Теоретические основы квантовых приборов. Теоретические основы
 Скачать 0.84 Mb.
|
|
Ошибка! Источник ссылки не найден. в более простом виде : ( ) ( ) , 2 t E L c t E n n n α = ɺ (71) где ( ) ( ) µ − ξ = α 0 0 i n i n Z Z G (72) – так называемый лэмбовский коэффициент α , определяющий разность пол - ного усиления активной среды ( с учетом формы линии усиления ) и потерь , µ – потери на проход излучения вдоль резонатора Как и ранее , в (32) вводит - ся относительное возбуждение µ = χ / 0 G и пороговое значение инверсии населенностей (29) χ = / 0 N N t Для стационарного режима ( ) 0 = t E n ɺ из (71) и (72) получаем пороговое условие генерации ( ) ( ) 0 0 µ = ξ i n i Z Z G (73) Это условие соответствует отсутствию генерации ) 0 ) ( ( = t E n ; только оно и могло быть получено в “ первом порядке ” теории возмущений , так как эффек - Рис. 25 –2 –1 1 2 –1 0 1 2 ) ( ξ r Z ) ( ξ i Z 46 ты насыщения активной среды включаются, начиная со второго порядка раз- ложения. Зависимость усиления ненасыщенной активной среды для слабого сиг- нала от расстройки резонатора относительно центра линии усиления (73) приведена на рис. 26, на котором также представлены положения продоль- ных мод 1 − ω n и n ω резонатора. Мода n ω находится на пороге генерации, а осталь- ные продольные моды находятся ниже не- го (из мод на рис. 26 представлена только мода 1 − ω n ). Частотный интервал, в кото- ром усиление больше потерь ( 0 > α n ), называется шириной области генерации г ω ∆ Подставим (70) при условии η ≈ 0 в (72). Тогда получим ( ) 1 exp 2 = ξ − χ n и поро - говое значение расстройки χ = ξ ln г n Теперь можно определить значение г ω ∆ : χ = ξ = ω ∆ ln 2 2 г г ku ku n При перестройке моды в области шириной L c 2 / г = ω ∆ всегда будет иметь место генерация одной моды При пере - стройке моды в области шириной L c 2 / г < ω ∆ вблизи центра линии усиления ( при г 0 ω ∆ < ω − ω n ) также будет иметь место генерация одной моды , а при г 0 ω ∆ > ω − ω n генерации не будет , поскольку пороговое условие не выпол - няется При L c 2 / г > ω ∆ вблизи центра линии усиления ( при L c n 2 / 0 < ω − ω ) будет иметь место генерация одной моды , а при L c n 2 / 0 > ω − ω – генерация двух мод , ближайших к центру линии перехода ω 0 Рассмотрим частотное уравнение (69). Введем обозначение ( ) ( ) 2 2 0 0 2 n r n r ab n n Z G L c Z N ku p ξ = ξ ω = σ ℏ Из (69) получим значение частоты генерации n n n f σ + = ω Из него следует , что частота генерации сдвинута относительно частоты моды резонатора в сторону центра линии атомного перехода , так как знак величины σ n совпада - ет со знаком ) ( n r Z ξ ( см рис . 25). Это явление называется линейным затяги - Рис. 26 ( ) ( ) 0 0 i n i Z Z G ξ ω n G 0 ω c/2L ∆ω г ω n-1 ω 0 µ 47 ванием частоты генерации, а лэмбовский коэффициент n σ – коэффициентом линейного затягивания частоты. Такой эффект можно интерпретировать с точки зрения оптической длины резонатора. Коэффициент n σ отражает вклад дисперсии активной среды в оптическую длину резонатора. По сути дела, n f – собственная частота пустого резонатора, а n ω – собственная ча- стота резонатора, в котором находится активная среда с коэффициентом пре- ломления, отличие от единицы которого пропорционально значению n σ 3.3. Эффекты насыщения в лазерах Результаты расчета поляризации активной среды в “третьем порядке” теории возмущений дают следующие уравнения: ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2 2 t I t I t I t I c L n m m mn n n n n n ∑ ≠ θ − β − α = ɺ (74) ( ) ( ) ( ) t I t I f t n m m mn n n n n n n ∑ ≠ τ + ρ + σ = − ϕ + ω ɺ (75) Здесь вместо амплитуды поля введена так называемая безразмерная интен- сивность ( ) b a n n pE I γ γ = 2 2 2ℏ , пропорциональная квадрату амплитуды поля внутри резонатора. Фактически, разложение теории возмущений идет по данному параметру, поэтому наше рассмотрение справедливо при условии 1 << n I Коэффициенты Лэмба в приведенных уравнениях определены следу - ющим образом : • коэффициент насыщения усиления активной среды полем своей моды ( ко - эффициент автонасыщения ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ; exp 1 4 1 1 0 4 2 0 0 n n n i n i n L G Z L Z G ξ − ξ + ≈ ξ ξ + = β • коэффициенты кросснасыщения усиления или коэффициенты насыщения полями других мод ( ) ( ) ( ) ( ) ; 2 exp 4 1 0 4 2 0 0 ξ + ξ − ξ ≈ ξ ξ = θ n m mn mn i mn i mn L G Z L Z G • коэффициент нелинейного выталкивания частоты полем своей моды ( ко - эффициент автонасыщения дисперсии активной среды ) 48 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ; exp 2 4 1 0 4 2 2 0 0 n n n n i n n i n L L c G Z L Z G L c ξ − ξ η ξ ≈ ξ ξ η ξ = ρ (76) • коэффициент нелинейного выталкивания частоты полями других мод (ко- эффициент кросснасыщения дисперсии активной среды) ( ) ( ) ( ) 2 exp 2 4 1 2 0 4 2 2 0 0 ξ + ξ − ξ η ξ ≈ ≈ ξ + ξ ξ η ξ = τ n m mn mn n m i mn mn i mn L L c G Z L Z G L c (77) Размерности коэффициентов n σ , n ρ и mn τ совпадают с размерностью кру- говой частоты. Функция ( ) ( ) 2 2 0 2 2 2 2 ab ab L γ + ω − ω γ = η = ξ η + ξ – нормированная функция Лоренца ( 1 ) 0 ( = L ), ku n m mn ω − ω = ξ , ku m n 0 ω − ω = ξ Второй и третий члены в правой части уравнений (75) и (76) пропорци - ональны интенсивности излучения лазера и описывают насыщение активной среды Их влияние обусловливает уменьшение усиления до уровня потерь и искажает контур дисперсии активной среды Рассмотрим уравнение (76) для стационарного случая ( 0 = n Iɺ ). Полу - чаем систему m уравнений для интенсивностей мод n I : ( ) ( ) 0 = θ − β − α ∑ ≠ t I t I n m m mn n n n (78) Одномодовый режим. Рассмотрим режим генерации одной моды с продольным индексом n. Амплитудное уравнение принимает вид ( ) 0 = β − α t I n n n Вычислим из него интенсивность моды : ( ) 1 exp 1 4 2 1 n n n n n L I ξ + ξ χ − = β α = − (79) 49 Зависимость n I от частоты генерации показана на рис. 27. Область уменьшения интенсивности в центре линии усиления называется провалом Лэмба. Для выяснения причин его появления рассмотрим решение уравнений для оператора плотности во “вто- ром порядке” теории возмущений перед вы- полнением суммирования по скоростям атомов: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − ξ − + ξ − = ρ − ρ u V L I u V L I V W N V V z n n z n n z t z bb z aa 1 2 2 Величина ( ) ( ) ( ) ( ) z bb z aa V V 2 2 ρ − ρ имеет смысл разности населенностей группы атомов, имеющих проекцию скорости на ось резонатора z V . Она пропорцио- нальна усилению. График такой зависимости представлен на рис. 28, a. Пусть частота генерации 0 ω < ω n . Напомним, что генерируемая мода состоит из двух волн, распространяющихся в резо- наторе в противоположных направле- ниях и образующих в линейном резона- торе стоячую волну. За счет эффекта Доплера волна, распространяющаяся против направления оси z, будет резо- нансной для группы атомов, движу- щихся с проекцией скорости ( ) 0 1 1 ω ω − = c V Именно эта группа атомов усиливает данную волну Для встречной волны резонансной будет группа атомов , движущаяся со скоро - стью 1 V − В процессе усиления света за счет вынужденного излучения атомы переходят в нижнее энергетическое со - стояние , и , как следствие , насыщается инверсия населенностей : в ее контуре выжигаются “ дыры ”, или “ провалы Беннета ”, форма которых соответствует естественной линии излучения б γ ab Рис . 28 ku 0 – ku V z ρ aa – ρ bb a – V 1 V 1 ku 0 – ku V z ρ aa – ρ bb ∆ω г ω 0 ω 0 ω I n Рис. 27 50 Это означает, что в генерации волны участвуют две группы атомов со скоростями, лежащими в пределах: ( ) [ ] 0 1 2 / 1 ω γ ± ω − = ab c V для одной вол - ны и ( ) [ ] 0 1 2 / 1 ω γ ± ω + = ab c V для другой При настройке резонатора в центр линии излучения ( рис . 28, б ) два “ провала ” совмещаются и в генерации участвует только одна группа атомов ( т е количество атомов , участвующих в процессе генерации , уменьшается ). Поскольку интенсивность излучения пропорциональна числу атомов , участвующих в генерации , в центре линии интенсивность излучения уменьшается – появляется “ провал Лэмба ” ( см рис . 27). Влияние эффектов насыщения на частоту генерации описывается чле - ном ( ) t I n n ρ в (78), называется нелинейным выталкиванием частоты генера - ции , так как сказывается в смещении частоты генерации от центра линии усиления , которое пропорционально интенсивности излучения Как отмеча - лось ранее , частота генерации продольной моды связана с оптической длиной резонатора ( ) 1 a опт − + = n l L L и показателем преломления активной среды a n , согласно (23), ( ) − − ≈ = ν 1 1 2 2 a опт q n L l L c q L c q На рис . 29 представлена зависи - мость относительного изменения ча - стоты , линейно связанного с показате - лем преломления активной среды : ( ) ( ) [ ] t I f n L l n n n n ρ + σ = − − − 1 a 1 от настройки резонатора. Здесь же пунк- тиром показана зависимость, обуслов- ленная линейной дисперсией n σ Многомодовый режим генерации. Поведение интенсивностей мод описывается уравнениями (74) и (75) в стационарном режиме. При пере- стройке частоты резонатора спектральный состав излучения определяется числом мод, помещающихся внутри области существования генерации, и яв- лением конкуренции мод. Для случая двухмодового режима при несиммет- ричной настройке резонатора относительно центра линии усиления мода n I , расположенная ближе к центру линии, имеет преимущество в усилении по ω ω n ω 0 ( ) 1 n a − − L l Рис. 29 51 сравнению с модами 1 ± n I . Поэтому насыщенное усиление для моды 1 + n I падает за счет члена 1 + θ nn n I и может стать меньше нуля. В данном случае генерация в моде n I подавляет генерацию в моде 1 + n I . Такая ситуация явля- ется случаем сильной нелинейной связи мод и определяется условием 2 2 β > θ . В обратном случае связь считается слабой и подавления мод не происходит. За счет нелинейного выталкивания частот мод спектр излучения стано- вится неэквидистантным, тогда как за счет явления фазовой синхронизации разностей частот соседних мод, обусловленного их нелинейной связью, в не- которых режимах работы он все-таки может стать эквидистантным. В таком случае – при одновременной генерации большого количества мод – излуче- ние становится импульсным с длительностью импульсов, равной времени обхода резонатора светом. Данный режим работы характерен для твердо- тельных лазеров. 3.4. Когерентность и монохроматичность излучения лазера Лазеры с узкой спектральной шириной линии излучения широко при- меняются в интерферометрии с большими разностями хода (например, при определении локационным методом расстояния до космических объектов), в голографии и эталонах длины, частоты и времени. Во всех этих случаях ис- пользуются свойства когерентности и монохроматичности вынужденного из- лучения. Когерентностью называется свойство высокой упорядоченности значений амплитуд и фаз в различных точках электромагнитного поля, т. е. существование жесткой корреляции (связи) этих значений в пространстве и во времени. Рассмотрим волновой фронт бегущей волны электромагнитного поля и зафиксируем положение этой поверхности в некоторый момент времени. Для полностью когерентного поля разность фаз колебаний во всех точках этой поверхности равна нулю в любой момент времени. Данное свойство называется пространственной когерентностью поля. Если же рассмотреть разность фаз поля в двух фиксированных точках, не лежащих на одном фронте волны, то отсутствие зависимости этого значения от времени опреде- лит свойство временной когерентности электромагнитного поля, которое определяется такими параметрами, как время когерентности и длина коге- 52 рентности, и тесно связано с монохроматичностью лазерного излучения. Са- мую высокую степень когерентности среди всех источников излучения обес- печивают лазеры. Так, для одномодового излучения в центре пучка отличие степени пространственной когерентности от 1 составляет 3 ⋅ 10 − 5 , а на рассто- янии радиуса перетяжки – 1 ⋅ 10 − 4 . Причиной отличия излучения лазера от полностью когерентного является присутствие в резонаторе случайных полей теплового и спонтанного излучений, а также наличие технических флуктуа- ций параметров лазера. Анализ свойств когерентности электромагнитного поля проводится статистическими методами с помощью временных и пространственных кор- реляционных функций. При этом для нахождения последних применяют ме- тод уравнений Ланжевена, а для нахождения функции распределения элек- тромагнитного поля используют уравнения Колмогорова (либо Фоккера– Планка). Чтобы упростить расчет в дальнейшем будем считать функции рас- пределения известными. Отличие излучения от строго монохроматичного описывается формой и шириной спектральной линии излучения. Частота излучения определяется взаимодействием узкой линии лазерного перехода с резонансными линиями мод оптического резонатора. В случае многомодового излучения ширина ли- нии излучения газовых лазеров обычно определяется доплеровской шириной D ω ∆ . На частоту излучения влияют технические флуктуации всех парамет- ров лазера, но наибольшее влияние оказывают флуктуации оптической дли- ны резонатора, которые могут быть обусловлены нестабильностями темпера- туры, давления воздуха, вибрациями и т. п. При использовании лазеров в метрологии от этих влияний стараются избавиться, и наилучшая стабиль- ность частоты, достигнутая в настоящее время, составляет 13 10 − … 14 10 − , что для He-Ne- лазера соответствует ширине линии 50…500 Гц |