Биометрия верстка_. Учебнометодическое объединение по медицинскому и фармацевтическому образованию вузов России биометрия
 Скачать 0.93 Mb.
|
|
6. Вывод так как (Э = 42,5) > (КР = 20), то предположение о случайном характере различия средних значений массы Щ.Ж. мужчин и женщин при принятом уровне значимости отвергнуть нельзя, те. различие масс является недостоверным, случайным. Вероятность того, что такое заключения является правильным – не меньше 0,95. Задачи для самостоятельного решения 1. Проводилась сравнение успеваемости студентов по физике двух различных групп путем компьютерного тестирования. Результаты приведены в таблице. № гр. Оценки ( в баллах ) 1 94 70 85 89 92 98 63 88 74 85 2 69 90 57 86 79 72 80 93 66 74 На уровне значимости 0,05 выяснить, отличается ли успеваемость студентов этих групп ( Ответ Э = 32,5; успеваемость одинакова. 2. Двум группам испытуемых предлагалось запомнить последовательность нескольких цифр. Времена запоминания приведено в таблице. № гр. Время запоминания в секундах 1 25 28 27 29 26 24 28 23 30 25 26 25 2 18 19 31 32 17 15 41 35 38 13 14 - Среднее время запоминания для первой и второй групп равны соответственно 26,3 си с. При уровне значимости 0,05 выяснить, отличаются ли испытуемые групп по способности к запоминанию (Ответ Э = 60; способность к запоминанию следует считать одинаковой. ) 3. Эффективность действия нового жаропонижающего препарата проверялась на двух группах пациентов путём измерения температуры через определенное время после приёма препарата. Результаты приведены в таблице. Средние температуры после приёма традиционного и нового препаратов равна соответственно 37,7 Си С. Можно лис вероятностью не менее 0,95 утверждать, что новый препарат эффективнее прежнего Температура (t 0 C) Традиционный препарат Новый препарат 37,3 37,1 37,3 37,2 37,4 37,3 37,6 37,2 37,4 37,1 37,3 37,5 37,1 37,1 37,5 37 92 ( Ответ U = 12,5; с вероятностью 0,95 можно утверждать, что новый препарат эффективнее прежнего ). Таблица 6.2 Критические значения U - критерия Манна – Уитни α = 0,05 n 2 n 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 4 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 13 5 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 17 18 19 20 6 6 8 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 27 7 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 8 10 13 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 41 9 12 15 17 20 23 26 28 31 34 37 39 42 45 48 10 14 17 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55 11 16 19 23 26 30 33 37 40 44 47 51 55 58 62 12 18 22 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 13 20 24 28 33 37 41 45 50 5 59 63 67 72 76 14 22 26 31 36 40 45 50 55 59 64 67 74 78 83 15 24 29 34 39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90 16 26 31 37 42 47 53 59 64 70 75 81 86 92 98 17 28 34 39 45 51 57 63 67 75 81 87 93 99 105 α = 0,01 n 2 n 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3 - - 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 3 3 4 0 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 6 7 8 5 1 2 3 4 4 6 7 7 8 9 10 11 12 13 6 3 4 5 6 6 9 10 11 12 13 15 16 17 18 7 4 6 7 9 9 12 13 15 16 18 19 21 22 24 8 6 7 9 11 11 15 17 18 20 22 24 26 28 30 9 7 9 11 13 13 18 20 22 24 27 29 31 33 36 10 9 11 13 16 16 21 24 26 29 31 34 37 39 42 11 10 13 16 18 18 24 27 30 33 36 39 42 45 48 12 12 15 18 21 21 27 31 34 37 41 44 47 51 54 13 13 17 20 24 24 31 34 38 42 45 49 53 56 60 14 15 18 22 26 26 34 38 42 46 50 54 58 63 67 15 16 20 24 29 29 37 42 46 51 55 60 64 69 73 16 18 22 27 31 31 41 45 50 55 60 65 70 74 79 17 19 24 29 34 34 44 49 51 60 65 70 75 81 86 93 6.6 Оценка различия двух зависимых выборок с помощью критерия Вилкоксона (Уилкоксона ) Как уже отмечалось, этот критерий также как и критерий Манна - Уитни относится к ранговым критериям сдвига, но применять его следует, если переменные в двух выборках попарно связаны. Вычисление критерия основывается на определении разности попарно связанных переменных в выборках. Поэтому с помощью этого критерия можно не только устанавливать сам факт наличия сдвига, но и направление сдвига, те. в какой выборке в среднем значения переменных превышают значения переменных в другой выборке и оценить достоверность этого сдвига. Как и критерий Манна – Уитни критерий Вилкоксона используется в нескольких формах. В настоящем пособии за эмпирический критерий Т Э принята наименьшая сумма рангов разностей переменных [1]. Эту сумму сравнивают с критическим значением Т КР при заданном уровне значимости. Если Т Э > Т КР , то нулевая гипотеза принимается, те. преобладание сдвига в каком – либо направлением является случайным. Это означает, что отличие выборок нельзя считать достоверным. Напомним условия, при которых может быть применён критерий Вилкоксона (Уилкоксона ). Значения переменных должны быть выражены в интервальной шкале, те. в численной форме, позволяющей расположить их в определённом порядке ранжировать ). Объёмы выборок n 1 и n 2 должны быть равными, а их значения - не менее пяти. Выборки должны быть зависимыми. Последовательность действий при использовании критерия Вилкоксона. 1. Вычислить абсолютные значения попарных разностей элементов выборок из дальнейших расчётов исключить нулевые разности. Получившийся ряд значений разностей ранжировать в порядке возрастания ( по абсолютной величине. 2. Каждому элементу ряда поставить в соответствие его номер в общем ряду – ранг наименьший элемент ряда имеет ранг, равный единице. Если несколько элементов ряда совпадают по величине, то каждому из них присваивается ранг, равный среднему арифметическому из их номеров. 3. Вычислить сумму рангов отрицательных разностей – Т ; 4. Вычислить сумму рангов положительных разностей – Т Р 5. Проверить правильность расчётов. Если расчёты правильны, то должно выполняться тождество 2 ) 1 ( + ⋅ = + n n T T P N , ( 6.2 ) где n – число разностей. 6. В качестве эмпирического значения критерия Т Э выбрать наименьшее значение суммы рангов (Т Э = Т , если Т < Т Р , в противном случае Т Э = Т Р ) 94 7. Задавшись уровнем значимости ( 0,05 или 0,01 ) найти в таблице 6.3 для данного числа разностей n критическое значение критерия Т КР 8. Сделать вывод о достоверности преобладания сдвига в каком – либо направлении в соответствии с условием если КР Э Т Т > то нулевая гипотеза не отклоняется, те. при принятом уровне значимости наблюдаемый сдвиг является недостоверными различие выборок является случайным. Пример 6.3 Для проверки предположения о том, что один из тонометров неисправен, проводилось сопоставление значений систолического артериального давления пациента, полученных по показаниям контрольного и испытуемого приборов. Измерения проводились у десяти человек. Полученные данные представлены в таблице. Тонометр Систолическое артериальное давление ( мм. рт. ст) Контрольный ( Х К ) 70 85 63 54 65 80 75 95 52 55 Испытуемый ( ХИ ) 72 86 62 55 63 80 78 90 53 57 Позволяют ли эти результаты считать, что испытуемый прибор неисправен Проанализируем исходные данные. а) Предварительных исследований на соответствие эмпирических распределений переменных в выборках нормальному закону не проводилось, следовательно, справедливость применения параметрических методов в данных условиях неочевидна. Поэтому задача должна решаться непараметрическими методами. б) Переменные в выборках выражены в интервальной шкале, следовательно, возможно их ранжирование, те. расстановка переменных в определённом порядке. в) Выборки связаны между собой, т. к. парные показания тонометров получены измерениями на одном пациенте. г) Объёмы выборок больше пяти, следовательно, применение непараметрических методов возможно. Из проведённого анализа исходных данных следует, что задача может быть решена с помощью критерия Вилкоксона. При решении будем придерживаться последовательности действий, описанных выше. Последовательность действий. 1. Вычислим разности Х К – ХИ. Отсортируем по абсолютной величине значения разностей в порядке возрастания. 3. Составим единый ранжированный ряд из абсолютных значений разностей показаний тонометров Х К – ХИ с указанием знака разностей, нулевые разности исключим из дальнейших вычислений. 95 4. Членам ряда присвоим соответствующий номер – ранг. Наименьшая по абсолютной величине разность получает ранг равный единице. Совпадающим значениям ряда присваивается среднее значение ранга в соответствии с занимаемым ими местом в ряду. Результаты сведём в таблицу. № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ׀ Х К – ХИ ׀ 1 1 1 1 2 2 2 3 5 Знак разности + - - - + - - - + Ранги 2,5 2,5 2,5 2,5 6 6 6 8 9 5. Вычислим сумму рангов отрицательных и положительных разностей Т = 2,5+2,5+2,5+6+6+8 = 27,5; Т Р = 2,5+6 + 9= 17,5. 6. Поверим правильность вычислений, подставив в формулу (6.2 ) полученные значения 27,5 + 17,5 = 9*(9+1)/2; получим тождество 45 ≡ 45, следовательно в расчё- тах ошибки нет. 7. В качестве эмпирического значения критерия Т Э выберем наименьшее значение Т Т Э = 17,5. 8. Для уровня значимости 0,05 и числа парных разностей n = 9 найдём в таблице критическое значение критерия Т КР = 7. 9 . Вывод так как ( Т Э = 17,5) > ( Т КР = 7), то предположение о неисправности испытуемого тонометра отвергаем, те. расхождения в показаниях тонометров нельзя считать статистически значимым вероятность ошибки такого заключения не превышает 0,05. Задачи для самостоятельного решения 1. Изменим условие задачи 3 в разделе 6.5 . Пусть эффективность нового жаропонижающего препарата проверялась на одной группе пациентов. Результаты приведены в таблице. Средние температуры после приёма традиционного и нового препаратов равна соответственно 37,7 Си С. Можно ли на основании этих данных считать, что новый препарат эффективнее прежнего Задачу решить при уровне значимости. Температура (t 0 C) Традиционный препарат Новый препарат 37,3 37,1 37,3 37,2 37,4 37,3 37,6 37,2 37,4 37,1 37,3 37,5 37,1 37,1 37,5 37 Ответ (Т = 24,5; Т Р = 3,5; n = 7; нулевую гипотезу отвергнуть нельзя, те. при принятом уровне значимости нельзя утверждать, что новый препарат эффективнее традиционного. Группа студентов в первом семестре занималась с одним преподавателем, а во втором – с другим (поэтому же предмету. В конце каждого семестра подводился итоговый рейтинг, максимальное значений которого – 60 баллов. Результаты приведены в таблице. Препод. 1 60 35 45 40 35 48 36 60 60 48 59 55 57 35 40 42 Препод. 2 38 60 55 47 43 59 33 44 51 53 58 57 43 41 51 С вероятностью не меньшей 0,95 можно ли утверждать, что успеваемость студентов изменилась (Ответ Т = 55; Т Р = 80,5; n = 16; успеваемость студентов не изменилась. После цикла тренировок группы спортсменов из десяти человек вес их изменился следующим образом Вес до тренировок (кг) 68 80 92 81 70 79 78 66 57 76 Вес после тренировок кг) 60 80 87 79 72 71 72 67 56 70 Можно ли утверждать, что такой цикл тренировок снижает вес спортсменов Задачу решить при уровне значимости 0,05. (Ответ Т = 40; Т Р = 5; n = 9; да, тренировки снижают вес ) Таблица 6.3 Критические значения парного Т – критерия Вилкоксона ( двусторонний критерий ) [1] Число парных наблюдений Уровни значимости Число парных наблюдений Уровни значимости 0,05 0,01 0,05 0,01 6 1 - 16 31 21 7 3 - 17 36 24 8 5 1 18 41 29 9 7 3 19 47 33 10 9 4 20 53 39 11 12 6 21 60 44 12 15 8 22 67 50 13 18 11 23 74 56 14 22 14 24 82 62 15 26 17 25 90 69 97 6.7 Непараметрический корреляционный анализ с помощью рангового критерия Спирмена Наиболее распространённым методом непараметрического корреляционного анализа является метод, основывающийся на вычислении рангового коэффициента корреляции Спирмена R S , который является непараметрическим аналогом коэффициента линейной корреляции Пирсона, рассмотренного в главе IV настоящего пособия. Но если коэффициент корреляции Пирсона может быть вычислен только при условии нормальности распределения величин и линейной взаимосвязи между ними, то коэффициент корреляции Спирмена свободен от этих ограничений, причём его мощность практически не уступает мощности коэффициента корреляции Пирсона [4]. Кроме того, сопоставляемые величины могут быть выражены как в количественных, таки в порядковых шкалах, в то время как при использовании параметрических методов величины могут быть выражены только в количественных шкалах (в интервальной или относительной. Также как ив других непараметрических ранговых методах при вычислении критерия Спирмена значения самих величин в выборках заменяются рангами. Значение рангового коэффициента корреляции Спирмена R S вычисляется по формуле [1,4,5]: ) 1 ( ) ( 6 1 2 − ⋅ − ⋅ − = n n R R R Y X S ( 6.3 ) В этом выражении (R X - R Y ) - разность рангов сопряжённых пар значений переменных и Y; n – число сопряжённых парте. объём выборок. Значение коэффициента корреляции может меняться в диапазоне от -1 до +1. Отрицательное значение R S соответствует отрицательной корреляции, положительное значение - положительной (см. раздел IV). Чем ближе значение R S к единице, тем сильнее корреляционная взаимосвязь между переменными выборок. Значение коэффициента корреляции R S является величиной случайной. Поэтому после вычисления R S необходимо оценить его значимость. Для этого полученное значение сопоставляется с критическим (кр, которое при принятом уровне значимости можно найти в таблице или вычислить в соответствии с выражением [1]: − − ⋅ − = 1 КР ( 6.4 ) В этом выражении для α = 0,05, t = 1,96, а m = 0,16; если принять α = 0,01, то t = 2,58, а m = 0,69. Нулевая гипотеза (значение R S является незначимым, те. между выборками корреляционной зависимости нет) отвергается, если выполняется условие R S ≥ ( R S кр ( 6.5 ) Рассмотрим на примере последовательность вычислений при использовании критерия Спирмена. Пример 6.4 Результаты измерения массы и объёма щитовидной железы мужчин и женщин одной возрастной категории приведены в таблице. Женщины Мужчины масса ЩЖ (m) объём ЩЖ (V) масса ЩЖ (m) объём ЩЖ (V) 19,1 15,8 12,8 11,9 15,8 16 14,4 14,1 12,2 11,8 18,4 17,3 17,3 16,9 14,3 14,1 18 16,2 9,1 8,9 15,3 14,9 18,1 14 14,3 14,1 21,6 20 16,5 15,5 16,4 15,5 15,8 15,6 18 17,2 21,2 21 20,2 19,8 Зависит ли масса щитовидной железы от её объёма (у мужчин Задачу решить с помощью критерия Спирмена при уровне значимости Последовательность действий. 1. Примем за Y объём щитовидной железу, аза Хе массу ( мужчин ). 2. Отсортируем обе выборки в порядке возрастания Х (те. проведём ранжировку выборок. Результаты занесём в таблицу масса ЩЖ Х) 9,1 12,8 14,3 14,4 16,4 18 18,1 18,4 20,2 21,6 объём ЩЖ (Y) 8,9 11,9 14,1 14,1 15,5 17,2 14 17,3 19,8 20 3. Членам ряда Х присвоим соответствующий номер – ранг наименьшая величина получает ранг равный единице. 4. Отсортируем отдельно выборку Y в порядке возрастания Y. Совпадающим значениям ряда присваивается среднее значение ранга в соответствии с занимаемым ими местом в ряду. Результаты сведём в таблицу. Y 8,9 11,9 14 14,1 14,1 15,5 17,2 17,3 19,8 20 Ранг 1 2 3 4,5 4,5 6 7 8 9 10 99 5. Составим таблицу сопряжённых значений Хи, дополнив её значениями соответствующих рангов и R Y , их разностями и квадратами разностей. масса ЩЖ Х) 9,1 12,8 14,3 14,4 16,4 18 18,1 18,4 20,2 21,6 объём ЩЖ (Y) 8,9 11,9 14,1 14,1 15,5 17,2 14 17,3 19,8 20 R X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R Y 1 2 4,5 4,5 6 7 3 8 9 10 R X - R Y 0 0 -1,5 -0,5 -1 -1 4 0 0 0 (R X - R Y ) 2 0 0 2,25 0,25 1 1 16 0 0 0 По формуле ( 6.3 ) вычислим коэффициент ранговой корреляции R S : 875 , 0 ) 1 10 ( 10 0 0 0 16 1 1 25 , 0 25 , 2 0 0 ( 6 1 2 = − ⋅ + + + + + + + + + ⋅ − = S R 6. В таблице 6.4 найдём критическое значение коэффициента ранговой корреляции кр при уровне значимости 0,05 и объёме выборок n = 10: ( R S кр = 0,64. 7. R S сопоставим с критическим ( R S кр так как R S > ( R S кр, то нулевая гипотеза отвергается, тес вероятностью не меньше 0,95 можно утверждать, что масса щитовидной железы мужчин данной возрастной категории зависит от объёма щитовидной железы. Задачи для самостоятельного решения 1. Поданным таблицы Примера 6.4 выяснить, есть ли зависимость между массой (Хи объёмом щитовидной железы (Y) женщин (Ответ R S = 0,857 : корреляция значима на уровне значимости не менее 0,01). 2. В задаче 5.1 настоящего пособия приведены данные измерений охвата груди и роста мужчин. Параметрический корреляционный анализ показал, что между этими величинами существует сильная корреляционная зависимость (r = 0,975 ). Подтвердит ли этот вывод анализ с помощью рангового коэффициента корреляции Спир- мена Указание за Х принять значение охвата груди, за Y – значение роста. (Ответ R S = 0,95; ( R S кр = 0,73 при α = 0,01; так как R S > ( R S кр, то зависимость подтверждается на уровне значимости не менее 0,01). 3. Результаты измерения длины головы (Хи длины грудного плавника (Y) у 16 окуней приведены в таблице [5]. Х мм) 66 61 67 73 51 59 48 47 58 44 41 54 52 47 51 45 Y мм) 38 31 36 43 29 33 28 25 36 26 21 30 20 27 28 26 Зависит ли длина грудного плавника окуней от длины головы (Ответ R S = 0,858; ( R S кр = 0,64 при α = 0,01; так как R S > ( R S кр, то зависимость подтверждается на уровне значимости не менее 0,01). Таблица 6.4 Критические значения коэффициента корреляции рангов при различных уровнях значимости α и объёмах выборки n [1]. n α n α n α 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 5 0,94 - 17 0,48 0,62 29 0,37 0,48 6 0,85 - 18 0,47 0,60 30 0,36 0,47 7 0.78 0,94 19 0,46 0,58 31 0,36 0,46 8 0,72 0,88 20 0,45 0,57 32 0,36 0,45 9 0,68 0,83 21 0,44 0,56 33 0,34 0,45 10 0,64 0,79 22 0,43 0,54 34 0,34 0,44 11 0,61 0,76 23 0,42 0,53 35 0,33 0,43 12 0,58 0,73 24 0,41 0,52 36 0,33 0,43 13 0,56 0,70 25 0,40 0,51 37 0,33 0,42 14 0,54 0,68 26 0,39 0,50 38 0,32 0,41 15 0,52 0,66 27 0,38 0,49 39 0,32 0,41 16 0,50 0,64 28 0,38 0,48 40 0,31 0,40 |