Матан. Учебнометодическое пособие для проведения лабораторных работ и организации самостоятельной работы по теме Методы вычислений неопределенных интегралов
 Скачать 0.87 Mb.
|
Таблица дифференциалов
Посмотрим как это «работает» на примерах. Пусть мы хотим найти Если мы уже получили опыт работы с таблицей, то сразу увидим, что x «заходит» под дифференциал и становится выносится за интеграл и мы имеем табличный интеграл. Пока же не привыкли пользоваться таблицей дифференциалов, мы ищем в таблице дифференциалов формулу, которая может нам помочь, применяем и смотрим что получилось. По первой формуле Получаем Советуем, до получения уверенного навыка, обозначать полученное под дифференциалом выражение какой-нибудь буквой. Это упростит получившееся выражение и поможет найти следующий шаг. Несколько примеров. Пример 1. Пример 2. Теперь чуть посложнее. Пример 3. Пример 4. Интегрирование по частямПри осваивании процедуры дифференцирования, наличие формулы производной от произведения стало привычным. К сожалению, не существует формулы, выражающей интеграл от произведения функций через интегралы от сомножителей. Более того, интеграл от каждого сомножителя может быть простым, а интеграл от произведения «не берущимся». Например интеграл и интеграл табличные, а интеграл от произведения нельзя выразить через элементарные функции (говорят, что интеграл не берется в элементарных функциях). Тем не менее, если проинтегрировать обе части формулы то результат можно преобразовать к виду Получившееся равенство называют формулой интегрирования по частям. Эта формула чрезвычайно полезна, а иногда просто незаменима при нахождении некоторых интегралов. Далее мы укажем основные типы интегралов, которые находятся с помощью формулы интегрирования по частям. Для использования метода интегрирования по частям, требуется понять ответы на два вопроса. Как применять эту формулу? Когда применять эту формулу? Ответ на первый вопрос начнем с примера. Пример 1. Найдем интеграл В левой части формулы интегрирования по частям стоит Поэтому, прежде всего мы должны понять, что в нашем интеграле u, и что dv. Возьмем , тогда все что осталось обозначим . Для применения формулы, требуются еще duиv. Найдем Для нахождения v найдем интеграл от обеих частей равенства Получаем Мы готовы применять формулу интегрирования по частям. Коротко, наши рассуждения и применение формулы удобно записывать так Отметим ключевой момент. Единственное разумное действие мы совершили, когда выбрали u. За dv мы берем то, что осталось, du и v находим. После чего применяем формулу. Мы выбрали u правильно, в результате применения формулы пришли к табличному интегралу и нашли ответ. Если выбрать u неправильно, то в результате применения формулы можно получить интеграл более сложный, чем исходный. Сделаем вывод, что главное в применении формулы это выбор u. Что бы понять, как правильно выбирать u взглянем еще раз на формулу интегрирования по частям. Мы от интеграла в левой части переходим к интегралу в правой части. В чем выигрыш? Главное достоинство формулы в том, что она позволяет перейти от u под интегралом в левой части к du=u’dx под интегралом в правой части формулы. То есть, перейти от uк u’. Отсюда делаем вывод, что за uнадо брать функцию, которая становится проще после взятия производной. В нашем примере мы от перешли к , что позволило избавиться от логарифма под интегралом. Отметим, также, что в результате применения формулы, мы не обязательно приходим к табличному интегралу. Нас вполне устраивает если мы приходим к интегралу более простому чем исходный. Часто формулу интегрирования по частям применяют несколько раз подряд, что бы прийти к табличному и завершить решение. Пример 2. Напомним, что брать за u неправильно, так как u’ тогда равно и ни сколько не проще. Пример 3. К получившемуся интегралу нужно еще раз применить формулу интегрирования по частям, взяв x за u. Мы воспользуемся тем, что нашли этот интеграл во втором примере и окончательно получим Отметим, что если бы под интегралом была функция , то пришлось бы считать по частям пять раз. Первый раз , второй и так далее, пока x совсем не пропадет. Вернемся ко второму вопросу. Когда применять эту формулу? Скажем сразу – все случаи применения этой формулы перечислить нельзя. Иногда формула интегрирования по частям оказывается эффективной в весьма неожиданных случаях. Мы приведем основные классы функций, интегралы от которых не найти без применения формулы интегрирования по частям. Если коротко, то это функции состоящие из произведения функций разного типа: степенной и показательной, степенной и тригонометрической и т.д. Подробнее, рассмотрим список интегралов, во всех перечисленных случаях которого, m и nцелые положительные, a>0 и b вещественные числа. dx Отметим, что в первых трех случаях за uнеобходимо брать . В случаях с четвертого по седьмой за uнеобходимо брать обратные тригонометрические функции. В случае восемь за uнеобходимо брать логарифм в степени. Интегралы под номерами девять и десять представляют специфический вид интегралов, называемый возвратные интегралы. В этих случаях за uможно брать любую из двух функций. Интегрируем по частям два раза. Второй раз за uнеобходимо брать ту же функцию, что и в первый. В итоге мы приходим к исходному интегралу. Это позволяет нам составить простое уравнение, где неизвестной величиной представляем исходный интеграл. Решая уравнение, находим неизвестное, то есть исходный интеграл. Поясним на примере. Пример 4. Получившийся интеграл снова считаем по частям Подставляем и получаем равенство Обозначим Получаем Находим из получившегося уравнения Вспоминая обозначения букв, имеем Конечно, рассмотренный список это не полный набор интегрируемых только по частям функций, но список основных, встречающихся в нашем курсе математики. |