Тема: Теорема о равномерном распределении энергии по степеням
свободы.
План :
1.Применение этой теоремы в МКТ.
64 2.Доказательство теоремы в классической статистической физике.
3. Применение результатов теоремы к теплоѐмкости.
Цель занятия. Состоит в показедоказательство теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы в классической статистической физике и применение еѐ результатов к теплоѐмкости.
Контрольные вопросы
1. В чем смысл теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы?
2. Как применяется эта теорема в МКТ?
3. Как доказывается эта теорема в классической статистической физике?
4. Как применяется эта теорема для объяснения теплоѐмкости газов?
5. Как можно применит эту теорему для объяснения теплоѐмкости твердых тел?
Теорема: На основе классической статистической физики можно доказать, что на каждую степень свободы системы соответствует энергия равной кТ/2 .
Для доказательство этой теоремы запишем, что в статистическоц физике на к – тую степень свободы соответствует средняя энергия равной
=
=
∫
∫
( 1 )
)
2
(
2 1
2 2
2 2
2
k
m
p
k
m
p
k
k
dp
e
dp
e
p
m
E
k
k
Если вычислить эти интегралы используя интеграл Пуассона, то получим
2 2
kT
E
k
Таким образом, на каждую степень свободы системы соответствует средняя энергия равной кТ/2 . Этот результат известен студентам из МКТ.
Если система обладает f степенью свободы, то энергия приходящиеся на эти степени свободы равна
= f
. Если применить результат этой теоремы к объяснению теплоѐмкости твердых тел, то получим закон
Дюлонга-Пти.
Если применит эту теорему к объяснению температурной зависимости теплоѐмкости многоатомных газов, то на вращательную степень свободы соответствует энергия, равной кТ/2, а для колебательной степени свободы кТ, что доказывается в квантовой статистической физике.
65
Контрольные вопросы:
1. В чем сущность теоремы о равномерном распределении энергии по степеням свободы?
2. Какое место занимает эта теорема в МКТ?
3. Как доказывается эта теорема в классической статистической физике?
4. Как приеняется эта теорема для объяснения теплоѐмкости многоатомных газов?
5.Как применяется эта теорема для объяснения теплоѐмкости твердых тел?
14-тема.
Равновесие фаз. Правло фаз Гиббса. Фазовые переходы 1 –го и
2 – го рода.
( 2 часа)
Время – 2 часа.
Количество студентов: 50-55
Форма учебного занятия.
Введение, визуальная лекция.
План лекционного занятия.
1. Фаза и компонента, определения гомогенной и гетерогенной системы.
2. Равновесие фаз и Правило фаз Гиббса.
3. Фазовые переходы 1 – рода и уравнение
66
Клапейрона-Клаузиуса.
4. 2 – тур фазовые переходы 2 – рода и уравнения
Эренфеста..
Цель учебного занятия. Состоит в объяснениифазы и компонента, гомогенной и гетерогенной системы, вывода правило фаз , Изложение фазовых переходов 1 – го и 2-го родов, а также уравнений Клапейрона-Клаузиса и
Эренфеста.
Тема: Равновесие фаз. Правило фаз Гиббса. Фазовые переходы 1 – го и 2 – го рода. План: 1.Фаза и компонента, гомогенные и гетерогенные системы.
2.Равновесие фаз и правило фаз Гиббса.
3.Фазовые переходы 1 – го рода и уравнение Клапейрона-Клаузиуса.
4.Фазовые переходы 2 – го рода и уравнения Эренфеста.
Цель занятия: Ознакомление студентов с
понятиями Талабаларни фаза и компонента, гомогенные и гетерогенные системы, нахождением прапвило фаз Гиббса, а также с фазовыми переходами 1 – го и 2 – рода и их особенностями и уравнениями Клапейрона-Клаузиуса и Эренфеста.
Контрольные вопросы 1. Как Вы понимаете фазу и компоненту, гомогенные и гетерогенные системы?
2. Фазалар мувозанати ва Гиббснинг фазалар қоидасини қандай тушунасиз?
3. 1-тур фазавий ўтишларнинг асосий белгилари нималардан иборат?
4. Клапейрон-Клаузиус тенгламаси нимани ифодалайди?
5. 2-тур фазавий ўтишлар нима ва у қандай тенгламалар билан ифодаланади?.
Равновесная теория сложных термодинамических систем была разработана Гиббсом, в основе которой лежат понятия фаза и компонента,
Мураккаб термодинамик системаларнинг мувозанат назарияси Гиббс томонидан яратилган бўлиб, унинг асосида фаза ва компонента, гомогенные гетерогенные системы.
1. Фазой называется часть системы котрая выделяется друг от друга видимой поверхностью, которых можно разделить механическим путѐм.
В качестве примера можно привести следующие:, жидкость и еѐ пар; смесь водаы с маслом; вода ртуть в одном сосуде; систему воды с различными предметами и др.
2. Компонентой называется структурные элементы системы, которые независимо и самостоятельно участвуют в образовании системы, следует привести различные примеры.
3. Гомогенной системой называется однороднаф система, а гетерогенной многородная система. Если система находится в равновесии , то еѐ термодинамические потенциалы должны проходит экстремума, т.е. dU = 0, d F = 0, dG = 0, d H = 0, d S = 0 ( 1 )
67
Пусть система состоит из r фаз ва n компонентов, для нахождения условие равновесия воспользуемся внутренней энергией. Изменение внутренней энергии для такой системы выглядит следующим образом
= T
1
dS
1
- P
1
dV
1
+ d
+ d
+ …. + d
= T
2
dS
2
- P
2
dV
2
+
+ d
+…. +
} ( 2)
…………………………………………………………………………. dU
r
= T
r dS
r
- P
r dV
r
+ d
+ d
+ … + d
Если сложить эти уравнения, то она должна равняться нулю, так как система находится в равновесии, из этого следует что для каждой фазы и компоненты давление и температура , а также ъхимический потенциал должен быть одинаковым, т.е.
Т
1
Т
2
= T
3
…… T
r
P
1
= P
2
= P
3
…… P
r
=
=
……
} (3)
…………………………………..
=
=
…..
Число уравнений в этой системе равно n(r – 1), а число неизвестных r n + 2,
Если перейти к относительному химическому потенциалу, то число неизвестных равно [r(n – 1) + 2] , Как известно, чтобы систеиа имела решение должно выполняться условие n(r – 1) r (n – 1) + 2 ѐки r n + 2 (4) которое называется Правилом Гиббса. а N = n – r + 2 называется термодинамической степенью свободы.
Потом излагается фазовые переходы 1-го и 2-го рода, котрые характеризуются уравнениями Клапейрона-Клаузиуса и Эренфеста.
Контрольные вопросы
1. Какое определение даѐтся понятиям фаза и компонента?
2. Как Вы понимаете гомогенные и гетерогенные системы?
3. Как находится правило фаз Гиббса?
4. Как можно найти уравнение Клапейрона-Клаузиуса?
5. Каковы основные признаки фазовых переходов 1- и 2- го рода?
6. В чем сущность уравнение Ван-дер-Ваальса?
68
15-тема.
Функции распределения квантовой функции. Бозоны и
фермионы.
( 2 часа)
15-1. Технология обучения лекционного занятия.
Время – 2 часа
Количество студентов : 50-55
69
Форма учебного занятия.
Введение, визуальная лекция.
План лекционного занятия.
1. Нахождение функций распределения квантовой статистики.
2. Сопоставление классической и квантовой статистики.
3. Применение статистики Бозе-Эйнштейна.
4. Применение статистики Ферми-Дирака.
Тема: Функции распределения квантовой статистики. Бозоны и
фермионы.
План:
1.Нахождение функции распределения квантовой статистики.
2. Сопоставление функций распределения классической и квантовой статистики.
3. Применение статистики Бозе-Эйнштейна.
4. Применение статистики Ферми-Дирака.
Цель занятия.
Изложение студентам возникновение и развитие квантовой статистической физики в основе которой лежит квантовая механика, по этому при нахождении функций распределений квантовой механики удобным является квантомеханический подход. На основе квантовой статистики можно решить многие проблемы, которые невозможно решить в рамках классической статистической физики.
Контрольные вопросы
1. Чего изучает квантовая статистическая физика?
2. Как сопоставляются функции распределения классической и квантовой статистики?
3. Каким явлениям применяется статистика Бозе-Эйнштейна?
4. Каким явлениям можно применить статистику Ферми-Дирака?
5. При выполнения какого условия функции распределения квантовой статистики переходит в классическую функцию распределения?
Исходя из квантовой мсеханики, пусть системы частиц распределены по энергетическим уровням следующим образом
,
,
, ...
, ... ( 1 )
Число частиц на этих энергетических уровнях
,
,
, …
,… (2)
Пусть нас интересуют частицы на уровне
, еѐ будем считать частью системы, применим для неѐ большое каноническое распределение Гиббса,
Учитывая, что
=
·
,
=
·
, можно переписать большое каноническое распределение следующим образом
70
(
) =
=
( 2 )
Если найти исходя из условие нормировки Z , то получим
Z = ∑
( 3 )
Обычно нас интересует среднее число частиц на уровне, согласно определе- нию
=
∑
= ∑
/ ∑
( 4 )
Числитель (4) выражения можно выразить через знаменатель следующим образом
=
( 5 )
1. Из квантовой механики известно, что при рассмотрении системы частиц следует, что их состояния выражается симметричной и антисимметричной волновой функцией.
Если состояния системы описывается антисимметричной волновой функцией, они подчиняются принципу Паули, т.е.
= 0, 1. Если найти для этого случая Z , то получим
Z = 1 +
( 6 )
Используя это выражение для среднего числа частиц на уровне получим
(
) = 1 / (
+ 1) ( 7 ),
Это представляет собой функцию распределения Ферми-Дирака.
Этой функции распределения
подчиняются частицы обладающиен полуспином, которые называются фермионами. Эту функцию распределения нащел в 1926 году Ферми для электронов, а Дирак объяснил еѐ на основе квантовой механики.
Состояния частиц которое определяется симметричной волновой функцией, на каждом уровне могут расположено сколь угодно, т.е.
= 0, 1, 2, 3, … . В этом случае статистическая сумма ( 3 ) представляет собой геометрическую прогрессию, а еѐ сумма равна
Z = 1 / 1 -
( 8 )
,если еѐ подставить (4) , то получим
=
(
) = 1 / (
- 1) ( 8 )
, который называется функцией распределения Бозе-Эйнштейна, частицы которые подчиняются этой функции распределения называются бозонами, которые обладают целочисленным спином. Эта функция распределения была найдена в 1924 Бозе, а Эйнштейн еѐ обобщил к другим частицам.
Следует отметить, что если в классической статистической физике все частицы системы являются различимыми, то в квантовой механики все частицы считаются одинаковыми. Следовательно, Различие функций распределения связано с природой и свойствами микрочастиц. Их сопоставление поеазывает, что распределения Максвелла-Больцмана является частным случаем функций распределения квантовой статистики, их сопоставление показывают что, распределения Максвелла-Больцмана является частным случаем функций распределений функций распределения квантовой статистики. Эти статистики совпадают при выполнении следующего условия
(
1 ( 9 )
Если для квантовых систем выполняется это условие, то для них можно использовать распределение Максвелла+Больцмана. Поэтому это условие
71 называется условием вырождения. При высоких температурах если пользоваться распределеним Максвелла-Больцмана, то при низких температурах это условие нарушается, т.е проявляются квантовые эффекты, другими словами начинаетс вырождение. Чем меньше масса частиц и больше , вырождение начинается тем быстрее. Например, для элекутронного газа температура вырождения равна 2000 ÷ 3000 К , т.е. электронный газ в обычных температурах является вырожденным. Затем излагается применение статистики Бозе-Эйнштейна для фотонного газа и статистики
Ферми-Дирака.
Контрольные вопросы
1. Как нужно понимает бозонный газ?
2. Какие частицы называются фермионами?
3. Как находятся функции распределения квантовой статистики?
4. В чем смысль функции распределения Бозе-Эйнштейна?
5. Чего означает функция распределения Ферми-Дирака?
72
Применение статистики
Ферми-Дирака.
1.Применение статистики Ферми-Дирака к электронному газу в металлах.
2.Ферми – газ при абсолютном нуле.
3.Термодинамика Ферми – газа при низких температурах.
4. Энергетические зоны в кристаллах.
Цель занятия: Состоит в изложении студентам применения статистики
Ферми-Дирака, к различным явлениям, в частности электронному газу в металлах, а также явлениям которые не могла объяснить классическая статистическая физика.
Как мы знаем, что функция распределения Ферми-Дирака имеет следующий вид тақсимот
( 1 ) при Т 0 ( 1/ kT → ) превращается в ―ступенчатую ― функцию, т.е. при
( = 1; а при становится (
= 0 . При Т , вокруг ―ступенчатой ‖ функции, около в области кТ распределение Ферми экспоненциально уменьшается.
Рассмотрим применение распределение Ферми-Дирака к электронному газу в металлах. Если Т 0 или (
) :
1. Пусть
В этом случае из (1) видно, что ( 1, т.е.
= 1. Следовательно, в промежутке ( 0,
) все энергетические уровни заполнены одним фермионом.
73 2.Если то , ( 0 , следовательно при Т 0 , все энергетические уровни выше чем свободны. Т.е в них отсутствует электроны. Распределение Ферми имеет ступенчатый график.
♦ если при Т
, то функция распределения принимает значение (
. В этом случае (
состоит из гладкой кривой , другими словами, электроны близкие к
– уровню т.е уровню Ферми при Т переходят к вышестоящим свободным уровням. Заполненные зоны при Т = 0К называются валентными зонами, а вышестоящим зонам зоной проводимости. Таким образом, заполненные зоны называются валентной зоной, а вышестоящие зоной проводимости. Следовательно, при
Т 0 электроны из валентной зоны переходят в зону проводимости.
♦ при Т 0 давление идеального ферми – газа отлично от нуля, для электронов оно имеет 10 4
÷ 10 5
атмосферы. Температура вырождения для системы электронов в металлах имеет Т
*
=
/ k =
/ k 10 4
K .
Следовательно, системы электронов в металлах необходимо рассмотреть на основе квантовой статистики, считая его как вырожденный газ. При 10 4
К тела не находятся в твердом агрегатном состоянии.
Если ферми газ полностью вырожден, то для термодинамических параметров Р
0
, U
0
, можно найти следующие значения:
= (
, U
0
=
N
, P
0
=
N
. Таким образом, для основных параметров при абсолютном нуле можно найти выражения через энергии
Ферми
Контрольные вопросы: 1. Каково распределение Ферми-Дирака квантовой статистики?
2. Как применяется распределение Ферми-Дирака к электронному газу?
3. В чем сущность Ферми газа при абсолютном нуле температуры ?
4. В чем содержания термодинамики при низких температурах?
5. Как образуются энергетические зоны в кристаллах?
74
Применение статистики Бозе-Эйнштейна к фотонному газу.
Цель учебного занятия.
Изложение нахождение формулу Планка для спектральной плотности энергии излучения на основе применения статистики
Бозе-Эйнштейна к равновесному излучению фотонного газа.
Тема: Применение статистику Бозе-Эйнштейна к фотонному газу.
План:
1.Применение стати стику Бозе-Эйнштейна к фотонному газу.
2. Нахождение формулу Планка к спектральной энергии излучения.
3. Нахождение из формулы Планка законов излучения.
Цель занятия. Состоит в изложении применения статистику Бозе-
Эйнштейна к равновесному излучению и нахождении формулу Планка для спектральной плотности энергии излучения, а также нахождение законов излучения.
1.Как примененяется статистика Бозе-Эйештейна к фотонному газу ?
2. Как объясняется равновесное излучение на основе статистики Бозе-
Эйнштейна?
3. Как находится формула Планка для спектральной плотности энергии излучения из статистики Бозе-Эйнштейна?
4. Какие законы излучения знаете?
75
Применив статистику Бозе-Эйнштейна к равновесному излучению можно найти его законы. Если считать, что излучения фотонным газом, то он подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна, т.е.
(
) =
( 1 )
Свободная энергия фотонного газа F = F(V,T,N) , учитывая, что в равновесном состоянии свободная энергия является минимальной, т.е.
= 0, следовательно, для фотонного газа в равновесном состоянии
, потому что = 0. Таким образом, функция распределения Бозе-Эйнштейна имеет следующий вид
( =
( 2 )
Учитывая, что энергия фотона
ћ для функции распределения получим следующее распределение Планка
(
Как известно, импульс фотона р ћk ћ
/c , с учетом этого для число состояний в объѐме V, лежащий в интервале р, р + или к, к + dк dn(k) dn(p) V·4π
dp/
= V 4 πћ dk ( 3 ). й энергетического состояния лежащий в интервале g(
=
=
(4 )
Если учитывать, что излучение поляризовано в двух направлениях, число фотонов в интервале равно dN(
=
= g(
( 6 )
Если умножить это выражение на ћ
, то получим для энергии излучения dЕ ћ
=
=
(
, где
(
=
- спектральная плотность энергии излучения. из которой можно найти все законы излучения..
Контрольные вопросы: 1. В чем смысль функции распределения Бозе-Эйнштейна?
2. Как примекняется статистика Бозе-Эйнштейна к фотонному газу?
3. Как можно найти формулу Планка для спектральной энергии излучения из статистики Бозе-Эйнштейна?
4. Как можно найти из формулы Планка законы излучения?
Скачать 1.82 Mb.