Основы электротехники. Учебник для высшего профессионального образования вт. Еременко, А. А. Рабочий, А. П. Фисун и др под общ ред вт. Еременко. Орел фгбоу впо Госуниверситет унпк, 2012. 529 с

• Название: Учебник для высшего профессионального образования вт. Еременко, А. А. Рабочий, А. П. Фисун и др под общ ред вт. Еременко. Орел фгбоу впо Госуниверситет унпк, 2012. 529 с
• Дата: 12.02.2023
• Размер: 7.28 Mb.
• Имя файла: Основы электротехники.pdf
• Тип: Учебник; #932939
• страница: 4 из 41

2.9. Цепь с параллельным соединением элементов

В качестве независимой переменной примем межузловое напряжения u(t). Используем й закон Кирхгофа
i
0
(t) = i
C
+ i
L
+ i
G
= C du /dt + (1/L) ∫ u dt + Gu. Избавляясь от интеграла, получим
C d
2
u /dt + G du /dt + u/L =d i
0
(t)/dt
(2.16)
4. Двухконтурная цепь с R , L , С-элементами (рис. 2.10). Рис. 2.10. Цепь со смешанным соединением R,L,C- элементов Система уравнений будет иметь вид
i
3
= i
1
– i
2
;

L
1
di
1
/dt + R
1
i
1
+ (1/C
3
)∫ i
1
dt – (1/C
3
)∫ i
2
dt = u
0
(t);
(2.17)
-(1/C
3
)∫ i
1
dt + (1/C
3
)∫ i
2
dt + L
2
di
2
/dt + R
2
i
2
= 0. Имеем систему из трех уравнений, два из которых – линейные интегро-дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Таким образом, поведение линейных электрических цепей описывается системами линейных интегро-дифференциальных уравнений. Это значит, что анализ электрических цепей сводится к составлению и решению таких уравнений. Решение уравнений дает реакцию (картину поведения) реальных устройств вцепи переменного тока. Линейность позволяет сформулировать некоторые общие свойства, облегчающие анализ рассматриваемых электрических цепей [26]:
1. Если изменить в К раз действующие вцепи напряжения (или токи, то реакция цепи (токи и напряжения) изменится также в К раз (нужно умножить обе части уравнений на множитель К.
2. Если к цепи вместо напряжения (или тока) приложить его производную или интеграл, то реакция будет равна соответственно производной или интегралу от исходной реакции. (Аналогия между исходным уравнением и уравнением, полученным после его дифференцирования. В линейных электрических цепях результирующая реакция на действие напряжения (или тока, состоящего из суммы составляющих, равна сумме реакций на действие каждой составляющей в отдельности. Это положение отражает принцип наложения (суперпозиции – важнейший принцип, используемый для анализа линейных электрических цепей. Этот принцип позволяет приложенный сигнал произвольной формы представить в виде суммы элементарных составляющих, для которых анализ не представляет трудностей. Искомый результат (реакцию) находят путем суммирования элементарных реакций на действие каждой составляющей.

2.3. Основы символического метода расчета электрических
цепей Во многих электрических цепях напряжения и токи изменяются по гармоническим законам (имеют синусоидальную форму. Си- нусоидально изменяющееся напряжение можно представить в следующем виде
u(t) = U
m
cos (ωt + α) = U
m
sin ( ωt + α´), (2.18) где α´ = α + π / 2; U
m
– амплитуда напряжения ω – угловая частота. Аргумент функции (ωt +α) = γ, называют фазой. Значение фазы при t =0 называют начальной фазой (в данном случае это α). Периоду радиан соответствует период Т в секундах – это наименьший интервал времени, через который значения функции повторяются. Учитывая, что dγ/dt = ω, соотношение периода и угловой частоты имеет вид
ω = 2π / T (2.19)

Число периодов в 1 секунду называет частотой (циклической частотой)
f = 1 / T = ω / 2π; ω = 2π f. Разность начальных фаз двух синусоид (α
1
– α
2
) называют углом сдвига по фазе (рис. 2.11). Рис. 2.11. Диаграммы изменения сдвинутых по фазе напряжений Если максимум напряжения u
1
(см. рис. 2.11) наступает раньше по отношению к началу координат, чем максимум u
2
, то считается, что напряжение u
1 опережает по фазе напряжение u
2
(или напряжение отстаёт от напряжения u
1
).

Свойства синусоидальных функций.
1. Суммирование (или вычитание) синусоидальных функций дает синусоидальную функцию той же частоты
∑A
k
cos (ωt + α
k
) = A cos (ωt + α). (2.20)
2. Дифференцирование и интегрирование синусоидальных функций дают также синусоидальные функции той же частоты
d А (ωt + α)] /dt = ω A cos (ωt + α + π /2);
(2.21)
∫ A cos (ωt + α) dt = A [cos (ωt + α - π /2)] / ω.
3. Частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с синусоидальной правой частью является также синусоидальной функцией.
4. Реакция цепи на синусоидальные воздействия (токи и напряжения) выражается в изменении амплитуды и начальной фазы выходного сигнала, причем, чем больше частота, тем больше это изменение. Анализ режимов вцепи переменного (например, синусоидального) тока состоит в общем случаев определении зависимостей амплитуды и начальной фазы от частоты. Эти зависимости называются частотными характеристиками цепи. Зависимость амплитуды от частоты называют амплитудночастотной характеристикой
(АЧХ), а зависимость фазы от частоты – фазочастотной характеристикой
(ФЧХ). Расчет установившихся режимов электрической цепи основан на использовании метода комплексных амплитуд. В этом методе синусоидальная функция представляется через экспоненты с мнимым аргументом на основе правил алгебры комплексных чисел [7]. Комплексное число можно представить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах
а а + j а
= А (cosγ + j sinγ) = A e
jγ
,
(2.22) где а, а
– вещественная и мнимая составляющие комплексного числа а, A – модуль комплексного числа, А = √ а 2 а 2
;
j = √ -1 – мнимая единица γ – аргумент комплексного числа. Любому комплексному числу можно поставить в соответствие сопряженное комплексное число

а = а – а = А (cosγ - j sinγ) = A e
-jγ
. (2.23) Синусоидальную величину с помощью комплексных чисел для наглядности можно представить геометрически в векторном виде на комплексной плоскости. Из (2.22) и (2.23) можно получить cosγ = (A e
jγ
+ A e
-jγ
)/2 ; sinγ = (A e
jγ
- A e
-jγ
)/2 (2.24) Векторное представление комплексных чисел показано на рис. 2.12. Рис. 2.12. Векторное представление комплексного числа на комплексной плоскости Синусоидальная функция u(t) = U
m
cos (ωt + α) может быть представлена в терминах комплексных функций следующим обра- зом:Если модуль A = U
m
, аргумент γ = ωt + α, то
Ae
jγ
= U
m
e
j(ωt + α)
= U
m
e
jωt
e
j α
= U
m
e
jωt
, (2.25)

где U
m
= U
m
e
jα
называется комплексной амплитудой. Её модуль – вещественная амплитуда синусоидальной функции Аргумент комплексной амплитуды – начальная фаза α. Таким образом, одна величина U
m характеризует два параметра синусоиды – амплитуду и начальную фазу. Экспонента e
jωt
= cos ωt + j sin ωt имеет модуль, равный единице, а аргумент ωt линейно нарастает во времени с угловой скоростью. Это можно отразить единичным вектором на комплексной плоскости, который вращается против часовой стрелки со скоростью. Комплексная величина, умноженная на этот вектор (аргументы при этом складываются, получает свойства вращающегося вектора. Поэтому комплексная величина может быть представлена на комплексной плоскости в виде вращающегося против часовой стрелки вектора с комплексной амплитудой U
m
(рис. 2.13).

Рис. 2.13. Представление комплексной величины вращающимся вктором
Синусоидально изменяющуюся функцию можно представить в виде
u(t) = U
m
cos (ωt + α
u
) = (U
m
e
jωt
+ U
m
e
–jωt
)/2.
(2.26) Выражение (2.26) даёт возможность представить синусоидаль- но изменяющуюся величину полусуммой двух векторов, вращающихся в противоположных направлениях (см. рис. 2.13). Представление заданной синусоидальной функции с помощью комплексной амплитуды можно рассматривать как преобразование временной функции в частотную область. Например, синусоидальной функции u = 10 cos (ωt + соответствует запись U
m
= 10 e
j30
, функции
i = 2sin (ωt +45
º
) = 2cos (ωt – 45
º
) соответствует запись İ
m
= 2 Обратная запись – перевод функции из частотной области во временную İ
m
= 5 соответствует записи i = 5 cos (ωt – 60
º
). Важно еще одно свойство экспоненциальной функции дифференцирование и интегрирование экспоненциальной функции сводится соответственно к умножению или делению на jω:
d/dt (e
jωt
) = jω e
jωt
; ∫ e
jωt
dt = e
jωt
/ jω. (2.27) Это дает возможность в дифференциальных уравнениях переходить к алгебраической форме записи этих уравнений, причем такое алгебраическое уравнение не содержит аргумента времени. Например, пусть имеется дифференциальное уравнение для нераз- ветвлённой электрической цепи, к которой приложено синусоидальное напряжение
L di/dt + Ri + (1 / C)∫ i dt = U
m
cos (ωt + α
u
). С учетом сказанного выше получим

jωL İ
m
e
jωt
+ Rİ
m
e
jωt
+İ
m
e
jωt
/ С = (jωL+ R+1 / jωC) İ
m
e
jωt
=
=U
m
e Тогда можно записать
Z İ
m
= U
m или İ
m
= U
m
/ Z, где Z = (R + jωL + 1 / jωC) – комплексное сопротивление.
(2.28) Преобразование последнего выражения дает
Z = R + j X
p
, где X
p
= (ωL –1 / ωC) – реактивное сопротивление. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме Метод комплексных амплитуд позволяет представить выражения для законов Ома и Кирхгофа в форме, подобной форме выражений этих законов для цепей постоянного тока. Закон Ома в комплексной форме можно записать в следующем виде
U
m
= İ
m
Z; İ
m
= Υ U,
(2.29)

где Υ = 1 / Z – комплексная проводимость
I
m
,U
m
– комплексные амплитуды тока и напряжения
Z – комплексное сопротивление. Формулировки первого и второго законов Кирхгофа в комплексной форме по сути не отличаются от рассмотренных ранее, но относятся к комплексным амплитудам токов и напряжений. Для первого закона Кирхгофа
∑ İ
mk
= 0, (2.30) где İ
m
– комплексная амплитуда тока, k– номер тока, подходящего к рассматриваемому узлу (или отходящего от этого узла. Правило знаков такое же. Второй закон Кирхгофа (вторая форма) –
∑ U
mn
= 0 , (2.31) где U
m
– комплексная амплитуда напряжения, n – номер выбранного контура.

2.4. Реакция элементов электрической цепи
на синусоидальные (гармонические) воздействия Анализ реакции элементов на синусоидальные напряжения и токи проведём, считая, что одна из функций (ток или напряжение) задана, а вторую следует определить.
1. Активное сопротивление по закону Ома i =Gu для мгновенных значений. Полагая u = U
m
cos (ωt +α
u
), получим
i = I
m
cos (ωt + α
i
) = G U
m
cos (ωt + α
u
), где α
u
, α
i
– начальные фазы напряжения и тока. Уравнение закона Ома будет соблюдаться, если
I
m
= G U
m
; α
u
= Вывод вцепи синусоидального тока в активном сопротивлении токи напряжение совпадают по фазе, а отношение их амплитуд равно проводимости. Если подставить комплексные амплитуды, получим
İ
= I
m
exp(jα
i
)= GU
m
= G U
m
exp(jα
u
) = YU
m
(2.32)

Для активного сопротивления комплексная проводимость Υ и комплексное сопротивление Z имеют только активные вещественные составляющие
Y =G; Z = R. (2.33) Мгновенная мощность в активном сопротивлении
p = u i = Ri
2
= U
m
I
m
cos
2
(ωt + α
u
) =
= R I
2
m
[1 + cos2 (ωt + α
u
)]/2 = I
2
R [1 + cos2(ωt +α
u
)]. (2.34) Эти аналитические соотношения можно отразить графически рис. 2.14). Рис. 2.14. Временные (аи векторные (б диаграммы тока, напряжения и мощности для цепи синусоидального тока с резистором

Среднее значение мощности за период называется активной мощностью т
P = (R / T) ∫ i
2
dt = RI
2
m
/2 = R I
2
, (2.35)
0 где I = I
m
/ √ 2 – действующее значение тока. Действующее значение синусоидального тока определяется как среднеквадратичное значение тока за период т
I = √ (1 / T ∫ i
2
dt)
0,5
. (2.36)
0 Для действующих значений тока и напряжения выражения активной мощности вцепи постоянного и переменного (синусоидального) тока совпадают
P = U I = R I
2
= G U
2 2. Для индуктивного элемента мгновенные значения напряжения (рис. 2.15) и тока связаны соотношением
u = L di / dt;

Подставляя u = U
m
cos (ωt + α
u
), i = I
m
cos (ωt + α
i
), будем иметь U
m
cos (ωt + α
u
) = ω L I
m
cos (ωt + α
i
+ π /2). Сравнение дат
U
m
= ω L I
m
= X
L
I
m
; α
u
= α
i
+ π /2. (2.37) Следовательно, напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90
º
(ток в индуктивности отстает от напряжения на 90º). Коэффициент пропорциональности между амплитудами напряжения и тока – это индуктивное сопротивление X
L
= ω L = U
m
/ I
m.
. Величина, обратная индуктивному сопротивлению – индуктивная проводимость
b
L
= 1 / ω L = В терминах комплексных амплитуд, учитывая, что j = e
j 90
,
1/j=-j, получим
U
m
= j ω L İ
m
= Z
L
İ
m
,
(2.38)
Z
L
= j ω L = j X
L
= X
L
e
j 90
; Y
L
= 1/jωL= - jb
L
, где Z
L
,Y
L
– соответственно комплексные сопротивление и проводимость индуктивного элемента b
L
=1/ωL – индуктивная проводимость Мгновенное значение энергии, запасаемой в индуктивности, пульсирует с двойной частотой от 0 до LI
2
:
w
L
= L i
2
/ 2 = (LI
2
/2) [1 + cos2(ωt + α
i
)
(2.39) Среднее значение энергии за период W
ср
= 0,5LI
2
(2.40) Мощность индуктивного элемента
p
L
= u i = - U I sin2 (ωt + α
i
). (2.41) Произведение действующих значений тока и напряжения на элементе называют реактивной мощностью (это максимальная скорость изменения энергии в элементе
P
L
= U
L
I = ωLI
2
= X
L
I
2
(2.42) Учитывая (2.42), получим P
L
= 2ωW
ср
, те. реактивная мощность индуктивного элемента равна среднему значению запасенной энергии, умноженному на 2ω.

Рис. 2.15. Временные и векторные диаграммы тока, напряжения и мощности при протекании синусоидального тока в индуктивном элементе В отличие от активной реактивная мощность не связана с выделением энергии в элементе, а среднее значение мгновенной мощности за период равно нулю (см. рис. 2.15). Единица измерения реактивной мощности – Вар (вольт-ампер реактивный.
3. Для ёмкостного элемента (рис. 2.16) i
c
= Cdu
c
/dt. После подстановки синусоидальных значений тока и напряжения получим
I
m
cos (ωt + α
i
) = ω C U
m
cos (ωt + α
u
+ π / 2), откуда следует α
i
= α
u
+ π /2; I
m
= ω C U
m
= b
c
U
m
, где b
c
= ω C– ёмкостная проводимость. Емкостное сопротивление x
c
= С == U
m
/ I
m

Ток в емкости опережает по фазе напряжение на 90º (напряжение отстает оттока на 90º). В терминах комплексных амплитуд для
ёмкостного элемента можно записать
U
m
= I
m
Z
c
= I
m
/jωC = I
m
/Y
c
(2.43) Комплексные сопротивление и проводимость ёмкостного элемента имеют только реактивные составляющие
Y
c
=jb
c
=b
c
e
j90
; Z
c
=-jx
c
=x
c
e
-j90
. (2.44) Рис. 2.16. Временные и векторные диаграммы для ёмкостного элемента Мгновенное значение энергии, запасаемой в емкости
w
c
= C u
2
/2 = C U
2
cos
2
(ωt + α
u
) = (CU
2
/2) [1 + cos2 (ωt + α
u
)]. (2.45) Мощность ёмкостного элемента