Теоретические основы квантовых приборов. Теоретические основы
 Скачать 0.84 Mb.
|
|
1.6. Форма и ширина линии излучения активной среды Однородное уширение. Сначала рассмотрим линию излучения ансам- бля неподвижных идентичных квантовых систем. Для анализа формы линии излучения используем классическое приближение, в котором электромагнит- ное поле, излучаемое квантовой системой при спонтанном переходе с уровня 2 на 1, записывается в виде ( ) t t E E 0 2 0 sin 2 exp ω τ − = ( здесь 0 E – амплитуда электрического поля электромагнитной волны , а множитель 2 1 в показателе степени связан с переходом от интенсивности к амплитуде поля ). Зависи - мость амплитудного множителя от времени соответствует экспоненциально - му закону распада верхнего квантового со - стояния (5) за счет спонтанного излучения Примерный вид изменения напряженности электромагнитного поля представлен на рис 9. Запишем преобразование Фурье этого про - цесса : ( ) ( ) dt t i t t E E ω ω τ − = ω ∫ ∞ ∞ − exp sin 2 exp 0 2 0 Спектральная плотность мощности излучения определяется величиной ( ) ω 2 E Из преобразования Фурье получаем ( ) ( ) ( ) τ ω + ω + τ + τ ω − ω + τ π = ω 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 4 1 2 4 1 2 2 1 E E Рассматривая только положительные частоты ( что приводит к удвоению ре - зультата ) и пренебрегая малым вторым членом , получаем нормированную функцию распределения мощности излучения по частотам ( ) ( ) ( ) 4 1 2 2 2 2 0 2 2 0 2 τ ω − ω + τ π = ω = ω E E W L (36) Рис. 9 t 21 Зависимость, описываемая выражением (32), называется функцией Лоренца (рис. 10). Нормировка ( ) ω L W выбрана таким образом, чтобы ( ) ∫ ∞ ∞ − = ω ω 1 d W L , а физический смысл этой величины за - ключается в том , что ( ) ω ω d W L пред - ставляет собой вероятность спонтанно - го излучения фотона с частотой , лежа - щей в спектральном диапазоне [ ω , ω + dω ] в течение интервала времени дли - тельностью 1 21 2 − = τ A Таким образом описывается форма линии спонтанного излучения лю - бой квантовой системы из ансамбля , поэтому данный вид уширения линии называется однородным Точный расчет , проделанный в рамках квантовой электродинамики , дает такой же результат Полная ширина линии е ω ∆ , взя - тая на уровне половины от максимального значения , называется естествен - ной шириной линии излучения Из (36) следует , что она связана с временем жизни уровня 2 по отношению к спонтанному излучению 1 2 е − τ = ω ∆ (37) Существует еще несколько физических явлений , приводящих к одно - родному уширению линии излучения квантовых систем Для ансамбля кван - товых систем , представляющего собой атомный или молекулярный газ , ве - сомый вклад в однородное уширение линии излучения вносят упругие столкновения отдельных частиц За счет взаимодействия этих частиц во вре - мя столкновения скачком изменяется фаза волны когерентного электромаг - нитного поля вынужденного излучения Поведение электромагнитной волны во времени , наблюдаемое в системе координат квантовой системы , пред - ставлено на рис .11. Если обозначить средний интервал между столкнове - ниями ст τ ( который обратно про - порционален давлению газа ), то спектральный анализ такого сигнала Рис. 10 Рис. 11 π τ 2 ( ) ω L W е ω ∆ ω ω 0 22 снова дает лоренцевcкую форму линии излучения (36) с заменой ст 2 на 2 τ τ Ширина спектральной линии в этом случае составляет 2 ст ст τ = ω ∆ Для типичных условий в активной среде He-Ne-лазера (переход 63 , 0 , 2 3 4 2 = λ − p s мкм) измеренные значения составляют π ω ∆ 2 / е = МГц 20 = , МГц 100 2 / ст p = π ω ∆ , и эта величина пропорциональна давле- нию p газа в миллиметрах ртутного столба (1 мм рт. ст. = 133 Па). Полная однородная ширина линии излучения вычисляется как сумма ст е одн ω ∆ + ω ∆ = ω ∆ (38) Отметим , что реальные атомы и молекулы обладают более богатым составом квантовых уровней , чем представленная здесь модель двухуровневой кванто - вой системы Поэтому , аналогично (4), и нижний лазерный уровень обладает конечной шириной и конечным временем жизни Неоднородное уширение. Уширение линии другого вида происходит , когда центры линий излучения различных квантовых систем из ансамбля не совпадают В этом случае говорят о неоднородном уширении линии Наибо - лее характерным примером является проявление эффекта Доплера в газах ( так называемый кинематический эффект ). Рассмотрим это явление Эффект Доплера заключается в том , что приемник излучения , движущийся относи - тельно источника излучения с проекцией скорости x V на направление рас - пространения электромагнитного поля , воспринимает излучение с изменен - ной частотой ( ) , 1 c V x s r − ω = ω (39) где s ω – частота излучения источника Распределение резонансных частот систем из ансамбля повторяет распределение квантовых систем по скоро - стям Из изложенного следует , что доплеровское уширение действительно является неоднородным Вспомним , что в газе , находящемся при температуре T, вероятность P( x V ) того , что молекула с массой M имеет составляющую скорости в интер - вале от x V до x V + d x V , дается распределением Максвелла ( ) , 2 exp 2 2 2 1 x x x x dV T k MV T k M dV V W − π = Β Β (40) где k B – постоянная Больцмана Из выражения (39) находим 23 ( ) ( ) 0 0 0 ω ω − ω ≈ ω ω − ω = c c V x (41) Подставим (41) в (40) и через условие равенства вероятностей ( ) ( ) ω ω = d W dV V W D x x введем функцию распределения спектральной плотно- сти излучения ( ) ω D W , описывающей форму линии излучения ансамбля при уширении за счет эффекта Доплера: ( ) ( ) 2 exp 2 2 2 0 2 2 1 0 ω ω ω − ω − π ω = ω ω Β Β d T k Mc T k M c d W o D (42) Поскольку это выражение достаточно сложное, для упрощения введем вол- новое число c k 0 ω = и наиболее вероятную скорость молекул в газе M T k u Β = 2 . Тогда выражение упрощается: ( ) exp 1 2 0 ω − ω − π = ω ku ku W D (43) Контур неоднородно уширенной линии излучения представлен на рис. 12. Для сравнения там же изображен лоренцевский контур ( ) ω L W Ширина линии излучения по уровню 0.5 от максимального значения определяется параметром 2 ln 2 ku D = ω ∆ Вторым параметром является допле - ровский параметр ku, определяющий , как следует из (43), полуширину линии на уровне 1/ e Типичные значения этих параметров для He-Ne- лазера ( λ = =0,63 мкм ) составляют 1 9 c 10 2 − ⋅ π = ku и 1 9 c 10 7 , 1 2 − ⋅ ⋅ π = ω ∆ D В большинстве случаев в активной среде присутствуют одновременно однородный и неоднородный виды уширения Тогда полный контур линии излучения можно найти сверткой двух контуров : ( ) ( ) ( ) [ ] ∫ ∞ ∞ − − ω − ω = ω dx x W x W W D L 0 (44) Рис. 12 ∆ω D ω ω 0 ku W D (ω )/ ∆ω D W L (ω )/ ∆ω L 24 Полученное в результате выражение называется функцией Фойгта, или функцией дисперсии плазмы (подробности см. в 4). В предельном случае (при D L ω ∆ >> ω ∆ ) выражение (44) переходит в (36) и описывает однород- ное уширение линии излучения, а при обратном знаке неравенства получаем чисто неоднородное уширение линии (42). Отметим еще один эффект, возникающий при учете давления газа и конечных размеров активной среды. Спонтанное излучение за счет перехо- дов с рабочих уровней на нижележащие метастабильные уровни (или же в основное состояние при распространении в активной среде) может резонанс- но поглощаться другими атомами, находящимися на этих нижележащих уровнях. Такое явление называется пленением резонансного излучения в ак- тивной среде и приводит в эффективному увеличению времен жизни рабочих уровней, а также к “перемешиванию” квантовых систем в ансамбле по скоро- стям. Результатом этого является уменьшение инверсии населенностей (насыщение), однородное для всех групп квантовых систем, обладающих различными скоростями. Однородное уширение обычно преобладает в твердых телах и в жидко- стях, где межмолекулярное взаимодействие является очень сильным. В раз- реженных газах обычно проявляется доплеровское (неоднородное) уширение линии излучения. Промежуточными случаями являются газы при средних и высоких давлениях. 2. ОТКРЫТЫЕ РЕЗОНАТОРЫ 2.1. Типы резонаторов Под пассивным оптическим резонатором понимают замкнутую по- лость, состоящую из отражающих свет поверхностей. Полость может содер- жать внутри себя однородную изотропную и пассивную диэлектрическую среду. Размеры оптического резонатора намного превышают длину волны из-за слишком низкого линейного коэффициента усиления. Лазерные резона- торы обычно бывают открытыми, т. е. в них не используется боковая поверх- ность. Это означает существование неизбежных потерь, связанных с дифрак- цией электромагнитного поля на апертуре зеркал, приводящих к тому, что часть энергии покидает резонатор. В открытых резонаторах существуют конфигурации типа стоячих или бегущих электромагнитных волн, характе- 25 ризующиеся очень малыми потерями. Для описания таких конфигураций вводят понятие собственного типа колебания, или моды резонатора. Модой резонатора называется стационарная конфигурация электромаг- нитного поля, которая удовлетворяет как уравнениям Максвелла, так и гра- ничным условиям. Учитывая потери, электромагнитное поле в моде можно записать в виде ( ) ( ) ( ) ( ) t i t E t c ω τ − = exp 2 exp , 0 r u r E , где r – радиус - вектор ; c τ – время жизни фотона в резонаторе ( время релаксации квадрата амплиту - ды поля ). Стационарность здесь понимается с точностью до множителя , обу - словленного распадом поля из - за потерь в резонаторе Для анализа процессов в резонаторе применяют два метода : один из них использует лучевое приближение , а другой – волновое Для анализа лу - чевым методом выбирают точку в резонаторе , не лежащую на его оси , и про - водят луч параллельно оси резонатора ( рис . 13). С поведением луча при мно - гократном отражении его от зеркал резонатора связано понятие устойчивости резонатора Резонатор называется устойчивым , если при многократном прохожде - нии резонатора луч не выходит за пределы его некоторого ограниченного объема Если же луч в итоге выходит в окружающее пространство , то резона - тор называется неустойчивым Обычно неустойчивые резонаторы обладают большими потерями , чем устойчивые Если в устойчивом резонаторе луч че - рез конечное число проходов повторяет свою траекторию , тогда он принад - лежит собственному семейству лучей резонатора , или моде резонатора Свойства открытого резонатора определяются числом и взаимным рас - положением образующих его отражающих поверхностей Различные схемы резонаторов представлены на рис . 14. По структуре электромагнитного поля они делятся на резонаторы стоячей волны – линейные ( а, б, в, г ) и резонаторы бегущей волны – кольцевые ( д, е, ж ), а по резонансным свойствам – на одно - полостные и многополостные ( б, г, ж ). Кольцевые резонаторы могут быть с контуром луча плоским и пространственным Рис. 13 1 R 1 R 2 R 2 R Неустойчивый резонатор Устойчивый резонатор 26 Активная среда может заполнять весь резонатор или только его часть. Показатель преломления активной среды лежит в пределах от 1 для газов до 4.5 для полупроводниковых лазеров. В твердотельных и полупроводниковых лазерах роль зеркал как отдельных элементов резонатора выполняют отполи- рованные торцы активного вещества. В лазерах с малым коэффициентом усиления активной среды используют зеркала с высоким коэффициентом от- ражения, представляющие собой многослойное диэлектрическое покрытие, нанесенное на подложку из плавленого кварца или оптического стекла. Обычно наносятся 17…25 слоев сульфида цинка или фторида магния с тол- щиной каждого слоя λ/4. За счет многолучевой интерференции света в слоях коэффициент отражения зеркал может составлять 0.999-0.99999. В лазерах с высоким усилением используются алюминиевые зеркала с отверстием для выходного потока излучения. В кольцевых лазерах вместо зеркал иногда ис- пользуются призмы полного внутреннего отражения. Юстировка резонаторов осуществляется специальными юстировочны- ми приспособлениями, на которых закрепляются зеркала, или технологиче- ски в процессе изготовления лазера. Настройку резонатора на центр линии усиления осуществляют устройства, позволяющие плавно менять длину ре- зонатора и, соответственно, частоты его мод. Для этого одно зеркало резона- тора или несколько устанавливаются на пьезоэлектрические преобразовате- ли. При подаче напряжения на преобразователь его длина и, соответственно, длина резонатора изменяются в пределах нескольких длин волны. а б в г д е ж Рис. 14 27 Основной характеристикой, определяющей свойства резонатора, явля- ется конфигурация, т. е. совокупность радиусов зеркал и расстояний между ними. Она задается g-параметрами конфигурации. Для простейшего резона- тора (см. рис. 14, а) они определяются как , / 1 ; / 1 2 2 1 1 R L g R L g − = − = (45) где L – расстояние между зеркалами ( длина резонатора ), а 1 R и 2 R – радиусы зеркал Анализ условия устойчивости двухзеркального резонатора лучевым методом дает очень простое требование к g- параметрам Резонатор будет устойчивым , если 1 0 2 1 < < g g , (46) и неустойчивым , если 0 или 1 2 1 2 1 < > g g g g Случаи 1 ; 0 2 1 = g g являются граничными. Наглядное представление об общих свойствах резонатора дает диаграмма устойчивости (рис. 15), построенная в декартовых координатах g 1 и g 2 . Об- ласть устойчивых конфигураций, удо- влетворяющих условию (46), на диа- грамме заштрихована. По мере удале- ния от начала координат потери в ре- зонаторе, как правило, возрастают. Наиболее часто в лазерах используют резонаторы с L < R. Приведем конфигурации не- скольких распространенных типов ре- зонаторов: 1. Плоскопараллельный симметричный резонатор (интерферометр Фаб- ри–Перо) ( ; 2 1 ∞ = = R R L – произвольное; 1 2 1 = = g g ). На диаграмме ему соответствует точка A, которая лежит на границе устойчивости. Даже не- большая неточность в изготовлении или разъюстировка резонатора могут привести к неустойчивости последнего. Моды резонатора хорошо аппрокси- F –2 –1 1 2 g 2 –2 –1 0 1 2 g 1 B E D A C Рис. 15 28 мируются комбинацией плоских электромагнитных волн, а спектр совпадает с (23). 2. Конфокальныйсимметричный резонатор. Состоит из двух зеркал равной кривизны, расположенных на расстоянии, равном радиусу кривизны ); 0 ; ( 2 1 2 1 = = = = = g g L R R R фокальные точки F зеркал совпадают – см рис . 16, а ). На диаграмме ему соответствует точка B, расположенная в центре координат Потери данного резонатора – минимальные по сравнению со все - ми другими конфигурациями 3. Полуконфокальный резонатор ) 1 ; 5 , 0 ; ; 2 ( 2 1 2 1 = = ∞ = = g g R L R ( рис . 16, б ). На диаграмме ему соответствует точка D Поле в резонаторе сов - падает с распределением поля в левой половине конфокального резонатора 4. Концентрический ( сферический ) резонатор ( ; 2 / 2 1 L R R = = = 1 g ) 1 2 − = = g На диаграмме ему соответствует изображающая точка C ( рис . 16, в ). Моды можно представить в виде суперпозиции двух сферических волн , потери в резонаторе высокие 5. Кольцевые резонаторы ( см ., например , рис . 14, д, е, ж ). В них вместо длины резонатора в качестве основного параметра выступает периметр L контура , описываемого лучом В отличие от линейных резонаторов , в коль - цевых существуют моды в виде двух противоположно направленных бегу - щих волн , почти не зависящих друг от друга Фазовое условие воспроизведе - ния поля π = ϕ ∆ 2 q осуществляется при проходе лучом всего периметра ре- зонатора q q L λ = . Отсюда для межмодового интервала между соседними продольными модами вместо выражения (24) из 3 получаем L c q = ν ∆ , (47) что в два раза больше, чем для линейного лазера. 2 F Рис. 16 а L F R б F 1 L L R 2 1 = ∞ = 2 R 2 1 L R = 2 1 L R = в L 1 F R |