Основы электротехники. Учебник для высшего профессионального образования вт. Еременко, А. А. Рабочий, А. П. Фисун и др под общ ред вт. Еременко. Орел фгбоу впо Госуниверситет унпк, 2012. 529 с
 Скачать 7.28 Mb.
|
|
3.17. Двухполюсник с последовательным соединением реактивных элементов аи векторные диаграммы тока и напряжений б Входное сопротивление схемы С (Условие наступления резонанса ωL=1/ωС. При резонансе ток вцепи, напряжение на индуктивном и емкостном элементах равны по модулю, но противофазны: U L =U C =ωLE/R=EQ, (3.32) где Q = ωL/R называют добротностью контура. Добротность показывает, во сколько раз напряжение на реактивном элементе превышает входное напряжение. Анализ резонансных режимов показывает, что в цепях переменного тока могут возникать опасные режимы. Вцепи могут появиться токи, значения которых многократно превышают токи нормального режима (параллельный резонанс. На элементах цепи могут появиться напряжения, многократно превышающие входное напряжение при последовательном резонансе. Эти напряжения (их называют перена- пряжениями) могут быть опасны даже для изоляционных материалов. Однако следует заметить, что резонансные режимы широко используются в слаботочной электротехнике и радиоэлектронике. 3.5. Четырёхполюсник в электрической цепи Четырёхполюсник – это электрическая либо электронная цепь с двумя парами выводов, с помощью которых она может присоединяться к источникам сигнала и другим цепям. Одну пару выводов считают входом, другую – выходом (рис. 3.18). Простейший случай – четырёхполюсник составлен из элементов, передающих сигналы или энергию от входа к выходу. Рис. 3.18. Структурное изображение четырёхполюсника Если рассматривать четырехполюсник как устройство, на вход которого подается какой-то сигнал (ток, напряжение, тона выходе получим какую-то реакцию в виде тока (напряжения, вид которой будет зависеть от внутренних параметров четырехполюсника. Связь между входными и выходными параметрами выражается через функцию передачи. Функция передачи – это отношение комплексных амплитуд реакции и возбуждения. В теории четырехполюсников исследуются их общие свойства, независимо от конкретного вида схемы. Из анализа двух пар напряжений и токов (на входе и выходе) можно сделать выводы о характере поведения цепи относительно выводов. Если признать одну из пар электрических величин независимыми величинами, то другая пара будет зависимой. Соотношения между зависимыми и независимыми величинами называются уравнениями четырехполюсника. Их число – 6 (число сочетаний из х величин по 2). В электронике очень часто используется частный случай четырехполюсника, когда вывод на входе соединен с выводом на выходе. Это так называемый неуравновешенный четырехполюсник – трехпо- люсник (рис. 3.19). Рис. 3.19. Структурная схема трёхполюсника Систему уравнений четырехполюсника можно наглядно представить в виде графовой модели [26], в которой связь между напряжениями и токами, показанными в виде вершин графа, осуществляется ребрами графа, (рис. 3.20) обозначающими соответствующие сопротивления или проводимости Y. Рис. 3.20. Графовые модели четырёхполюсника Моделям рис. 3.20 соответствуют системы уравнений, выраженные через параметры сопротивлений (3.33) или проводимостей (3.34): На основе этих уравнений можно получить еще четыре системы уравнений. Часто используется система уравнений со смешанными параметрами (рис. 3.21) и система с параметрами передачи. Рис. 3.21. Модели со смешанными параметрами Системы уравнений имеют вид Графы уравнений с параметрами передачи имеют вид, представленный на рис. 3.22: Рис. 3.22. Модели с параметрами передачи Смысл коэффициентов в уравнениях (3.33 – 3.36) определяется по результатам мысленных опытов х видов опыт холостого хода – х.х или (и) опыт короткого замыкания – к.з. Например, определим смысл коэффициентов в системе уравнений с Z – параметрами (3.33). Полагая, что Ỉ 2 = 0 (режим х.х на выходе, получим Z 11 = Ủ 1 / Ỉ 1 – входное сопротивление 4-полюсника (входное сопротивление слева Z 21 = Ủ 2 / Ỉ 1 – передаточное сопротивление (от выхода к входу. Аналогично, полагая, что Ỉ 1 = 0 (режим х.х. на входе, получим Z 12 = Ủ 1 / Ỉ 2 – передаточное сопротивление (от входа к выходу Z 22 = Ủ 2 / Ỉ 2 – выходное сопротивление (входное сопротивление справа. Совокупность этих параметров можно записать в виде матрицы сопротивлений Z 11 Z 12 Z = Z 21 Тогда система (3.33) в матричной форме примет вид Ủ 1 Ỉ 1 = Z * (3.37) Ủ 2 Ỉ 2 Для определения смысла коэффициентов в уравнениях с прово- димостями (3.34) проведем мысленно опыты к.з., полагая, что U 1 = 0, либо U 2 = 0. Если Ủ 2 = 0 (к.з. на выходе Y 11 = Ỉ 1 / Ủ 1 – входная проводимость (проводимость слева Y 21 = Ỉ 2 / Ủ 1 -передаточная проводимость (от выхода к входу. Если Ủ 1 = 0 (к.з. на входе Y 12 = Ỉ 1 / Ủ 2 – передаточная проводимость (от входа к выходу Y 22 = Ỉ 2 / Ủ 2 – проводимость справа (выходная проводимость. Матрица проводимостей будет иметь вид Y 11 Y 12 Y = Y 21 Y 22 Система уравнений (3.34) в матричной форме примет вид Ỉ 1 Ủ 1 = Y * (3.38) Для системы (3.35) с параметрами, полагая, что I 1 = 0 (х.х. на входе, получим h 12 = Ủ 1 / Ủ 2 – коэффициент обратной передачи напряжения h 22 = Ỉ 2 / Ủ 2 – выходная проводимость, h 22 = 1/Z 22 ; Полагая, что Ủ 2 = 0 (режим к.з. на выходе, получим h 11 = Ủ 1 / Ỉ 1 – входное сопротивление, h 11 =1/Y 11 ; h 21 = Ỉ 2 / Ỉ 1 – коэффициент передачи тока. Соединения четырехполюсников Схема четырехполюсника сложной структуры может быть составлена из нескольких четырехполюсников более простой структуры путем соединения их выводов) Каскадное соединение (рис. 3.23). Рис. 3.23. Каскадное соединение четырехполюсников Вместе соединения выходные токи и напряжения предыдущего четырехполюсника являются входными токами и напряжениями последующего. Здесь удобно использовать матричные представления к примеру, для уравнений, выраженных через параметры передачи. Ủ 1 Ủ 2 Ủ 2 Ủ 3 = а * ; = а * ; Ỉ 1 Ỉ 2 Ỉ 2 Ỉ 3 Тогда Ủ 1 Ủ 3 = а * а * . (3.39) Ỉ 1 Таким образом, при каскадном соединении четырехполюсников матрицы параметров передачи перемножаются. Если каскадно соединено четырехполюсников, то результирующая матрица параметров определится соотношением а = а * а *. .* а . (3.40) 2) Параллельное соединение (рис. 3.24). Рис. 3.24. Параллельное соединение четырехполюсников Параллельное соединение образуется, если выводы четырехполюсников соединяются параллельно. В этом случае напряжения четырехполюсников будут одинаковы, а уравнения через параметры проводимостей (параметры) имеют вид Ỉ 1 (1) Ủ 1 Ỉ 1 (2) Ủ 1 = Y (1) * ; = Y (2) * Ỉ 2 (1) Ủ 2 Ỉ 2 (2) Ủ 2 Учитывая, что Ỉ 1 = Ỉ 1 (1) + Ỉ 1 (2) ; Ỉ 2 = Ỉ 2 (1) + Ỉ 2 (2) , суммируя матрицы, получим Ỉ 1 Ủ 1 Ủ 1 = Y (1) + Y (2) * = Y * (3.41) Ỉ 2 Ủ 2 Ủ 2 Тогда при параллельном соединении n четырехполюсников результирующая матрица проводимостей Y = Y (1) + Y (2) + … Y (i) …+ Следовательно при параллельном соединении четырехполюсников матрица проводимостей равна сумме матриц проводимостей соединяемых четырехполюсников. Следует отметить, что полученный результат верен для всех трехполюсников, а для четырехполюсников – только для тех, которые удовлетворяют условиям регулярности условиям, при которых в параллельном соединении параметры и уравнения самих четырехполюсников не изменяются. Для трехпо- люсников условия регулярности выполняются всегда. 3) Последовательное соединение (рис. 3.25). При последовательном соединении входные и выходные цепи подключены последовательно каждая между собой. Рис. 3.25. Последовательное соединение четырехполюсников В этом случае входной ток – это общий входной ток для обоих четырехполюсников, также как и выходной ток. Здесь удобно провести анализ, записывая уравнения для параметров четырехполюсников Учитывая, что Ủ 1 = Ủ 1 (1) + Ủ 1 (2) ; Ủ 2 = Ủ 2 (1) + Ủ 2 (2) , сложив уравнения, получим Ủ 1 Ỉ 1 Ỉ 1 = Z (1) + Z (2) * = Z * (3.42) Ủ 2 Ỉ 2 Таким образом, эквивалентная матрица сопротивлений есть сумма матриц сопротивлений четырехполюсников, соединяемых последовательно. Последнее утверждение справедливо, если соблюдаются условия регулярности. По аналогичной методике можно рассмотреть соединения после- довательно-параллельное и параллельно-последовательное. Первое приводит к суммированию матриц параметров, второе – к суммированию матриц параметров. Анализ сложных цепей можно производить путем разбиения схемы наряд более простых схем, имеющих структуру четырехполюсников. Рис. 3.26. Разбиение схемы наряд простейших четырехполюсников Например, имеется схема (рис. 3.26), составленная из нескольких звеньев, представляющих какие-либо объекты, соединённые между собой двумя выводами. Схему можно разбить, например, натри простейших четырехполюсника, включённых каскадно, вычисление матриц параметров для которых значительно проще. Особенности анализа и расчета линейных четырехполюсников с активными цепями Активными цепями называют цепи, содержащие наряду с пассивными элементами хотя бы один активный элемент в виде управляемого (активного) электронного прибора транзистора, тиристора и других) [27]. При этом сами управляемые приборы обычно можно представить трехполюсником, работающим при малых уровнях амплитуд сигналов, когда режим можно считать квазилинейным. Свойства линейных активных цепей, отличающие их от пассивных. Активные цепи могут усиливать сигналы, те. мощность выходного сигнала может быть больше мощности входного. Это происходит за счет использования энергии источника питания. Сам процесс усиления состоит в том, что активный элемент преобразует энергию источника питания в энергию выходного сигнала, а входной сигнал обычно управляет этим элементом. 2. Активные цепи являются потенциально неустойчивыми (те. могут быть неустойчивыми в некоторых режимах) например, в око- лорезонансных режимах. Для описания свойств активных трех- или четырехполюсников также применяют системы Y, Z, h, g - параметров. Однако отличие состоит в том, что матрицы параметров будут другими, например несимметричными, из-за того, что матрицы параметров активного элемента (его трех- или четырехполюсника) не будут симметричными. Поэтому уравнения четырехполюсника, записанные через систему параметров Y, Z, h. g, нужно представлять в виде трехполюсной системы замещения, составленной из двухполюсных пассивных элементов итак называемых зависимых (управляемых) источников тока напряжения. При этом токи (напряжения) зависимых источников, в отличие от независимых (внешних) могут зависеть, (например, пропорционально) оттока (напряжения) любой ветви или участка цепи. Передаточные параметры четырехполюсника должны учитывать наличие зависимых источников. Внешние источники называются независимыми потому, что их токи и (или) напряжения являются заданными величинами, обычно зависимыми от времени. Эти источники поставляют энергию в четырехполюсник. Зависимые источники искусственно вводятся в структуру четырехполюсника для представления взаимовлияния его параметров. Это облегчает составление схемы замещения и уравнений для расчета цепи. Например, для уравнений четырехполюсника через смешанные параметры можно составить схему с источниками тока и ЭДС. Ủ 1 = h 11 Ỉ 1 + h 12 Ủ 2 Ỉ 2 = h 21 Ỉ 1 + h 22 Ủ 2 Этой системе уравнений соответствует схема рис. 3.27. Рис. 3.27. Схема четырехполюсника с активным элементом В схеме показаны два зависимых источника Ủ 2 ) и (h 21 * Ỉ 1 ), отражающие соответственно влияние напряжения Ủ 2 на токи влияние тока Ỉ 1 на напряжение Анализ линейных активных цепей удобно проводить с помощью эквивалентных схем, где все активные элементы представляются схемами замещения, содержащими зависимые управляемые) источники и пассивные двухполюсные элементы. При анализе таких цепей можно применять все рассмотренные ранее методы расчета пассивных цепей. Необходимо лишь учесть зависимые источники, для чего нужно выразить токи и напряжения зависимых источников через выбранные в качестве искомых переменные величины. 4. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ Под переходными процессами в электрических цепях понимают процессы перехода от одного состояния или режима работы цепи в другое состояние, чем-либо отличающееся от предыдущего, например, амплитудой, фазой, формой, частотой тока или напряжения, структурой, или сочетанием нескольких перечисленных параметров. На практике любая электрическая цепь всегда работает в переходных режимах, те. в режимах существования в ней различных переходных процессов, так как в ней происходят коммутации (включения, отключения, переключения) отдельных элементов, участков и устройств, генерирование и преобразование импульсных, гармонических и других электрических сигналов. Анализ состояния и реакции электрической цепи в переходных режимах работы позволяет глубже понять процессы вцепи, оптимизировать структуру и характеристики как всей цепи в целом, такие отдельных компонентов. В теории электрических цепей [24] часто используют представленные ниже два вида сигналов (функций, используемых для определения реакций и функций, характеризующих переходные процессы в электрических цепях любого вида ступенчатые и импульсные функции. 4.1. Ступенчатая функция В момент коммутации, (например, цепь с резистором подключается к идеальному источнику постоянного напряжения, изменение напряжения происходит скачком, если считать, что устройство подключения цепи (ключ) действует мгновенно. Ключ – это идеализированное устройство коммутации (включения, отключения, переключения, сопротивление которого в момент при включении мгновенно превращается в 0, а при отключении в бесконечность. Ступенчатая функция (например, напряжение) – это функция, которая в момент t=0 претерпевает разрыв (рис. 4.1). Рис. 4.1. Иллюстрация формирования ступенчатой функции К – коммутатор, замыкающий электрическую цепь в какой-то момент, например, в момент t = 0 Будем считать для упрощения, что амплитуда напряжения равна единице и назовём эту функцию единичной ступенчатой функцией Аналитически процесс включения можно представить следующим образом 0, t < 0 δ 1 (t) = (4.1) 1, t ≥ 0 Если функция смещена во времени на промежуток τ, те. ключ включен в момент t = τ, то получим смещённую ступенчатую функцию (рис. 4.2). Рис. 4.2. Смещённая ступенчатая функция и её аналитическое представление Если какую-нибудь функцию f(t) умножить на единичную ступенчатую функцию (ЕСФ), то получим смещённую функцию f(t): 0, t < τ f(t) * δ 1 (t – τ) = (4.3) f(t), t ≥ τ Фактически для любой функции f(t) при ее умножении на единичную ступенчатую мы отсекаем ее значения при t < τ , что равносильно действию ключа, включающего источник сигнала f(t) в момент t = τ. Известно, что такие элементы электрической цепи как индуктивность L и ёмкость С дифференцируют и интегрируют токи или напряжения, которые, в частности, могут иметь ступенчатую форму. Очевидно, что интегрирование ступенчатой функции (СФ) даст непрерывную нарастающую функцию. Дифференцирование ступенчатой функции приводит к понятию производной разрывной функции, которая называется импульсной функцией. 4.2. Единичная импульсная функция (ЕИФ) Единичная импульсная функция может быть представлена как производная от единичной ступенчатой функции δ(t) = dδ 1 (t)/dt. В этом случае ЕСФ может быть определена как интеграл от ЕИФ: δ 1 (t) = ∫ δ(t)dt. Графическое представление ЕСФ и ЕИФ показано на рис. 4.3. Рис. 4.3. Иллюстрация образования единичной импульсной функции Аналитическое выражение единичной импульсной функции выглядит следующим образом 0, t < 0 δ (t) = ∞, t = 0 (4.4) 0, t ≥ 0 Вычисление (4.5) площади этой функции даёт единичное значение – τ)= (4.6) 0, t ≠ τ ЕИФ, смещённая на время τ, может быть записана в виде (4.6). Произведение f(t) * δ(t – τ) следует полагать равным нулю при t ≠ τ, а своё значение произведение принимает только при t = τ. Интегрирование произведения какой -либо функции f(t) на смещён- ную ЕИФ с учётом (4.5) даёт значение этой функции в момент τ: ∞ ∫ f(t) * δ(t – τ) dt = f(τ) (4.7) 0 Таким образом, ЕИФ выводит значение функции f(τ) из под знака интеграла. ЕИФ – размерная величина размерность [ЕИФ] = 1 / сек. Понятия о свойствах ЕСФ и ЕИФ необходимы для анализа переходных процессов, возникающих в электрических цепях при включениях, отключениях и переключениях элементов и участков электрических цепей и устройств. Именно в этих режимах в электрических цепях протекают переменные и импульсные токи. Ценность ЕСФ |