Теоретические основы квантовых приборов. Теоретические основы
 Скачать 0.84 Mb.
|
|
3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНОГО ЛАЗЕРА 3.1. Основные уравнения газового лазера Задача анализа режимов работы и определения характеристик газовых лазеров решается в рамках полуклассической теории лазера, разработанной американским ученым У. Лэмбом. В этой теории электромагнитное поле рас- сматривается классически, а активное вещество – с точки зрения квантовой механики. Общая логика решения задачи состоит в том, что электромагнит- ное поле, существующее в резонаторе, рассматривается в качестве источника поляризации активной среды, которая, в свою очередь, является источником электромагнитного поля за счет процессов индуцированного излучения. Та- ким образом, задача является самосогласованной. Самосогласованные уравнения электромагнитного поля в резо- наторе лазера. Классическое электромагнитное поле описывается уравнени- ями Максвелла: ; ; ; rot ; 0 div ; rot ; 0 div 0 0 E J H B P E D D J H B B E D σ = µ = + ε = ∂ ∂ + = = ∂ ∂ − = = t t (59) 39 В качестве граничного условия используется периодичность поля при обходе резонатора. Потери энергии в резонаторе вводятся эквивалентной усреднен- ной по длине резонатора проводимостью n Q ω ε = σ 0 Анализ продольных мод оптических резонаторов показал, что зависи- мость электромагнитного поля от поперечных координат в масштабе, срав- нимом с длиной волны, является слабой. Поэтому будем представлять элек- тромагнитное поле как суперпозицию плоских волн, записывая простран- ственную часть моды резонатора в виде ( ) z k z U n n sin = , где индекс продоль - ной моды здесь будет обозначен как n , а n k – волновое число моды Тогда проекции напряженности поля и поляризации на ось резонатора можно раз - ложить по продольным модам резонатора : ( ) ( ) ( ) ∑ = n n n z U t A t z E ; , ( ) ( ) ( ) , ∑ = n n n z U t P t z P Напомним, что под поляризацией среды понимают значение дипольного мо- мента единицы объема вещества. Для неполярных диэлектриков, какими яв- ляются газы, она полностью определяется суммарным значением дипольного момента квантовых систем, наведенного внешним электромагнитным полем. Из (60) для волны продольной моды можно получить волновое уравнение ( ) ( ) ( ) ( ) , 1 2 2 0 2 0 2 2 t t P t A f t t A t t A n n n n n ∂ ∂ ε − = + ∂ ∂ ε σ + ∂ ∂ где n f – круговая частота n-й моды резонатора. Поскольку источником по- ляризации является квазимонохроматическое электромагнитное поле моды резонатора, с большой точностью можно сделать замену ( ) ( ) t P f t t P n n n 2 2 2 − = ∂ ∂ Для анализа волнового уравнения (61) воспользуемся приближением медленно меняющихся фаз и амплитуд: ( ) ( ) ( ) [ ] ; cos t t t E t A n n n n ϕ ω + = ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] sin cos t t t S t t t C t P n n n n n n n ϕ + ω + ϕ + ω = Здесь ( ) t C n и ( ) t S n – амплитуды синфазной и квадратурной по отношению к полю ( ) t E n компонент поляризации. Эти величины вместе с ( ) t n ϕ являются (60) (61) (62) 40 медленно меняющимися по сравнению с периодом колебаний электромаг- нитного поля оптической частоты функциями времени. Подстановкой (62) в (61) получаем самосогласованные уравнения элек- тромагнитного поля в резонаторе: ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 1 0 t C t E f t n n n n n n ε ω − = − ϕ + ω ɺ ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 0 t S t E Q t E n n n n n n ε ω − = ω + ɺ Эти уравнения определяют амплитуды и фазы электромагнитного поля в ре - зонаторе лазера , если известны значения коэффициентов поляризации ( ) t C n и ( ) t S n Задача определения поляризации активной среды решается далее Квантовомеханическое описание взаимодействия активной среды и электромагнитного поля В квантовой механике описание состояния ве - щества ведется с помощью волновых функций Их физический смысл опре - деляется следующим образом Каждой физической величине приводится в соответствие определенный математический линейный эрмитовый оператор , собственными функциями которого являются волновые функции состояния Ψ , а собственными значениями – числовые значения физической величины Описание состояний с помощью волновой функции дает информацию не о действительном состоянии системы , а о возможном , так как величина 2 Ψ = ΨΨ ∗ имеет смысл вероятности нахождения системы в данном состоя - нии Волновые функции являются решениями уравнения Шредингера t i H ∂ Ψ ∂ = Ψ ℏ где H – оператор Гамильтона , или оператор полной энергии системы Для изолированной двухуровневой квантовой системы он имеет вид = b a E E H 0 0 0 , a E и b E – значения энергии квантовой системы , находящейся , соответ - ственно , на верхнем или на нижнем уровне Так описываются так называемые чистые состояния – состояния , пол - ностью характеризующиеся определенными набором квантовых чисел и зна - чением энергии квантовой системы Но в активной среде , представляющей (63) (64) (65) 41 собой ансамбль квантовых систем, существуют квантовые системы, находя- щиеся в различных чистых состояниях. Для описания всего ансамбля вводит- ся статистический оператор, или оператор плотности ρ ˆ . Для этого волновая функция состояния разлагается в ряд 2 2 1 1 ) ( ) ( ) ( Ψ + Ψ = Ψ t C t C t по решениям уравнения Шредингера (65): ; exp 1 1 1 − = Ψ ℏ t E i u − = Ψ ℏ t E i u 2 exp 2 2 . Ис- пользуя билинейные комбинации коэффициентов ) ( 1 t C и ) ( 2 t C в качестве статистических весов возможных состояний, строим выражение для операто- ра плотности в виде так называемой матрицы плотности = ρ ρ ρ ρ = ρ 2 2 1 2 2 1 2 1 22 21 12 11 * * C C C C C C Значения диагональных элементов матрицы плотности 2 i ii C = ρ являются вероятностями соответствующих состояний и пропорциональны их населен- ностям, а величины ∗ = ρ k i ik C C описывают вероятности переходов между состояниями квантовых систем ансамбля. С учетом того, что функции 2 1 и Ψ Ψ являются решениями (65), отсюда можно получить уравнение дви - жения для оператора плотности [ ] , ˆ , ˆ ˆ H i t ρ = ∂ ρ ∂ ℏ где оператор [ ] ρ − ρ = ρ , H H H называется коммутатором операторов Hˆ и ˆ ρ В случае, когда ансамбль квантовых систем взаимодействует с внешней си- стемой (например, с внешним электромагнитным полем), квантовое состоя- ние ансамбля становится “смешанным” и, в отличие от чистого состояния, полностью описывается только оператором плотности. Рассмотрим конкретный атом из нашего ансамбля, возбужденный в верхнее квантовое состояние а в момент 0 t в точке 0 r и двигающийся со скоростью V В момент t он будет находиться в точке ( ) 0 0 t t − + = V r r и на него будет действовать электромагнитное поле ( ) [ ] t t t E , 0 0 − + V r . Обозначим через ab p значение матричного элемента вектора дипольного момента атома, наведенного этим полем. Энергия дипольного взаимодействия атома с элек- тромагнитным полем будет определяться ( ) ( ) ] , t t [ 0 0 t t D ab − + − = V r E p 42 , 0 0 ) ( 0 0 = ω − ∗ ω t i ab t i ab e E p e E p t D (66) где ab p – проекция вектора ab p на направление E ; 0 E – амплитуда, ω – ча- стота колебаний электромагнитного поля. Можно вычислить проекцию вектора поляризации единицы объема P на направление E , если известны матричные элементы оператора плотности ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] , , , , , , , 1 ∑ ∫ = ρ + ρ γ λ − γ λ = = N j ba ab b b a a j ab d t t W t p t P V V r V r V r V где N – число активных атомов в единице объема, ( ) V W – распределение Максвелла по скоростям (48) (суммирование производится по всем атомам единицы объема вещества). Для описания процессов возбуждения здесь фе- номенологически введены скорости возбуждения a λ и b λ атомов на уровнях a и b. С учетом энергии дипольного взаимодействия оператор Гамильтона принимает вид ) ( 0 t D H H + = , где ) (t D – оператор энергии взаимодействия (66). Чтобы учесть изменение энергии атомов за счет спонтанного излучения с верхнего и нижнего уровней квантовой системы , вводится оператор дисси - пации энергии в виде γ γ = Γ b a 0 0 , где 1 − τ = γ a a и 1 − τ = γ b b – вероятности спонтанного распада верхнего и ниж - него уровней на остальные уровни , лежащие ниже рабочих (4). После введения операторов взаимодействия и диссипации энергии ди - намическое уравнение для оператора плотности приобретает следующий вид : [ ] { } ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 0 0 Γ ρ + ρ Γ − ρ − ρ + ρ − ρ − = ρ ∂ ∂ t D t D H H i t t ℏ Расписывая это матричное уравнение по компонентам , получаем систему уравнений для элементов оператора плотности двухуровневой квантовой си - стемы : 43 ρ = ρ ρ − ρ − ρ λγ = ρ ρ − ρ + ρ γ = ρ ρ − ρ + ρ γ − ρ ω − = ρ ∗ ), ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( 0 ba ab ba ab i bb b bb dt d ba ab i aa a aa dt d bb aa i ab ab ab ab dt d t D t D t D i ℏ ℏ ℏ (67) Здесь ( ) ℏ b a E E − = ω 0 – частота квантового перехода; ( ) 2 / b a ab γ + γ = γ – половина естественной ширины линии атомного перехода Решение этой си - стемы уравнений будет рассмотрено далее 3.2. Работа лазера у порога генерации Система (67) решается методом теории возмущений при начальных условиях 0 , 0 , 1 = ρ − ρ = ρ = ρ ba ab bb aa в момент 0 t t = , соответствующих нахождению квантовой системы в верхнем состоянии a Разложение матрич - ных элементов оператора плотности в ряд производится по малому парамет - ру 0 , 0 ω γ << = ab E p D ab ℏ ℏ , пропорциональному амплитуде поля E 0 Рассмот - рим порядок решения В “ нулевом порядке ” теории возмущений из второго и третьего урав - нений (67) находим ( ) ( ) [ ] ( ) 0 ; exp 0 0 0 = ρ − γ − = ρ bb a t t aa и подставляем эти выра - жения в первое уравнение : ( ) ( ) [ ] 0 exp ) ( t t t D i a i ab ab ab ab − γ − + ρ γ + ω − = ρ ℏ ɺ В “ первом порядке ” теории возмущений из данного уравнения следует ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ] ∫ − ′ γ − − ′ γ + ω ′ ′ = ρ t t a ab ab t t t t i t D t d i t ab 0 0 1 exp ℏ Далее процедура последовательных итераций продолжается Обычно ограничиваются нахождением членов ряда вплоть до третьего порядка мало - сти В результате находят явные выражения для ( ) ( ) t aa 1 ρ , ( ) ( ) , 2 t aa ρ ( ) ( ) t bb 2 ρ ( ) ( ) t ab 3 и ρ . Значения, полученные в первом порядке, пропорциональ- ны амплитуде поля E 0 , а во “втором” и в “третьем” порядках – квадрату 2 0 E и кубу 3 0 E амплитуды поля соответственно. 44 Полученные решения системы уравнений (67) согласно (66) позволяют определить вектор поляризации активной среды и с помощью разложения (61) найти синфазную и квадратурную компоненты поляризации. После это- го из самосогласованных уравнений (63) и (64) можно получить значения напряженности электромагнитного поля в резонаторе лазера. В результате расчета в “первом порядке” теории возмущений получаем следующие самосогласованные уравнения электромагнитного поля для n-й продольной моды резонатора газового лазера: ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 1 0 2 0 t E Z N ku p Q t E n n i ab n n n n ξ ε ω + ω − = ℏ ɺ (68) ( ) 2 0 2 n r ab n n n Z N ku p f ξ ω = − ω ℏ (69) где ∫ γ λ − γ λ = L b b a a dz L N 0 0 1 – усредненная по длине резонатора ненасыщенная плотность инверсии населенностей ( ср с выражением (31), там эта величина обозначена как 0 N ∆ ); ( ) ku n n / 0 ω − ω = ξ – относительная расстройка часто - ты генерации n ω n- й моды резонатора относительно частоты 0 ω атомного перехода ; ku – доплеровский параметр ( см . (43)); ( ) ζ Z – комплексная функ - ция , называемая функцией дисперсии плазмы , мнимая часть которой про - порциональна инверсии населенностей , а вещественная – дисперсии актив - ной среды : ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ∫ ζ ∞ − ζ + − = ξ + ξ = ζ i i r dt t i iZ Z Z 2 2 exp 2 Здесь = η + ξ = ζ i ku i ku ab γ + ω − ω = 0 , η – относительный параметр однородного уширения линии излучения Обычно в газовом лазере доплеровский параметр неоднородного уши - рения значительно превышает однородную ширину линии : 1 или << η << γ ku ab . Область изменения расстройки резонатора выбирают такой, чтобы выполнялись условия: ( ) 1 или 0 < ξ < ω − ω ku . В этом прибли- жении, называемом доплеровским, выражения для i Z и r Z с точностью до членов первого порядка малости можно записать в виде 45 ( ) ( ) , 2 exp 2 η − ξ − π ≈ ξ i Z ( ) ( ) exp 2 2 ξ − ξ − ≈ ξ r Z (70) Графики указанных функций приведены на рис . 25 и представляют собой за - висимость от ξ коэффициента усиле - ния и дисперсии активной среды без насыщения ( т е для слабого элек - тромагнитного поля ) для линии атомного перехода , имеющей одно - временно однородное и неоднород - ное уширения Используя соотношение (25) µ ω = c L Q и вводя ненасыщенный ко - эффициент усиления в центре линии излучения ( ) L N u p Z G ab i 0 2 0 0 ℏ = , мож - но переписать |