Комплекс по сф. и терм. Учебнометодический комплекс по статистической физике и термодинамике область знания 100000 Образование Область образования 140000 Подготовка учителей и педагогика
 Скачать 1.82 Mb.
|
|
Вопросы контроля: 1. Чего изучает статистическая физика термодинамика? 2.Какова связь статистической физики и термодинамики с лругими науками? 3. Чего означают основные законы термодинамики? 4. В чем сущность статистических теорий? 5. Назовите этапы развития статистической физики и термодинамика? 1 – группа . Заполняйте таблицу по технологии ФСМУ: Вопрос Чего изучает статистическая физика и термодинамика? (Ф) Изложите свои мысли . (С) Укажите причину своих мыслей. (М) Приведите доказательство своих мыслей. (У) Обощайте свои мысли. Содержания и сущность статистической физики и термодинамики. Общая физическая теория систем, состоящие из огромного числа частиц называется – статистической физикой и термодинамикой. Кўп зарралардан иборат системаларнинг умумий физик назариясига – статистик физика 15 дейилади. Объектом статистической физики и термодинамики является газы и жидкости, твердые тела, плазма, электроны в металлах, электромагнитное излучение, звѐзды и их системы и др. Изучение свойств частиц, составляющие их и определение на их основе макроскопических свойств рассматриваемых систем составляет предмет статистической физики. Следовательно, статистическая физика изучает систем, состоящие из большого числа молекул, атомов, ионов и др. Основная задача статистической физики – нахождение и объяснение макроскопических свойств изучаемых систем на основе свойств частиц, из которых они состоят. Такая постановка задачи следует из реальности микрочастиц , т.к. в одном моле любого вещества имеются их число, равное числу Авогадро, т.е. N А =6,023 10 23 моль -1 , в нормальных условиях в 1 см 3 воздуха имеется число частиц, равное числу Лошмидта, т.е. N л =2,69 10 19 . Такие системы частиц имеют свои особенности, для нахождения их недостаточно знание законов механики и их взаимодействия. Если конкретизировать, таких систем невозможно изучать механическим путем. Если попытаться описывать состояния таких систем механическим путем, то следует написать число уравнений Ньютона, равное трехкратному числу Авогадро или Лошмидта. Кроме этого, следует интегрировать их с учетом столько же начальных условий, этого практически невозможно выполнить, для этого не хватить жизнь человека. Поэтому, для рассмотрения таких систем, вместо динамических методов, следует применять соответствующий метод. При этом необходимо учитывать, что состояние каждой частицы носсит случайный характер, поэтому невозможно заранее предсказать, но для этого следует применять соответствующие им статистические методы. Это позволяет использовать вероятностно-статистических методов, где основной задачей является нахождение соответствующих функций распределений. Следовательно, молекулярно-кинетическая теория веществ является статистической теорией. Это теория основывается на нахождение средних значений и вероятности, еѐ основу составляет теория вероятностей и математическая статистика. Следовательно, статистическая физика является статистической теорией системы многих частиц. Конкретным примером этому можно показать молекулярно-кинетическую теорию. Именно Максвелл в 1859 году вводя статистический метод в МКТ, нашел свои функции распределения по скорости, после этого МКТ получил статус настоящей физической теории. Статистическая физика непосредственно связана с термодинамикой, которая возникла как наука, в результате обобщения опытных фактов. Они отличаются друг от друга только методами исследования. Параметры Р,V, T , с помощью которых определяется состояния системы, находятся из опыта, а их функциональная связь (р,v,т) 0, называется уравнением состояния. Если ситема находится в состоянии термодинамического равновесия, то вычисленные средние 16 значения физических величин должны соответствовать результатам термодинамики. Если подходит задаче с точки зрения теории познания, методы термодинамики являются эмпирическими, а методы статистической физики теоретическими. Поэтому, статистическую физику рпавновесных состояний называют статистической термодинамикой. В настоящее время развита и термодинамика и статистическая физика неравновесных состояний, поэтому самостоятельно называется термодинамикой и статистической физикой неравновесных состояний. Применение квантовой теории в статистической физике привело к появлению и развитию квантовой статистической физики. Только статистическая физика способствовала раскрытию содержания и смысл таких параметров, как Т, Р, S. В некоторых книгахпишут о том, что различие между классической и квантовой статистической физикой состоит в использованиии законов движения частиц. Если глубоко вникнуть, то следует, что это различие связано с различимостьб и неразличимостью частиц. В классической статистике все частицы считаются различимыми, а в квантолвой статистике их считают одинаковыми. Квантовая статистика является более общей теорией, поэтому из неѐ следует все результаты классической статистики. 17 2-тема. Возникновение классической статистической физики. Фазовое пространство, фазовая точка, фазовая траектория, статистический ансамбль. Теорема Лиувилля. ( 2 соат) Время – 2 часа Количество студентов : 50-55 Форма учебного занятия Введение, визуальная лекция. План лекции 1. Возникновение и развитие классической статисти- ческой физики. 2. Невозможность механического определения состояния систем из многих частиц. 3. Фазовое пространство, фазовая точка, фазовая траектория и статистический ансамбль. 4. Теорема Лиувилля. Эргодическая теорема. Цель учебного занятия: Ознакомление студентов каким образом Гиббсом была создана классическая статистическая физика, какие понятия для этого были введены им, в чем состоит основная задача статистической физики. 18 План: 1. Возникновение и развитие классической статистической физики. 2. Невозможность определения состояния системы многих частиц механическим путем. 3. Фазовое пространство,фазовая точка, фазовая траектория и статистический ансамбль. 4. Теорема Лиувилля. Эргодическая гипотеза или теорема. Цель занятия: Ознакомление студентов каким образом Гиббсом была создана классическая статистическая физика, какие понятия для этого были введены им, в чем состоит основная задача статистической физики. Результаты учебной деятельности Студент: - Подробно ознакомится с понятиями Фазовое пространство, фазовой точкой, фазовой траекторией и статистическим ансамблем. - Изучает понятий функция распределения и плотность вероятности. - Узнаѐт о размерности фазового пространства. - Убеждается о невозможности механического определения состояния системы из большого числа частиц. Вопросы контроля 1. Чего Вы понимаете под статистическими величинами? 2. Как Вы представляете фазовое пространство? 3. Какова размерность фазового пространства? 4. Как определяется состояния системы в фазовом пространстве? 5. Что Вы понимаете под фазовой точкой, фазовой траекторией и статистическим ансамблем? Классическая статистическая физика была создана в 1902 году американским физиком Джозайя Виллард Гиббсом на основе обобщения молекулярно-кинетической теории. Для этого он ввел следующие понятия: фазовое пространство, фазовая точка, фазовая траектория, статистический ансамбль с которыми будем подробно ознакомиться. Для определение состояния одной движущийся частицы, из механики известно, что необходимы знания координат х,у,z и импульсов р х , р у , р z . В статистической физике имеем дело с системами имеющие N частиц, поэтому для рассмотрения таких систем мы должны знать 6N координат. Поэтому вводятся следующие обобщенные координаты и импульсы: х 1, у 1 ,z 1 ; х 2 ,у 2 ,z 2 ; …… х N, у N ,z N → q 1 , q 2, q 3 … q 3N - обобщенные координаты; р 1х , р 1у , р 1z ; р 2х , р 2у , р 2z ; ... р Nx , p Nу , р Nz → p 1 ,p 2 ,p 3 …p 3N – обобщенные импульсы. Поэтому такое 6N мерное пространство называется фазовым пространством. Каждое микросостояние системы изображается одной точкой, которая называется фазовой точкой. Элемент обѐма в фазовом пространстве обозначается следующим образом: 19 1 ·dq 2 ···dq 3N · dp 1 · dp 2 ··· dp 3N или вкратце dГ dq·dp. Каждое из этих 6N координат являются случайными, потому что, невозможно предсказать какие значения в рассматриваемый момент они принимают. С течением времени состояния фазовой точки изменяется, следовательно, они оставляют свой след в фазовом пространстве, который называется фазовой траекторией. Совокупность всех фазовых точек или микросостояний соотвествующий рассматриваемой системе называется статистическим ансамблем. Основная задача статистической физики заключается в нахождении функции распределения фазовых точек в фазовом пространстве. Вероятность нахождения системы или фазовых точек в элементе фазового пространства dГ равна dW(q 1 ,q 2 ,…q 3N ;p 1 ,p 2 ,…p 3N )=f(q 1 ,q 2 ,…q 3N ;р 1 ,р 2 ,...р 3N ) dГ(q 1 ,q 2 ,…q 3N ;р 1 ,р 2 ,...р 3N ), если переписать это выражение в компактной форме то будет иметь следующий вид dà p q f p q dW ) , ( ) , ( (1) где f (q,p) называется плотностью вероятности или функцией распределения в 6N мерном фазовом пространстве, т.е. dà p q dW p q f ) , ( ) , ( ( 2 ) Причиной обозначения фазового пространство буквой Г связано с первой буквой слово ―газ‖. Согласно теореме сложаения вероятностей ,вероятность нахождения системы в Г пространстве 1 ) , ( ) , ( ) ( ã dà p q f p q dW à W (3) которое называется условием нормировки. Таким образом, для каждой точки статистического ансамбля или каждому микросостояниюсистемы можно найти: если ансамбль непрерывний плотность вероятности, если ансамбль дискретный то вероятность ∑ Таким образом, задачу об исследовании систему многих частиц можно привести статистическому описанию через функции распределения f (q,p). Здесь следует отметить что, с течением времени в связи с изменением место фазовой точки в фазовом пространстве может изменяться и элемент объѐма занимаемой ими, чему посвящена теорема Лиувилля. Рассмотрим поведение фазовых точек в элементе объѐма dГ dq 1 Согласно теореме Лиувилля, местофазовых точек в элементе объѐма dГ с течением времени может изменяться, при этом форма элемента объѐма изменяется произвольно, но его величина не изменяется. Теперь докажем эту теорему. Известно, что число микросостояний или фазовые точки соответствующие каждому макросостоянию не исчезают и не возникают, другими словами они сохраняются. Следовательно, число фазовых точек в элементе объѐма dГ может изменяться за счет втекания или 20 вытекания из определенной поверхности S 1 и S 2 в 6N мерном пространстве. т е S 1 = 1 , S 2 = 1 и будем считать плотность фазовых точек равна ρ . Число фазовых точек втекающие через поверхность S 1 равно 1 ! ) , ( S x t x i ( 1 ) Число вытекающих фазовых точек из поверхности S 2 равно 2 ! ] ) ( [ S x x t x i i i ( 2 ). Следовательно, разность втекающих и вытекающих фазовых точек равна i i x x ) ( ! (3) Это есть изменение фазовых точек только по одному направлению, в фазовом пространстве таких направлений 6N, поэтому изменения по всем направлениям равно 0 ) ( 6 1 ! N i i x x t (4) Это выражение представляет собой обобщение уравнения непрерывности для трехмерного пространство + div для фазового пространства. Если переписать (4) через обобщенные координаты и обобщенные импульсы, то приобретает следующий вид ∑ ) + ∑ (5) Первые два слагаемые этого выражения представляет собой , поэтому ∑ ) = 0 (6) Если воспользоватся каноническими уравнениями Гамильтона = , то следует Следовательно, плотность фазовых точек с течением времени не изменяется, поэтому следует что t dà dà 0 , т.е., несмотря на то, что форма элемента фазового объѐма с течением времени изменяется произвольно, его численная величина остаѐтся постоянной, что подобно движению несжимаемой жидкости. Одним из следствий, вытекающие из этой теоремы, равенство вероятностей фазовых точек, находящийся в равных объѐмах, второе, функция распределения должна выражаться такой комбинацией q i ,p i , с течением времени она должна оставаться постоянной, другими словами она должна быть интегралом движения. 21 Известно, что число микросостояний соответствующие одному макросостоянию реалной системы, можно рассматривать как совокупность массовых случайных событий. Следовательно, все фазовое пространство состоит из совокупности случайных событий. Функция распределения способствует не только определению вероятности каждого микросостояния, но и позволяет определить среднее значение физических величин, относящиеся микросостоянию. Произвольная физическая величина F зависит от 6N q, p микроскопических переменных, которые в свою очередь зависят от времени, т.е. F (q(t),p(t)) = F (q 1 , q 2 ,…q 3N , p 1 , p 2 ,…p 3N , t ) (1) Поэтому, F тоже непрерывно изменяется по времени. Однако, во всех опытах измеряется не мгновенное значение физических величин, а их среднее значение. В частности, для измерения давления газа потребуется определенное время . В течение этого времени система побывает в определенном микросостояниях и в фазовом пространстве создает определенную траекторию. Для определения среднего значения какого-та параметра, необходимо найти его среднее значение по времени, т.е ‹ F t › ∫ Однако, такой путь является сложным, потому что для этого нужно знать всех 6N микроскопических параметров. Поэтому в статистической физике физические параметры находятся для всего ансамбля. Для произвольной величины F среднее по ансамблю равно ‹ F q.p › ∫ (3) Следовательно, принимается, что ‹ F t › ‹ F q,p › , которая называется эргодической гипотезой или теоремой. Контрольные вопросы: 1. Какие величины называются вероятностно-статистическими? 2. Как Вы представляете себе статистическую и термодинамическую систему? 3. Почему Гиббс для создания классической статистической физики ввел понятие фазового пространства? 4. Как Вы представляете фазовую точку и в чем смысл этого понятия? 5.Что такое фазовая траектория и как она возникает? 6.Как Вы понимаете статистический ансамбль? 7. Как находится вероятность нахождения системы в фазовом пространстве? 22 23 24 3-лекция. Микроканоническое, каноническое и большое каноническое распределения Гиббса. Интеграл состояния и его связь со свободной энергией. ( 2 соат) Цель занятия: Ознакомление студентов с основными функциями распределения Гиббса, которые составляют основы статистической физики, раскрытие физического смысла их параметров а также со связью свободной энергии с интегралом состояния, которая является основным выражением статистической термодинамики. Результаты учебной деятельности : - Студенты ознакомятся с функциями распределения Гиббса и их особенностями и различием. -Усваивает физический смысл параметров этих распределений. - Узнаѐт различные виды интеграла состояния. - Конкретно представляет связь свободной энергии с интегралом состояния. Вопросы контроля: 1. Что Вы понимаете под статистической величиной? 2. Как Вы представляете фазовое пространство и для чего оно введено? 3. Какова размерность фазового пространства и как определяется? 4. Как определяется состояние системы в фазовом пространстве? 5. Что Вы понимаете под фазовой точкой , фазовой траекторией статистическим ансамблем? 25 1. Изолированная система. Микроканоническое распределение. Согласно одному из следствий теоремы Лиувилля, фазвые точки в равных фазовых объѐмах равновероятны, а во вторых функция распределения является интегралом движения т.е. функция распределения должна изображаться такими комбинациями q, p, которое не должно изменятся для системы с течением времени. Вид функции распределения зависит от состояния рассматриваемой системы. Например, для изолированной системы т.е. для системы с постоянной энергией и числом частиц, которая называется адиабатической вводится микроканоническая функция распределения. Согласно определению, для изолированной системы энергия Е Е 0 = const, число частиц N = const. В этом случае микросостояния системы являются равновероятными или все они имеют одинаковую вероятность т.е. W 1 = W 2 = W 3 ….. W i . Согласно условию нормировки ∑ ∑ ∑ (1) В некоторых книгах микроканоническое распределение Гиббса пишется через дельта функцию Дирака и выглядит следующим образом (q,p) Если рассмотреть распределение фазовых точек в фазовом пространстве сферы с радиусом Е 0 , то они распре- деляются по тонкому слою, как показано на рисунке 1. |