Основы электротехники. Учебник для высшего профессионального образования вт. Еременко, А. А. Рабочий, А. П. Фисун и др под общ ред вт. Еременко. Орел фгбоу впо Госуниверситет унпк, 2012. 529 с
 Скачать 7.28 Mb.
|
|
p = u i = -U I sin2 (ωt + α i ) . (2.46) Средняя мощность за период Р 0, а реактивная мощность (скорость поступления энергии в элемент P c = U I = ωCU 2 = b c U 2 . (2.47) 2.5. Мощности вцепи синусоидального тока Вцепи синусоидального тока понятие мощности расширяется по сравнению с понятием мощности вцепи постоянного тока [7] . Так называемая мгновенная мощность вцепи переменного тока определяется как произведение мгновенных значений тока и напряжения p(t) = u(t)*i(t). (2.48) Если напряжение и ток – синусоидальные функции, имеющие сдвиг по фазе, то выражение (2.48) можно представить в виде p(t) = U m I m sin (ωt + ψ i )sin (ωt + ψ i +φ), (2.49) где ψ i – начальная фаза тока U m – амплитуда напряжения I m – амплитуда тока φ – сдвиг по фазе, обусловленный наличием вцепи реактивных сопротивлений. Тригонометрическое преобразование выражения (2.49) дает p(t) = p 1 (t) + p 2 (t), где p 1 (t)= Р а [1- cos2 (ωt + ψ i )]; p 2 (t) = Р а tg φ sin2 (ωt + ψ i ); Р а = (U m I m cos φ) /2. (2.50) Величина Р а имеет положительный знаки равна среднему значению мощности p(t) за период, так как другие составляющие синусои- дальны и, следовательно, их среднее значение за период будет равно нулю. Это среднее значение называют активной мощностью. Единицей активной мощности является ватт (Вт. Записывая её через действующие значения тока и напряжения, будем иметь Р а =U I cos φ. (2.51) Знакопеременные составляющие мощности называют реактивной мощностью Q = U I sin φ , (2.52) где Q – реактивная мощность U – действующее значение напряжения I – действующее значение тока. Единицей реактивной мощности является Вар. В зависимости от знака угла φ реактивная мощность может иметь положительный или отрицательный знак. Произведение действующих значений тока и напряжения называют полной мощностью S = U*I = (Р + Q 2 ) 0,5 . (2.53) Единица полной мощности – вольт-ампер (ВА). Соотношение между мощностями можно показать на комплексной плоскости (рис. 2.17), если считать мощности комплексными величинами. В цепях переменного тока важное значение играет отношение активной мощности к полной, называемое коэффициентом мощности. Для синусоидальных токов cos φ = P/S. Рис. 2.17. Треугольник мощностей цепи синусоидального тока Чем больше cos φ, тем больше активная мощность, отдаваемая источником или потребляемая приёмником. Для повышения экономичности систем электроснабжения принимают специальные меры по увеличению коэффициента мощности. 2.6. Многофазные электрические цепи Особенности и свойства многофазных систем Цепи переменного тока позволяют строить многофазные системы, которые обладают преимуществами по сравнению с однофазными. При этом под однофазной цепью будем понимать электрическую цепь, в которой источник электрической энергии соединен с потребителем двухпроводной линией. Электрические цепи многофазных систем более сложны, так как соединения источника и приемника энергии осуществляются несколькими проводниками, число которых более двух. Основными преимуществами многофазных систем являются. Возможность получить вращающееся магнитное поле, что позволяет строить простые по конструкции и надежные в эксплуатации электродвигатели. 2. Многофазные системы позволяют путем выпрямления получить постоянный ток с малыми пульсациями и большой мощности. 3. Многофазные системы дают возможность экономии цветных металлов при передаче электроэнергии по проводным линиям. 4. Многофазные системы позволяют подключать к сети потребителей с разным номинальным напряжением. 5. Симметричные многофазные системы обеспечивают благоприятные условия работы генераторов и двигателей вследствие малых пульсаций вращающего момента. Многофазную электрическую цепь можно представить как совокупность нескольких однофазных цепей переменного тока, в которых действуют ЭДС одной и той же частоты. Практически повсеместно распространена трехфазная система, предложенная в 1890 – 1891 гг. русским электротехником М.О. Доливо-Добровольским. Способ создания трехфазной системы напряжений Трёхфазную систему напряжений можно получить, если расположить в металлическом корпусе три рамки из проводников (системы обмоток, сдвинутых друг относительно друга на 120º (рис. 2.18), и пересекать поочередно их плоскости магнитным полем, например, вращая постоянный магнит внутри корпуса с постоянной угловой скоростью ω. Рис. 2.18. Иллюстрация принципа получения трехфазной системы напряжений (аи векторные диаграммы ЭДС на комплексной плоскости (б При выбранном направлении вращения магнитного поля с угловой частотой ω поле пересекает сначала плоскость рамки АХ, потом ВУ, затем CZ и т.д. Если изменить направление вращения магнитного поля, то последовательность пересечения плоскостей рамок изменится АХ-СY-ВZ и т.д. Первый случай называют прямым порядком чередования фаз, второй – обратным. Согласно закону электромагнитной индукции, при пересечении магнитным полем плоскостей рамок на выводах рамок будут наводиться ЭДС, сдвинутые по фазе друг относительно друга и изменяющиеся по синусоидальному закону. Каждая рамка образует одноименную фазу, система состоит из трех фаз А, В и С. Трёхфазная система ЭДС будет выглядеть следующим образом е А =Е m sin(ωt+ψ); е В =Е m sin(ωt+ψ–2π/3); (2.54) е С = Е где Е m – амплитуда ЭДС ψ – начальная фаза ЭДС фазы А см. рис. 2.18). На практике фазы А, В, С образованы каждая не одной рамкой, а специально изготовленной обмоткой, состоящей из множества витков медного провода, и уложенной в пазы, выполненные на внутренней цилиндрической неподвижной части электрической машины (статора, а магнитное поле создается электромагнитом, размещенным на вращающейся части машины – роторе. Векторы, изображающие ЭДС или токи симметричной системы, образуют симметричную звезду (см. рис. 2.18), причем их векторная сумма должна быть равна нулю Е А +Е В +Е С = 0.(2.55) Сдвиг по фазе между векторами симметричной системы составляет. Такая система симметрична, так как сдвиги фаз ЭДС друг относительно друга одинаковы. В системах автоматики часто применяют двухфазную систему ЭДС (напряжений) (рис. 2.19) при сдвиге по фазе между ними α= π/2. Рис. 2.19. Двухфазная система ЭДС Двухфазная система несимметрична, так как сдвиги фаз ЭДС друг относительно друга неодинаковы. Соединения источников и приемников в трехфазной системе В трехфазной системе обычно используют два наиболее распространенных соединения звездой либо треугольником. Если концы фаз генератора, (или приемника) соединены в одну точку, называемую нейтральной, получим соединение звездой (рис. 2.20). Рис. 2.20. Трехфазная система, соединенная звездой, и векторная диаграмма напряжений в симметричной системе Провод ОО / , соединяющий нейтральные точки генератора и приемника, называют нейтральным, а остальные провода – линейными ЭДС, напряжения и токи, имеющие место в фазах генератора или приемника, называют фазными Е Ф , Ф, Ф. Токи в линейных проводах и напряжения между ними называют линейными U АВ , U ВС , U СА Линейные ЭДС или напряжения считаются условно положительными, если их стрелки направлены от предыдущей фазы к последующей. Фазные напряжения будем считать положительными, если их стрелки направлены от конца фазы к ее началу. В этом случае можно записать (согласно направлению стрелок напряжений на рис. 2.20). U AВ =U В –U А U ВС =U C –U В (2.56) U CA =U A –U C По векторной диаграмме можно получить соотношение между действующими (или амплитудными) значениями фазных и линейных напряжений. U л =U AB =U BC =U CA = 3 U Ф . (2.57) Присоединении звездой фазные токи равны линейным по модулю, а для симметричной системы ток в нейтральном проводе отсутствует В С 0. Если конец каждой фазы генератора или приемника соединить с началом следующей фазы, образуя замкнутый контур, то получим соединение треугольником (рис. 2.21). По схеме треугольника могут соединяться как источники таки потребители. На практике используются сочетания соединений источников и потребителей звезда – треугольник, треугольник – звезда, звезда – звезда, треугольник – треугольник Рис. 2.21. Трёхфазная система, соединённая треугольником аи векторная диаграмма токов (б) Для узлов а, в, сможем записать Аса - ί ав ; ί В =ί ав – ί вс ; (2.58) ί С =ί вс – ί са ; В комплексном виде уравнения для токов примут вид I а =I са –I ав ; I в =I ав –I вс ; (2.59) I c =I вс –I cв Из диаграммы токов находим I л = 3 I ф , (2.60) где л – линейный ток , л ф – фазный ток, I Ф =I ав =I вс =I cа Линейные и фазные напряжения присоединении треугольником одинаковы U л =U ф . (2.61) Мощность в трехфазной системе Для трехфазной симметричной системы Р= 3 U л I л cosφ Q= 3 U л I л sinφ (2.62) S= 3 U л I л = 2 Р где Р – активная мощность симметричной трехфазной системы Q – реактивная мощность S – полная мощность φ – сдвиг по фазе между фазным напряжением и фазным током. В общем случае для несимметричной фазной системы при любом способе соединения мощности определяются по выражениям Р= m к 1 U фк I фк cosφ к ; (2.63) к 1 U фк I фк sinφ к , где U фк , I фк , к – фазные напряжение и ток к-й фазы генератора и сдвиг по фазе между ними. 3. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 3.1. Частотные характеристики электрической цепи Ранее было выяснено, что частота существенно влияет на параметры электрической цепи комплексные сопротивления и проводимости это функции частоты. Наиболее важны зависимости от частоты амплитуды и фазы синусоидальных величин, так как они позволяют оценить поведение цепи в заданной полосе частот. Для этого используют два основных вида частотных характеристик амплитуд- ночастотные (АЧХ) и фазочастотные (ФЧХ). АЧХ показывает зависимость амплитуды или модуля комплексной величины от частоты. ФЧХ – это зависимость фазы от частоты. В качестве примера определим частотные характеристики простой последовательной RL- цепи (рис. 3.1). Рис. 3.1. Последовательная RL- цепь Реакция цепи – ток, поэтому построим зависимость от частоты комплексной проводимости Y = 1 /Z, где Z – комплексное сопротивление последовательной RL- цепи, Z = R + j ωL. Y(jω) = 1/(R + jωL) = R/(R 2 +ω 2 L 2 ) – jωL/(R 2 +ω 2 L 2 ). (3.1) Имея конкретные численные значения, можно построить зависимости реальной и мнимой частей комплексной проводимости от угловой частоты . Для получения обобщенных зависимостей обычно удобнее величины выражать в относительных единицах, введя нормировку частоты и сопротивления [26]. Нормировка состоит в том, что выбираются некоторая базисная частота 0 и сопротивление Z 0 и определяются относительные (безразмерные) нормированные значения частоты, сопротивления и проводимости. Абсолютные значения частоты и сопротивления в этом случае определяются по выражениям ω=ω * 0 , Z = Z * Z 0 , где ω * – нормированное значение частоты Z * – нормированное значение сопротивления. Сделаем, например, нормировку выражения комплексной проводимости, полагая, что нормированное значение проводимости Y * = Выберем Y 0 =1/R, 0 = R/L, тогда с учётом (3.1) получим Y * = 1/(1+ jω * ) = 1/(1+ ω *2 )- jω * /(1+ ω *2 ) (3.2) Выражение (3.2) представляет комплексную величину Y * в алгебраической форме и может использоваться для построения зависимости реальной и мнимой частей от частоты ω * (рис. 3.2, б. Зависимость модуля и аргумента комплексной проводимости от частоты соответственно АЧХ и ФЧХ) удобно строить по экспоненциальной форме представления Y * = exp(-jarctgω * )(1+ω *2 ) 0,5 (3.3) Рис. 3.2. Амплитудночастотная Y * (ω * ) и фазочастотная ψ(ω * ) характеристики комплексной проводимости последовательной цепи аи зависимости модулей реальной ReY * и мнимой ImY * частей проводимости от частоты б) Часто используется АФЧХ – амплитудно-фазочастотная характеристика, (рис. 3.3), представляющая собой годограф вектора комплексной величины на комплексной плоскости (в данном случае – это годограф вектора комплексной проводимости. Рис. 3.3. АФЧХ последовательной цепи Крайние точки АФЧХ определяются по физическому смыслу конкретной цепи в данном случае если ω * = 0, то ω * L= 0, цепь обладает только активным сопротивлением. Если ω * = ∞, то для переменного тока это разрыв цепи, Y=0, Ψ = - Показательны в отношении частотных характеристик характеристики колебательных контуров. Важнейшее свойство простых колебательных контуров состоит в том, что они обладают частотной избирательностью например, последовательный резонансный контур пропускает сигналы, частоты которых близки к резонансной, и задерживает сигналы с частотами, отличными от не. Частотная избирательность обусловлена изменением реактивной составляющей сопротивления при отклонении частоты от резонансной X(ω) = X L – X C = ωL – 1/ ωC (3.4) Индуктивная составляющая реактивного сопротивления растет линейно с увеличением частоты, емкостная – спадает по гиперболическому закону (рис. 3.4). Рис. 3.4. Зависимости от частоты реактивных сопротивлений аи определение полосы пропускания последовательного резонансного контура б) Величину диапазона частот ∆ω * ,определённую на уровне 2 1 , принято считать полосой пропускания контура. Полосу пропускания можно характеризовать относительной шириной резонансной кривой, причем ∆ω * = ∆ω/ ω 0 = 1/Q , (3.5) где Q – добротность контура – величина, обратная относительной ширине резонансной кривой ω 0 – резонансная частота. Высокая добротность сужает частотную полосу (повышает частотную избирательность) в околорезонансной области (рис. 3.4, б. 3.2. Описание электрических цепей на основе передаточных функций В предыдущих разделах рассматривались способы описания электрических цепей с помощью уравнений, связывающих входные и выходные величины, представляемыми комплексными амплитудами. Это был частный случай представления синусоидальных воздействий и реакций. В общем случае для описания электрических цепей (устройств) используются системы дифференциальных уравнений. Для примера определим реакцию, например U вых , какой-либо электрической цепи на некоторые воздействия, например U вх.1 , U вх.2 . Условимся символ дифференцирования для упрощения записи обозначать d i /dt i = p i , где i может изменяться от 1 до n, р – оператор дифференцирования. Тогда так называемое операторное уравнение, характеризующее поведение рассматриваемой цепи (устройства, примет вид (a n p n + a n-1 p n-1 +…+a 1 p 1 + a 0 )U вых = (b m p m + b m-1 p m-1 +…+ b 0 )U вх1 + с + c k-1 p k-1 +…+c 0 )U вх2 (3.6) Передаточной функцией называется отношение операторного выражения (изображения) выходного параметра к изображению одного входного параметра (возмущения) при условии, что второй параметр равен нулю. Например, в нашем случае передаточная функция устройства по выбранному входному параметру U вх1 определяется следующим выражением W 1 (p)= U вых / U вх1 = (b m p m + b m-1 p m-1 +…+ b 0 )/(a n p n + + a n-1 p n-1 +…+a 1 p 1 + a 0 ) (3.7) Передаточная функция по второму параметру U вх2 будет выглядеть следующим образом W 2 (p) = U вых / U вх2 = с p k + c k-1 p k-1 +…+c 0 )/(a n p n + + a n-1 p n-1 +…+a 1 p 1 + a 0 ) (3.8) Используя передаточные функции (3.7), (3.8), операторное уравнение (3.6) можно представить в более компактном виде U вых = W 1 (p)U вх1 + W 2 (p)U вх2 (3.9) Следует отметить, что полученное выражение справедливо только при нулевых начальных условиях для исходных дифференциальных уравнений. Из алгебры известно, что полином любой степени может быть представлен в виде произведения простых множителей вида (αs 2 + βs+ + γ) , где любой из коэффициентов α, β, γ может быть равен нулю. В таком случае описание любого устройства в виде передаточной функции может быть сведено к выражению вида k d W(p) = ∏ N i (p) / ∏ N q (p), (3.10) |