x^tgx.

Найдем f (x). Для этого прологарифмируем обе части равенства:

lny=lnx^tgx по свойству логарифма получаем lny=tgxlnx. Продифференцируем обе части:

;
Тогда dy=dx.
Тема 4.11. Производная функции, заданной параметрически.
Пусть даны два уравнения

, (4.6)

где t принимает значения, содержащиеся на отрезке [Т₁,Т₂]. Каждому значению t соответствуют значения х и у (функции f и g предполагаем однозначными). Если рассматривать значения х и у как координаты точки на координатной плоскости Оху, то каждому значению t будет соответствовать определенная точка плоскости. Когда t изменяется от Т₁ до Т₂, то точка на плоскости описывает некоторую кривую. Уравнения (4.6) называются параметрическими уравнениями этой кривой, t- параметр, а способ задания кривой уравнениями (4.6) параметрическим. Параметрическое задание кривых широко распространено в механике.

Пусть функция задана параметрическими уравнениями (4.6).

Тогда производные у от х можно найти по формулам:

(4.7)

Пример . Найти производную функции, заданной параметрически

=


Тема 4.12. Производные неявной функции.
Если у есть неявная функция от х, т.е. задана уравнением F(x,y)=0 не разрешенным относительно у, то для нахождения производной нужно продифференцировать по х обе части равенства, помня, что у есть функция от х и затем разрешить полученное равенство относительно у.

Пример. Найти производную неявной функции х²+у²-4х-10у+4=0.

Дифференцируя по х, получаем 2х+2уу-4-10у=0. Выражаем у, имеем:

.

Задачи для самопроверки.

1. Найти производную функции

А) y=tgx-10^x ; Б) y=ctgxarccosx ; В) ;

2. 
   Найти производную сложной функции
   

А) y= ; Б) y=; В)y=; Г) y=(sinx+3)⁴ ;

Д) y=.

3. 
   Найти производную показательно степенной функции:
   

А) y= ; Б) y=(sinx)^x

Ответы. 1 А) y=; 1Б) y=;

1 В) y==;

2А) y= ; 2Б) y=;

2В) y==;

2Г) y=4(sinx+3)³cosx ; 2Д) y=.

3А) y=; 3Б) y=(sinx)^x

4. Найти производную функции, заданной параметрически:

А) Б)

5. Найти производную функции, заданной неявно:

А) х²+у²=4; Б) х³+lny-x²e^y=0

Ответы. 4А) ; 4Б) y_x=tgt; 5А) у=-х/у; 5Б) у=.
Тема 4.13 Правило Лопиталя.
В задачах к темам 4.1-4.6 были разъяснены элементарные способы нахождения предела функции в тех случаях, когда аргумент неограниченно возрастает или стремится к значению, которое не входит в область определения функции. Кроме этих элементарных способов, весьма эффективным средством для нахождения предела в указанных особых случаях является следующее

Правило Лопиталя: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных, если он существует или равен бесконечности

или =

Если же отношение производных вновь будет представлять случай или , то можно снова и снова применять правило Лопиталя до получения результата.

= или =
Пример. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя Так как и числитель и знаменатель дроби стремятся к 0, то можно применить правило Лопиталя:

=

Пример. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя



Так как и числитель и знаменатель дроби стремятся к 0, то можно применить правило Лопиталя:

=

Числитель и знаменатель дроби вновь стремятся к 0, применяем правило Лопиталя еще раз:

=

Пример. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя .

=

Пример. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя



==

Если функция представляет произведение бесконечно малой величины на бесконечно большую или разность двух бесконечно больших величин, то путем преобразования этих функции сводятся к случаям или

Пример. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя

=

Пример. Найти предел функции с помощью правила Лопиталя



== =


Задачи для самопроверки.

1); 2) ; 3);

4) ;

5).

Ответы.

1) 2; 2) 6; 3) 7/6; 4) 3/5; 5) 0.

Тема 4.14. Формула Лагранжа.

Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a, b] и дифференцируема на открытом промежутке (a, b), то можно найти такую точку c, принадлежащую промежутку (a, b), для которой справедливо равенство:

f(b) - f(a) = f(c)(b - a). (1)



Эта формула называется формулой конечных приращений Лагранжа. Проведем наглядное обоснование этой формулы. Возьмем на графике функции f(x) точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)). Проведем через эти точки прямую AB. Проведем также прямую L, параллельную прямой AB, так, чтобы она не пересекала график функции f(x) на промежутке (a, b). Сохраняя параллельность L и AB, будем "надвигать" прямую L на график f(x) до тех пор, пока прямая L не коснется графика f(x) в некоторой точке c промежутка (a, b). Геометрическую точку касания обозначим буквой M, а через MN обозначим касательную к графику f(x), параллельную прямой AB. Очевидно, угловые коэффициенты прямых MN и AB (то есть тангенсы углов наклона прямых к оси абсцисс) равны. Угловой коэффициент прямой MN равен f(c), а угловой коэффициент прямой AB равен (f(b) f(b))/(b-a), и справедлива формула:

.

Отсюда сразу получается формула (1). На приведенном рисунке видно, что могут существовать другие точки, принадлежащие промежутку (a, b), в которых касательные к графику функции f(x) параллельны прямой MN. Производную функции f(x), вычисленную в любой из этих точек, можно подставить в правую часть формулы (1) вместо множителя .

Сформулируем теорему о монотонности функции. Если f(x) > 0 на промежутке (a;b), то на (a;b) функция f(x) возрастает. Если f(x) < 0 на промежутке (a;b), то на (a;b) функция f(x) убывает.

Докажем эту теорему. Пусть t₁ и t₂ — любые числа из промежутка (a;b), причем t₂>t₁. Тогда по теореме Лагранжа можно указать такое число c из промежутка (t₁;t₂), для которого справедливо равенство f(t₂) – f(t₁) = f(c)(t₂ – t₁). Если f(x) > 0 для всех x из промежутка (a;b), то f(c) > 0, и из условия t₂ > t₁ следует, что f(t₂) – f(t₁) > 0. Таким образом, возрастание функции f(x) на промежутке (a;b) доказано. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Необходимые и достаточные условия экстремума функции

Точка x₀ называется точкой минимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:

f(x) > f(x₀).

Точка x₀ называется точкой максимума функции f(x), если можно найти такую окрестность этой точки, что для любой точки x из этой окрестности выполняется условие:

f(x) < f(x₀).


Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Сформулируем теорему о необходимом условии экстремума функции: если в точке экстремума функция f(x) имеет производную, то производная равна нулю.

Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать среди тех точек её области определения, где производная функции равна нулю или не существует.



Если f (x₀) = 0, это еще не значит, что в точке x₀ есть экстремум. Примером может служить функция y=x³. В точке x=0 её производная равна нулю, но экстремума функция не имеет. График функции изображен на рисунке 3.

Точка, в которой производная равна нулю, называется стационарной.

Точки области определения функции, в которых производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими.

Как было показано выше, с помощью необходимого условия нельзя определить, является ли данная точка точкой экстремума, тем более указать, какой экстремум реализуется – максимум или минимум. Для того, чтобы отве­тить на эти вопросы, сформулируем и докажем теорему, которая называется достаточным условием экстремума.

Пусть функция f(x) непрерывна в точке x₀. Тогда:

1) если f(x) < 0 на (a;x₀) и f(x) > 0 на (x₀;b), то точка x₀ – точка минимума функции f(x);

2) если f(x) > 0 на (a;x₀) и f(x) < 0 на (x₀;b), то точка x₀ – точка максимума функции f(x);

Докажем первое утверждение теоремы.

Так как f(x) < 0 на (a;x₀) и f(x) непрерывна в точке x₀, то f(x) убывает на (a;x₀], и для любого x(a;x₀) выполняется условие f(x)>f(x₀).

Так как f(x) > 0 на (x₀;b) и f(x) непрерывна в точке x₀, то f(x) возрастает на (x₀;b], и для любого x(x₀;b) выполняется условие f(x)>f(x₀).

В результате получается, что при любом xx₀ из (a;b) выполняется нера­венство f(x)>f(x₀), то есть точка x₀ – точка минимума f(x).

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично.

Выпуклость и вогнутость функции

Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вниз").

Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вверх").


Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и существуют два промежутка: (a;x₀) и (x₀;b), на одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута.



Будем называть функцию возрастающей в точке x₀, если она непрерывна в этой точке и возрастает в некоторой ее окрестности. Подобным образом можно определить функцию, убывающую в точке.

Приведем без доказательства важную для исследования функций теорему.

Если f(x) > 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) вогнута. Если f(x) < 0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) выпукла.

Из положительности второй производной функции на промежутке следует возрастание первой производной на этом промежутке, а это, как показано на рисунке 5, – признак вогнутой функции. Аналогичным образом иллюстрируется второе утверждение теоремы.



Если x₀ – точка перегиба функции f(x), то f(x₀) = 0.

Приведем другую формулировку достаточных условий экстремума функции.

Если в точке x₀ выполняются условия:

1) f(x₀) = 0; f(x₀) < 0, тогда x₀ – точка максимума;

2) f(x₀) = 0; f(x₀) > 0, тогда x₀ – точка минимума;

3) f(x₀) = 0; f(x₀) = 0, тогда вопрос о поведении функции в точке остается открытым. Здесь может быть экстремум, например в точке x₀ = 0 у функции y = x⁴, но может его не быть, например в точке x₀ = 0 у функции y = x⁵. В этом случае для решения вопроса о наличии экстремума в стационарной точке можно использовать достаточные условия экстремума, приведенные выше.

Рассмотрим пример из микроэкономики.

В количественной теории полезности предполагается, что потре­битель может дать количественную оценку (в некоторых единицах измерения) полезности любого количества потребляемого им товара.

Это означает существование функции полезности TU аргумента Q –количества купленного товара. Введём понятие предельной полезности, как добавочной полезности, прибавляемой каждой последней порцией товара. Далее построим двумерную систему координат, откладывая по горизонтальной оси



количество потребляемого товара Q, а по вертикальной оси – общую полезность TU, как это сделано на рисунке 7. В этой системе координат проведем график функции TU = TU(Q). Точка Q₀ на горизонтальной оси означает количество приобретенного товара, величина Q –добавочный приобретенный товар. Разность TU = TU(Q₀ + Q) – TU(Q₀)   добавочная полезность, полученная от покупки “довеска” Q. Тогда добавочная полезность от последней приобретенной порции (или единицы количества) товара вычисляется по формуле TU / Q (Курс экономической теории. Под общей редакцией проф. Чепурина М.Н. 1995, стр. 122). Эта дробь, как можно видеть, зависит от величины Q. Если здесь перейти к пределу при Q 0, то получится формула для определения предельной полезности MU:

.

Это означает, что предельная полезность равна производной функции полезности TU(Q). Закон убывающей предельной полезности сводится к уменьшению этой производной с ростом величины Q. Отсюда следует выпуклость графика функции TU(Q). Понятие функции полезности и представление предельной полезности в виде производной этой функции широко используется в математической экономике.