Основы электротехники. Учебник для высшего профессионального образования вт. Еременко, А. А. Рабочий, А. П. Фисун и др под общ ред вт. Еременко. Орел фгбоу впо Госуниверситет унпк, 2012. 529 с
 Скачать 7.28 Mb.
|
|
ЭУПК на основе прямой имитации резисторов Физический принцип прямой имитации резисторов посредством коммутации конденсаторов может быть пояснен на примере ПК, функциональная схема которого представлена на риса, а временные диаграммы сигналов управления его ключами – на рис. 17.20, б. Буквами е и о обозначены сигналы управления ключами, активные в течение четной и нечетной фаз коммутации, от английских слов «even» – четный и «odd» – нечетный. Длительности четной и нечетной фаз коммутации ПК всегда равны между собой, а управляющие сигналы четной и нечетной фаз взаимно инверсны. В течение нечетных фаз коммутации, те. при замыкании ключей S1 и S4, конденсатор заряжается напряжением, приложенным между точками 1 и 2. При размыкании ключей S1 и S4 и замыкании управляемой в противофазе сними пары ключей S2 и S3, те. в течение четных фаз, конденсатор разряжается. Период циклов его заряда и разряда совпадает с периодом сигналов управления ключами, а длительности данных циклов равны половине периода указанных сигналов. С физической точки зрения, принцип имитации резистора посредством ПК можно пояснить следующим образом. Как известно, конденсатор проводит электрический ток только в процессе заряда разряда. Поэтому ПК, функционирующий в режиме периодического заряда с последующим разрядом можно рассматривать как структуру, способную проводить ток любой частоты, в том числе и постоянный. Определим эквивалентное сопротивление между точками 1 и 2 см. риса) ПК в простейшем сточки зрения анализа случае – при пренебрежимо малом импедансе (сопротивлении) между каждой из указанных точек и общей шиной. Это имеет место при работе ПК в составе устройства с пренебрежимо малым выходным импедансом источника входного напряжения, например, в интеграторе Миллера на ОУ [12] с ПК в качестве входного резистора. На риса и 17.21, б приведены эквивалентные схемы указанного ЭУПК в каждой из двух фаз коммутации. Для упрощения полагаем, что конденсаторы, ключи и ОУ идеальны. Рис. 17.20. Пример цепи прямой имитации резистора на ПК (аи временные диаграммы сигналов управления ее ключами (б) Рис. 17.21. Эквивалентные схемы интегратора в нечетных (аи четных (б) фазах коммутации Очевидно, что эквивалентное сопротивление ПК равно отношению среднего за период коммутации значения напряжения на нем к среднему значению тока через ПК за указанный период. Среднее за период коммутации T напряжение на ПК анализируемого ЭУПК, описывается следующим выражением T C C dt t i C U 0 1 1 _ ) ( 1 1 , откуда получаем, что T C I U C C 1 1 _ 1 _ , где 1 _ C I – среднее за период коммутации значение тока через ПК. Следовательно, эквивалентное сопротивление ПК равно 1 1 _ 1 _ C Т I U R C C Э На частотах, много меньших частоты коммутации, падение напряжения на ПК и ток через него можно приближенно считать постоянными в течение периода коммутации. Поэтому в данном частотном диапазоне верно соотношение 1 ) ( ) ( 1 Следовательно, на частотах, много меньших частоты коммутации, данный ПК эквивалентен резистору с сопротивлением, прямо пропорциональным периоду коммутации и обратно пропорциональным емкости ПК. В общем случае, на частотах, намного меньших частоты коммутации, эквивалентный импеданс цепи прямой имитации резистора на базе ПК равен C kT / , где k – коэффициент, зависящий от конкретной конфигурации ПК, а также от соотношения между емкостью ПК и выходной емкостью источника сигнала, с одной стороны, и емкостью нагрузки – с другой. Необходимо также отметить, что корректное функционирование указанных цепей возможно только при емкостном характере как выходного импеданса источника сигнала, таки нагрузки [6]. ЧАСТЬ 4. ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ СХЕМОТЕХНИКИ ЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ 18. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЛОГИЧЕСКИХ (ПЕРЕКЛЮЧАТЕЛЬНЫХ) ФУНКЦИЙ 18.1. Логические функции и элементы В подавляющем большинстве ЭВМ и цифровых устройств обрабатываемая информация представлена в виде двоичных чисел. Переменные величины и функции от них, которые могут принимать только два значения 1 и 0, называются логическими переменными и логическими (переключательными) функциями. Свойства логических функций изучает алгебра логики, а реализация логических функций осуществляется функциональными устройствами, называемыми логическими элементами. Значениям переменных 1 и 0 ставятся в соответствие символы двоичного алфавита 1 и 0, а также физические аналоги – два хорошо различимых значения напряжения, тока, электрического сопротивления, магнитной индукции и т.п. Величина и полярность уровней (например, напряжения, которым ставятся в соответствие символы 0 и 1, выбираются из соображений удобства технической реализации и заданной помехоустойчивости. В основе цифровой техники лежит использование логических или переключательных схем. Различают два класса логических схем [32]: 1. Комбинационные схемы, в которых значение выходной переменной зависит только от значений входных переменных в данный момент времени. 2. Последовательностные схемы, в которых значение выходной переменной зависит не только от значений входных переменных в данный момент, но и от состояний элементов памяти, заданных в предыдущих тактах работы. Функционирование любого, сколь угодно сложного цифрового устройства, можно описать двояким образом аналитически или с помощью таблиц. Распространены комбинационные схемы, имеющие логических входов и «n» логических выходов (рис. 18.1). Рис. 18.1. Блок-схема цифрового устройства Если x 1 , x 2 ,….x j ,…x m – информационные значения независимых входных (управляющих) сигналов, а y 1 , y 2 ,…y i ... y n – информационные значения выходных сигналов, то комбинационная схема может быть описана системой уравнений Y i = || F (X j ) || (18.1) Функцию называют логической (булевой или переключательной. При наличии m независимых входных переменных, каждая из которых может принимать два значения (1 или 0), максимальное число возможных наборов из этих переменных будет А = 2 m , а максимально возможное число значений функций определится соотношением Можно задать систему уравнений (18.1) в виде таблиц, называемых таблицами истинности Таблицы и аналитические выражения используются для анализа и синтеза устройств с наименьшим количеством элементов [32]. В алгебре логики основными считаются такие функции (операции, при помощи которых можно записать любую сложную логическую функцию и распространить их действие на любое количество переменных. Есть три основные функции 1) инверсия (отрицание) – операция НЕ 2) конъюнкция (логическое умножение) – операция И 3) дизъюнкция (логическое сложение) – операция ИЛИ. Сущность логической операции инвертирования состоит в отрицании первичного высказывания. С помощью логической операции НЕ можно переводить прямой код в обратный и наоборот. Обратным кодом при положительном кодировании называется такой, в котором истинному логическому высказыванию соответствует нулевой сигнал (цифра 0), а ложному – единичный сигнал (цифра 1). ( В математической логике высказывания оцениваются двумя критериями : оно может быть истинным или ложным. Этому можно поставить в соответствие цифры 1 и 0, либо сигналы, условно соответствующие этим цифрам. Аналитически операция НЕ записывается в виде y=x , (читается игрек равен не икс. Табличное представление этой функции (таблица истинности) и условное графическое обозначение (УГО) элемента (инвертора, реализующего эту функцию, показаны на рис. 18.2. Рис. 18. 2. Таблица истинности и УГО инвертора Конъюнкция – операция И или логическое произведение, является сложным высказыванием, истинным только в единственном случае, когда истинны все элементарные высказывания. Аналитически эта операция записывается следующим образом y = x 1 · x 2 ·…·x m (18.2) Принятая форма записи наглядно показывает, что функция «y» обращается в нуль, если хотя бы один из аргументов принимает нулевое значение. Таблицы истинности и условные обозначения некоторых конъюнкторов показаны на рис. 18.3. Рис. 18. 3. Таблицы истинности для конъюнкторов с двумя и тремя аргументами и УГО двухвходового конъюнктора Дизъюнкция – логическая сумма (операция ИЛИ является сложным высказыванием, истинным, если истинно не менее чем одно элементарное высказывание. Аналитическое выражение этой операции имеет вид y = x 1 + x 2 + ….+ x n (18.3) Таблица истинности для двухвходового дизъюнктора и его графическое изображение показано на рис. 18.4.. Рис. 18.4. Таблица истинности и УГО двухвходового элемента ИЛИ Логические функции конъюнкции и дизъюнкции обладают свойством двойственности которое заключается в том, что одна и та же функция в зависимости от способа кодирования уровней сигналов значениями 0 и 1 может выполнять функции либо И, либо ИЛИ. Сравнивая таблицы истинности этих функций, можно заметить, что таблица истинности для элемента И соответствует операции И для положительной логики (когда высокий уровень – истинно соответствует 1, а низкий – ложно соответствует 0). С другой стороны этаже таблица выражает операцию ИЛИ для негативной логики (когда в качестве высокого уровня – истинно принята в качестве низкого уровня – ложно принята 1). Чаще всего используется положительная логика, поэтому в дальнейшем рассматриваются функции для положительной логики. Для лучшего усвоения понятий конъюнкции, дизъюнкции и свойства двойственности на рис. 18.5 показаны электромеханические эквиваленты операций И и ИЛИ. Если за 1 принять наличие напряжения на резисторе, аза отсутствие напряжения (положительное кодирование, то схема а на рис. 18.5 реализует операцию ИЛИ, а схема б – операцию И. Если за единицу принять отсутствие напряжения на резисторе, аза наличие напряжения (отрицательное кодирование, то схема а) реализует операцию И, а схема б – операцию ИЛИ. Соответственно можно условиться, что при положительном кодировании разомкнутое положение ключа соответствует логическому нулю, а замкнутое положение – логической единице, и наоборот – при отрицательном кодировании. Рис. 18.5. Электромеханические эквиваленты операций ИЛИ и И Алгебра логики допускает возможность образования сложных функций, те. функций, аргументы которых являются функциями других двоичных аргументов. Например, если Y = y(z 1 , z 2 ) , аи, то очевидно, что Y = y (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ). Такая операция замены аргументов одной функции другими функциями называется суперпозицией функций. Эта операция дает возможность с помощью функций меньшего числа аргументов получать функции большего их числа. Набор двоичных функций, который обеспечивает представление любой другой функции посредством суперпозиции функций этого набора, называют функционально полным. Например, из функций двух переменных можно составить значительное число различных функционально полных наборов. Так функционально полные наборы образуют функции инверсии и конъюнкции, инверсии и дизъюнкции. Сочетания этих функций широко используются при синтезе электронных устройств. Инверсия логической суммы двух величин (элемент ИЛИ-НЕ) носит название стрелка Пирса, её аналитическое представление имеет вид y = x 1 + x 2 или y = x 1 x 2 . (18.4) Инверсия логического произведения двух величин (элемент И-НЕ) носит название штрих Шеффера, его аналитическое представление показано ниже y = x 1 x 2 или y = x 1 / x 2 . (18.5) Набор функций дизъюнкции, конъюнкции и инверсии, рассмотренных выше, получил название основного функционально полного набора. 18.2. Аксиомы, законы, тождества и теоремы алгебры логики (булевой алгебры) В алгебре логики любая переменная может иметь состояние «0» или «1», поэтому каждой двоичной переменной, например Х, ставится в соответствие обратная или дополнительная к ней (инверсная) переменная, такая, что если Х = 0, то Х = 1; если Х = 1, то Х = 0. Правила (законы, характеризующие операции дизъюнкцию (логическое сложение, коньюнкцию (логическое умножение, инверсию логическое отрицание, приведены в табл. 18.1. Таблица 18.1 Перечень основных законов и тождеств алгебры Буля Для алгебры логики, как и для обыкновенной алгебры, действительны следующие законы - закон коммутативности (переместительный закон) для логического сложения и умножения : х +у = ух х * у = ух- закон ассоциативности (сочетательный закон) для логического сложения и умножения х+у+z =(х+у)+z =х+(у+z); - закон дистрибутивности логического умножения по отношению к сложению (распределительный закон х уху+ х . Следует предостеречь, что в булевой алгебре не действуют правила вычитания и деления обычной алгебры. Величины в алгебре логики не могут делиться, а потому в ней нельзя сокращать общий множитель. В булевой алгебре имеются специфические операции, отсутствующие в обычной алгебре, например, склеивание, поглощение. А) Операция склеивания (правило склеивания ху + ху = х ; (х+у)* (х+у) = х ; Второе выражение является двойственным первому. В алгебре Буля двойственные выражения получаются путем одновременной замены операций ИЛИ операциями И и наоборот – операций И на операции ИЛИ, а также заменой всех логических нулей единицами и всех единиц нулями. Б) Операция поглощения х + х ух х (х + ух В) Операция (функция) неравнозначности (ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ х уху х у. Логическая функция, называемая ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, в отличие от операции ИЛИ (А или Вили Аи В оба вместе) означает только А или только В. Таблица истинности для двух функций показана на рис. 18.6. Рис. 18.6. Таблица истинности для функций двух переменных (ИЛИ и ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ) и условные графические изображения логических элементов а) – элемент ИЛИ б) – элемент ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ В двоичной системе операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ аналогична (по виду таблицы) результату арифметического сложения двух бинарных чисел, поэтому называется суммой по модулю 2» или полусуммой. Эта функция имеет несколько названий (ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, сложение по модулю два, функция неравнозначности) и несколько обозначений, например , , , . Аксиомы для логической функции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ имеют вид Х 0 = Х Х Х = 0; Х 1 = Х Х Х = 1. В литературе часто используется ещё одно условное изображение элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИМ Законы 5, 7, 8, 9, 11, 12 называют комбинационными законами [32]. 18.3. Представление и преобразование логических функций Логическая функция может быть записана аналитически различными сочетаниями логических операций. Однако сточки зрения представления логических функций и последующего синтеза логической схемы наиболее удобны формы записи, при которых функция выражается либо в виде суммы произведений переменных, либо в виде произведения их сумм. Первая запись (сумма произведений переменных) называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). Например F = х + х * х + х * х * х + х * х * х Вторая форма (произведение сумм переменных) называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ). Например F 1 = х х + х 2 ) * (х 2 + х) * ( х+ х+ х. При этом инверсия любой функции, записанной в ДНФ, дает запись в КНФ и наоборот. Например F = х + х * х + х * х * х F= х * (х 2 +х 3 ) * (х 1 +х 2 +х 3 ). Это доказывается с помощью теоремы Шеннона, обобщившего законы де Моргана. Теорема утверждает, что инверсия любой функции получается заменой каждой переменной ее инверсией и одновременно взаимной заменой символов сложения (дизъюнкции) и умножения (конъюнкции При применении правила следует строго придерживаться группировки членов. Например F = х * х + х х = х х – функция неравнозначности Определение инверсии по теореме Шеннона даёт функцию равнозначности х + х 2 ) * (х 1 + х ) = х х + х * х 2 Логическую функцию, заданную любым аналитическим выражением, можно преобразовать к ДНФ и КНФ, пользуясь правилами алгебры логики, при этом может существовать несколько равносильных ДНФ и КНФ. Оказалось, что имеется только один вид ДНФ и КНФ, в которых функция может быть записана единственным образом это так называемые совершенные нормальные формы – СДНФ и СКНФ. В СДНФ каждое входящее слагаемое включает все переменные они могут быть с инверсиями или без них) и нет одинаковых слагаемых. В СКНФ каждый сомножитель включает все переменные они могут быть с инверсиями или без них) и нет одинаковых сомножителей. Логическая функция наиболее наглядно и полно представляется так называемой таблицей соответствия или истинности, в которой для каждой комбинации значений переменных указывается значение функции. По сути это алгоритм работы синтезируемой цифровой системы. От табличной формы представления функции можно перейти к её аналитической записи в виде СДНФ или СКНФ. Например, функция F( x 1 , x 2 , x 3 ) задана табличными значениями (табл. 18.2). Требуется записать её в виде СДНФ и СКНФ. Таблица 18.2 Заданные значения функций Анализ таблицы показывает, что для комбинаций 2, 7, 8, где F =1, справедливы логические произведениях х * х = 1; х * х * х =1; х * х * х = 1. Комбинации, при которых функция истинна (F = 1), называют конституентами единицы или минтермами (конституировать – устанавливать, определять состав, содержание. Представление логической функции в виде логической суммы минтермов определяет ее СДНФ: F = х х * х + х * х * х + х х * х 3 Функцию можно представить не только ее единичными, но и нулевыми значениями, как инверсиями единицы. Из таблицы видно, что F=0 или F=1, если х * х * х = 1; х * х * х = 1; х х * х = 1; х х * х = 1; х х * х = 1. Тогда функцию F можно представить в виде логической суммы |