Моделирование. Моделирование финансовой деятельности. Часть 4 (2). Тема Методы оптимизации инвестиционнофинансового портфеля компании. Управление риском и портфельная теория
 Скачать 2.3 Mb.
|
|
4.6.4. Влияние изменчивости курса акций на цену опциона Чем выше изменчивость курса акций, тем выше цены и опционов "пут", и опционов "колл" на эти акции. Для того чтобы понять, почему это происходит, рассмотрим случай, в котором цена интересующего инвестора пакета акций может принять через год, считая с сегодняшней даты, только одно из двух значений — либо 120 долл., либо 80 долл. — причем каждое из них с вероятностью 0,5 33 Таким образом, ожидаемая (или, говоря иначе, средняя) цена пакета акций к концу года составит 0,5 х 120 долл. + 0,5 х 80 долл. = 100 долл. Рассмотрим теперь опцион "колл" на акции с ценой исполнения 100 долл., дата истечения для которого наступает через один год. При наступлении срока истечения опцион "колл" либо принесет доход в 20 долл., если цена пакета акций составит 120 долл., 33 В этом разделе использование одинаковых по своему значению терминов "курс акций " и "цена акций " обусловлено стилистическими требованиями. В рассматриваемых примерах пакет акций состоит из 1 акции. — Прим. ред. 154 либо не будет реализован, если цена составит 80 долл. Таким образом, ожидаемые (средние) поступления по опционам "колл" равны 0,5 х 20 долл. +0,5х0= 10 долл. Предположим, что цена пакета акций становится более изменчивой, при этом его ожидаемая (средняя) в конце года цена остается прежней. Предположим, например, что два возможных значения цены акций в конце года равны теперь 200 долл. и О, каждое из них может наблюдаться с вероятностью 0,5. Ожидаемая к концу года цена пакета акций по-прежнему равна 100 долл. (0,5 х 200 долл. + 0,5 х 0), однако изменчивость цены теперь значительно выше. Ожидаемая величина денежных платежей по опциону "колл" составит теперь 50 долл. {0,5 х 100 долл. + 0,5 х 0), что выше прежнего на 40 долл. Понятно, что цена опциона "колл" возрастет. Таким образом, мы видим, что повышение изменчивости цени (при неизменной текущей цене акций) приводит к увеличению' ожидаемых доходов по опционам "коля" на эти акции и, таким образом, к повышению складывающейся цены на них. Такое же утверждение справедливо и для опционов "пут". Аналогичные соображения применимы и в более общем случае — при непрерыв- ном распределении вероятностей для цены акций, лежащих в основе опциона. Доход от опциона на дату истечения не может быть отрицательным. В худшем .случае опцион ничего не будет стоить и контракт не будет выполняться. Таким образом, распределение вероятностей для доходов по опционам при нуле обрезается. Это приводит к тому, что ожидаемые доходы по опционам растут тем больше, при неизменном значении ожидаемых (средних) доходов по акциям, чем больше изменчивость цены подлежащих акций. Итак, усиление изменчивости курса акций при неизменном текущем курсе и ожи- даемой доходности акций приводит к повышению ожидаемой доходности опционов "пут" и опционов "колл'* на эти акции. Следовательно, при повышении изменчивости курса акций возрастают цены на опционы "пут" и "колл". Более того, из уравнения паритета опционов "пут" и "колл" следует, что повышение изменчивости курса акций должно приводить к одинаковому росту цен на опционы "колл" и соответствующие опционы "пут" (т.е. опционы "пут", имеющие тот же срок истечения и цену выполнения, что и опцион "колл"). 4.6.5. Двухступенчатая (биномиальная) модель оценки стоимости опционов Как мы уже видели при рассмотрении уравнения паритета опционов "пут" и "колл" (уравнение (1 ) T E C S P r (4.23)), с его помощью можно выразить цену опциона "колл" через курс подлежащих акций, безрисковую процентную ставку и цену соответствующего опциона "пут". Однако было бы желательно иметь возможность рассчитывать цену на опцион "колл", не зная цену на опцион "пут". Для этого необходимо сделать некоторые предположения относительно распределения вероятностей для предполагаемого в будущем курса акций. , Предположим, что курс акций может принимать при наступлении срока истечения опциона только одно из двух возможных значений. Несмотря на то что. такое предпо- ложение нереалистично, подобная двухступенчатая модель() создает основу для более 155 реалистичной и широко используемой на практике биномиальной модели () оценки стоимости опционов. Интуитивное представление о стоимости опционов на основании двухступенчатой модели ведет также и к модели Блэка—Шоулза. Метод, используемый в данном случае, подобен тому, что применялся для получе- ния уравнения паритета опционов "пут" и "колл". При использовании только акций и безрискового займа конструируется синтетический опцион "колл". Далее в соответствии с законом единой цены определяется цена опциона "колл", которая должна равняться цене построенного таким образом синтетического опциона "колл". Рассмотрим одногодичный опцион "колл" с ценой исполнения 100 долл. Мы исхо- дим из того, что цена подлежащего пакета акций в данный момент составляет 100 долл. и может; вырасти или упасть в течение года на 20%. Таким образом, на дату истечения опциона, через год, считая от сегодняшней даты, цена может оказаться равной либо 120 долл., либо 80 долл. Безрисковая: процентная ставка равна 5% годовых. Сравним теперь доход по опционам "колл" с доходом портфеля, состоящего из акций, покупка которых частично финансировалась с использованием средств, полу- ченных в кредит по безрисковой ставке. Поскольку в качестве обеспечения займа вы- ступают сами акции, максимальная сумма, которую инвестор может получить в виде займа под безрисковую процентную ставку, соответствует приведенной стоимости акций, исходя из минимально возможной через год их цены. Минимальная цена равна 80 долл., таким образом сумма, которую можно получить взаймы сегодня, равна 80 долл. / 1,05 = 76,19 долл. Доходы по этому портфелю находятся в следующей зависимости от курса акций через год. Далее следует найти, какая часть пакета акций необходима для дублирования дохо- да по опциону "колл". Такая часть называется коэффициентом хеджирования () опциона. В более широком смысле коэффициент хеджирования в двухступенчатой модели представляет собой разность между двумя возможными денежными платежами по опциону, делённую на разность двух возможных предельных цен пакета подлежащих акций: В данном случае это акций цен Разнгость опционов стоимости Разность ия хеджирован т Коэффициен _ _ _ _ _ 5 , 0 80 120 0 20 долл долл долл 156 Таким образом, если бы мы купили 1/2 пакета акций и заняли для этих целей только 38,095 долл., у нас получился бы синтетический опцион "колл". Сумма займа представляет собой максимальную сумму, которая может быть совершенно определенно возвращена с процентами по наступлении срока истечения. Поскольку в нашем примере худший из возможных результатов для половины пакета акций составляет 40 долл., подлежащая займу. сумма равна приведенному значению 40 долл., дисконтированному по безрисковой процентной ставке 5%, что составляет 38,095 долл. В Таблица 4.6.6 показаны денежные платежи по самому опциону "колл" и посинтетическому опциону "колл", генерируемому таким дублирующим портфелем. В соответствии с законом единой цены опцион "колл" и соответствующий ему дублирующий портфель (синтетический опцион "колл") должны иметь одинаковую стоимость, в результате чего цена опциона "колл" должна равняться С =0,5^-38,095 долл. = 50 долл. - 38,095 долл. =11,905 долл. 4.6.6. Динамическое дублирование опционов и биномиальная модель Рабочая книга Достаточно очевидно, что предположение о существовании через год |Д| только двух возможных значений курса акций является совершенно нереальным. Для того чтобы сделать наш анализ более реалистичным, мы в 15.6 дополнительно разделив годичный срок на два периода по полгода и предположим, что курс акций может вырасти либо снизиться в течение каждого полугодия на 10 долл. Таким образом, за год цена пакета акций может измениться максимально на 20 долл. в сторону повышения или понижения. Теперь в конце года будут существовать три возможных курса акций (120 долл., 100 долл. или 80 долл.), а соответствующие доходы по опциону "колл" составят 20 долл., 0 и 0. Используемый метод состоит в нахождении стратегии инвестиционного самофинансирования (self-financing investment), способной продублировать структуру де- нежных платежей (доходов) по опциону "колл" Эта стратегия оказывается динамической, требующей корректировки количества акций и объема займа по истечении шести месяцев в соответствии со сложившимся к этому моменту курсом акций. Примем также, что после начального вложения денег инвестор не добавляет и не забирает средств. В каждый момент времени данная стратегия сводится к тому, что уже было рассмотрено в приведенной в предыдущем разделе двухступенчатой модели. На Рис. 4.6.5 соответствующие операции показаны в виде дерева решений. 157 Рис. 4.6.5 Дерево решений для динамического дублирования опциона ''колл''. Начальный курс акций составляет 100 долл. (точка А). Вначале осуществляется по- купка 1/2 пакета акций за 50 долл., для чего берется заем в размере 45 долл. Таким образом, чистое вложение собственных денежных средств составляет 5 долл. В конце первого шестимесячного периода курс акций составляет либо 110 долл. (точка В), либо 90 долл. (точка С). 13сли ситуация соответствует точке В, следует дополнительно получить заем в размере 55 долл. и купить вторую половину пакета акций. Если же реализуется ситуация, описываемая точкой С, то следует продать акции и погасить заем в 45 долл. Применение такой стратегии обеспечивает к концу года в точности те же денежные платежи, что и реализация опционного контракта. Данная стратегия после первоначального вложения денежных средств основана на полном самофинансировании. Это означает, что до даты истечения опциона инвестор не вносит дополнительных средств и не забирает средств. Данный результат следует ив того, что, поскольку начальные затраты на применение самофинансирующейся динамической стратегии для формирования портфеля, дублирующего денежные платежи по опциону, составляют 5 долл., в соответствии с законом единой цены сумма в 5'долл. и должна выражать стоимость опциона. (Рассмотренная выше модель оценки стоимости опциона более совершенна, чем двухступенчатая модель. Она называется биномиальной моделью оценки стоимости опциона 11 (binomial option-pricing model). Большая реалистичность и точность в биноми- альной модели достигаются при делении промежутка времени в один год на все меньшие и меньшие интервалы. Биномиальные модели оценки стоимости опционов широко применяются на практике. Число используемых промежутков времени зависит от требуемой в данном конкретном случае точности. 4.6.7. Модель ценообразования опционов блэка-шоулза Рабочая книга Более реалистичная и часто используемая на практике модель оценки стоимости опционов на акции — это модель "Блэка—Шоулза". При ее выводе используются соображения, аналогичные 15.7 описанным выше, однако при этом предполагается осуществление непрерывной корректировки дублирующего портфеля. В исходную формулу Блэка—Щоулза для определения цены европейского опциона "колл", входят пять параметров, значение четырех из которых доступны инвесторам: 158 2 1 ln( / ) ( / 2) S E r d T d T (4.27) курс акций 5, цена исполнения Е, безрисковая процентная ставка (непрерывно на- числяемая процентная ставка 34 в пересчете на год для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона) r, и промежуток времени до срока истечения опциона Т. Эта формула имеет вид: rT Ee d N S d N C ) ( ) ( 2 1 2 1 ln( / ) ( / 2) S E r T d T (4.26) rT Ee S C P где С — цена опциона "колл" S — курс акций Е — цена исполнения опциона r— безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая процентная ставка (в пересчете на год) для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона)) T—промежуток времени до срока истечения опциона в годах σ— риск подлежащей акции, измеряемый стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент (в расчете на год) 1n—натуральный логарифм е — основание натурального логарифма (приблизительно 2,71828) М(а) — вероятность того, что значение нормально распределенной переменной меньше Выражение для стоимости опциона "пут" можно получить, произведя подстановку величины С из уравнения паритета опционов "пут" и "коля", т.е. воспользовавшись соотношением rT P C S Ee . В результате получаем формулу для нахождения стоимости опциона "пут": rT Ee d N S d N P )) ( 1 ( ) 1 ) ( ( 2 1 При выводе своего уравнения Блэк и Шоулзпредположили, что до даты истечения опциона выплата дивидендов не производится. Мертон обобщил эту модель, добавив к ней возможность получения постоянного дивидендного дохода, №14 В результате была получена формула для оценки стоимости опциона с учетом дивидендов: rT dT Ee d N Se d N C ) ( ) ( 2 1 2 1 ln( / ) ( / 2) S E r T d T (4.26) 2 1 ln( / ) ( / 2) S E r T d T (4.26) T d d 1 2 Обратите внимание на тот факт, что ожидаемая доходность акций в выражении для оценки стоимости опциона в явном виде не фигурирует. Ее влияние осуществляется через изменение курса акций. Любые изменения в ожиданиях Относительно будущего курса акций или ожидаемой доходности от инвестиций в акции будут приводить к изменению курса акций и, таким образом, к изменению стоимости опциона "колл". Однако при любом заданном курсе акций цену опциона можно определить и не зная ожидаемой 34 Непрерывно начисляемая ставка доходности равна натуральному логарифму (1+ ставка доходности). 159 rT Ee S доходности акций. Финансовые аналитики, спорящие по поводу ожидаемой доходности акций, вполне могут, исходя из складывающегося курса акций, прийти к единому мнению относительно цены опциона. В реальной ситуации ни изменчивость (о), ни дивидендная доходность акции (а) не известны с полной определенностью, и опыт свидетельствует о том, что обе эти величины подвержены случайным изменениям с течением времени. На практике используются специально разработанные модели, учитывающие вероятностный характер этих переменных. Расчет с использованием формулы оценки стоимости опциона с корректировкой по выплате дивидендов, выраженной уравнением 2 1 ln( / ) ( / 2) S E r T d T (4.26) 2 1 ln( / ) ( / 2) S E r T d T (4.26) , легко проводится с применением электронных таблиц. Один из примеров таких расчетов включен в качестве приложения к этому учебнику. Для удобства представим информацию в виде таблицы, подобно тому, как это сде- лано при расчете приведенной стоимости в главе 4; Предположим, например, что мы хотим рассчитать стоимость опционов "колл" и "пут" сроком на шесть месяцев с ценой исполнения 100 долл., для которых курс подлежащих акций равен 100 долл., дивидендная доходность составляет 3% годовых, а изменчивость курса акций равна 0,20. Безрисковая ставка равна 8% годовых. Исходные и выходные данные программы оценки стоимости опционов представлены в Таблица 4.6.9. Таблица 4.6.9 Таблица расчета стоимости опциона S E R T d Результаты 100 100 0,08 0,5 0,03 0,2 С=6,79 долл. Р=4,35 долл. В Таблица 4.6.8 кратко охарактеризовано влияние шести исходных параметров на цены опционов "колл" и опционов "пут", в соответствии с уравнением (4.27) Эта таблица интерпретируется следующим образом. • Увеличение курса подлежащих акций приводит к росту цен на опционы "колл" и снижению цен на опционы "пут". • Увеличение цены исполнения приводит к снижению цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут". • Усиление изменчивости курса акций приводит к росту цен как на опционы "колл", так и на опционы "пут". • Увеличение промежутка времени до даты истечения опциона приводит к росту цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут"15. • Увеличение процентной ставки приводит к росту цен на опционы "колл" и снижению цен на опционы "пут". • Увеличение дивидендной доходности приводит к снижению цен на опционы "колл" и росту цен на опционы "пут". В частном случае, когда курс акций, лежащих в основе опциона, равен приведен- ному значению цены "страйк" (т.е.), для расчета цен опционов можно ис- пользовать удобную приближенную формулу T S C 4 , 0 Такое приближение справедливо и для цены опционов "пут". Таким образом, если курс акций равен 100, цена "страйк" равна 108,33 долл., срок истечения составляет один год, безрисковая процентная ставка составляет 8%, выплаты по дивидендам равны нулю, а 160 изменчивость курса равняется 0,20, приблизительная стоимость как опциона "колл", так и опциона "пут" равна 0,08 цены акций, или 8 долл16. Если для расчета соответствующих цен на такие опционы воспользоваться точной формулой (уравнение 2 1 ln( / ) ( / 2) S E r T d T (4.26) 2 1 ln( / ) ( / 2) S E r T d T (4.26) (4.27)), окажется, что приближенная формула дает достаточно точные результаты: 15 Это относится только к американским опционам. 16 Обратите внимание на тот факт, что процентная ставка в приближенную формулу невходит. |