стати. Тесты для самоконтроля, контрольные работы по
 Скачать 1.08 Mb.
|
|
Пример 5. На транспортном предприятии работают 18 водителей, из них водители первой категории – 11 человек, второй категории – 7 человек. Определите удельный вес водителей первой категории, а также удельный вес водителей первой категории, приходящихся на одного водителя второй категории. Решение Удельный вес водителей первой категории в общем числе составляет: 12 61 100 18 11 100 N n (%). Величину координации можно определить по формуле: 64 63 100 11 7 100 2 1 n n k (%), таким образом, 63,64 % водителей первой категории приходится на одного водителя второй категории. 28 Пример 6. Используя данные таблицы 9, проведите сравнение себестоимости, объемов выпуска и общей себестоимости продукции на двух предприятиях. Таблица 9. Данные о себестоимости и объемах выпуска однородной продукции на двух предприятиях Предприятие Себестоимость, тыс. руб. Объем выпуска, ед. 1 32,8 54 2 29,6 80 Решение Для сравнения данных, относящихся к разным единицам наблюдения, используют относительную величину координации. Сравним данные первого предприятия с данными на втором предприятии: 1) себестоимость: 108 1 6 29 8 32 2 1 z z k z ( % 8 110 ); 2) объемы выпуска: 675 0 80 54 2 1 q q k q ( 5 67 100 675 0 %); 3) общей себестоимости: 748 0 0 2368 2 1771 80 6 29 54 8 32 2 2 1 1 q z q z k zq ( % 8 74 ). Таким образом, себестоимость единицы продукции на первом предприятии по сравнению со вторым больше на 10,8%; объемы выпуска на первом предприятии на 32,5% ниже, чем на втором; общая себестоимость первого предприятия меньше, чем второго на 25,2%. 3.3. Степенные средние величины Средней величиной называется обобщающий показатель, характеризующий уровень варьирующего количественного признака на единицу совокупности в определенных условиях места и времени. Средняя величина всегда имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности. В экономических исследованиях и плановых расчетах применяют две категории средних: степенные и структурные. К степенным средним относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая и средняя геометрическая. Формулы средних величин могут быть получены на основе функции степенной средней: n i i n i i k i f f x x 1 1 , где x - средняя; 29 i x - величина, для которой исчисляется средняя; i f - частота (повторяемость) индивидуальных значений признака; k - степень средней; n - число единиц в совокупности. В зависимости от степени (k) получаются различные виды средних величин, их формулы представлены в таблице 10. Чем выше степень средней, тем большее значение средней получается в результате расчета: гарм Х < геом Х < арифм Х < квадрат Х Таблица 10. Формулы расчета степенных средних величин Значение k Наименование средней Формула средней простая взвешенная -1 Гармоническая x n x 1 f x f x 1 ; w x w x 1 0 Геометрическая n n x x x x 2 1 f f n f f n x x x x 2 1 2 1 1 Арифметическая n x x f xf x ; w xw x 2 Квадратическая n x x 2 f f x x 2 Вопрос о выборе средней решается в каждом отдельном случае, исходя из задачи исследования и наличия исходной информации. Средняя арифметическая и средняя гармоническая наиболее распространенные виды средних, их выбор определяется характером имеющейся в распоряжении исследователя информации. Используются они при расчетах общей средней из средних групповых, а также при выявлении взаимосвязи между признаками с помощью группировок. Пример 7. Имеются данные о численности семьи работников организации (чел.): 2; 6; 3; 5; 6; 3; 3; 5; 4; 4; 2; 2; 4; 3; 5; 4; 3; 3; 3. Определите среднее число человек в семье с помощью формулы средней арифметической: 1) простой; 2) взвешенной. Решение 1. Так как исходные данные не сгруппированы, применяем среднюю арифметическую простую: 7 3 19 70 19 3 3 3 4 5 3 4 2 2 4 4 5 3 3 6 5 3 6 2 n x x (чел.). 2. Для применения средней арифметической взвешенной данные необходимо сгруппировать (см. табл. 11). 30 Таблица 11. Распределение работников по числу человек в семье Число человек в семье, чел. (х) 2 3 4 5 6 Итого Число работников, чел. (f) 3 7 4 3 2 19 Теперь, для определения среднего числа человек в семье используем среднюю арифметическую взвешенную: 7 3 19 70 2 3 4 7 3 2 6 3 5 4 4 7 3 3 2 f xf x (чел.). Следовательно, среднее число человек в семье работников организации составляет 3,7 человека. Пример 8. Используя данные таблицы 12, определите среднюю успеваемость студентов факультета. Таблица 12. Данные об успеваемости студентов факультета Успеваемость, % (х) 60-70 70-80 80-90 90-100 Число студентов, чел. . (f) 10 18 52 20 Решение Данные сгруппированы, следовательно, для выполнения задания будем использовать среднюю арифметическую взвешенную. Так как факторный признак представлен интервалами значений, то в числителе формулы вместо х применим x - середину соответствующего интервала, которая определяется: 65 2 70 60 1 x ; 75 2 80 70 2 x ; 85 2 90 80 3 x ; 95 2 100 90 4 x 2 83 100 8320 20 52 18 10 20 95 52 85 18 75 10 65 f f x x (%) Таким образом, средняя успеваемость студентов факультета составляет 83,2%. Пример 9. Определите среднюю месячную заработную плату работников предприятия, используя данные таблицы 13. Таблица 13. Данные о заработной плате работников предприятия № цеха Средняя месячная заработная плата, руб. Фонд заработной платы, руб. 1 1790 368740 2 1730 349460 3 1500 429000 31 Решение Средняя месячная заработная плата определяется делением фонда зарплаты на число рабочих предприятия. Обозначим «Среднюю месячную заработную плату» - х, а «Фонд заработной платы» - w. Тогда число работников предприятия можно определить по формуле: 3 3 2 2 1 1 x w x w x w x w Исходя из вышесказанного формула расчета примет вид: 03 1653 694 1147200 1500 429000 1730 349460 1790 368740 429000 349460 368740 x w w x (руб.). Для расчета средней в данном случае использовалась формула средней гармонической взвешенной. Средняя квадратическая применяется для расчета среднего квадратического отклонения, являющегося показателем вариации признака, а также в технике (например, при сооружении трубопроводов). Средняя геометрическая (простая) используется при вычислении среднего коэффициента роста (среднего темпа роста) в рядах динамики. Пример 10. Определите средний темп роста, используя данные таблицы 14. Таблица 14. Данные о продажи телевизоров за три года Год 2000 2001 2002 Объем продажи телевизоров, тыс. ед. 18,4 19,0 24,3 Решение Для определения темпа роста от года к году используем относительную величину динамики: 033 1 4 18 0 19 0 1 y y T p ; 279 1 0 19 3 24 1 2 y y T p Средний темп роста рассчитывается по формуле средней геометрической, где степень корня определяется число перемножаемых под корнем чисел: n n x x x x 2 1 ; 149 1 279 1 033 1 2 x ( % 9 114 100 149 1 ). Вывод: средний темп роста за три года составляет 114,9% 3.4. Структурные средние величины К структурным средним величинам, применяемым в статистических исследованиях, относят моду и медиану. В отличие от степенных средних, структурные средние выступают как конкретные величины, совпадающие со значениями признака отдельных единиц совокупности. 32 Мода ( o M ) – это наиболее часто встречающееся значение признака в статистическом ряду. При анализе рынка потребительских товаров модой может быть, например, наиболее распространенный размер обуви, одежды. Для графического определения структурных средних используют три вида кривых: кумуляту, полигон распределения и гистограмму частот. При определении моды используют два последних вида графиков. Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают значения признака, а частоты повторения изображаются прямоугольниками (см. рис.3). Частота повторения обозначается буквой f и указывает, какое количество значений признака встречается в совокупности (в примере 10 частотой повторения является число рабочих определенного разряда: разряд 2 встречается 15 раз, 3 – 24 раза и т.д.). С целью определения моды правую вершину модального прямоугольника (самого высокого) соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой. Полигон частот или полигон распределения – это замкнутая ломаная линия (см. рис. 4). По оси абсцисс откладывают значения признака, по оси ординат – частоты повторения. Полигон распределения всегда замыкается на оси абсцисс: на рисунке 4 полигон выходит с первого разряда, что свидетельствует о том, что рабочих первого разряда в цехе нет; замыкается полигон в седьмом разряде, что также свидетельствует об отсутствии его среди рабочих цеха. Мода в данном случае находится как перпендикуляр, опущенный на ось абсцисс с самой высокой точки полигона. Пример 11. Имеются данные о разрядах рабочих цеха, определите моду с помощью таблицы и графическим способом. Таблица 15. Распределение рабочих цена по уровню квалификации Квалификационный разряд (х) 2 3 4 5 6 Число рабочих, чел. (f) 15 24 40 13 8 Решение По таблице видно, что чаще всего встречается 4 квалификационный разряд: 40 рабочих имеют данный разряд, следовательно, 4 o M На рисунках 3 и 4 представлено графическое определение моды. Мода на рисунке 3 соответствует значению 3,4 разряда. Так как разряд – целая, неделимая, дискретная величина, то округление происходит всегда в большую сторону. Следовательно, 4 Mo 33 По полигону частот (рис. 4) 4 Mo Медиана ( e M ) – значение признака, которое располагается в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части. Ранжированный ряд – это ряд статистических показателей, выстроенный в порядке возрастания или убывания значений признака. Рис. 3. Гистограмма Рис. 4. Полигон частот Сначала, для определения значения медианы, находится ее место в ранжированном ряду по формуле: 2 1 n № Ме , где n – число единиц в статистическом ряду. Если число единиц в ряду четное, то медиану принимают равной средней арифметической величине из двух срединных значений. Медиана применяется при статистическом контроле качества продукции и технологического процесса на промышленных предприятиях, при изучении распределения семей по величине дохода,… Графически медиану определяют с помощью кумуляты. Построение кумулятивной кривой (кумуляты): на оси ординат откладывают накопленные частоты, на оси абсцисс – значения признака. Соединяя полученные точки плавной линией, которая, начиная с нуля, непрерывно поднимается над осью абсцисс до тех пор, пока не достигнет высоты, соответствующей общей сумме частот. По кумуляте определяется медиана. Для ее нахождения высоту наибольшей ординаты делят пополам. 40 35 30 25 20 15 10 5 40 35 30 25 20 15 10 5 f, чел. f, чел. х х 1 2 3 4 5 6 0 0 1 2 3 4 5 6 7 34 Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианной величиной. Пример 12. Дан ряд статистических показателей, отражающих возраст рабочих цеха (лет): 22; 36; 20; 30; 24; 36; 44; 20; 22; 28; 38; 26; 30. Определите медиану. Решение Проранжируем заданный ряд в порядке роста значений признака: 20; 20; 22; 22; 24; 26; 28; 30; 30; 36; 36; 38; 44. Теперь определим место медианы в ряду: 7 2 1 13 2 1 n № Ме , т. е. седьмое по счету значение признака является медианой в данном ряду. Следовательно, медиана равна: 28 e M лет. Для построения кумуляты необходимо сгруппировать данные и рассчитать накопленные частоты (см. табл. 16). Таблица 16. Распределение рабочих цена по возрасту. Возраст (х) 20 22 24 26 28 30 36 38 44 Число рабочих, чел. (f) 2 2 1 1 1 2 2 1 1 Накопленная частота, чел. (S) 2 4 5 6 7 9 11 12 13 Рис. 5. Кумулята 5 6 2 max S 1 3 5 7 9 11 13 S, чел. 20 24 28 32 36 40 44 0 х, лет 35 Накопленная частота определяется как сумма частот текущего показателя с предшествующими, например, 5 1 2 2 24 S (чел.). Графическим способом полученное значение медианы соответствует: 27 Me лет Если факторный признак в группировке данных представлен интервалами значений, то определение моды и медианы имеет особенности. При определении медианы сначала указывают медианный интервал – это первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений. Числовое значение медианы определяется по формуле: Me= Me Me f S n i x ) 1 ( 2 1 , где Me x - нижняя граница медианного интервала; i - величина интервала; S (-1) – накопленная частота интервала, предшествующего медианному; f - частота медианного интервала. При определении моды в интервальном ряду сначала определяется модальный интервал, т.е. тот интервал, который имеет наибольшую частоту повторения. Конкретное значение моды определяется по формуле: Mo= ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( Mo Mo Mo Mo Mo Mo Mo f f f f f f i x , где x Mo - нижняя граница модального интервала; f M - частота модального интервала; f (Mo-1) - частота интервала, предшествующего модальному; f (Mo+1) - частота интервала, следующего за модальным. Пример 13. Используя данные таблицы 17, определите аналитическим и графическим способами моду и медиану. Таблица 17. Распределение рабочих цеха по возрасту Возраст, лет (x) 20-26 26-32 32-38 38-44 44-50 Число рабочих, чел. (f) 6 22 20 10 2 Накопленная частота, чел. (S) 6 28 48 58 60 Решение Модальным интервалом является интервал [26-32], так как здесь наблюдается наибольшая частота повторения. Числовое значение определим по формуле: 36 Mo= 3 31 ) 20 22 ( ) 6 22 ( 6 22 6 26 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( Mo Mo Mo Mo Mo Mo Mo f f f f f f i x (лет). Для определения медианного интервала, накопленную частоту разделим пополам: 30 2 60 2 max S . Полученное значение впервые встречается в строке накопленной частоты в третьем интервале: [32-38], следовательно, он является медианным. Числовое значение медианы определим по формуле: Me= 75 32 20 28 2 1 60 6 32 2 1 ) 1 ( Me Me f S n i x (лет). Рис. 6. Гистограмма Рис. 7. Полигон частот На рисунках 6 и 7 представлены гистограмма и полигон частот для определения моды, а на рисунке 8 – кумулята для определения медианы. При построении для интервального ряда: - |