Основы электротехники. Учебник для высшего профессионального образования вт. Еременко, А. А. Рабочий, А. П. Фисун и др под общ ред вт. Еременко. Орел фгбоу впо Госуниверситет унпк, 2012. 529 с
 Скачать 7.28 Mb.
|
|
4.3. Переходные и импульсные характеристики электрических цепей Реакции электрической цепи на воздействия сигналов, изображенных ступенчатой и (или) импульсной функциями называют соответственно переходной и импульсной характеристиками [24]. Переходная характеристика (ПХ), обозначаемая h 1 (t), – это реакция цепи на действие ЕСФ δ 1 (t), например, единичного ступенчатого напряжения или тока. Импульсная характеристика (ИХ, обозначаемая это реакция цепи на действие ЕИФ δ (t). Обе характеристики определяются при нулевых начальных условиях, те. при отсутствии запаса энергии в электрической цепи. Для линейной цепи h(t) = dh 1 (t) / dt; h 1 (t) = ∫ h(t) · dt. (4.8) Действие ступенчатых и импульсных функций на элементы электрической цепи а) Для элементов напряжение пропорционально току, следовательно, при действии на элемент напряжения ступенчатой или импульсной формы токи повторят форму этого напряжения. б) Ёмкостный элемент (С-элемент): если к С-элементу приложено ступенчатое напряжение u C = U δ 1 (t) с амплитудой U, то ток в ёмкостном элементе i C = C du C / dt = C Ud δ 1 (t) / dt = C Uδ (t). Ток в ёмкостном элементе – это импульсная функция со значением (те. через С-элемент происходит так называемый бросок тока. Переходная характеристика для ёмкостного элемента будет иметь вид h 1 (t) = C δ (t). (4.10) в) Индуктивный элемент (элемент приложим к элементу ток i=Iδ 1 (t) в виде ступенчатой функции с амплитудой I , тогда напряжение на индуктивном элементе u L = L di/dt = L I dδ 1 (t)/dt = L I δ (t). (4.11) Видно, что в данном случае на индуктивном элементе при подаче импульсного тока возникает импульс напряжения с амплитудой. Переходная характеристика для индуктивного элемента имеет вид h 1 (t) = L δ (t). (4.12) Определение реакции электрической цепи при действии сигналов произвольной формы Реакцию любой электрической цепи на действие сигнала произвольной формы можно найти с помощью так называемого интеграла наложения (свёртки), используя импульсную и переходную характеристики. Пусть к цепи с импульсной характеристикой h(t) приложен сигнал f 1 (t) в виде напряжения или тока произвольной формы. Определим реакцию цепи f 2 (t) как результат действия функции f 1 (t) на импульсную характеристику h(t) (рис. 4.4). Рис 4.4. Иллюстрация способа определения интеграла свёртки Разделим ось времени на n малых равных промежутков времени ∆τ и представим сигнал f 1 (t) как последовательность элементарных прямоугольных импульсов, прикладываемых к цепи через промежутки времени ∆τ. Заменим каждый импульс импульсными функциями f 1 δ(t), расположенными вначале каждого интервала и имеющими значения, равные площадям элементарных прямоугольников Ясно, что чем меньше ∆τ, тем точнее будет представлена реакция цепи на действие й элементарной импульсной функции Реакция цепи на действие элементарной импульсной функции будет пропорциональна импульсной характеристике цепи, смещенной на время n∆τ: ∆f 2 =∆τ* f 1 (n∆τ) * h( t - n∆τ). t Результирующая реакция f 2 (t) = ∑ f 1 (n∆τ)* ∆τ* h(t - n∆τ). n∆τ t Переходя к интегралу, получим f 2 (t) = ∫ f 1 (τ) h (t – τ) dτ . (4.13) 0 После замены переменной (t – τ) = τ 1 , dτ = - dτ 1 , получим интеграл свёртки: t f 2 (t) = ∫ h(t) f 1 (t – τ) dτ (4.14) 0 Существует несколько видов интеграла свертки [7]. Используя понятие интеграла свертки, можно сравнительно просто приближенно определить реакцию цепи при действии на нее сигналов сложной формы, когда форма сигнала задается не аналитически, а в виде графика (осциллограммы. Пусть задан график приложенного к цепи сигнала f 1 (t). Сделаем приближенное представление сигнала f 1 (t) кусочно-линейной аппроксимацией например, заменим участки кривой ломаными участками прямой линии (рис. 4.5). Рис. 4.5. Приближённое представление непрерывной функции ступенчатой и импульсной функциями Для определения приближенной реакции цепи на сигнал заданной формы дважды продифференцируем кусочно-линейную функцию f 1a (t). Первая производная – это прямоугольные импульсы, амплитуды которых соответствуют углам наклона (угловым коэффициентам) отрезков прямых. Вторая производная – серия импульсных функций, которые располагаются на границах интервалов τ k . Если значения импульсных функций (a k ) равны разностям угловых коэффициентов смежных интервалов, то n d 2 f 1a (t)/dt 2 = ∑ a k δ (t – τ k ). (4.15) Так как импульсные функции смещены в серии, то они должны быть записаны под знаком суммы как смещенные импульсные функции ([δ(t–τ)] – единичная смещенная импульсная функция. Таким образом получено представление второй производной от ку- сочно-линейной (приближенной) функции в виде конечной суммы смещенных импульсных функций. Реакция на действие каждого из слагаемых является импульсной характеристикой цепи, смещенной на соответствующий интервал времени. В линейных цепях производной действующего сигнала соответствуют производные реакции. В таком случае, суммируя реакции на действие импульсов [δ (t – τ k ) a k ], получим приближенное значение й производной от искомой реакции на выходе n d 2 f 2 (t)/dt 2 = ∑ a k h (t – τ k ). (4.16) k=0 Для получения приближенного выражения реакции, необходимо дважды проинтегрировать выражение (4.16). 4.4. Электрические цепи для передачи импульсных сигналов Передача электрических сигналов по проводам Согласно существующей теории, распространение волн напряжения и тока вдоль проводов линий происходит со скоростью света в случае воздушной линии передачи энергии [25]. Исходя из того, что процесс передачи энергии по проводам является электромагнитным процессом, можно получить уравнения, связывающие мгновенные значения токов и напряжений в линии, по которой происходит распространение волн напряжений и токов. Проводная соединительная линия может быть представлена в виде совокупности последовательно соединенных участков, обладающих активным сопротивлением и индуктивностью. Между проводами существует емкость и проводимость, обусловленные наличием утечки в изоляции. Основными параметрами линии являются удельные (на единицу длины) значения параметров линии, зависящие от ее конструкции – r 0 , L 0 , C 0 , G 0 – соответственно удельное сопротивление, индуктивность проводов, удельные ёмкость и проводимость между проводами линии (рис. 4.6). Линию с одинаковыми значениями параметров и без ответвлений называют однородной. Наиболее просто получить соотношения между токами и напряжениями для однородной двухпроводной линии, если её схему замещения представить в виде совокупности каскадно соединённых звеньев, составленных из элементов с удельными параметрами. Рис. 4.6. Схема замещения проводной линии передачи сигнала Рассмотрим какой-либо элементарный участок линии dx, в который входит ток i после подачи на вход напряжения u. Значения токов и напряжений вначале ив конце участка в дифференциальном виде показаны на рис. 4.7. i dx i+ dx∂i/∂x u u + dx∂u/∂x C 0 dx∂u/∂t + G 0 udx I du = (r 0 i + L 0 di/dt)dx Рис. 4.7. Мгновенные значения токов и напряжений на участке х при распространении электромагнитной волны по соединительной линии Используя закон непрерывности тока и вторую формулировку закона Кирхгофа, получим - ∂i/∂x = G 0 u + C 0 ∂u/∂t (4.17) - ∂u/∂x = i r 0 + L 0 Система уравнений (4.17) позволяет получить выражение для анализа процессов, происходящих в однородной линии. Для упрощения будем считать, что линия неискажающая (однородная линия считается неискажающей, если r 0 C 0 = G 0 L 0 ). В этом случае форма распространяющейся волны напряжения и тока остается без изменения. Из уравнений (4.17) можно получить выражения для волн напряжения и тока u = [ φ(x – vt) + ψ(x + vt)] exp(- δt) i = (C 0 /L 0 ) 0,5 [φ(x – vt) + ψ(x + vt)] exp(- δt), (4.18) где ψ и φ – функции от аргументов x, v,t (текущие значения волны напряжения в зависимости от координаты хи времени t). v – скорость распространения волны, v = 1/Z 0 , Величина Z 0 =(L 0 /C 0 ) 0,5 называется волновым сопротивлением. Считается, что волновое сопротивление зависит только от параметров линии. Система уравнений (4.18) показывает, что процесс распространения волн напряжения и тока можно рассматривать состоящим из двух составляющих прямой волны хи обратной волны х причем они распространяются по линии с одинаковой скоростью в противоположных направлениях. Анализ процессов в линии передачи показывает, что если, например, линия разомкнута на приемном конце (ток в конце линии равен нулю, то можно считать, что прямая волна тока отражается от конца линии с переменой знака и нулевое значение тока распространяется вдоль линии в обратном направлении. Волна напряжения отражается от конца линии без перемены знака, напряжение в конце линии возрастает до удвоенного и это увеличение распространяется от конца линии в обратном направлении. Вначале линии по приходу отраженных волн ток будет равен нулю, а напряжение может достигнуть удвоенного значения. В действительности из-за затухания е напряжения и токи волн быстро уменьшаются и на линии устанавливается напряжение, поданное на начало линии и нулевое значение тока. Если линия на конце замкнута накоротко, то волна напряжения отражается от конца линии с переменой знака, а волна тока – без перемены знака. К моменту возврата волны к источнику вначале линии снова устанавливается напряжение источника u и ток i= При отсутствии затухания эти процессы повторялись бы снова и снова. Рассмотренный идеальный случай показывает, что в однородной линии с распределенными параметрами могут возникать процессы, связанные с изменением величины напряжений и токов, искажением формы волны и времени распространения в зависимости от параметров линий. Проводные линии для передачи импульсных сигналов В отношении передачи импульсных сигналов различают два вида проводных линий электрически короткие и электрически длинные. Линии считаются электрически короткими, если min t 1,0 , t 0,1 > 2ℓ/v p , (4.19) где t 1,0 , t 0,1 – время спада и фронта передаваемого импульса ℓ – геометрическая длина линии v p – скорость распространения сигнала в линии v p = v 0 /ε 0,5 , v 0 – скорость света (300000км/с); ε – диэлектрическая постоянная, ε = ε r ε 0 ; ε 0 – диэлектрическая проницаемость вакуума, ε 0 = 8,85*10 -12 Ф/м; ε r – относительная диэлектрическая проницаемость. Линия связи считается электрически длинной, если max t 1,0 , t 0,1 ≤ 2ℓ /v p . (4.20) Эти определения связаны стем, что для коротких и длинных линий методы анализа процессов оказываются разными. В электронных устройствах к коротким линиям можно отнести линии связи в пределах ячеек, плат, модулей при невысоких частотах передаваемых импульсов. Свойства коротких линий можно описать электрическими цепями с сосредоточенными параметрами. Межмодульные, межблочные, межтерминальные линии следует рассматривать как длинные линии при передаче импульсных сигналов. Длинные линии представляются распределенными структурами, параметры которых зависят от вида линий. Основные варианты конструктивных реализаций соединительных линий в электронных устройствах показаны на рис. 4.8. Рис. 4.8. Схематичные варианты реализации соединительных линий а – коаксиальный кабель б – витая пара в – проводник над заземленной пластиной ; г – микрополосковая линия (поперечный разрез д – полосковая линия (поперечный разрезе многожильный ленточный кабель (поперечный разрез) Линии изготавливаются с проводниками разного сечения и имеют разные волновые сопротивления [8] , значения которых приведены в табл. 4.1. Следует отметить, что волновое сопротивление в общем случае определяется по выражению Z 0 = [(R + jωL) / (G + jωC)] 0,5 , (4.21) где R, G – соответственно активное сопротивление проводника линии и активная составляющая проводимости утечки изоляции, зависящие от частоты тока, протекающего в линии. При передаче высокочастотных сигналов активными составляющими R и G можно пренебречь по сравнению со значениями ωL и ωC, поэтому используется выражение Z 0 = (L/C) 0,5 (4.22) Важнейшим параметром линии является величина задержки распространения сигнала, что особенно важно присоединении быстродействующих электронных устройств в процессе передачи высокочастотных электрических импульсов. Таблица 4.1 Волновые сопротивления проводных линий Теоретическое минимальное значение задержки распространения сигнала по линии связи определяется по выражению [8] t змин = t 0 ℓ ≈ 3,315ℓ(ε 1 μ 1 ) 0,5 , (4.23) где t 0 – удельное время задержки сигнала. Например, для ленточных кабелей (см. рис. 4.8, г, е) t 0 = (4,7 – 5,4) нс/м; ε 1 = (2– 8) – относительная диэлектрическая проницаемость изоляции относительная магнитная проницаемость ℓ – длина линии м. Реальная задержка сигнала значительно больше из-за потерь в линии, наличия неоднородностей, ответвлений и др. Согласование линии передачи импульсных сигналов Известно, что при несогласованных по сопротивлению источниках электрической энергии, соединительных линиях и потребителях мощность от источника к потребителю передается не полностью, в линиях происходит отражение сигналов от конца линии. В худших случаях отраженный сигнал может достигать значений, соизмеримых со значениями полезных сигналов, что может служить причиной неправильного действия импульсных устройств и к другим нежелательным явлениям. Если не принять специальных мер, то помехоустойчивость соединительных линий будет низкой, информационные сигналы, передаваемые по линиям, будут искажаться. Помехоустойчивость проводниковых линий связи определяется двумя основными факторами отсутствием согласования (рассогласованием, и влиянием соединительных линий связи, создающих так называемые перекрестные помехи. Короткие линии обладают хорошей устойчивостью к перекрестным помехам. К мерам, улучшающим условия неискаженной передачи импульсных сигналов по проводным линиям связи, относится согласование линий. Существуют два основных способа согласования параллельный и последовательный (рис. 4.9). Рис. 4.9. Варианты согласования линий связи а согласование отсутствует б параллельное согласование г последовательное согласование Основная цель согласования – устранить или уменьшить отражение волн тока и напряжения от электрических неоднородностей. Именно отражения являются основной причиной искажений полезного сигнала, влекущих неправильные действия (сбои) быстродействующих электронных устройств. В пределах модулей, печатных плат, блоков электрическими неоднородностями являются контакты разъемов, микросхем и т. п. Для линии, нагруженной емкостными элементами, в которой согласование отсутствует, в некоторых случаях можно определить так называемую критическую длину кр ф / {2 [L 0 (C 0 + н (4.24) где ф длительность фронта импульса н – емкость нагрузки L 0 , C 0 – удельные параметры линии. Если фактическая длина линии короче кр то можно обойтись без согласования. В большинстве случаев необходимо применять согласование. Параллельное согласование (см. рис. 4.9, б) сводится в простейшем случае к включению на приемном конце резистора R c . Этот резистор уменьшает длительность переходных процессов в линии за счет поглощения отраженных импульсов. При последовательном согласовании (см. рис. 4.9, в) на выходе передатчика включается дополнительный согласующий резистор такой, чтобы соблюдалось условие Z 0 = R c + R вых , (4.25) где R вых – эквивалентное выходное сопротивление передатчика. В этом случае сигнал, отраженный от приемного конца линии, будет поглощаться практически полностью. Существуют и другие способы согласования длинных линий. Подробное рассмотрение вопросов согласования соединительных проводных линий здесь не рассматривается. Волоконно-оптические линии связи Для передачи больших объемов информации на большие расстояния значительными преимуществами по сравнению с металлическими линиями обладают оптоволоконные линии [11]. Сравнительные характеристики линий приведены в табл. 4.2. Таблица 4.2 Сравнительные характеристики линий связи В настоящее время наиболее подходящим материалом для свето- волокна является сверхчистый кварц (SiO 2 ). Обычный диаметр нити 125 мкм. Сердцевина (диаметром примерно 10 мкм) легирована для удержания луча вблизи центра волокна. Наименьшее затухание волокно имеет при длине волны λ = 1,3…1,6 мкм (инфракрасный диапазон. Типичная скорость передачи данных по одному каналу составляет приблизительно 20 ГБ/с. Водном волокне можно разместить десятки каналов, работающих на разных частотах, при этом можно достигнуть скорости 1 ТБ/с на одно волокно. Оптоволокoнная связь не дает излучение во внешнюю среду, что обеспечивает высокую степень защиты от несанкционированного доступа. Сигналы формируются лазером, а преобразование оптических сигналов в электрические осуществляется фотоприёмниками. Для передачи сигнала с одного волокна на другое используют специальные микроэлектромеха- нические системы – [11]. Достоинства волоконно-оптических линий связи (ВОЛС) – невосприимчивость к электромагнитным помехам, малая масса, устойчивость к агрессивным средам, искровзрывопо- жаробезопасность. |