Моделирование. Моделирование финансовой деятельности. Часть 4 (2). Тема Методы оптимизации инвестиционнофинансового портфеля компании. Управление риском и портфельная теория

• Название: Тема Методы оптимизации инвестиционнофинансового портфеля компании. Управление риском и портфельная теория
• Анкор: Моделирование
• Дата: 18.07.2022
• Размер: 2.3 Mb.
• Имя файла: Моделирование финансовой деятельности. Часть 4 (2).pdf
• Тип: Документы; #632658
• страница: 23 из 27

Курс акций на дату истечения
Рис. 4.6.1 Доходная диаграмма для опциона "колл "
Примечание. Цена исполнения для опциона "колл" равняется 100 долл.
Рассмотрим теперь доход для владельца опциона "пут", который равен max (100,
-
S,-r,0). Доходная диаграмма для опциона "пут" приведена на Рис. 4.6.2. Если курс акций на дату истечения оказывается меньше, чем цена исполнения, стоимость опциона "пут" возрастает (до максимального значения, составляющего 100) по мере того, как курс становится все ниже. Если, наоборот, курс превышает цену исполнения, владелец опциона "пут" доход не получает.
Помимо описанного выше использования опционов с целью корректировки степени риска, покупка или продажа опционов дает возможность выйти на фондовый рынок лицу, не владеющему подлежащими активами. Посмотрим, как это происходит.
Поскольку стоимость опциона "колл" представляет собой лишь часть стоимости подлежащих акций, вложение в опционы "колл" той же суммы, которая была бы вложена в акции, приводит к возникновению своеобразного "рычага". Предположим, например, что вы играете на повышение курса акций и собираетесь инвестировать с этой целью средства в объеме 100000 долл. Пусть безрисковая процентная ставка составляет 5% годовых и дивиденды по акциям не выплачиваются. Сравните ставку доходности по
32
Знак max означает, что необходимо использовать наибольшую величину из тех, которые проведены в скобках. —
Прим. ред.

145 своему портфелю ценных бумаг для одногодичного периода в случае применения трех различных инвестиционных стратегий:
1. Приобретение на 100000 долл. акций.
2. Приобретение на 100000 долл. опционов "колл".
3. Инвестирование 10000 долл. в опционы "колл", а остальной суммы — в 6ei рисковые ценные бумаги.
Курс акций на дату истечения
Рис. 4.6.2 Доходная диаграмма для опциона «пут».
Примечание. Цена исполнения для опциона "пут" равняется 100 долл.
Предположим, что курс акций составляет 100 долл., а цена опциона "колл" равняется 10 долл. При таких обстоятельствах реализация первой стратегии означает покупку пакета в 1000 акций, а в случае реализации второй стратегии — приобретение опциона на 10000 акций. Давайте теперь проанализируем соответствующие доходы они показаны на Рис. 4.6.3
Рис. 4.6.3 Доходные диаграммы для различных стратегий игры на повышение курса
акций
На Рис. 4.6.3 курс акций откладывается по горизонтали, а ставка доходности портфеля — по вертикали. Отображающий первую стратегию (см. пунктирную линию на
Рис. 4.6.3) доходный график представляет собой прямую линию с точкой безубыточности, соответствующей курсу акций, равному 100 долл. При таком значении курса доходность портфеля будет нулевой. Если курс оказывается выше 100, то доходность возрастает на
1% при каждом повышении курса акций на один процент. Если курс ниже 100, ставка доходности будет уменьшаться на 1% при каждом падении курса акций на один процент.

146
В случае второй стратегии — штриховая линия на Рис. 4.6.3— точка безубыточности достигается при курсе 110 долл. Справа от этой точки наклон превышает наклон линии для первой стратегии в 10 раз. Это связано с тем, что опцион "колл" обеспечивает такой же потенциал прибавки к доллару, как и акция, а в случае второй стратегии у вас есть в 10 раз больше опционов "колл", чем акций при применении первой стратегии. Если, однако, курс акций окажется меньше 100, вы теряете все вложенные в соответствии со второй стратегией средства, и ставка доходности оказывается равной -100%.
Таблица 4.6.3 Доходность портфеля ценных бумаг: вероятность и доходность в стратегии игры
на повышение
Состояние экономики
Вероятность
Безрисковая ставка доходности
Стратегия 1 100% инвестиций в акции
Стратегия 2 100% инвестиций в опционы «колл»
Стратегия 3 10% инвестиций в акции
Бум
Нормальное
Спад
0,2 0,6 0,2 5%
5%
5%
50%
10%
-30%
400%
0
-100%
44,5%
4,5%
-5,5%
Контрольный вопрос 4.6.3.
Четвертая стратегия состоит в том, чтобы вложить 96000долл. В безрисковые
ценные бумаги и 4000 долл. – в опционы. Какова минимальная гарантированная ставка
доходности? Чему равен наклон прямой на доходной диаграмме справа от точки,
соответствующей цене исполнения?
Таблица 4.6.4a Структура платежей для стратегии инвестирования с защищенным опционом
«пут»
Инвестиционная позиция
Стоимость позиции на дату истечения
При ST<100 долл.
При ST>100 долл.
Акции
Опцион «пут»
Акции плюс опцион «пут»
ST
100 долл.- ST
100 долл.
ST
0
ST
Таблица 4.6.4б Структура платежей для стратегии инвестирования для стратегии
инвестирования на основе бескупонной облигации и опциона «колл»
Инвестиционная позиция
Стоимость позиции на момент истечения
года
начало
на
Стоимость
года
начало
на
Стоимость
года
конец
на
Стоимость
Доходность
_
_
_
_
_
_
_
_
_


50000
. 94500
. 100000 0, 445, _
_ 44, 5%
100000 90000(1, 05)
. 100 max(
100, 0) 1000000 100000 0, 55 0, 01max(
100, 0)
T
T
долл
долл
долл
или
долл
долл
S
долл
долл
S








 



147
При
Акции
Опцион «пут»
Акции плюс опцион «пут»
100 долл.
0 100 долл.
100 долл.
ST - 100 долл.
ST
(1
)
T
E
S
P
C
r
 


(4.22)
(1
)
T
E
C
S
P
r
 


(4.23)
(1
)
(1
)
T
T
E
S
d
P
C
r

 


в сноске…
Таблица 4.6.5 Арбитражные операции с опционами «колл» и «пут»
Текущая операция
Текущее движение денег
Движение денег на дату истечения
При ST <100 долл.
При ST >100 долл.
Продажа опциона «колл»
18 долл.
0
-( ST-100 долл.)
Покупка дублирующего портфеля ценных бумаг
Синтетический опцион «колл»
Покупка акций
Получение займа в размере приведенной стоимости 100 долл.
Покупка опциона «пут»
Чистые денежные поступления
-100 долл.
92,59 долл.
-10 долл.
0,59 долл.
ST
-100 долл.
10 долл. -ST
0
ST
-100 долл.
0 0
T
r
E
S
P
C
)
1
(




акций
цен
Разнгость
опционов
стоимости
Разность
ия
хеджирован
т
Коэффициен
_
_
_
_
_

5
,
0 80 120 0
20




долл
долл
долл
Таблица 4.6.6 Создание синтетического опциона «колл»
Текущая операция
Текущее движение денег
Движение денег на дату истечения
При ST =120 долл.
При ST =80 долл.
Опцион «колл»
20 долл.
0 долл.
Синтетический опцион «колл»
Покупка ½ пакета акции
-50,000 долл.
38,095 долл.
60 долл.
-40 долл.
40 долл.
-40 долл.

148 2
1
ln( /
) (
/ 2)
S E
r
d
T
d
T


  

(4.25)
Заем 38,095 долл.
По всему портфелю
-11,905 долл.
20 долл.
0 долл.
1 2
( )
(
)
rT
C
N d S
N d Ee



2 1
ln( /
) (
/ 2)
S E
r
T
d
T


 

(4.24)
rT
P
C S
Ee

  
1 2
( ( ) 1)
(1
(
))
rT
P
N d
S
N d
Ee



 
1 2
( )
(
)
dT
rT
C
N d Se
N d Ee




T
d
d



1 2
Таблица 4.6.7 Таблица расчета стоимости опциона
S
E
R
T d

Результаты
100 100 0,08 0,5 0,03 0,2
С=6,79 долл.
Р=4,35 долл.
Таблица 4.6.8 Факторы, определяющие цену опционов
Рост
Опцион «колл»
Опцион «пут»
Курс акций S
Цены исполнения Е
Изменчивости

Времени до даты истечения Т
Процентной ставки r
Денежных дивидендов d
Растет
Снижается
Растет
Растет
Растет
Снижается
Снижается
Растет
Растет
Растет
Снижается
Растет
T
S
C

4
,
0

В случае второй стратегии — штриховая линия на Рис. 4.6.3 — точка безубыточно- сти достигается при курсе. 110 долл. Справа от этой точки наклон превышает наклон линии для первой стратегии л 10. раз. Это связана с тем, что опцион "колл" обеспечивает такой же потенциал прибавки к доллару, как и акция, а в случае второй стратегии у вас есть в 10 раз больше опционов "колл", чем акций при применении первой стратегии. Если, однако, курс акций окажется меньше 100, вы теряете все вложенные в соответствии со второй стратегией средства, и ставка доходности оказывается равной—100%.
Доходная диаграмма для третьей стратегий показана на Рис. 4.6.3 сплошной линией с изломом. Справа от курса акций, равного 100, она имеет тот же наклон, что и линия для стратегий'свложейием'в199% акций (штриховая линия), но левее этой точки она горизонтальна и соответствует -5,5%. Это обусловлено тем, что в случае падения курса акций худшее, что может произойти, — так это то, что вы потеряете свои 10000 долл., вложенные в опционы "колл". При этом 90000 долл., вложенные в безрисковые ценные
rT
Ee
S



149 бумаги, увеличатся до 94500 долл. и, таким образом, минимальная ставка доходности по вашему портфелю будет равна

5,5%*. Как видите, третья стратегия дает нам пример использования опционов для получения минимальной гарантированной доходности 7.
Все три рассмотренные стратегии, по определению, рассчитаны на повышение курса акций, поскольку они будут применяться лишь в том случае, если у инвестора есть уверенность в подобном, развитии событий на фондовом рынке. Однако выбор наилучшей из них зависит от его, представлений относительно динамики цен и степени рискованности вложений.
Предположим, например, что прогнозное состояние экономики можно описать с помощью трех сценариев, как это показано в Таблица 4.6.3. Вы считаете, что с вероят- ностью 0,2 будет наблюдаться бум и курс акций возрастет в течение года на 50%, с
<вероятностью 0,6 экономика будет находиться в нормальном состоянии и рост на рынке составит 10%, а с вероятностью 0,2 произойдет спад и курс акций снизится | на 30%.
6. В случае третьей стратегии выражение для полной доходности портфеля ценных бумаг имеет вид
7. В самом начале использования таких операций создали первый с США взатмный4 фонд, деятельности которого использовались стратегии применением опционов, — (). В их стратегии 90% актив вкладывалось в ценные бумаги, а 10% — в диверсифицированный портфель опционов "колл".
Таблица 4.6.3 Доходность портфеля ценных бумаг: вероятность и доходность в стратегии игры на повышение
Состояние экономики
Вероятность
Безрисковая ставка доходности
Стратегия 1 100% инвестиций в акции
Стратегия 2 100% инвестиций в опционы
«колл»
Стратегия 3 10% инвестиций в акции
Бум
Нормальное
Спад
0,2 0,6 0,2 5%
5%
5%
50%
10%
-30%
400%
0
-100%
44,5%
4,5%
-5,5%
В Таблица 4.6.3 показана ставка доходности для каждой из стратегий при реализации каждого из сценариев. Обратите внимание на строку, соответствующую буму.
В случае первой стратегии (100% инвестиций в акции) ставка доходности составит 50%.
При применении второй стратегии (100% в опционы "колл") ваши опционы на дату исте- чения будут стоить 500000 долл., а ставка доходности составит 400%. Для третьей стратегии (10% инвестиций в опционы "колл") ваши опционы будут стоить 50000долл., а облигации — 94500 долл., так что ставка доходности составит
года
начало
на
Стоимость
года
начало
на
Стоимость
года
конец
на
Стоимость
Доходность
_
_
_
_
_
_
_
_
_


100000 1000000
)
0
,
100
max(
100
)
05
,
1
(
90000
долл
долл
S
долл
T




)
0
,
100
max(
01
,
0 55
,
0




T
S
%
5
,
44
_
_
,
445
,
0 100000 100000 94500 50000
или
долл
долл
долл
долл




150
Сравните теперь распределение вероятности доходности для этих трех стратегий по всем трем сценариям. Обратите также внимание на тот факт, что ни одна из перечис- ленных стратегий не приводит к лучшему результату во всех трех случаях. Вторая стратегия (100% покупка опционов "колл") лучше всего срабатывает в случае бума в экономике, но оказывается худшей в двух других случаях. Третья стратегия дает лучший результат при спаде, но оказывается хуже всего в случае развития других сценариев.
Первая стратегия оказывается оптимальной при нормальном состоянии экономики, но в двух других случаях попадает на второе место.
Таким образом, ни одну из стратегий нельзя считать лучшей во всех отношениях. В зависимости от того, насколько допустимым является для инвестора риск, он может выбирать любую из них. Действительно, инвестор, очень неохотно идущий на риск, может предпочесть вложить всю сумму в безрисковыё ценные бумаги, чтобы в любом! случае получить 5%-ную доходность.
Контрольный вопрос 4.6.3.
Четвертая стратегия состоит в том, чтобы вложить 96000долл. В безрисковые
ценные бумаги и 4000 долл. – в опционы. Какова минимальная гарантированная ставка
доходности? Чему равен наклон прямой на доходной диаграмме справа от точки,
соответствующей цене исполнения?
4.6.3. Паритет опционов "пут" и "колл"
В предыдущем разделе мы показали, что при использовании стратегии, предусматривающей вложение части средств в безрисковые ценные бумаги, а части — в опционы "колл", можно создать портфель с гарантированной минимальной стоимостью. тот портфель характеризуется таким же наклоном графика цена/доходность, что и клон графика в случае вложения в акции, лежащие в основе опциона. Существует и ной путь получения таких же денежных доходов от инвестиций: покупка акций и опциона "пут".
В табл. 15.4а и на рис. 15.4а показаны платежи, относящиеся к двум отдельным составляющим такой стратегии, которая именуется "защищенный опцион пут" ("рпйесйуе ри1") и проиллюстрировано, как они дополняют друг друга, обеспечивая хеджирование акций. Минимальная стоимость такого портфеля равна цене исполнения 100 долл.
Анализ другой инвестиционной-стратегий, направленной на хеджирование вложе- ний в акции и предусматривающей покупку опциона "колл" и инвестирование части средств в безрисковые облигации, дан в Таблица 4.6.4a и на Рис. 4.6.4b. Портфель, со- стоящий из акций плюс европейский опцион "пут" (с ценой исполнения Е) оказывается эквивалентным портфелю, состоящему из безрисковой бескупонной облигации (с номинальной стоимостью Е) и европейского опциона "колл" (с ценой исполнения Е)8. В соответствии с законом единой цены они должны иметь одинаковую стоимость.
Таблица 4.6.4a Структура платежей для стратегии инвестирования с защищенным
опционом «пут»
Инвестиционная позиция
Стоимость позиции на дату истечения
При ST<100 долл.
При ST>100 долл.
Акции
Опцион «пут»
Акции плюс опцион
«пут»
ST
100 долл.- ST
100 долл.
ST
0
ST

151
Рис. 4.6.4а Доходная диаграмма для стратегии инвестирования с использованием
защищенного опциона "пут"
* В случае американских опционов, которые могут быть выполнены до даты истечения, это равенство несколько изменяется.
Таблица 15.4б. Структура платежей для стратегии инвестирования на основе бескупонной облигации и опциона «колл»
Инвестиционная позиция
Стоимость позиции на момент истечения
При
Акции
Опцион «пут»
Акции плюс опцион
«пут»
100 долл.
0 100 долл.
100 долл.
ST - 100 долл.
ST
Рис. 4.6.4 б Доходная диаграмма для стратегии инвестирования на основе
бескупонной облигации опциона "колл"
Связь между ценами описывается следующим соотношением:
(1
)
T
E
S
P
C
r
 


(1
)
T
E
S
P
C
r
 


(4.22) где 8 — курс акций, Е — цена исполнения опциона, Р — цена опциона "пут", г — безрисковая процентная ставка, Г-— промежуток времени до даты истечения опциона, а С
— цена опциона "колл"9.
Уравнение
(1
)
T
E
S
P
C
r
 


(4.22) представляет собой уравнение Паритета опционов "пут" и "колл" (put-call parity relation). Помимо использования с целью определения цены любой из четырех ценных бумаг по стоимости трех других, его можно применить также в качестве своеобразного "рецепта" для синтезирования одной из указанных ценных бумаг с помощью остальных трех. Например,

152 переписывая уравнение
(1
)
T
E
S
P
C
r
 


(4.22) в несколько иной форме, мы находим, что опцион "колл" можно получить в результате следующих действий: инвестор приобрел акции, одновременно одолжив сумму, соответствующую приведенной стоимости цены исполнения (т.е. продал коротко бескупонную и без- рисковую облигацию с номинальной стоимостью Е) и купил опцион "пут":
(1
)
T
E
C
S
P
r
 


(1
)
T
E
C
S
P
r
 


(4.23)
Уравнение
(1
)
T
E
C
S
P
r




(4.23) дает некоторое представление о том, какова природа опциона "колл". В соответствии с этим уравнением опцион "колл" можно разложить на три части.
1. Покупка акций.
2. Заем денег для покупки части акций (применение эффекта рычага).
3. Страхование от риска снижения курса акций (покупка опциона "пут").
До этого момента в обсуждении предполагалось, что выплат дивидендов по акциям до срока истечения опциона не происходит. В общем случае возможная выплата дивидендов усложняет уравнение паритета опционов "пут" и "колл". При этом, однако, одним из частных случаев, в котором корректировка уравнения паритета очевидна, оказывается случай выплат совершенно определенного и постоянного процентного дохода по дивидендам, а один раз в год. В этом случае уравнение паритета принимает вид
(1
)
(1
)
T
T
E
S
d
P
C
r

 


Соотношение
(1
)
T
E
C
S
P
r




(4.23) можно также рассматривать как формулу для конвертации опциона "пут" в опцион "колл" и обратно.
Предположим, например, что значения переменных в правой части уравнения
(1
)
T
E
C
S
P
r




(4.23) составляют:
100долл.,
100долл.,
1год,
0,08 и
10долл.
S
E
T
r
Р





В таком случае стоимость опциона "колл", С, должна быть равна 17,41 долл. Вы- числяется она так:
100 100 1, 08 10 17, 41
С




Для того чтобы увидеть, почему так происходит, предположим, что С равна 18 долл. и отсутствуют препятствия для арбитража. В таком случае цена-опциона "коля" слишком высока. Для арбитражера в такой ситуации есть смысл в том, чтобы продать опционы "колл" и купить их эквивалент е применением стратегии замещения. Другими словами, продать дорого и купить дешево. Общие расходы на покупку акций составляют
100 долл.; меньшая часть, 92,59 долл. берется взаймы. Общие издержки при использова- нии кредитования для покупки акций составляют, таким образом, 7,41 долл. Хеджиро- вание торговых позиций от риска снижения курса (покупки опциона "пут") обходится в 10 долл., в результате чего общая стоимость синтетического опциона "колл" составляет 17,41 долл. Биржевой трейдер будет продавать опционы "колл" по цене 18 долл., зарабатывая
0,59 долл. разницы между ценой? опциона "колл" и затратами на создание синтетического опциона "колл", составляющими 17,41 долл. В Таблица 4.6.5 показаны операции, которыми сопровождаются описанные выше процессы.
Таблица 4.6.5 Арбитражные операции с опционами «колл» и «пут»
Текущая операция
Текущее движение денег
Движение денег на дату истечения

153
При ST <100 долл.
При ST >100 долл.
Продажа опциона «колл»
18 долл.
0
-( ST-100 долл.)
Покупка дублирующего портфеля ценных бумаг
Синтетический опцион «колл»
Покупка акций
Получение займа в размере приведенной стоимости 100 долл.
Покупка опциона «пут»
Чистые денежные поступления
-100 долл.
92,59 долл.
-10 долл.
0,59 долл.
ST
-100 долл.
10 долл. -ST
0
ST
-100 долл.
0 0
Некоторые дополнительные сведения о характере взаимосвязей между опционами "пут", опционами "колл", акциями и облигациями можно получить, перегруппировав слагаемые в уравнении
(1
)
T
E
C
S
P
r




(4.23) следующим образом:
T
r
E
S
P
C
)
1
(




В таком виде уравнение паритета опционов "пут" и "колл" свидетельствует о том, что
• если курс акций равен приведенной стоимости цены исполнения опциона, то цена опциона "колл" равна цене опциона "пут";
• если курс акций превышает приведенную стоимость цены исполнения опциона, то цена опциона "колл" превышает цену опциона "пут";
• если курс акций меньше приведенной стоимости цены исполнения опциона, то цена опциона "пут" превышает цену опциона "колл".