Теоретические основы квантовых приборов. Теоретические основы
 Скачать 0.84 Mb.
|
|
1.3. Принцип действия лазера Перейдем теперь от квантового усилителя к квантовому генератору Обобщенная функциональная схема лазера представлена на рис . 4. Из курса радиотехники известно , для того чтобы усилитель превратить в генератор , необходимо его выходной сигнал подать на вход с помощью цепи положи - тельной обратной связи В оптическом диапазоне эту функцию выполняет открытый оптический резонатор , который в простейшем случае можно пред - ставить в виде двух зеркал , между которыми помещается активная среда Та - кой резонатор называется двухзеркальным резонатором стоячей волны Как и в любом резонаторе , в оптическом резонаторе обес - печивается накопление энергии за счет многократного прохож - дения электромагнитного поля вдоль оптической оси резонато - ра в прямом и обратном направ - лениях между зеркалами Коэф - фициент отражения зеркал обычно выбирается высоким для того , чтобы обеспечить малые потери и высокую добротность резонатора Вывод излучения осуществляется за счет конечного пропускания зеркал или через специальные отверстия в них Такие резонаторы , называемые интерферометрами ( или эталонами ) Фабри – Перо , использовались в спектроскопии задолго да открытия лазеров В генераторе необходимо обеспечить непрерывный подвод энергии из внешнего источника для компенсации всех видов потерь – так называемую накачку активной среды , которая обеспечивает перевод активных атомов с нижнего на верхний уровень для формирования инверсии населенностей Рассмотрим прохождение электромагнитной волны внутри резонатора лазера ( рис . 5) в режиме генерации излучения Будем считать , что от левого Рис. 4 Активная среда Накачка Положительная об- ратная связь Поле излу- чения Поле излу- чения 13 зеркала З1 направо вдоль опти- ческой оси z резонатора распро- страняется поток фотонов с плотностью F 0 , резонансный ра- бочему переходу. Активная сре- да состоит из ансамбля двух- уровневых квантовых систем и заполняет кювету длиной l. Рас- стояние между зеркалами L, вы- численное с учетом показателя преломления всех внутрирезо- наторных элементов, называется оптической длиной резонатора. При прохождении активной сре- ды световой поток усиливается до значения gl F exp 0 , затем за счет того , что зеркало З 2 имеет пропускание 2 T ( 2 2 1 r T − = ), часть энергии потока выходит из резонатора и световой поток уменьшается в r 2 раз , где 2 r – энергетический коэффициент отражения зеркала Далее поток распространяется в обратную сторону и после отражения от зеркала З 1 приобретет значение ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 exp 1 1 1 exp exp 1 2 1 2 0 2 1 2 0 gl T T F r gl r gl F d d − − µ − = µ − (19) С помощью величины d µ здесь вводятся все остальные виды потерь в резо - наторе ( дифракционные , потери на поглощение и отражение в элементах , находящихся внутри резонатора , и др .) в расчете на проход луча в резонаторе в одну сторону Изменение потока света при распространении внутри резона - тора показано на графике , приведенном также на рис . 5. В стационарном режиме генерации излучения характеристики элек - тромагнитного поля в любой точке внутри резонатора должны оставаться неизменными Поэтому при проходе излучения от зеркала З 1 до зеркала З 2 и обратно к зеркалу З 1 должны выполняться три условия самосогласования по - ля – амплитуда электромагнитной волны при полном обходе резонатора должна быть равна первоначальной , фаза волны после полного обхода резо - натора должна изменяться на величину , кратную 2 π , и состояние поляриза - ции после обхода резонатора также должно воспроизводиться Рис. 5 F (z) F 0 F 0 z l L З1 З2 14 Применим первое условие самосогласования. Для этого полученное значение плотности потока фотонов приравняем к исходной величине 0 F : ( ) ( )( ) 0 2 1 2 0 2 exp 1 1 1 F gl T T F d = − − µ − (20) Сократим F 0 и учтем , что в большинстве лазеров , в частности в газовых лазе - рах , усиление и потери достаточно малы : 1 2 , , , 2 2 1 << µ gl T T d Тогда , разло - жив (20) в ряд с точностью до членов первого порядка малости , получим ( ) 0 2 2 2 1 = + + µ − T T gl d (21) Введем средние потери на один проход излучения вдоль резонатора : 2 2 1 T T d + + µ = µ , и условие (21) приводится к простому виду , µ = G (22) означающему, что в режиме генерации всегда выполняется условие равен- ства полного усиления активной среды полным потерям в резонаторе, отне- сенным к одному проходу излучения в резонаторе. Расчет проделан для случая достаточно малого электромагнитного по- ля, когда, согласно (18), усиление активной среды ( ) l N N G 1 2 − σ = , но ре- зультат (22) полностью справедлив и для случая, когда среда насыщается; при этом полное усиление определяется выражением (21). В случае, когда потери в резонаторе большие, найденная из соотношения (20) величина по- терь на один проход излучения составляет ( ) ( ) [ ] 2 / 1 ln 1 ln 2 1 T T d − + − − µ = µ Применим второе условие самосогласования поля и будем рассматри- вать электромагнитное поле внутри резонатора в приближении так называе- мого продольного типа колебаний, когда поле описывается суперпозицией двух плоских бегущих электромагнитных волн, каждую из которых можно описать выражением ( ) λ π ± ω z t z E 2 sin . Из него следует, что изменению фа- зы на 2π соответствует пройденное расстояние, равное длине волны q λ . За- пишем полное изменение фазы ϕ ∆ в виде π = ϕ ∆ 2 q , q>>1 – целое число, ко- торое мы будем называть индексом продольного типа колебаний. При пол- ном обходе резонатора свет проходит расстояние q q L λ = 2 Таким образом , условие самосогласования поля приводит к тому , что в резонаторе могут су - ществовать только электромагнитные волны с длиной волны q L q 2 = λ и ча - стотой колебаний 15 L c q c q q 2 = λ = ν (23) Разность частот двух соседних типов колебаний q ν ∆ можно найти из (23) при изменении q на единицу: L c q q q 2 1 = ν − ν = ν ∆ + (24) При выполнении условия (23) поле в резонаторе образует стоячую электромагнитную волну Из оптики известно , что стоячая волна всегда за - нимает такое положение , при котором узлы привязаны к зеркалам ( рис . 6). В описываемом приближении спектр колебаний оптического резонато - ра ( рис . 7) является эквидистантным Третье условие самосогласования поз - воляет найти собственные состояния поляризации оптического резонатора 1.4. Энергетические соотношения в резонаторе Рассмотрим энергетические характеристики излучения лазера с точки зрения фотонного представления электромагнитного поля Пусть , как изоб - ражено на рис . 5, внутри резонатора лазера распространяется поток фотонов с сечением пучка S и плотностью F. Будем считать усиление и потери малы - ми , так что const ≈ f Рассчитаем полное число фотонов в резонаторе. Время прохода фотонов через резонатор определяется как c L t = пр . Полное число фотонов, распространяющихся вправо от зеркала З1, составляет S Ft пр , и та- кое же количество фотонов распространяется влево от зеркала З2. Таким об- разом, полное число фотонов n внутри резонатора удваивается: 2 F c LS n = Этот результат позволяет по энергии одного фотона ω = ℏ ф E рассчитать Рис. 7 ν q ν q+1 ν c /2L Рис. 6 16 полную энергию, запасенную в резонаторе: 2 ф F c LS nE E c ω = = ℏ Энергия , уходящая за время пр t через зеркало З 1 с пропусканием T 1 , определяется как F c LS T E ω = ℏ 1 1 З Для нахождения мощности излучения через зеркало необ - ходимо это значение поделить на пр t : F S T P ω = ℏ 1 1 Аналогично определяет - ся мощность излучения через зеркало З 2: F S T P ω = ℏ 2 2 и мощность , рассеи - вающаяся внутри резонатора ( для двух встречных потоков фотонов ): F S P d d ω µ ℏ 2 = После этого уже можно вычислить полную мощность d P P P P + + = 2 1 , отдаваемую активной средой : = + + = F S T T P d ω µ ℏ ) 2 ( 2 1 2 F S ω µ ℏ = Эта мощность соответствует полной мощности потерь резона - тора Введем добротность резонатора так , как она вводится в радиотехнике : угловая частота колебаний , умноженная на отношение запасенной энергии к мощности потерь : µ ω = ω = c L P E Q c (25) С ростом частоты колебаний и длины резонатора добротность растет. Обыч- ные значения этой величины в оптическом диапазоне составляют порядка 7 10 - 8 10 . Рассмотрим динамику потерь энергии в резонаторе. Если приток энер- гии извне отсутствует, за время dt потери энергии составят dt L c E Pdt dE c c µ − = − = . Решение этого уравнения при начальном условии ( ) 0 0 c c E E = дает зависимость энергии, запасенной в резонаторе, от времени: ( ) ( ) exp exp 0 0 c c c c t E t L c E t E τ − = µ − = (26) Величина µ = τ c L c (27) называется средним временем жизни фотона в резонаторе. Она связана с ши- риной полосы резонатора c ω ∆ соотношением неопределенностей 1 = ω ∆ τ c c , вытекающим из основных свойств преобразования Фурье. Значение 17 L c c c µ = τ = ω ∆ − 1 (28) можно получить и из другого известного определения добротности резонато- ра: c Q ω ∆ ω = . Форма спектральной линии резонатора является лоренцев- ской, что соответствует закону изменения энергии (26). Спектры такого типа будут обсуждаться далее. 1.5. Режимы работы лазера Проведем анализ режимов работы лазера методом скоростных уравне- ний. Для этого рассмотрим следующую простейшую модель квантового уси- лителя и квантового генератора. Предположим, что активная среда состоит из N одинаковых квантовых систем, которые имеют только два энергетиче- ских уровня с населенностями 1 N и 2 N . В активной среде каким-либо обра- зом создана инверсия населенностей, так что разность населенностей уров- ней 0 1 2 > − = ∆ N N N , т е состояние среды неравновесно Через активную среду проходит резонансный поток фотонов плотностью F с энергией каждо - го фотона , равной разности энергий уровней квантовой системы 1 2 E E − = ω ℏ По истечении некоторого промежутка времени за счет вынуж - денного и спонтанного излучений населенности уровней сравняются , и затем такая система перейдет в равновесное состояние без инверсии населенностей ∆ N < 0. Стационарное состояние усиления или генерации электромагнитного поля возможно только при непрерывном подводе к системе энергии от внешнего источника Для этого введем в модель резервуар , состоящий из не - возбужденных квантовых систем с энергиями 0 E , значительно меньшими по сравнению с 2 E и 1 E , и населенностью 0 N ( это могут быть , например , квантовые системы в основ - ном состоянии ). Резервуар является источни - ком квантовых систем , поступающих на верхний уровень с энергией 2 E Возбуждение этих квантовых систем осуществляется за E 2 E 1 E 0 = 0 N 2 N 1 N 0 δ λ σ F σ F+A 21 Рис. 8 18 счет постороннего источника энергии. На рис. 8 представлена схема уровней рассматриваемой системы, где также указаны вероятности всех процессов, протекающих в ансамбле квантовых систем. Скорость поступления кванто- вых систем на верхний уровень равна 0 N λ , где λ – скоростная константа возбуждения. Одновременно осуществляется “тушение” нижнего уровня двухуровневой квантовой системы со скоростной константой δ таким обра- зом, чтобы сумма населенностей верхнего и нижнего уровней оставалась по- стоянной: N N N = + 2 1 Рассмотрим баланс квантовых систем на верхнем уровне. В данной схеме имеют место приход систем в единицу времени за счет возбуждения 0 N λ и за счет поглощения излучения 1 FN σ и уход систем за счет спонтанно- го излучения 2 2 2 21 τ = N N A и за счет индуцированного излучения 2 FN σ , где 2 τ – время жизни верхнего уровня по отношению к спонтанному излуче- нию на нижний уровень, определяемое согласно (3). В результате получаем следующую систему скоростных уравнений = + τ − λ + σ − σ = , / 2 1 2 2 0 2 1 2 N N N N N FN FN dt dN (29) Введем в расчет разность населенностей уровней 1 2 N N N − = ∆ через 2 2 N N N ∆ + = и рассмотрим стационарное состояние активной среды 0 2 = dt dN В этом случае система (29) сводится к следующему уравнению : ( ) 0 / 2 / 2 0 = τ ∆ + − λ + ∆ σ − N N N N F Его решением является ( )( ) 2 1 2 1 2 0 2 − σ τ + − λ τ = ∆ F N N N (30) Из этого выражения видно , что при увеличении плотности потока фотонов F и интенсивности I = h ν F происходит насыщение ( уменьшение ) инверсии населенностей Введем параметр насыщения I s = h ν / σ τ 2 2 ( см . 1.2) и рас - смотрим режимы работы лазера при изменении скорости возбуждения λ По - тери в резонаторе будем считать постоянными и равными µ 1. Режим работы “ ниже порога генерации ”, при котором интенсивность из - лучения 0 = ω = F I ℏ При этом значение плотности инверсии N N N − λ τ = ∆ 0 2 0 2 (31) мало , и выполняется условие µ < ∆ σ = = l N l g G 0 0 0 Усиление 0 G является ненасыщенным , в резонаторе присутствует только спонтанное излучение 19 2. Режим работы “у порога генерации”, соответствующий началу генерации. При этом интенсивность излучения по-прежнему равна нулю, и выполняется условие равенства “ненасыщенного” коэффициента усиления потерям µ = 0 G . Величина l N t σ µ = ∆ (32) называется пороговым значением инверсии населенностей. Этому режиму соответствует значение скорости возбуждения 0 2 2 / N l N t τ σ µ + = λ 3. Режим работы лазера “ выше порога генерации ”, соответствующий увели - чению скорости и возбуждения до значения t λ > λ При этом вместе с λ вы - растет ненасыщенное значение инверсии (30) и ненасыщенный коэффициент усиления 0 G 0 0 l N G σ ∆ = Он характеризуется конечным значением интен - сивности излучения и насыщенным значением инверсии населенностей : ( ) ( ) / 1 / 1 1 0 1 0 − − + ∆ = + ∆ = ∆ s s I I N F F N N (33) В этом режиме всегда выполняется условие G = µ , что означает , что инверсия населенностей (30) равна пороговому значению t N N ∆ = ∆ и оста - ется постоянной Из уравнения (33) мы может определить стационарное зна - чение интенсивности светового потока внутри резонатора ( ) 1 / 0 − ∆ ∆ = t s N N I I Отношение ненасыщенного усиления к потерям , равное отношению ненасыщенного значения инверсии к ее значению у порога гене - рации : , / 0 0 t N N G ∆ ∆ = µ = χ (34) называется относительным возбуждением и является основным параметром , определяющим режим генерации лазера Введем величину поперечного се - чения пучка внутри резонатора S и определим мощность светового потока внутри резонатора P in = SI. Исходя из этого значения , получаем мощность выходного излучения лазера через зеркало с коэффициентом пропускания T P = P in ( ) 1 − χ = s TSI T (35) Аналогично можно проанализировать и случай уменьшения потерь в резонаторе , начиная со значения 0 G > µ Генерация здесь начинается при до - стижении значения потерь l N G 0 0 ∆ σ = = µ С дальнейшим уменьшением по - терь пороговая инверсия населенностей падает , как l N t σ µ = ∆ , а относи - тельное возбуждение растет , как χ = G 0 / µ При этом выходная мощность по - |