Основы электротехники. Учебник для высшего профессионального образования вт. Еременко, А. А. Рабочий, А. П. Фисун и др под общ ред вт. Еременко. Орел фгбоу впо Госуниверситет унпк, 2012. 529 с
 Скачать 7.28 Mb.
|
|
i=1 q=1 где k, d – количество элементарных сомножителей в произведениях числителя и знаменателя. Одно из удобств пользования передаточными функциями состоит в том, что передаточная функция позволяет легко рассчитать АФЧХ устройства. Формально АФЧХ получается из передаточной функции путем замены оператора р на jω, где j = √-1 – мнимая единица ω – угловая частота, ω=2π f ; f – частота. В этом случае W(jω) = P(ω)+ j Q(ω), (3.11) где P(ω) = Re[W(jω)]; Q(ω) = Im[W(jω)]. На комплексной плоскости можно построить по значениями зависимость вектора W(jω) от частоты, которая называется годографом системы (рис. 3.5). Рис. 3.5. Годограф системы Для реальных устройств частота обычно изменяется в широких пределах от 0 до сотен мГц. Чтобы представлять АФЧХ в более компактном виде, часто используют логарифмические АЧХ и ФЧХ (ЛАЧХ и ЛФЧХ). Логарифмической АЧХ называется зависимость вида K(ω) = 20lg│W(jω)│= 20lg [P 2 (ω)+ Q 2 (ω)] 0,5 . (3.12) ЛФЧХ – это зависимость вида ψ(ω) = arg W(jω) = arctg [Q(ω) / P(ω)]. (3.13) Последнее справедливо, если arg W(jω) ≤ π/2. Удобство использования ЛАЧХ и ЛФЧХ cостоит в том, что для сложного устройства они могут быть построены путём алгебраического суммирования ЛАЧХ и ЛФЧХ элементарных звеньев, входящих в состав этого устройства. Для упрощения процесса суммирования при построении ЛАЧХ обычно используют асимптотические характеристики, в которых участки ЛАЧХ представляют отрезками прямых линий с наклоном n*20 дБ/дек, где n = 0, 1, 2… – любое целое число. Методика построения состоит из следующих этапов а) записывают уравнения, связывающие изменение токов и напряжений элементов схемы (уравнения состояния б) на основе этих уравнений записывают дифференциальное уравнение, связывающее изменение сигнала на входе и выходе устройства (порядок уравнения обычно соответствует числу реактивных элементов схемы в) переходят к операторной форме записи дифференциального уравнения и записывают передаточную функцию относительно входного воздействия (возмущения г) полученную передаточную функцию разбивают на множители, эти множители будут передаточными функциями элементарных звеньев д) строят частотные характеристики элементарных звеньев обычно в асимптотическом виде) и их суммированием находят ЛАЧХ и ЛФЧХ устройства е) анализируя полученные характеристики, определяют основные свойства устройства (значения частот в точках излома, полосу пропускания, фазовые сдвиги, устойчивость системы, состав и т.д.). Для наиболее распространенных элементарных электрических цепей передаточные функции и вид ЛАЧХ приводятся во многих источниках. Эти сведения [26] даны в табл. 3.1 для некоторых видов RC- цепей. В таблице приняты следующие обозначения Т – постоянные времени К) – модуль коэффициента передачи К lg (U вых /U вх ); К, К – соответственно коэффициенты передачи на высоких и низких частотах. Таблица 3.1 Передаточные функции и ЛАЧХ для некоторых цепей 3.3. Электрические фильтры Устройства, содержащие индуктивные катушки (и) или конденсаторы и предназначенные для обеспечения заданной формы кривой напряжения или тока на участке цепи, называются электрическими фильтрами Простейшие фильтры содержат обычно один резистор и один реактивный элемент (конденсатор или катушку индуктивности. Примером может быть сглаживающий фильтр (рис. 3.6) представляющий собой элементарный пассивный четырехполюсник. Рис. 3.6. Простейший сглаживающий фильтр Связь амплитудных значений входного и выходного напряжений определяется по общему правилу с помощью коэффициента передачи напряжения как отношение амплитудных значений выходной и входной величин K u = U m вых /U m вх. . (3.14) Полагая, что входное напряжение содержит гармонические составляющие, для какой-либо й гармонической составляющей можно записать U m вых(n) = U m вх(n) * [ X c(n) / Z (n) ] , (3.15) где U m вых(n) , U m вх(n) – соответственно амплитудные значения выходного и входного напряжения для й гармонической составляющей Z (n) – модуль полного сопротивления фильтра для й гармонической составляющей Z (n) = √ R 2 + X 2 c(n) (3.16) X c(n) – реактивное сопротивление конденсатора для этой составляющей) где n – номер гармонической составляющей ω 1 – частота первой гармоники С – ёмкость конденсатора. Из (3.14) получим выражение для амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), записав выражение через частотно-зависимые параметры) Вид АЧХ рассматриваемого фильтра показан на рис. 3.7. По выражению (3.18) ирис видно, что с увеличением частоты входного напряжения амплитуда выходного напряжения заметно уменьшается с ростом номера гармонической составляющей. В этом состоит сглаживающее действие рассматриваемого фильтра. Рис. 3.7. АЧХ сглаживающего фильтра Схемы фильтров весьма разнообразны, так как структура схемы зависит от выполняемой функции фильтры могут быть сглаживающими, задерживающими, пропускающими, полосовыми, комбинированными, активными, пассивными и т. д. По структурному построению можно различать Т-образные, П-образные фильтры, фильтры с резонансными контурами [19]. На рис. 3.8 для примера показаны некоторые структурные схемы пассивных электрических фильтров. Рис. 3.8. Структурные схемы фильтров а – образный с емкостной связью б – П-образный с индуктивной связью Действие фильтра любого вида основано на том, что реактивные сопротивления конденсаторов и катушек индуктивности неодинаковы для токов разной частоты X c = 1/ ωC; X L = ωL. Используя различные соединения реактивных элементов, можно целенаправленно изменить вид АЧХ фильтра, добиваясь ослабления ненужных гармонических составляющих и обеспечения прохождения на выход нужных составляющих входного напряжения. Например, нужно выделить из несинусоидального входного напряжения какую-то ю гармоническую составляющую и ослабить другие составляющие. Один из вариантов такого фильтра показан на рис. 3.9. Рис. 3.9. Структурная схема полосового резонансного фильтра (аи АЧХ фильтра б) Резонансный контур LC имеет резонансную частоту ω p(n) , поэтому гармоническая составляющая частоты ω p(n) не ответвляется в параллельную цепь LC и проходит на выход с минимальным ослаблением. Для всех других составляющих с частотами, отличными от резонансной, коэффициент передачи будет значительно меньше. Электрические фильтры применяются очень широко как в электротехнических, таки в электронных устройствах. 3.4. Представление электрической цепи в виде двухполюсника Двухполюсник вцепи постоянного тока В любой электрической схеме можно выделить такую часть схемы, что соединение этой части с остальными частями осуществляется с помощью только двух проводников. Эту выделенную часть можно назвать двухполюсни- ком. В общем случае двухполюсник – это схема, имеющая два входных зажима (полюса, либо один входи один выход. Двухполюсник обозначают прямоугольником с двумя выводами, его внутреннее содержание может быть как угодно сложным, либо содержать всего лишь один элемент, например, резистор. Если в двухполюснике есть источник ЭДС или источник тока, то его называют активным. Если источники отсутствуют, то двухполюсник называют пассивным. Понятие «двухполюсник» во многих случаях облегчает анализ и расчет электрических и электронных цепей, так как сколь угодно сложную внутреннюю схему двухполюсника можно заменить схемой замещения (рис. 3.10). Рис. 3.10. Условные обозначения двухполюсников: 1– активного 2– пассивного и их схемы замещения 3 – активного 4 – пассивного Основным параметром двухполюсника, определяющим его свойства, является его внутреннее сопротивление. Активный двухполюс- ник по отношению к его выходным зажимам (а на рис. 3.10) может быть представлен эквивалентным источником (генератором) с внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению R вх этого двухполюсника. ЭДС эквивалентного источника должна быть равна напряжению на выделенных зажимах двухполюсника U хх при отсутствии тока между этими зажимами. Этот режим двухполюсника называют режимом холостого хода, так как между зажимами а рис. 3.10) имеется напряжение, но отсутствует ток (R= ∞). Если R< ∞, то между выводами будет протекать ток согласно закону Ома I = U xx / (R+R вх ), (3.19) где R – внешнее сопротивление (сопротивление нагрузки R вк – входное (внутреннее) сопротивление двухполюсника. Метод расчета электрической цепи, в котором часть схемы, относящуюся к какой-либо ветви, выделяют в виде двухполюсника, аза- тем находят ток по формуле (3.19), называют методом эквивалентного генератора, методом активного двухполюсника, методом холостого хода и короткого замыкания (х.х. и к.з.) [7]. Последнее название обусловлено тем, что для определения входного сопротивления R вх удобно использовать так называемые опыты х.х. и к.з.. Опыт х.х. состоит в том, что при разомкнутых зажимах двухполюсника измеряют (или вычисляют) напряжение U xx . Опыт к.з. состоит в том, что зажимы исследуемой ветви соединяют накоротко (чаще всего мысленно, и измеряют или вычисляют ток в этой ветви (этот ток называют током короткого замыкания (I к.з ). Входное сопротивление двухполюсника относительно ветви, с которой делали опыты, определяется по формуле R вх =U хх /I кз . (3.20) Последовательность расчета тока в выделенной с помощью двух- полюсника ветви будет следующей а) найти напряжение U хх на зажимах выделенной разомкнутой ветви б) определить входное сопротивление R вх двухполюсника по отношению к разомкнутым зажимам выделенной ветви в) найти искомое значение тока в ветви по закону Ома. Схемы соединения двухполюсников. При анализе и расчете цепей сложной структуры двухполюсники можно использовать для упрощения как элементы электрической цепи с известными параметрами. При этом законы электрических цепей (Ома, Кирхгофа) могут использоваться также, как и для элементарных элементов. Например, при последовательном соединении (рис. 3.11) эквивалентное сопротивление экв ∑R i , а напряжение на каком-либо двухполюснике U i = U R i / экв, (3.21) где R i – внутреннее сопротивление какого-либо двухполюсника. Рис. 3.11. Последовательное соединение двухполюсников Для параллельного соединения двухполюсников (рис. 3.12) I i =Y i U; Y i =1/R i ; экв ∑Y i = I /U; I i =I экв (3.22) где I i – ток в какой-либо параллельной ветви I – общий ток цепи, I =∑I i ; Y i – проводимость какой-либо ветви экв =∑Y i – эквивалентная проводимость цепи. В теории электрических цепей [26] доказывается, что при передаче энергии от активного двухполюсника нагрузке существует опре- делённое соотношение между сопротивлением нагрузки R и входным внутренним) сопротивлением двухполюсника R вх , при котором в сопротивлении нагрузки выделяется максимальная мощность макс /4R вх . (3.23) Таким условием является равенство внутреннего сопротивления активного двухполюсника и сопротивления нагрузки R = R вх Рис. 3.12. Параллельное соединение двухполюсников В маломощных схемах чаще всего выполняют именно это условие передачи энергии, называемое согласованием нагрузки. Пассивный двухполюсник вцепи синусоидального тока. Рассмотренные выше для цепи постоянного тока понятия о двухполюс- никах в полной мере относятся и к цепям переменного тока. Однако в цепях переменного тока понятия входного сопротивления и режимов работы значительно расширяются, так как в этих цепях присутствуют, помимо активного, ещё и реактивные сопротивления, создаваемые индуктивными и емкостными элементами. Следует заметить, что поскольку первый и второй законы Кирхгофа справедливы и для цепей синусоидального тока, то, записав уравнения для мгновенных значений величин цепей синусоидального тока и перейдя от них к уравнениям в комплексах, можно использовать формулы и методы расчета, применяемые в цепях постоянного тока, заменяя Е на комплекс Е, R на комплекс Z, g на комплекс Y. Однако если некоторые ветви электрической цепи связаны друг с другом магнитно, то расчет и анализ таких цепей приобретает некоторые особенности, из-за которых формулы и методы, пригодные для цепей постоянного тока, напрямую применять нельзя [7]. Для примера рассмотрим определение входного сопротивления для переменного тока некоторого двухполюсника, подключённого к источнику ЭДС (рис. 3.13). Рис. Структурная схема подключения двухполюсника к источнику ЭДС В общем случае для двухполюсника Z вх =Е/I = R вх +jX вх =Zе јφ , (3.24) где Z = 2 2 X R – модуль комплексного входного сопротивления Z вх ; φ = arc tg (Х вх /R вх ) – фазовый сдвиг между током и напряжением R вх , X вх – соответственно модули активного и реактивного сопротивлений. Если Х вх > 0, то входное сопротивление имеет индуктивный характер, при Х вх < 0 – емкостный, при Х = 0 – двухполюсник имеет только активное сопротивление. Соединения двухполюсников в цепях переменного тока. Сказанное ранее для соединений двухполюсников постоянного тока справедливо и для двухполюсников переменного тока, однако под входными сопротивлениями следует понимать комплексные сопротивления, а токи и напряжения нужно представлять комплексными величинами. Рис. 3.14. Последовательное аи параллельное б соединения двухполюсников Для последовательного (риса) и параллельного (рис. 3.14, б) соединений двухполюсников справедливы соотношения между комплексными величинами тока и напряжения, соответственно (3.25) и (3.26). В формулах (3.25), (3.26) Z=1/Y– эквивалентное комплексное входное сопротивление схемы Y– эквивалентная комплексная проводимость. В цепях переменного тока часто используются два вида схем, носящих название звезда и треугольник. Схемы могут быть составлены из двухполюсников, поэтому приведем формулы взаимного преобразования сопротивлений двухпо- люсников [50] при преобразовании одного вида схемы в другой рис. 3.15). Рис. 3.15. Схемы соединения двухполюсников в звезду аи треугольник б) 1. Преобразование звезды в эквивалентный треугольник Y 12 =Y 1 Y 2 /(Y 1 +Y 2 +Y 3 ) Y 13 =Y 1 Y 3 /(Y 1 +Y 2 +Y 3 ) (3.27) Y 23 =Y 2 Y 3 /(Y 1 +Y 2 +Y 3 ) 2. Преобразование схемы треугольника в эквивалентную звезду Z 1 = Z 12 Z 13 /(Z 12 + Z 13 +Z 23 ) Z 2 = Z 12 Z 23 /(Z 12 + Z 13 +Z 23 ) (3.28) Z 3 = Z 13 Z 23 /(Z 12 + Z 13 +Z 23 ) В приведённых выше формулах преобразования обозначено Z – комплексные сопротивления соответствующих ветвей Y = 1/Z – комплексные проводимости. Резонансные режимы в двухполюсниках. В двухполюсниках, содержащих индуктивные и емкостные элементы, могут наблюдаться резонансные режимы. Резонансным называют режим, при котором сопротивление двухполюсника при наличии в нём активного, ёмко- стного и индуктивного сопротивлений становится чисто активным. В резонансном режиме двухполюсник по отношению к внешней цепи ведет себя как активное сопротивление, поэтому токи напряжение на входе двухполюсника совпадают по фазе, а его реактивная мощность равна нулю. Различают два основных вида резонансных режимов – резонанс токов и резонанс напряжений. Резонанс токов можно наблюдать в схеме, образованной двумя параллельными ветвями с разнохарактерными реактивными сопротивлениями (рис. 3.16). Рис. 3.16. Двухполюсник с параллельно включенными ёмкостным и индуктивным элементами аи векторные диаграммы напряжений и токов б) Условием наступления резонанса токов в схеме является равенство модулей мнимых составляющих комплексных проводимостей ветвей. Можно доказать, что этому условию соответствует соотношение Х / (R 2 1 + X 2 L )=X c /(R 2 2 + X 2 c ) , (3.29) где Х ωL; X c =1/ωC. В частном случае, если R 1 =R 2 = 0, резонанс токов наступит при условии ω 2 LC=1. (3.30) Очевидно, что резонанса токов в параллельной схеме можно достигнуть изменением частоты ω, либо изменением L, С, R 1 , R 2 или совместным изменением этих параметров. Следует обратить внимание на то, что ток в неразветвленной части схемы может быть по величине меньше, чем токи в ветвях. При R 1 =R 2 = 0 его значение приближается к нулю, а входное сопротивление на резонансной частоте стремится к бесконечности. В схеме последовательного соединения индуктивного и емкостного элементов (рис. 3.17) может наблюдаться резонансный режим, называемый резонансом напряжений. Рис. |