Моделирование. Моделирование финансовой деятельности. Часть 4 (2). Тема Методы оптимизации инвестиционнофинансового портфеля компании. Управление риском и портфельная теория
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
Контрольный вопрос 4.4.5 Предположим, что цена спот на золото составляет 300 долл. за унцию, а форвардная Цена со сроком поставки через один год равна 324 долл. Чему равны подразумевае- \ мые издержки по хранению золота? Чему равны подразумеваемые складские издержки, если безрисковая ставка составляет 7% годовых? 4.5.7. Финансовые фьючерсы Рабочая книга. Рассмотрим теперь вопросы ценообразования финансовых фьючерсов Речь пойдет о поставляемых в будущем акциях, облигациях и иностранной валюте. В отличие от таких товаров, как пшеница или золото, финансовые активы не имеют реальной стоимости. Их не потребляют, не используют в производственных процессах, не держат ради красоты. Ценные бумаги, скорее, можно рассматривать как воплощение требований их владельцев на некие будущие доходы. Ценные бумаги можно выпускать и хранить при очень низких затратах, что отражается в связи между их ценами слот и фьючерсными ценами. Действительно, в первом приближении мы можем полностью пренебречь этими затратами при получении уравнений паритета между форвардными ценами и ценами спот. Рассмотрим акции гипотетического взаимного фонда S&P, портфель акций которого характеризуется широкой диверсификацией. Все дивиденды реинвестируются. Форвардный контракт на акции S&P представляет собой обещание поставить акции в некоторый определенный день по оговоренной цене поставки. Обозначим эту форвардную цену F. Сторона, открывающая длинную позицию по форвардному контракту, соглашается в день получения акций заплатить F долларов противоположной стороне, занявшей короткую позицию. Мы обозначим стоимость акции на день передачи S. Вместо реальной передачи акций расчеты по контракту обычно осуществляются в денежной форме. Это означает, что передачи акций не происходит, а в день платежа по контракту выплачивается только разница между F и S. Предположим, например, что форвардная цена составляет 108 долл. за акцию. Тогда в том случае, если цена акции в день их передачи оказывается 109 долл., то сторона, занявшая длинную позицию, получает 1 долл. от стороны, занявшей короткую позицию. Однако если цена спот оказывается равной 107 долл., сторона, занявшая длинную позицию, должна выплатить 1 долл. стороне, занявшей короткую позицию. Рассмотрим теперь связь между форвардными ценами и ценами спот для акций S&P. Предположим, что цена спот S&P составляет 100 долл., безрисковая процентная ставка равна 8% годовых, а поставка акций предусматривается через год. Какой в таком случае должна быть форвардная цена? Отметим, что мы можем создать следующую конструкцию, по сути дублирующую получение через год акции фонда S&P. купить безрисковые бескупонные облигации номинальной стоимостью F, одновременно открыв длинную позицию по форвардному контракту для акций S&P. В срок оплаты по форвардному контракту мы погасим облигации по номинальной стоимости F и используем полученные средства для покупки акции S&P по форвардной цене. Таким образом, форвардный контракт на акции S&P плюс бескупонная облигация образуют синтетическую акцию S&P точно с такими же характеристиками доходности, как и сами акции S&P. В соответствии с законом единой цены две эквивалентные ценные бумаги должны иметь одинаковые цены. В Таблица 4.5.4 показаны операции и соответствующие им выплаты, применяемые для конструирования акции с помощью бескупонных облигаций и форвардного контракта. 126 Обратите внимание на тот факт, что акции S&P и дублирующий их портфель ценных бумаг (replicating portfolio) имеют через год одну и ту же стоимость, а именно Sj. Таблица 4.5.4 Конструирование синтетических бездивидендных акций с помощью бескупонных облигаций и форвардного контракта на акции Позиция Де» Денежные потоки на начало года Денежные потоки через год Покупка акций - 100 долл. S j Дублирующий портфель (синтетическая акция) Открытие длинной позиции по форвардному контракту на акции 0 S,-F Покупка бескупонных облигаций номинальной стоимостью F -F/1,08 F Итоговое движение денег по дублирующему портфелю -F/1,08 S j Приравнивая стоимость синтетической акции к стоимости реальной акции, получаем: 1 F S r (4.14) откуда следует, что цена спот равна приведенной стоимости форвардной цены, дисконтированной по безрисковой процентной ставке. Проведя в равенстве (4.15) соответствующие преобразования, находим выражение для форвардной цены F в виде зависимости от текущего значения цены спот S и безрисковой процентной ставки r. 1 100 . 1, 08 108 F S r долл долл В более общем случае, если срок выплаты по форвардному контракту и срок погашения для бескупонной облигации составляют Глет, получаем следующее уравнение паритета между форвардными ценами и ценами спот: (4.15 ), согласно которому форвардная цена равна будущей стоимости цены спот на которую начисляется сложный процент по безрисковой процентной ставке в течение Т лет. Соблюдение этого равенства поддерживается арбитражными операциями. Для доказательства допустим, что оно не выполняется. Сначала предположим, что форвардная цена оказывается слишком высокой для данной безрисковой ставки и цены спот. Предположим, например, что r=0,08, S=100 долл. и форвардная цена, F, равна 109 долл. вместо 108 долл. Таким образом, форвардная цена оказывается на 1 долл. выше, чем та, которая следует из уравнения для паритета цен. Наличие конкурентного рынка для акций S&P и возможности заключения форвардных контрактов на акции S&P означает также и то, что имеются возможности для арбитражных операций. Для их совершения арбитраже? должен купить акции на спот- рынке и одновременно открыть короткую позицию, продав форвардный контакт. Таким образом, он купит акции S&P, профинансировав эту покупку посредством займа на всю сумму покупки, и одновременно застрахуется от возможных потерь, открыв короткую 127 позицию по форвардному контракту на продажу акций S&P. В результате он ничего не получит в начале года, но зато его чистая выручка в конце года ставит 1 долл. в расчете на одну акцию. Если количество акций, с которыми совершена эта операция, составляло миллион, то общий доход от арбитража будет равен 1 миллиону долл. В Таблица 4.5.5 проиллюстрированы операции, необходимые для такого рода арбитража. Естественно, что арбитражеры будут стараться проводить эти операции в очень больших объемах. Их деятельность на спот- и форвардных рынках ценных бумаг вызовет колебания форвардных и спот-цен до тех пор, пока равенство в уравнении (4.15) не восстановится. Таблица 4.5.5 Арбитражные операции с фьючерсными контрактами на акции Арбитражная позиция Денежные потоки на начало года Денежные потоки через год Продажа форвардного контракта 0 109долл –S1 Заем 100 долл. 100 долл. - 108 долл. Покупка акций -100 долл. S1 Чистая выручка 0 1 долл. Как мы уже раньше видели, анализируя операции с золотом, из уравнения паритета между форвардными ценами и ценами спот не следуют какие-либо конкретные рекомендации. Это уравнение не позволяет определить форвардную цену на основе цен спот и безрисковой ставки доходности. Все три входящих в него переменных — F, S и r— задаются рынком. Если мы знаем любые две из этих величин, то в соответствии с законом единой цены можем определить, чему должна равняться третья. 4.5.8. "Подразумеваемая" безрисковая ставка доходности Подобно тому, как можно сконструировать синтетические акции, воспользовавшись безрисковыми активами и форвардным контрактом на акции, можно синтезировать и безрисковую бескупонную облигацию, купив акции и одновременно открыв короткую позицию по форвардному контракту. Предположим, что F равно 108 долл., сравняется 108 долл., а Г составляет один год. Мы можем сконструировать синтетическую годичную бескупонную облигацию номинальной стоимостью 108 долл., купив акции по 100 долл. и одновременно открыв короткую позицию по поставке через год акций по форвардной цене 108 долл. Первоначальные расходы составляют 100 долл., а выручка через год составит 108 долл. независимо от того, какой окажется цена спот (S,) для акций. Таким образом, если вы можете купить синтетическую годичную бескупонную облигацию (или казначейский вексель) номинальной стоимостью 108 долл. за полную стоимость в 100 долл., подразумеваемая безрисковая ставка составляет 8%. Совершаемые при этом операции проиллюстрированы в Таблица 4.5.6. В более общей форме подразумеваемая безрисковая ставка доходности, которую можно получить посредством покупки акций и открытия короткой позиции по форвардному контракту, равна F S r S (4.16) 128 Таблица 4.5.6 Конструирование синтетической бескупонной облигации с помощью акций и форвардного контракта Позиция Денежные потоки на начало года Денежные потоки через год Покупка казначейского векселя номиналом 108 долл. -108 долл. /(1 +r) 108 долл. Дублирующий портфель ценных бумаг (синтетический казначейский вексель) Покупка акций -100долл. 81 Открытие короткой позиции Итоговые движения денег по дублирующему портфелю Контрольный вопрос 4.5.6 Предположим, что цена спот акций фонда S&P составляет 100 долл., а форвардная цена при поставке через один год равна 107 долл. Чему равна подразумеваемая безрисковая ставка доходности? Покажите, что если бы реальная безрисковая ставка составляла 8% годовых, существовала бы возможность арбитража. 4.5.9. Форвардная цена — это не прогноз для будущих цен спот Если мы рассматриваем акции, по которым дивиденды не выплачиваются и предлагается положительная премия за риск для инвесторов, достаточно просто показать, что форвардная цена не может играть роль прогноза относительно ожидаемой в будущем цены спот. Для того чтобы убедиться в этом, предположим, что премия за риск для акций S&P составляет 7% годовых, а безрисковая ставка доходности равна 8%. Таким образом, ожидаемая ставка доходности для акций S&P равна 15% годовых. Если текущая цена спот равняется 100 долл. за акцию, то ожидаемая через год цена спот составит 115 долл. Это обусловлено тем, что для получения ожидаемой ставки доходности по акциям S&P в 15% в отсутствие каких-либо дивидендных выплат итоговая цена спот должна быть на 15% выше, чем исходная цена спот: Итоговая цена - Начальная цена Ожидаемая ставка доходности акции = Начальная цена -0,15 i =1,15 долл. =1,15х100 =115 долл. Однако в соответствии с уравнением паритета между форвардными ценами и Ценами спот форвардная цена для акций S&P при передаче через год должна составлять 108 долл. Инвестор, имеющий синтетические акции (бескупонная облигация и открытая длинная позиция по форвардному контракту), как ожидается, должен получить те же 7% годовых премии за риск, как это было бы и в случае покупки самих акций. Контрольный вопрос 4.5.7 Предположим, что премия за риск для акций S&P составляет не 7% годовых, а 6%. Как это скажется на ожидаемой в будущем цене спот, если предположить, что безрисковая ставка по-прежнему составляет 8% годовых? Как такое изменение повлияет на форвардную цену? 129 4.5.10. Уравнение паритета между форвардными ценами и ценами спот при условии денежных дивидендов В предыдущем разделе мы получили уравнение паритета между форвардными ценами и ценами спот исходя из того, что в течение всего срока действия форвардного контракта дивиденды по акциям не выплачиваются. Рассмотрим теперь, как изменится задаваемое соотношением (4.15) уравнение паритета между форвардными ценами и ценами спот при условии выплаты дивидендов. Предположим, что все участники рынка ожидают в конце года дивидендных выплат в размере D на одну акцию. В этом случае сконструировать аналог дивидендов совершенно точно невозможно, поскольку неизвестен их точный размер. Однако можно определить связь между форвардными ценами и ценами спот через ожидаемые дивиденды Дублирующий портфель ценных бумаг будет теперь связан с покупкой бескупонной облигации по номинальной стоимости F+D и открытием длинной позиции по форвардному контракту, как это показано в Таблица 4.5.7. Таблица 4.5.7Конструирование синтетической акции с выплатой дивидендов с помощью бескупонной облигации и фьючерсного контракта на поставку акций Позиция Денежные потоки на начало года Денежные потоки через год Покупка акций -S D+S1 Дублирующий портфель ценных бумаг (синтетические акции) Открытие длинной позиции по форвардному контракту на акции 0 S,-F Покупка бескупонной облигации номинальной стоимостью D+F -D+F D+F (1+г) Итоговое движение денег по дублирующему портфелю -D+F D+Si (1+r) Приравнивая цену акций к цене сконструированного дублирующего портфеля ценных бумаг, получаем: 1 1 D F S r F S r D F S rS D (4.17 ) Форвардная цена будет больше, чем цена спот в том и только том случае, если D меньше, чем rS, или, если дивидендная доходность (D/S) меньше, чем безрисковая процентная ставка поскольку величина D с полной определенностью неизвестна, в поддержании уравнения паритета между форвардными ценами и ценами спот полное действие арбитража проявиться не может В таких случаях мы говорим о квазиарбитражной ситуации Контрольный вопрос 4.5.8 130 Сравните уравнение паритета между форвардными ценами и ценами спот на золото с аналогичным уравнением для акций. Чему равны издержки по хранению акций? 4.5.11. "Подразумеваемые" дивиденды В разделе 14.8 мы увидели, что в случае акций, по которым дивиденды не выплачиваются, подразумеваемую безрисковую ставку можно вывести из форвардных и спот-цен. Для акций, по которым дивиденды выплачиваются, мы можем найти подразумеваемые дивиденды. Переписав уравнение 1 1 D F S r F S r D F S rS D (4 .17 ) в другом виде, мы имеем: 1 D S r F Таким образом, если нам известно, что S = 100 долл., r=0,08 и F = 103 долл., подразумеваемая величина ожидаемых дивидендов оказывается равной 5 долл.: 100 1, 08 03 5 D 4.5.12. Уравнение паритета для валютных курсов Рассмотрим теперь взаимосвязь между форвардной и спот-ценой на иностранную валюту (форвардным курсом и спот курсом) В качестве двух валкл выберем доллары США и иены и выразим в долларах форвардные и спот-цены для иены. В уравнение паритета между форвардными ценами и ценами спот входят две безрисковые процентные ставки: $ ¥ 1 1 F S r r (4.18) где F— форвардный курс иены, S— текущий спот курс, $ r — процентная ставка (годовая) для иены, а ¥ r — процентная ставка (годовая) для доллара. Срок поставки по форвардному контракту — один год. Предположим, например, что нам известны три из четырех переменных: S = 0,01 долл. за иену; r = 0,08 годовых, и = 0,05 годовых. В соответствии с законом единой цены четвертая переменная, F, должна равняться 0,0102857 долл. за иену: Это обусловлено тем, что облигацию в иенах можно продублировать, сконструировав синтетический финансовый инструмент с использованием долларовых облигаций и форвардного контракта "йена—доллар". Это осуществляется заключением форвардного контракта на 1 иену по форвардному курсу F с одновременной покупкой долларовой облигации номинальной стоимостью F. Текущее значение стоимости доллара для такой синтетической облигации в иенах составляет F/(l+r $ ). Как облигация в иенах, так и дублирующий портфель ценных бумаг обеспечивают гарантированную плату 1 иены через год, что будет стоить ровно S1 долларов В Таблица 4.5.8 приводится краткое перечисление описанных действий. 131 Таблица 4.5.8 Конструирование синтетической облигации в иенах с применением долларовых облигаций и форвардного контракта по иене. Позиция Денежные потоки на начало года Денежные потоки через год Покупка облигации в иенах - S S1 Дублирующий портфель ценных бумаг (синтетическая облигация в иенах) номинальной стоимостью F -F F Открытие длинной позиции по форвардному контракту по иене Покупка долларовой облигации 0 S1 - F Итоговое движение денег по дублирующему портфелю -F S1 Поскольку это эквивалентные ценные бумаги, в соответствии с законом единой цены текущая стоимость облигации в иенах, выраженная в долларах, должна быть равна текущей стоимости в долларах для синтетической облигации в иенах. Таким образом, мы приходим к уравнению паритета между форвардными и спот курсами для доллара и иены: $ ¥ 1 1 F S r r (4.19) Выражение в правой части равенства – j f j m f E r r b E r r (4.9) представляет собой текущее значение цены в долларах для облигации, деноминированной в иенах, а выражение, стоящее в левой части, — это текущая долларовая стоимость дублирующих выплат по облигации в иенах, — долларовой облигации и форвардного контракта по иене. Подобно уравнениям паритета между форвардными ценами и ценами спот для акций и облигаций уравнение паритета для валютного курса не отражает какую-либо причинно-следственную связь. Оно просто означает, что, если известны любые три из четырех входящих в него переменных, четвертую можно найти, воспользовавшись законом единой цены. |