Основы электротехники. Учебник для высшего профессионального образования вт. Еременко, А. А. Рабочий, А. П. Фисун и др под общ ред вт. Еременко. Орел фгбоу впо Госуниверситет унпк, 2012. 529 с
 Скачать 7.28 Mb.
|
|
для неразветвлённого участка электрической цепи (рис. 1.7). Рис 1.7. Неразветвлённый участок электрической цепи Полагаем для упрощения, что значения ЭДС, напряжения между узлами (а,в) и сопротивлений заданы, требуется определить ток ветви. Выбираем направление тока, расставляем стрелки тока и напряжения и составляем уравнение второго закона Кирхгофа для мысленного контура а – r 1 – E 1 – r 2 – Ева, причём контур мысленно замыкаем по пути (в – а, проходящем вне электрической цепи I ав (r 1 +r 2 + r 3 +r 4 ) – U ав = ЕЕ Е . (1.21) Из уравнения (1.21) определяем величину тока I ав = (U ав + Е q ав , (1.22) где q ав = 1 / r ав – проводимость участка цепи ав; r ав = r 1 + r 2 + r 3 + r 4 – суммарное сопротивление участка ; U ав = а – в – напряжение между зажимами рассматриваемого участка (разность потенциалов, определяемое по выбранному направлению тока ЕЕ ЕЕ алгебраическая сумма ЭДС, действующих на том же участке (ЭДС, стрелка которой совпадает с выбранным направлением тока, считается положительной. Формулу (1.22), полученную путём использования второго закона Кирхгофа, можно трактовать как закон Ома для участка цепи с ЭДС. Если значение тока, полученное после расчета, окажется отрицательным, то это означает, что действительное направление тока противоположно выбранному. Напряжения на резисторах (падения напряжений) пределяются по закону Ома U i = I ав r i , (i = 1– 4); 2) для разветвлённой электрической цепи (рис. 1.8). Анализ конфигурации цепи показывает, что схема имеет шесть ветвей, четыре узла и три независимых контура. Независимым считается контур, в который входит хотя бы одна ветвь, не вошедшая в другие контуры Число неизвестных токов (по числу ветвей) – шесть, следовательно должно быть составлено шесть уравнений, из них по первому закону Кирхгофа можно составить три уравнения, так как узлов в схеме – четыре. Расставляем стрелки токов, выбрав (для удобства) их направления согласно со стрелками ЭДС, намечаем направления обхода выбранных независимых контуров (показано пунктиром на рис. 1.8) и составляем систему уравнений. Рис. 1.8. Схема разветвлённой электрической цепи Уравнения для узлов yзел 1: I 1 + I 2 + I 3 = 0; yзел 2: I 6 – I 3 – I 4 = 0; (1.23) yзел 4: I 4 – I 5 – I 2 = 0. Направления обхода контуров желательно выбирать одинаковыми во всех контурах. С учётом этого составляем уравнения второго закона Кирхгофа (контурные уравнения - I 3 r 3 +I 2 r 2 + I 4 r 4 = E 2 + E 4 – E 3 ; - I 2 r 2 +I 1 r 1 + I 5 r 5 = E 1 – E 2 ; (1.24) - I 4 r 4 – I 5 r 5 = - E 4 – E 6 . Решение системы (1.23, 1.24) из шести уравнений даст значения шести неизвестных токов. В расчетах электрических цепей часто приходится определять напряжение между двумя произвольными точками схемы. В этом случае удобно использовать вторую формулировку го закона Кирхгофа, форма записи которого имеет вид ∑U = 0. Например, нужно определить напряжение U 52 (см. рис. 1.8). Записываем уравнение для мысленного контура 2 -1- 5- 2, изобразив стрелку искомого напряжения U 52 - I 3 r 3 = E 2 – E 3 Аналогично для контура 5- 4 -2 - 5: I 2 r 2 + I 4 r 4 – U 52 = Из каждого составленного уравнения можно определить искомое напряжение при известных остальных величинах. На основании рассмотренных законов разработаны многочисленные методы расчета сложных электрических цепей (см. [7], [26]). Во многих случаях анализ состояния сложной цепи может быть облегчен при использовании некоторых топологических понятий и методов. К таким понятиям относятся, например, неориентированные и ориентированные графы, которые используются для характеристики геометрической структуры схемы электрической цепи. В графах линейными отрезками, называемыми рёбрами, изображают ветви схемы электрической цепи. Концевые точки ветвей называют узлами (вершинами. Неориентированный граф для рассмотренной ранее схемы (см. рис. 1.8), будет иметь вид, представленный на рис. 1.9. Рис. 1.9. Неориентированный граф для схемы рис. 1.8 Вершины графа имеют номера узлов исходной схемы. Номера ветвей указаны в кружках. Направленный ориентированный) граф имеет ветви, для которых указано определенное направление (ориентация. Обычно направление ветви выбирают по направлению токов (рис. 1.10) Рис 1.10. Ориентированный граф для схемы рис Для ориентированного графа можно записать систему уравнений на основании го иго законов Кирхгофа во второй формулировке по 1-му закону система узловых уравнений остаётся такой же см. (1. 23)). По второму закону Кирхгофа U 14 + U 42 – U 12 = 0 U 13 – U 23 – U 12 = 0 (1.25) U 23 + U 34 + U 42 = Графы в некоторых случаях позволяют облегчить анализ цепей. С целью сокращений числа уравнений, подлежащих решению при анализе электрической цепи, разработаны различные методы, широко используемые на практике. Из них наиболее известны метод узловых потенциалов и метод контурных токов [7]. 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 2.1. Пассивные элементы цепей переменного тока 1. Активное сопротивление (элемент, резисторный элемент) вцепи переменного тока, как ив цепи постоянного тока, характеризуется сопротивлением или проводимостью, определяемыми как отношения для сопротивления – R=u/i, дляпроводимости – G =1/R = i / u, (2.1) где i , u – мгновенные значения тока и напряжения. Следует сразу отметить, что законы Ома и Кирхгофа действительны именно для мгновенных значений тока и напряжения [7]. В активном сопротивлении, согласно закону Джоуля – Ленца, электрическая энергия преобразуется в тепловую. Скорость (интенсивность) преобразования (энергетическая характеристика) резисторного элемента определяется мощностью тепловых потерь P = dw /dt = u i = Ri 2 = G u 2 (2.2) Рис. 2.1. Вольт-амперная характеристика (ВАХ) активного сопротивления а, временные диаграммы тока и напряжения вцепи переменного тока – б) Как видно из выражения (2.2), мощность в элементе представляет собой квадратичную функцию тока или напряжения и не может быть отрицательной. элемент – прототип реального резистора. ВАХ резистора – линейная функция, ив цепи переменного тока форма тока и напряжения на резисторе совпадают (рис. 2.1, б. 2. Индуктивный элемент (ИЭ) (L- элемент. Индуктивный элемент электрической цепи – это идеализированный элемент, в котором происходит только запасание магнитной энергии, связанное с протеканием тока. Потерь в идеальном индуктивном элементе нет (активное сопротивление равно нулю. Основной параметр – индуктивность L (иногда сам элемент называют индуктивностью или катушкой индуктивности. В схемах индуктивный элемент изображают волнистой линией, подразумевая катушку с проводниковыми выводами для подключения к другим элементам электрической цепи (рис. 2.2). Рис 2.2. Условное изображение линейного индуктивного элемента Индуктивность измеряют в генри (Гн). Примером индуктивности может служить катушка, представляющая собой некоторое количество витков провода на диэлектрическом каркасе. Протекание тока i связано с возникновением магнитного потока Ф к , образованного каждым витком. Общее потокосцепление Ψ для линейной цепи [7]: n Ψ = ∑ Ф к =L i , (2.3) к=1 где n – число витков, [ L ] = Гн, [ Ф ] = вебер (Вб). Связь между током и напряжением в элементе устанавливается на основе закона электромагнитной индукции при изменении магнитного потока, сцепленного с проводящим контуром, в контуре наводится ЭДС, равная скорости изменения потокосцепления и направленная так, чтобы ток, вызванный ею, стремился воспрепятствовать изменению магнитного потока u = - e = dψ / dt = Ldi /dt. (Из этого выражения следует t i = ψ / L= (1 / L) ∫ u dt . - ∞ Приняв значение тока при t = – ∞ равным нулю, последнее выражение можно записать в виде суммы двух слагаемых 0 t t i = (1 / L)∫ u dt + (1 / L) ∫ u dt = i (0) + (1 / L)∫ u dt , (2.5) - ∞ 0 0 где i (0) – значение тока в момент t = 0, если до момента начала фиксации в элементе протекал ток i. Выражение (2.5) показывает, что для определения тока в индуктивном элементе нужно знать величину напряжения при t > 0 и величину тока в момент t = 0. Как изменялось напряжение до момента t = 0 не имеет значения. Выражение (2.5) дает возможность построить диаграммы изменения напряжения, если известна диаграмма изменения тока вин- дуктивном элементе рис. 2.3). Рис. 2.3. Временные диаграммы изменения тока и напряжения для индуктивного линейного элемента Для линейной цепи с индуктивным элементом временные диаграммы на рис. 2.3 можно рассматривать с другой точки зрения если на индуктивный элемент подано напряжение u L (t) в виде прямоугольных импульсов, то оно вызывает ток i L (t), изменяющийся трапецеиадально. У индуктивных элементов существует очень важное свойство, обусловленное первым законом коммутации [7], согласно которому ток через любую индуктивность непосредственно до момента коммутации равен току через туже индуктивность непосредственно после момента коммутации. Из этого следует, что в индуктивном элементе ток не может изменяться скачком при скачкообразном изменении напряжения на нм. Это обусловлено тем, что потокосцеп- ление не может исчезнуть мгновенно, а амплитуда напряжения не может быть бесконечно большой. Энергетическая характеристика индуктивного элемента определяется следующим выражением для мощности p L = ui = Li di /dt. (2.6) Это выражение следует интерпретировать следующим образом если знаки u и i совпадают, энергия в элементе запасается, p L – положительна если знаки не совпадают – мощность отрицательна, что означает отдачу запасенной энергии. (Отметим, что в R- элементе u и i всегда имеют одинаковые знаки. Энергия, запасаемая в индуктивности, всегда имеет знак положительный. Емкостный элемент (ЕЭ) (С-элемент показан на рис. 2.4). Рис. 2.4. Условное изображение ёмкостного элемента ЕЭ – это идеализированный элемент, в котором происходит только запасание электрической энергии, зависящей от напряжения, а потери и запасание магнитной энергии отсутствуют. Ёмкост- ный элемент является прототипом электрического конденсатора с хорошим диэлектриком. На обкладках конденсатора при приложении напряжения u c образуется электрический заряд q = C u c , где коэффициент С = q/u c называется емкостью. Единицей измерения ёмкости является фарада (Ф. Учитывая, что I = dq /dt, получим выражение для тока в ёмкостном элементе с = C du c / dt . (2.8) По выражению (2.8) видно, что ток в С-элементе определяется скоростью изменения напряжения. Из этого следует, что если напряжение на ёмкостном элементе не изменяется, то ток через него не проходит. Это означает важный факт для постоянного тока емкостный элемент – это разрыв цепи. Если ток в емкостном элементе считать заданным, то t t u c = q / C = (1 / C) ∫ i dt = u(0) + (1 /C)∫ i dt , (2.9) -∞ 0 где u (0) = q (0) / С – начальное напряжение на элементе при t = 0) . По выражению (2.9) видно, что напряжение на ЕЭ определено значениями тока при t > 0 и напряжением в момента изменение тока до момента t = 0 не имеет значения (сравнить с индуктивным элементом. ЕЭ обладает очень важным свойством напряжение на емкостном элементе не может измениться скачком при скачкообразном изменении тока. Выражение (2.9) позволяет построить диаграммы изменения токов и напряжений для ёмкостного элемента, например, для случая импульсного изменения тока (рис. 2.5). Рис. 2.5. Временные диаграммы токов и напряжений на ёмкостном элементе Невозможность скачкообразного изменения напряжения нам- костном элементе при скачкообразном изменении тока в нём обусловлена вторым законом коммутации, согласно которому напряжение на ёмкостном элементе непосредственно до момента коммутации равно напряжению на этом элементе непосредственно после момента коммутации Энергетические соотношения для ЕЭ определяются выражением для мощности с = с с = с с / dt. (2.10) Мощность положительна, когда энергия поступает от источника в ЕЭ, и отрицательна, когда запасённая энергия отдается обратно источнику. Энергия, запасаемая ёмкостным элементом t u w c = ∫ Cu c du c / dt = ∫ Cu c du c = Cu 2 / 2. (2.11) -∞ 0 Сводная таблица соотношений для рассмотренных элементов электрической цепи переменного тока приведена ниже (табл. 2.1). Таблица 2.1 Соотношения для элементов вцепи переменного тока Анализ таблицы дает возможность увидеть аналогии между соотношениями, например для u L и i c , u c и i L , w L и w c . Эти аналогии отражают так называемую дуальность (двойственность) соотношений и дуальность элементов. Понятие дуальности позволяет в некоторых случаях облегчить анализ электрических цепей. Рассмотренные элементы пассивных цепей являются идеализированными элементами, те. математическими моделями реальных устройств. Они служат тем строительным материалом, из которого строится расчетная модель любой электрической цепи – схема замещения. Путем составления соответствующей схемы замещения из идеальных элементов и ее анализа можно приближенно передать определить) поведение любого реального устройства при включении его в электрическую цепь. Схемы замещения обычно содержат не только элементы, учитывающие главные параметры реальных элементов, но и элементы, учитывающие побочные или паразитные параметры. Наличие паразитных элементов обусловлено реальными размерами устройств, несовершенством материалов, из которых изготовлены устройства, условиями использования этих устройств (частота, напряжение, ток, параметрами внешней среды и т.п. Например, реальные резистор, индуктивность и конденсатор для некоторого диапазона частот могут быть представлены схемами замещения для цепей переменного тока) (рис. 2.6). Рис. 2.6. Условные обозначения элементов аи их схемы замещения (б) Схемы замещения элементов (см. рис. 2.6) отражают тот факт, что любой реальный элемент электрической цепи обладает свойствами всех трёх видов элементов активного сопротивления, индуктивного и ёмкостного. Разница состоит в преобладании свойств того или иного элемента ив величине параметра того или иного свойства при разных частотах. 2.2. Описание цепей переменного тока с помощью линейных интегро-дифференциальных уравнений В соответствии с изложенными представлениями об элементах электрических цепей переменного тока рассмотрим примеры использования этих представлений при расчетах простых цепей. Цепь с двумя источниками, составленная из элементов рис. 2.7). Методика анализа и расчёта не отличается от ранее рассмотренной (см. рис. 1.9). Считая заданными параметры источников и величины сопротивлений резисторов, нужно составить систему уравнений, достаточную для определения неизвестных токов. Рис. 2.7. Цепь с активными сопротивлениями и двумя источниками Анализ топологии схемы дат число узлов – 3, неизвестных токов, число ветвей – 5, число независимых контуров – 2. Система линейных алгебраических уравнений при использовании законов Кирхгофа будет выглядеть следующим образом -i 1 + i 2 – i 3 = 0 i 3 + i 4 = i 0 (t) R 1 i 1 + R 2 i 2 = u 0 (t) (2.12) R 2 i 2 + R 3 i 3 – R 4 i 4 = 0 2. Цепь из последовательно соединенных R, L, С-элементов рис. 2.8). Независимой переменной считаем ток i. Стрелки тока и напряжений в схемах замещения цепей переменного тока ставятся только для упорядочения знаков в составляемых уравнениях. Рис. 2.8. Неразветвлённая цепь с R, L, элементами По второму закону Кирхгофа u L + u R + u C = L di/dt + Ri + (1/C) ∫ i c dt = u 0 (t). (2.13) Имеем уравнение равновесия напряжений, которое является линейным интегро-дифференциальным уравнением с вещественными постоянными коэффициентами. Это уравнение эквивалентно дифференциальному уравнению второго порядка L d 2 i /dt 2 + R di /dt + i /C =du 0 (t)/dt . (2.14) Можно получить частные случаи, исключая один из элементов. Например, если u C = 0, то получим дифференциальноеуравнение первого порядка L di/dt + Ri =u 0 (t). (2.15) 3. Цепь с параллельным соединением R , L , С-элементов рис. 2.9). Рис |