Теоретические основы квантовых приборов. Теоретические основы
 Скачать 0.84 Mb.
|
|
МИНОБРНАУКИ РОССИИ ––––––––––––––––––––––––––––––––– Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– М. Н. БУРНАШЕВ, В. Ю. ВЕНЕДИКТОВ, Ю. В. ФИЛАТОВ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВЫХ ПРИБОРОВ Электронное учебное пособие Санкт-Петербург Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 2012 2 УДК 621.373.8(07) ББК 3 86-53я7 Б 91 Бурнашев М. Н., Венедиктов В. Ю., Филатов Ю.В. Б 91 Теоретические основы квантовых приборов: Электронное учеб. пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012. 80 с. ISBN 978-5-7629-1321-8 Содержит основные сведения о принципах работы лазеров и их раз- личных разновидностей. Предназначено для подготовки бакалавров по направлению «Приборо- строение» по профилю «Лазерные измерительные и навигационные систе- мы». Может быть полезно также инженерно-техническим работникам этой области знаний. УДК 621.373.8(07) ББК 3 86-53я7 Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве электронного учебного пособия ISBN 978-5-7629-1321-8 © СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2012 3 ПРЕДИСЛОВИЕ Предметом курса «Теоретические основы квантовой электроники» яв- ляется изучение основных понятий квантовой электроники, принципа дей- ствия и свойств различных типов линейных и кольцевых лазеров и примене- ния кольцевых лазеров в автономных системах инерциальной навигации в качестве лазерного гироскопа. В настоящем пособии изложены основные сведения, необходимые при освоении первой части курса, относящиеся к общим принципам построения лазеров. Квантовая электроника занимает одно из ведущих мест в современной науке и технике. Это наука, изучающая принципы и методы генерации и уси- ления электромагнитных волн путем индуцированного излучения квантовых систем (молекул, атомов, ионов). Исследования и разработки в этой области привели к созданию мазеров и лазеров, с помощью которых было решено множество научных и практических задач, в частности в навигации, измери- тельной технике и метрологии. Соединение в приборах квантовой электро- ники таких уникальных характеристик, как высокая когерентность и моно- хроматичность излучения, высокая стабильность и воспроизводимость длины волны, возможность концентрации очень большой энергии на исключитель- но малых площадях, позволило произвести переворот в технологии обработ- ки материалов, в оптике, технике записи и передачи информации и в измери- тельной технике. Спектр излучения лазеров (термин является аббревиатурой слов «Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation» – усиление све- та посредством вынужденного излучения) покрывает расширенный оптиче- ский диапазон (от инфракрасных до ультрафиолетовых волн), а излучение мазеров (происходит от «Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation» – усиление микроволнового излучения посредством вынужденно- го излучения) находится в радиочастотном диапазоне. Основополагающим открытием в развитии квантовой электроники явилось предсказанное в 1916 г. А. Эйнштейном явление вынужденного из- лучения. Им был, в частности, постулирован вывод о когерентности фотона вынужденного излучения исходному фотону, которая понималась как совпа- дение их импульсов и энергий. Важным шагом в квантовой электронике явилась строгая теория излу- чения, в которой электромагнитное поле и вещество рассматривались с точки зрения квантовой механики, созданной П. Дираком в 1927–1930 гг. В рамках 4 этой теории удалось строго обосновать соотношения Эйнштейна между ко- эффициентами спонтанного излучения, вынужденного излучения и поглоще- ния, а также связать их значения с матричным элементом дипольного момен- та квантовой системы, т. е. со свойствами самого вещества. В 1928 г. немецким физиком Р. Ладенбургом было открыто явление от- рицательной дисперсии, связанное с отрицательным поглощением. Им была впервые установлена связь отрицательного поглощения с инверсией насе- ленностей рассматриваемых уровней и было сформулировано условие ее по- лучения. В 1939 г. в докторской диссертации советского физика В. А. Фабри- канта была разработана идея усиления интенсивности света в среде, в кото- рой выполнено условие инверсии населенностей. Следующий этап развития квантовой электроники наступил в 1950-е гг. В 1950 г. американскими физиками Е. Парселлом и Р. Паундом впервые было получено индуцированное излучение. В 1953–1954 гг. Н. Г. Басов и А. М. Про- хоров (СССР) и, независимо от них, Ч. Таунс (США) получили генерацию в сантиметровом диапазоне на молекулах аммиака. Так был создан первый квантовый генератор – мазер. В 1955 г. Басов и Прохоров предложили трех- уровневый метод получения инверсной населенности молекулярных уров- ней. Действующие трехуровневые твердотельные квантовые усилители были созданы в 1957–1958 гг. в США и СССР. Позднее за эти работы Басов, Про- хоров и Таунс получили Нобелевскую премию. Дальнейшее развитие квантовой электроники было направлено на пе- реход в оптический диапазон. В 1958 г. А. М. Прохоровым и Р. Дике (США) была предложена идея использования открытого резонатора. Первый лазер создан Т. Мейманом (США) в 1960 г. с использованием резонатора открыто- го типа и кристалла искусственного рубина в качестве рабочего тела (длина волны излучения составляла 0.7 мкм). Через полгода А. Джаваном, В. Бенне- том и Д. Эрриотом (США) сконструирован первый газовый лазер на смеси газов гелия и неона. В 1962 г. были созданы первые полупроводниковые ла- зеры на основе арсенида галлия, в которых был использован предложенный в 1961 г. Н. Г. Басовым, О. Н. Крохиным и Ю. М. Поповым метод образования инверсии населенностей инжекцией электронов и дырок через p-n-переход. Созданные Ж. И. Алферовым с коллегами полупроводниковые лазеры на ге- теропереходах явились еще одним важнейшим шагом, за что Алферов был также удостоен Нобелевской премии по физике. 5 1. ПРИНЦИП ДЕЙСТВИЯ ЛАЗЕРА 1.1. Взаимодействие электромагнитного поля с веществом В основе работы лазера лежат три фундаментальных явления, происхо- дящих при взаимодействии электромагнитных волн с веществом: процессы спонтанного и вынужденного излучения и вынужденного поглощения. В этих явлениях равноправно участвует электромагнитное поле, которое может описываться как классически (по теории Максвелла), так и с помощью кван- товой электродинамики, и вещество, которое должно описываться в терми- нах квантовой механики, поскольку дискретная структура его энергетиче- ских уровней носит здесь фундаментальный характер. В 1905 г. А. Эйнштейн опубликовал научную работу, посвященную яв- лению фотоэффекта. В ней он доказал квантовый характер порций энергии электромагнитного поля при поглощении его веществом с сопутствующим выбиванием электрона с поверхности тела. Таким образом он ввел понятие фотона – частицы с энергией ν ω h E = = ℏ (где π 2 / h = ℏ ; h – постоянная Планка ; ν – циклическая , а ω – круговая частоты электромагнитного поля ) и импульсом k p ℏ = , c / ω = k , где k – волновой вектор ; с – скорость света в вакууме Эта работа явилась одним из толчков к созданию квантовой меха - ники В настоящее время квантовая механика рассматривает вещество и поле как объекты , обладающие и корпускулярными , и волновыми свойствами од - новременно Это свойство материи называется корпускулярно - волновым ду - ализмом Особенно сильно оно проявляется для микрообъектов , обладающих малыми массой и энергией ( таких , как электроны , атомы и молекулы ) и для взаимодействующих с ними полей В ряде случаев удобно рассматривать электромагнитное поле с корпускулярной точки зрения – как поток фотонов , особенно при анализе энергетических характеристик поля При анализе оп - тических явлений , таких как интерференция , дифракция и др ., при которых проявляются волновые свойства электромагнитного поля , поле удобнее представлять в виде совокупности плоских или сферических волн Рассматривая вопрос о статистике электромагнитного излучения , Эйн - штейн попытался доказать формулу М Планка для распределения плотности энергии излучения абсолютно черного тела : 6 ( ) , 1 1 2 , 3 3 − ω = ω ρ ω T k B e c T ℏ ℏ (1) где ω – круговая частота электромагнитного поля; T − абсолютная темпера- тура; B k – постоянная Больцмана (обозначение B k использовано для того, чтобы отличать эту величину от волнового числа k ). Из классической теории излучения электромагнитного поля следовала формула Релея–Джинса ( ) 3 2 2 , c T k T B π ω ν ρ = , интегрирование которой по частотам давало бесконечно большое значение энергии электромагнитного поля (так называемая ультрафиолетовая ката- строфа). Для устранения этого несоответствия Эйнштейну пришлось ввести три статистических постулата об элементарных процессах излучения и по- глощения, исходя из корпускулярных представлений о природе света. Будем считать, что вещество описывается разрешенными состояниями (уровнями), в которых оно может находиться, со значениями энергии n E , n = = 1, 2,…, т. е. рассмотрим так называемую квантовую систему. Постулат 1. В отсутствие внешнего электромагнитного поля существу- ет определенная вероятность самопроизвольного перехода квантовой систе- мы с более высокого уровня на более низкий. Она называется вероятностью спонтанного перехода n m A mn > , Это явление носит статистический харак - тер : для ансамбля одинаковых квантовых систем число переходов за единицу времени в единице объема вещества составляет m mn N A , где m N – число квантовых систем на уровне m в единице объема Величина m N называется населенностью уровня m При этом не определено , произойдет ли переход в заданной конкретной системе или нет Будем для определенности рассматри - вать процессы ( рис .1, а ) в двухуровневой квантовой системе ( m = 2, n = 1). Скорость изменения населенности уровня 2 составляет 2 21 2 N A dt dN − = (2) При каждом переходе испускается квант с энергией 1 2 E E − = ω ℏ Величину 21 21 1 A = τ (3) называют временем жизни уровня 2 по отношению к спонтанному излуче - нию на уровень 7 В случае, когда рассматривается многоуровневая система, определим полную вероятность спонтанного испускания фотона при переходе на любой из нижележащих уровней согласно закону сложения вероятностей ∑ = n mn m A A , где суммирование ведется по всем уровням, лежащим ниже уровня m, и вме- сто (3) получим полное время жизни верхнего уровня ( ) 1 − = m m A τ (4) Эта величина называется естественным временем жизни уровня. Решение уравнения (2) ( ) ( ) 2 0 2 2 / exp τ t N t N − = (5) показывает, что зависимость населенности верхнего уровня от времени соот- ветствует экспоненциальному закону радиоактивного распада. Направления, в которых излучаются фотоны, равномерно распределены во всем простран- стве, а моменты переходов случайно распределены по времени. Такое излу- чение является полностью некогерентным. Постулат 2. Пусть квантовая система находится на верхнем уровне и на нее воздействует резонансное внешнее электромагнитное поле с частотой ( ) ℏ / 1 2 E E − = ω Имеется конечная вероятность перехода системы с уровня 2 на уровень 1 с излучением дополнительного фотона с энергией 1 2 E E − = ω ℏ ( рис . 1, б ). Вероятность перехода системы в единицу времени равна ( ) ω ρ 21 B , она пропорциональна плотности энергии внешнего электромагнитного поля 2 E 2 E 2 E 1 2 E E − = ω ℏ ω ℏ ω ℏ ω ℏ 1 E 1 E 1 E Рис. 1 в 1 2 1 2 1 2 б а 8 ( ) ω ρ и так называемому коэффициенту вынужденного (индуцированного) излучения 21 B Для ансамбля одинаковых квантовых систем число индуцированных переходов в единице объема в единицу времени равно ( ) 2 21 N B ω ρ , а скорость изменения населенности 2 N уровня 2 составит ( ) 2 21 2 N B dt dN ω ρ − = (6) В результате излучается фотон , характеристики которого – энергия , импульс ( в том числе направление распространения ) и состояние поляризации – пол - ностью совпадают с характеристиками фотона внешнего поля Если рассмат - ривать поток с большим числом фотонов , то фаза электромагнитной волны в потоке индуцированного излучения совпадает с фазой поля падающего излу - чения Таким образом , индуцированное излучение полностью когерентно па - дающему Объединив два первых эффекта , можно найти полную вероятность ис - пускания фотона квантовой системой : ( ) ω ρ + = 21 21 21 B A W , а из (2) и (6) – полную скорость изменения населенности 2 N : ( ) [ ] 2 21 21 2 N B A dt dN ω ρ + − = (7) Постулат 3 Пусть система находится на нижнем энергетическом уровне 1 и на нее падает излучение с частотой ( ) ℏ 1 2 E E − = ω , резонансное данному переходу Тогда существует конечная вероятность 12 B поглощения падающего фотона , при этом система переходит на верхний уровень 2 ( рис . 1, в ). Скорость переходов определяется выражением ( ) 1 12 1 N B dt dN ω ρ − = (8) Вероятность поглощения фотона ( ) ω ρ = 12 12 B W пропорциональна плотности электромагнитного поля и коэффициенту поглощения 12 B Урав - нения типа (7) и (8) называются скоростными уравнениями , т е уравнениями для скоростей процессов Они принципиально не могут учитывать фазовых соотношений , характерных для волновых полей Применение принципа детального равновесия для установившегося процесса взаимодействия электромагнитного поля с веществом дает следу - ющее соотношение между коэффициентами вынужденного излучения и по - глощения : 21 12 B B = (9) 9 Если рассматриваемые уровни кратные, т. е. наблюдается вырождение с фак- торами g 1 и g 2 , это соотношение принимает вид 21 2 12 1 B g B g = (10) Из справедливости закона распределения излучения Планка с необходимо - стью следует соотношение между коэффициентами спонтанного и вынуж - денного излучений 2 21 3 3 21 B c A π ω = ℏ (11) В строгой теории квантовой электродинамики коэффициент спонтан - ного излучения вычисляется через параметры , определяемые свойствами квантовой системы ( молекулы или атома ): , 3 4 2 21 3 3 21 r c A ℏ ω = (12) где 21 r – матричный элемент дипольного момента квантовой системы , вы - числяемый в квантовой механике с помощью волновых функций Выражение (12) показывает , что при переходе из радиодиапазона в оптический и далее в рентгеновский резко возрастает интенсивность спонтанного излучения ( как куб частоты излучения ), обычно проявляющегося в виде примеси шума к мо - нохроматическому лазерному излучению Выражения (9) – (12) полностью определяют значения коэффициентов Эйнштейна В результате введения в статистическую теорию этих эффектов закон распределения энергии элек - тромагнитного поля соответствует формуле Планка (1), определяющей кван - товую статистику электромагнитного поля Существование индуцированного излучения и его свойства и определили возможность создания лазеров 1.2. Усиление света в среде Рассмотрим процесс усиления или поглощения света в среде , состоя - щей из двухуровневых квантовых систем Пусть на среду в направлении оси z падает поле в виде плоской электромагнитной волны с энергией , проходя - щей через единицу площади в единицу времени ( интенсивностью электро - магнитного поля ) 0 I ( рис . 2). Предположим , что поперечное сечение актив - ной среды равно единице площади Выделим тонкий слой толщиной dz, в ко - тором интенсивность света можно считать постоянной 10 Для анализа энергетических характеристик потока излучения введем плотность потока фотонов F. Эта величина равна числу фотонов в равномер- ном потоке излучения, падающего на единицу площади сечения, перпенди- кулярного направлению распространения, в единицу времени. Она связана с интенсивностью I поля электромагнитной волны как F I ω = ℏ . Тогда вероят- ность вынужденного излучения будет пропорциональна величине F : ( ) F B W σ = ω ρ = 21 21 , где коэффициент пропорциональности σ имеет размерность площади и носит название сечения вынужденно- го излучения (поглощения) данной квантовой системы. В единице объеме слоя среды произойдут вынужден- ное излучение 2 21 N W и погло- щение 1 12 N W фотонов. При- ращение плотности потока фо- тонов после прохождения слоя толщиной dz составит ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 1 2 1 12 2 21 dz z N z N F dz z N W z N W z dF − σ = − = (13) Предположим в первом приближении , что 1 2 N N − не зависит от z. Тогда решение уравнения (13) дает известный нам закон Бугера ( ) ( ) [ ] , exp exp 0 1 2 0 gz F z N N F z F = − σ = (14) причем при g > 0 наблюдается усиление , а при g < 0 – поглощение излучения Величина ( ) 1 2 N N g − σ = (15) называется линейным коэффициентом усиления ( поглощения ) среды Если среда усиливает излучение , ее обычно называют активной Очевидно , что наличие усиления или поглощения в среде определяется знаком разности населенностей уровней 1 2 N N − Рассмотрим состояние среды при термодинамическом равновесии В этом случае заселение уровней определяется статистикой Больцмана ( ) T k E N N B n n − = exp 0 При этом всегда 0 1 2 < − N N и среда оказывается поглощающей Получить состояние 0 1 2 > − N N можно только в неравновесной системе , такое состоя - ние называется инверсией населенностей Рис. 2 z S=1 F(z) 0 z z+dz F 0 11 Экспоненциальная зависимость усиления (поглощения) (14) справед- лива только в приближении достаточно малой интенсивности поля. Рассмот- рим скоростные уравнения (7) и (8) для стационарного режима, т. е. примем, что 0 1 2 = = dt dN dt dN , и будем увеличивать длину среды При этом будет увеличиваться интенсивность ( и , соответственно , плотность потока ) излуче - ния Поскольку коэффициенты Эйнштейна 21 B и 12 B равны , согласно (9), друг другу , а вероятность спонтанного излучения не зависит от плотности энергии электромагнитного поля , при некотором значении интенсивности s I I = населенности почти сравняются , ( ) ( ) z N z N 1 2 ≈ и среда перестает по - глощать либо усиливать свет Такое состояние называется состоянием про - светления среды , поскольку монохроматическое электромагнитное поле с ча - стотой , равной резонансной частоте перехода , проходит через нее без изме - нения Значение интенсивности s I называется параметром насыщения среды Физически явление насыщения исследовалось в экспериментах А Судзуки и др при увеличении длины среды до 3 м Для He-Ne усиливающей ( активной ) среды были получены значения ( ) 5 10 4 1 ⋅ − ≈ s I Вт / м 2 Точное решение урав - нения (13) выглядит следующим образом : ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] exp exp 0 1 2 0 0 ∫ − σ = = z dx x N x N F z G F z F (16) Характерный вид зависимости (16) приведен на рис . 3. Величина ( ) ( ) ( ) [ ] ∫ − σ = z dx x N x N z G 0 1 2 (17) Слабое поле g(z) = const Область насыщения F ( z ) z z= 0 I ( z ) I s Полное просветление среды g(z) = 0 I 0 Рис. 3 12 называется полным коэффициентом усиления активной среды. В случае сла- бого электромагнитного поля, когда 1 2 N N − не зависит от z, полный коэф- фициент усиления, согласно (16), пропорционален длине l активной среды: ( ) 1 2 l N N G − σ = (18) |