Основы электротехники. Учебник для высшего профессионального образования вт. Еременко, А. А. Рабочий, А. П. Фисун и др под общ ред вт. Еременко. Орел фгбоу впо Госуниверситет унпк, 2012. 529 с
 Скачать 7.28 Mb.
|
|
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 1.1. Ток, ЭДС и напряжение в электрической цепи Электрической цепью называется совокупность устройств и объектов, образующих путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, токе и напряжении. Из этого определения следует, что в общем случае электрическая цепь представляет собой соединение источников электрической энергии и потребителей этой энергии (нагрузки. Обычно соединение источника и нагрузки осуществляется металлическими проводниками, хорошо проводящими электрический ток. Из курса физики [34] известно, что электрический ток можно представить состоящим из двух составляющих см п i i i , (1.1) где – полный ток п – ток проводимости, обусловленный движением носителей заряда см – ток смещения, вызванный изменениями электрического смещения Электрическое смещение D характеризует способность веществ к поляризации и определяется напряженностью электрического поля Е. Для большинства веществ D=ε а Е, где а – абсолютная диэлектрическая проницаемость. Напряженность электрического поля Е есть величина, измеряемая силой F действующей в данной точке поляна единичный положительный заряд q: E=F/q. (1.2) Напряженность электрического поля измеряется в вольтах, деленных на метр (В/м). Ток проводимости определяется скоростью изменения электрического заряда во времени п, (1.3) где п – ток проводимости, измеряется в амперах (А q – перемещаемый заряд, измеряется в кулонах (К t – время, измеряется в секундах (сек) В электрических цепях существуют оба вида токов. Ввиду малости токов смещения в пространстве, окружающем соединительные проводники и элементы электрической цепи, этими токами в большинстве случаев пренебрегают, считая, что все токи смещения сосредоточены в элементах цепи. Известно также [21], что ток смещения в конденсаторе равен току проводимости проводника, соединенного с этим конденсатором. Учитывая отмеченные выше допущения, в дальнейшем изложении ток в электрической цепи будем понимать как ток проводимости. Прохождение электрического тока в электрической цепи связано с преобразованием или потреблением энергии. Количество энергии, затрачиваемой на перемещение единицы заряда на участке цепи из одной точки проводника в другую, называется напряжением u=dw/dq , (1.4) где u – напряжение, измеряемое в вольтах (В w – энергия, измеряемая в джоулях (Дж. Напряжение на участке цепи можно рассматривать как разность электрических потенциалов на концах этого участка u 12 =φ 1 – φ 2 , (1.5) где 1 – потенциал первой точки участка цепи 2 – потенциал второй точки участка цепи. Электрическим потенциалом называется величина, определяемая отношением потенциальной энергии заряда в данной точке электрического поляк величине этого заряда [21]: φ= w /q, (1.6) где w – потенциальная энергия заряда q – величина этого заряда. Используя выражение (1.6) можно получить выражение энергии, затраченной на перемещение заряда q на участке цепи с напряжением к моменту времени t : Скорость изменения энергии во времени называется мощностью электрической цепи. ui dt d . (1.7) Мощность p измеряется в ваттах (Вт. Источник электрической энергии – это устройство, преобразующее другие виды энергии, например химическую, механическую, тепловую в электрическую. Источник электрической энергии характеризуется величиной и направлением электродвижущей силы (ЭДС. Электродвижущей силой называется величина, измеряемая работой сторонних (неэлектрических) сил источника при переносе единицы положительного заряда в своей внутренней цепи от вывода с меньшим потенциалом к выводу с большим потенциалом Следует заметить, что ЭДС может возникать не только вследствие разделения зарядов в источнике под действием сторонних сил, но ивследствие явления электромагнитной индукции. Это явление воз- никаетпри изменении магнитного потока , проходящего через площадь контура, образованного проводником стоком согласно закону Фарадея–Максвелла [21]: dt d e , (1.8) где е – ЭДС электромагнитной индукции. В электрических цепях за условно положительное направление тока принимают направление движения положительных зарядов в электрической цепи [34]. Анализ электрической цепи можно проводить при произвольном выборе одного из двух возможных направлений тока в качестве положительного. Для однозначного определения знака напряжения между двумя точками электрической цепи одной точке приписывают положительную полярность, а другой – отрицательную. Условно положительные направления обозначают с помощью стрелок для токов и знаков «+», «–» или стрелок для напряжений. Примером простейшей электрической цепи может служить, например, соединение аккумулятора и лампы накаливания, показанное на рис. 1.1. Рис. 1.1. Изображение простейшей электрической цепи 1 – источник ЭДС (аккумуляторная батарея 2 – выводы (зажимы) источника 3 – соединительные провода 4 – зажимы нагрузки. Нагрузка показана в виде последовательного соединения выключателя и лампы накаливания 6. 1.2. Схемы замещения электрической цепи В теории электрических цепей для анализа процессов, связанных с преобразованием, распределением и передачей электрической энергии, используют идеализированное изображение электрической цепи, называемое схемой замещения (эквивалентной схемой. Схема замещения служит расчетной моделью реальной электрической цепи. В этой схеме элементы реальной цепи изображаются с помощью условных графических обозначений (УГО). Примеры УГО некоторых элементов электрической цепи показаны на рис. 1.2. Рис. 1.2. Условные графические обозначения некоторых элементов электрических цепей 1 – источник ЭДС 2 – идеальный источник ЭДС 3 – резистор 4 – конденсатор 5 – катушка индуктивности 6,7 – соответственно замыкающий и размыкающий контакты 8 – биполярный транзистор 9 – полупроводниковый диод. Соединительные проводники, если не учитывается их собственное сопротивление, в схемах замещения показываются тонкими линиями. Выходящие и входящие зажимы устройств в схеме замещения обычно не показываются. Существует большое количество видов электрических цепей, различающихся структурой, формой передаваемых электрических сигналов, мощностью, составом элементов. В любой электрической цепи происходит передача электромагнитным полем электрической энергии от источника к приемнику (потребителю. Наиболее точный анализ электромагнитных явлений в электрической цепи должен осуществляться на основе системы векторных дифференциальных уравнений Максвелла в частных производных [47]. В этой системе электромагнитное поле описывается локальными значениями электрического смещения D, магнитной индукции B, плотности электрического тока Y, напряженности электрического поля E, напряженности магнитного поля H. С целью упрощения локальные векторные параметры электромагнитного поля во многих случаях можно заменить интегральными скалярными значениями ЭДС, напряжения и тока. При этом состояние электрических цепей можно описать обыкновенными дифференциальными уравнениями, а в некоторых случаях преобразовать систему дифференциальных уравнений в систему алгебраических, что существенно упрощает анализ электрических цепей. В дальнейшем изложении используется именно такой упрощённый подход к анализу процессов в электрических цепях. Пример схемы замещения для электрической цепи, изображенной на рис. 1.1, показан на рис. 1.3. Рис. 1.3. Схема замещения электрической цепи рис. 1.1 В схеме замещения источник электрической энергии заменяется источником ЭДС Е с внутренним сопротивлением в, а нагрузка лампа накаливания) – резистором с сопротивлением R. Сопротивление соединительных проводов и выключателя чаще всего не учитывается, однако их можно учесть в сопротивлении нагрузки. В схеме замещения можно стрелками указать выбранные произвольно условно положительные направления токов и напряжений (см. рис. 1.3). Расчёт электрической цепи по схеме замещения сводится обычно к нахождению приближенных значений токов и напряжений, существующих в реальной электрической цепи. Например, для схемы замещения (см. рис. 1.3) при указанных условиях в замкнутой цепи будет протекать ток I, величина которого, согласно закону Ома, определяется по выражению I= в+ R). (1.9) Напряжение на выводах источника при протекании тока может быть определено по выражению U 12 =E- в , (1.10) где впадение напряжения на внутреннем сопротивлении источника ЭДС U 12 – напряжение на выводах источника ЭДС. По выражению (1.10) можно сделать вывод, что при отсутствии тока вцепи напряжение на выводах источника равно величине ЭДС, а при наличии внутреннего сопротивления и протекании тока это напряжение меньше ЭДС и будет уменьшаться с ростом тока Если считать, что соединительные провода не имеют сопротивления, внутреннее сопротивление источника не изображать, тона экви- валентнойсхеме можно показать одно сопротивление нагрузки R, и простейшая схема примет вид, показанный на рис. 1.4., где токи напряжение U =IR дополнительно изображены стрелками, показывающими выбранные для них положительные направления. Рис. 1.4. Упрощённое изображение электрической цепи 1.3. Эквивалентные схемы источников электрической энергии Источник энергии с известной ЭДС Е и внутренним сопротивлением в может быть представлен ещё одним способом, часто используемым в расчётах электрических цепей. Доказательство представлено ниже [50]. Для цепи (см. рис. 1.3) справедливо соотношением Ев+ в I (1.11) Преобразуем выражение (1.11), поделив его на в J = I + U в = I + в, (1.12) где в – внутренняя проводимость источника энергии J = Ев ток вцепи источника при R= 0 (коротком замыкании его зажимов в = в = в – ток, равный отношению напряжения на зажимах источника энергии к его внутреннему сопротивлению I = U / R= UG – ток приемника G = 1 / R – проводимость приемника. Уравнению (1.12) соответствует эквивалентная схема рис. 1.5. Рис. 1.5. Преобразованная эквивалентная схема электрической цепи В схеме появился элемент, изображение которого отличается от изображения источника ЭДС и является изображением источника энергии, называемого идеальным источником тока. Источником тока называют источник энергии, создающий электрический ток, величина которого не зависит от величины сопротивлений, подключённых к его зажимам [7]. Сопротивление в, подключенное к зажимам источника тока (см. рис. 1.5), играет роль внутреннего сопротивления реального источника тока. Если в ∞, то J = I, а источник энергии называют идеальным источником тока. Считается, что его внутреннее сопротивление равно бесконечности, а величина его тока не зависит от нагрузки. Такая идеализация источника энергии во многих случаях существенно упрощает расчёты электрических цепей. Источники ЭДС и тока называют активными элементами электрических схема сопротивления и проводимости – пассивными. В теории электрических цепей наряду с понятием идеального источника тока часто используется понятие идеальный источник ЭДС Идеальным считается источник ЭДС, внутреннее сопротивление которого равно нулю, а напряжение на его зажимах не зависит от величины сопротивления нагрузки. В этом случае такой источник ЭДС можно изобразить так, как показано на риса внутреннее сопротивление в в схеме замещения будет отсутствовать. Для электрической цепи с источником ЭДС важной характеристикой является внешняя характеристика – зависимость напряжения на выводах источника от величины тока вцепи. В случае идеального источника ЭДС напряжение на выводах источника остается неизменным при изменении тока. Для реального источника это условие не соблюдается, так как увеличивается падение напряжения на внутреннем сопротивлении в (рис. 1.3), может увеличиваться значение в , уменьшаться ЭДС. Внешние характеристики цепи с источником ЭДС показаны на рис 1.6. Рис. 1.6. Внешние характеристики электрической цепи с источником ЭДС 1– для идеального источника ЭДС 2 – для реального источника ЭДС Ток к, при котором напряжение на выводах источниках ЭДС становится равным нулю, называют током короткого замыкания. 1.4. Мощность вцепи с источником ЭДС Мощность в электрической цепи характеризует интенсивность энергетических процессов – это количество преобразуемой энергии в единицу времени. Источник энергии развивает мощность и Р , определяемую, согласно (1.7), как произведение величины ЭДС на токи) В сопротивлении нагрузки и во внутреннем сопротивлении источника происходит превращение электрической энергии в тепловую, те. энергия источника расходуется на нагрев этих сопротивлений обычно эту энергию называют тепловыми потерями. Этот факт отражается в условии, называемом балансом мощностей Р и =Р н +Р вн , (1.14) где Р н , Р вн – соответственномощность нагрева сопротивления нагрузки и внутреннего сопротивления источника. Согласно закону Джоуля – Ленца [21], мощность электрического тока пропорциональна сопротивлению электрической цепи и квадрату тока, протекающего в этой цепи. Тогда справедливо равенство Е = I 2 (R вн +R н ), (1.15) где I 2 R вн = Р вн – мощность внутренних тепловых потерь источника I 2 R н =Р н – мощность энергии, потребляемой сопротивлением нагрузки (мощность потребителя, потребляемая мощность, мощность нагрузки. Используя закон Ома, можно получить различные выражения для определения мощности электрического тока, потребляемой сопротивлением нагрузки н н н = U н 2 /R н =U н 2 G н , (1.16) где G н =1/R н – проводимость – величина обратная сопротивлению, измеряется в сименсах (сим н – напряжение на нагрузке, н I R н Из равенства (1.15), учитывая (1.9), можно заметить, что мощность нагрузки зависит от соотношения величин сопротивления нагрузки и внутреннего сопротивления источника. Практически важное значение имеет соотношение, при котором мощность, отдаваемая источником в нагрузку, будет максимальной. Легко доказать, что таким соотношением является равенство R н =R вн 1.5. Классический метод анализа и расчёта электрических цепей Как отмечалось ранее, реальные электрические цепи отличаются множеством видов, способами соединений, параметрами, назначением, мощностью и составом элементов. В схемах замещения с помощью УГО обычно отражают вид и параметры элементов и способ их соединений. В зависимости от способа соединений различают неразветвлён- ные и разветвлённые электрические цепи. В неразветвлённой цепи все элементы соединены последовательно один за другими через них протекает один и тот же ток (см, например, рис. 1.4). В разветвлён- ной цепи появляются ветви и узлы см, например, рис. 1.5). В электрической цепи произвольной конфигурации можно выделить участки цепи, содержащие цепи обоих или одного из двух способов соединения. В разветвленных электрических цепях ветвью электрической цепи называется такой ее участок, который состоит только из последовательно включенных источников ЭДС или тока и (или) сопротивлений, по которому протекает один и тот же ток. Узел – место (точка) соединениях и более ветвей. Расчёт тока и падений напряжения в неразветвлённой цепи или в ветви раз- ветвлённой цепи производится с помощью закона Ома (см, например рис. 1.3, формула 1.9). Расчёт электрической цепи произвольной конфигурации осуществляется с помощью го иго законов Кирхгофа [26]. й закон Кирхгофа применяется к узлами формулируется следующим образом сумма токов, подходящих к узлу, равна сумме токов, отходящих от узла. При этом нужно условиться, например, записывать токи, направленные к узлу со знакома направленные от узла со знаком «+». Источники тока, присоединенные к узлу, также должны быть учтены, например ∑I - ∑J = 0, (1.17) где ∑I – алгебраическая сумма токов в узле от источников ЭДС ∑J – сумма токов источников тока, причем правило знаков такое же. Уравнение (1.17) можно записать несколько иначе ∑I = ∑J. (1.18) В этом случае следует условиться, что токи источников тока (ИТ), направленные к узлу, записаны в уравнении (1.18) со знаком плюса направленные от узла – со знаком минус. Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре. Уравнение, соответствующее формулировке второго закона Кирхгофа, можно записать в следующем виде ∑U = Е (1.19) где ∑ U = ∑ r I – алгебраическая сумма напряжений (падений напряжений) на сопротивлениях r; Е – алгебраическая сумма ЭДС Следует обратить внимание на то, что любой замкнутый контур – это может быть контур, в который входит не несколько, а лишь одна ветвь цепи, причём мысленное замыкание контура может быть сделано по любому пути вне схемы. При расчете цепей по второму закону Кирхгофа нужно принять направление обхода контуров и расставить стрелки токов, ЭДС и напряжений. В уравнение (1.19) должны входить с положительным знаком те напряжения и ЭДС, стрелки которых совпадают с выбранным направлением обхода контура. Часто используется вторая формулировка второго закона Кирхгофа в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей, входящих в этот контур, равна нулю ∑ U = 0. (1.20) При этом положительные направления стрелок для напряжений выбираются произвольно, а в уравнение (1.20) подставляются со знаком «+» те напряжения, направления стрелок которых совпадают выбранным направлением обхода контура. В теории электрических цепей различают два основных типа задач 1) Задача анализа известна конфигурация и параметры элементов цепи, требуется определить токи, напряжения и мощности для всех или некоторых участков цепи. 2) Задача синтеза заданы токи и напряжения, найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Задача синтеза, как правило, сложнее задачи анализа и требует большего объема знаний и опыта. Задача анализа решается при помощи законов Ома и Кирхгофа, использование которых считается классическим методом расчёта любых электрических цепей. Рекомендуется придерживаться следующей последовательности решения задачи анализа - выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи - определить количество неизвестных токов - выбрать направления обходов для контуров - составить уравнения го закона Кирхгофа для узлов - составить уравнения го закона Кирхгофа для контуров - решив систему уравнений, найти значения токов и напряжений- по найденным значениям определить мощности и энергетические показатели (при необходимости. Общее число уравнений должно соответствовать числу неизвестных токов, причём число уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов в разветвлённой схеме. Рассмотрим примеры расчётов электрических цепей разного вида с использованием описанных выше законов 1) |