Теоретические основы квантовых приборов. Теоретические основы
 Скачать 0.84 Mb.
|
|
2.2. Конфокальный резонатор В открытых резонаторах зеркала всегда имеют конечные размеры. Ди- фракция света на формируемых этими размерами апертурах определяет в значительной мере параметры мод резонатора. Полную информацию о ха- рактеристиках резонатора можно получить только из волновой теории резо- наторов. Разработанная Фоксом и Ли для плоскопараллельного резонатора, она была затем развита Бойдом и Гордоном для конфокального резонатора. Конфокальный резонатор занимает особое место среди других типов резона- тора, поскольку для его мод получено аналитическое решение, и, как будет показано далее, характеристики других типов резонаторов можно получить из характеристик соответствующего ему некоторого конфокального резона- тора, называемого также эквивалентным конфокальным резонатором. В анализе используется так называемое скалярное приближение: элек- тромагнитное поле в резонаторе считается почти поперечным и однородно поляризованным. Будем считать зеркала квадратными с поперечным разме- ром 2a (рис. 17). Радиусы зеркал R = L, где L – так называемый конфокаль- ный параметр (длина конфокального резонатора). Обозначим U 1 (P 1 ) распре- деление поля на зеркале З Благодаря дифракции это поле создаст некоторое распределение поля U 2 (P 2 ) на зеркале З2. Его можно вычислить через U 1 (P 1 ) с помощью интеграла Кирхгофа ( ) ( )( ) ∫ θ + λ − = 1 1 1 1 2 2 exp cos 1 2 S dS r ikr P U i P U (48) Интегрирование проводится по пло- щади первого зеркала, n – нормаль к элементу площади dS 1 , остальные элементы приведены на рис. 17. По- скольку резонатор является симмет- ричным, и в предположении, что поле U 1 (P 1 ) = U(P 1 ) принадлежит моде ре- зонатора, распределения полей на зеркалах могут отличаться только множителем U 2 (P 2 ) = σU(P 2 ). Тогда выра- жение (48) приобретает вид Рис. 17 З1 З2 2 a x y z P 2 P 1 r n θ 30 ( ) ( )( ) ∫ θ + λ − = σ 1 1 1 2 exp cos 1 2 S dS r ikr P U i P U (49) Уравнение (49) принадлежит к классу однородных интегральных урав- нений Фредгольма второго рода. Его решения определяют распределение по- ля моды на зеркалах, а собственные числа Φ σ = σ i exp определяют дифрак - ционные потери мощности за один проход резонатора 2 1 σ − = µ d и запаз- дывание фазы волны Φ при распространении от зеркала к зеркалу: σ = Φ arg Из условия π = Φ 2 2 q , где q – целое число, находим собственные (резонанс- ные) частоты мод. Если решение найдено, то при помощи интеграла Кирхго- фа (48) электромагнитное поле может быть найдено в любой точке простран- ства внутри и вне резонатора. Решение упрощается при учете параксиального приближения L >> a и в приближении больших чисел Френеля 1 >> N , где число Френеля определя- ется как L a N λ = 2 В декартовой системе координат переменные, описывающие распреде- ление поля в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, разделяются: ( ) ( ) ( ) y U x U y x U n m mn = , В этом случае аналитическое решение уравнения (49) может быть представлено через полиномы Эрмита ( ) x H k в виде ( ) ( ) , exp 2 , exp 2 2 2 λ π − λ π = λ π − λ π = y L L y H C y U x L L x H C x U n n n m m m (50) m C и n C – постоянные нормирующие множители Приведем выражения для нескольких первых полиномов Эрмита , графики которых в нормированном виде представлены на рис . 18: ( ) ( ) ( ) ( ) 12 8 ; 2 4 ; 2 ; 1 3 3 2 2 1 0 x x x H x x H x x H x H − = − = = = (51) Функции (50) описывают так называемые гауссовские пучки электромагнит - ных волн Они являются естественными состояниями пучков света , прохо - дящих через конечные апертуры и испытывающих дифракцию Индексы m = 0, 1, 2… и n = 0, 1, 2… называются индексами поперечной моды и равны 31 числу нулей полинома Эрмита по соответствующей координа- те. Они определяют распределе- ние поля в поперечном сечении пучка на зеркалах. Мода резонатора обозна- чается mnq TEM (Transverse Electromagnetic Wave – попе - речная электромагнитная волна ) и характеризуется тремя индек - сами Продольный индекс q характеризует стоячую волну в направлении оси резонатора z , аиндексы m и n характеризуют распределение интенсивности пучка света в поперечных направлениях x и y Мода q 00 TEM называется осе- вой и имеет гауссовское распределение интенсивности (рис. 19). Примеры распределения интенсивности света в модах q 10 TEM и q 21 TEM также при- ведены на этом рисунке. Чтобы определить распределение в конкретной мо- де, используют аналитическое представление уравнений (50) и (51) или же следующее правило: при чет- ном индексе пятно находится в центре по соответствующей координате, а число пятен в направлении данной оси рав- но значению индекса попе- речной моды плюс единица. В случае круглых зеркал реше- ние проводится в цилиндрической системе координат, а собственные функ- ции выражаются через полиномы Лагерра. 2.3. Гауссовские пучки света в резонаторе За пространственную границу пучка принимают поверхность, на кото- рой при удалении от оси резонатора амплитуда поля падает в e раз (из-за гауссовcкого множителя), а интенсивность поля при этом падает в 2 e раз. Эта поверхность называется каустической поверхностью пучка света, для Рис. 18 Рис. 19 TEM00q y x TEM10q y x TEM32q y x H 1 (x) H 2 (x) H 3 (x) –1 0 1 H 0 (x) x 0 –1 1 32 продольной моды q 00 TEM конфокального резонатора она представлена на рис . 20. В случае прямоугольных зеркал она составлена из фрагментов четы - рех гиперболических цилиндров , а в случае круглых зеркал ( случай осевой симметрии ) представляется гиперболоидом вращения Волновые фронты поля пока - заны пунктирными линиями На зеркалах они совпадают со сферической поверхностью зеркала , а в центре резонатора фронт волны является плос - ким Сечение пучка в центре резонатора , где оно минимально , называется перетяжкой гауссовского пучка Полуширина пятна на зеркалах w определя - ется из (50) как π λ = L w (52) Анализ собственных функций конфокального резонатора показывает , что гауссовские пучки обладают двумя основными свойствами – радиус вол - нового фронта в точке с продольной координатой z определяется только конфокальным параметром L ( ) ] ) 2 ( 1 [ 2 z L z z R + = ; (53) и радиус луча определяется радиусом перетяжки и конфокальным параметром ( ) ] ) 2 ( 1 [ 2 0 L z w z w + = (54) Используя эти свойства , можно определить основные параметры гаус - совских пучков , представляющих моды конфокального резонатора Из рис . 20 следует , что продольная координата места расположения зеркала ре - зонатора 2 / L z = Подставим это значение в (54) и , используя (52), найдем радиус перетяжки : π λ = 2 0 L w (55) Из (53) следует, что минимальное значение радиуса кривизны волнового фронта находится на зеркалах и составляет ( ) L L R = 2 Очень важным пара - метром является угол расходимости φ излучения в дальней волновой зоне ( на большом расстоянии от резонатора – рис . 21). Значения этого угла составля - ют порядка нескольких угловых минут Поэтому заменяем ϕ ≈ ϕ sin и вычис- ляем с учетом (53) – (60) угол расходимости Рис. 20 z -L/2 0 2 w L/2 2 w 0 33 ( ) ( ) L L w z R z w z π λ = = = ϕ ∞ → 2 2 lim 0 Таким образом, в резуль- тате анализа конфокального ре- зонатора можно получить пол- ную информацию о структуре поля внутри и вне резонатора. Данные результаты являются основой для по- лучения информации и о структуре поля произвольного резонатора. Для это- го используют метод эквивалентного конфокального резонатора. Рассмотрим волновые фронты гауссовского пучка (рис. 22). В любом резонаторе они должны совпадать с поверхностями зеркал. Пусть заданы па- раметры произвольного резонатора 1 R , 2 R и L . В нем существует гауссов- ский пучок с конфокальным па- раметром э L , назовем это значе- ние эквивалентным конфокаль- ным параметром резонатора. Данное поле вместе с зеркалами резонатора представлено на рис. 2 Будем считать, что z 1 и z 2 по- ложительны, если перетяжка находится между зеркалами ре- зонатора. Запишем радиусы кри- визны волновых фронтов в ме- стах расположения зеркал: ( ) ( ) + = + = + = ], 2 1 [ ], 2 1 [ 1 2 2 2 э 2 2 2 1 э 1 1 z z L z L z R z L z R В результате получим систему трех уравнений , решения которых можно за - писать через параметры конфигурации (45) (i, k = 1, 2): ( ) ( ) 2 1 , 2 1 2 э k i k i i k i k i k i k i k i g g g g g g L z g g g g g g g g L L − + − = − + − = (56) Рис. 21 Рис. 22 2 w φ z 0 R L э z2 z1 z 0 R1 R2 L 34 Параметры (56) полностью описывают гауссовский пучок, который форми- руется в резонаторе. Подставим зависимость w(z) в (50) согласно (54): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) exp 2 , , exp 2 , 2 2 2 2 − = − = z w y z w y H C z y U z w x z w x H C z x U n n n m m m Данные выражения описывают распределение амплитуды электромагнитного поля гауссовского пучка в любой точке пространства. Это поле определяется только одним параметром – конфокальным параметром пучка L. 2.4. Частоты мод и потери в резонаторах Анализ спектра частот резонатора методом, описанным в 3, дает для произвольного резонатора следующее выражение для частоты моды (из условия баланса фаз): ( ) [ ] 2 1 1 arccos 1 2 g g n m q L c mnq + + π + = ν − (57) Отсюда получаем спектр частот конфокального резонатора ( ) [ ] n m q L c mnq + + + = ν 1 4 Из этого выражения следует , что частотный спектр конфокального резонато - ра является вырожденным Интервал между соседними частотами спектра составляет c/4L, что связано с кратностью интервала между продольными модами ( равного c/2L, как и в остальных типах резонаторов ) интервалу меж - ду поперечными модами конфокального резонатора ( равному c/4L). Интересно сравнить этот спектр ( рис . 23, б ) со спектром плоскопарал - лельного резонатора ( рис . 23, а ), который не может быть получен из общего выражения (57), так как рассчитывается в приближении плоских волн Ре - зультат этого расчета дается выражением ( ) + + = ν 2 2 2 4 2 1 2 a L q n m L q c mnq (58) 35 Спектры продольных мод TEM 00q этих резонаторов совпадают, но поперечные моды в плоскопараллельном резонаторе располагаются группами вокруг про- дольной моды. Частотные интервалы между со- седними поперечными модами плоско- параллельного резонатора из-за нели- нейности соотношения (58) по m и n не являются эквидистантными. Они опре- деляются согласно выражению ( ) N m m qa L L c q m 8 2 / 1 2 / 1 4 2 2 2 + ν ∆ = + = ν ∆ , где N – число Френеля, а L c q 2 / = ν ∆ Отметим , что в плоскопараллельном резонаторе тоже есть частотное вырождение мод ( поперечных ), поскольку частоты мод с одинаковым значе - нием 2 2 n m + совпадают Потери в резонато - рах различного типа обыч - но определяются с помо - щью численных решений соответствующих уравне - ний Результаты их реше - ний для плоскопараллель - ного и конфокального ре - зонаторов приведены на рис . 24. На практике исполь - зуют устойчивые резонато - ры со значениями парамет - ров конфигурации , нахо - дящимися в диапазоне Рис. 23 Рис. 24 c/2L 10q 00q 11q 00q+1 a б 00q 10q 01 q 00q+1 20q П от ер и эн ер ги и, % N TEM 00q TEM 10q TEM 20q TEM 00q TEM 10q 0.1 1 10 100 1E-3 0.01 0.1 1 36 1 0 1 < < g … 1 0 2 < < g , которые имеют минимальные потери, почти не зави- сящие от слабой разъюстировки зеркал. Одно из зеркал резонатора (выход- ное) выбирается плоским, а второе – с радиусом кривизны R > L. В кольцевых резонаторах используют симметричные схемы, чтобы из- бежать появления невзаимности встречных волн, – в треугольном резонаторе – одно сферическое зеркало и два плоских, а в четырехугольном – два сфери- ческих и два плоских. Для управления добротностью резонатора в режиме генерации импуль- сов широко используют электрооптические затворы. Основным звеном таких затворов являются электрооптические элементы, выполненные в виде ячейки Керра или ячейки Поккельса. Ячейка Керра представляет собой конденсатор, диэлектрическая ком- понента которого обладает свойством приобретать двойное лучепреломление под действием электрического поля (эффект Керра). Вещество в ячейке под воздействием электрического поля становится в оптическом отношении по- добным одноосному кристаллу с оптической осью вдоль направления элек- трического поля. Разность показателей преломления обыкновенного o n и не- обыкновенного e n лучей пропорциональна квадрату напряженности элек- трического поля E: 2 e o BE n n λ = − ( λ – длина волны света; B – постоянная Керра). В результате разность фаз, приобретаемая лучами на ячейке длиной l , равна ( ) 2 e o 2 2 lE B n n l π = − λ π = ϕ В ячейках Керра широко используется нитробензол , имеющий большую постоянную Керра см B 10 4 2 5 − − ⋅ = B Ячейка Поккельса представляет собой помещенный в электрическое поле кристалл, обладающий электрооптическим эффектом.. Наиболее часто в качестве рабочего тела используют одноосные кристаллы фосфида калия (КДР), его дейтерированный вариант (ДКДП) и ряд других. Кристалл уста- навливают так, чтобы луч света проходил вдоль оптической оси z (рис. 25) При этом в отсутствие внешнего модулирующего поля свет любой поляриза- ции распространяется с одной той же скоростью. Если приложить внешнее электрическое поле E вдоль оси z показатели преломления волн с ортого- нальными поляризациями, направленными под углом 45 ± к кристаллогра- фическим осям x и y, оказываются различающимися на величину, пропорци- ональную полю E. Таким образом, разность фаз, приобретаемая этими вол- 37 нами в кристалле, является линейной функцией поля, в отличие от эффекта Керра, где она пропорциональна квадрату поля. Для управления добротностью резонатора ячейку и поляризационную призму помещают в резонатор вместе между активным элементом и зерка- лом (рис. 25). Призму ориентируют так, чтобы ее главная плоскость состав- ляла угол 45 ° с направлением поля в случае ячейки Керра. Если применяется ячейка Поккельса, призму ориентируют так, чтобы ее главная плоскость сов- падала с одной из кристаллографических осей x или y электрооптического кристалла. К ячейке прикладывают напряжение такой величины, чтобы раз- ность хода обыкновенного и необыкновенного лучей составляла половину длины волны. В результате плоскость поляризации света при прохождении лучом ячейки туда и обратно повернется на 90 ° относительно первоначаль- ного направления, задаваемого поляризационной призмой, и свет не сможет пройти через нее. Это соответствует закрытому состоянию затвора, т. е. раз- рыву обратной связи. При снятии напряжения с ячейки затвор открывается, потери в резонаторе резко падают и обратная связь в нем восстанавливается. Время переключения электрооптических затворов составляет единицы нано- секунд. Для осуществления режима генерации “гигантского импульса” в твер- дотельных лазерах широко используются пассивные просветляющиеся за- творы и насыщающиеся фильтры. Их действие основано на свойстве некото- рых веществ изменять прозрачность под действием проходящего через них оптического излучения. В качестве пассивного затвора используют кювету, заполненную просветляющейся жидкостью (растворы фталоциана или поли- метиловых красителей), или пластину из стекол с примесью селена и кадмия или же солей урана. В такой среде поглощение уменьшается с ростом интен- сивности излучения. Введение в резонатор просветляющегося затвора увели- Рис. 25 y E x Активный элемент Поляризатор Ячейка Поккельса 38 чивает потери и, следовательно, повышает пороговый уровень накачки. В результате в активной среде происходит значительное накопление частиц на верхнем рабочем уровне. Одновременно растет и мощность спонтанного из- лучения с этого уровня, что приводит к увеличению прозрачности затвора. Когда она достигает такого значения, при котором выполняется условие са- мовозбуждения, происходит регенеративный лавинообразный процесс нарас- тания амплитуды колебаний и вся запасенная в активной среде энергия излу- чается в виде мощного импульса длительностью несколько наносекунд. По окончании импульса генерации молекулы затвора релаксируют в исходное состояние и он восстанавливает свои оптические свойства. Из других методов управления добротностью резонатора отметим ис- пользование резонаторов, в которых модуляция добротности достигается вращением одного из зеркал вокруг оси, расположенной в плоскости зеркала. |