Матан. Учебнометодическое пособие для проведения лабораторных работ и организации самостоятельной работы по теме Методы вычислений неопределенных интегралов
 Скачать 0.87 Mb.
|
Непосредственное интегрированиеВ этом пункте мы рассматриваем интегралы, которые можно решить без применения специальных методов. Достаточно будет воспользоваться указанными выше свойствами, а именно, расписать сумму или разность, вынести число за знак интеграла и применить таблицу. Наиболее простые ситуации можно проиллюстрировать такими примерами. Пример 1. Пример 2. Отметим, что иногда применяя немного фантазии, столь же просто, без использования «хитрых» методов удается решить довольно сложные интегралы. Пример 3. Пример 4(использование основного тригонометрического тождества). Пример 5(использование основного тригонометрического тождества). Иногда помогают такие простые приемы как прибавить и отнять что-то или умножить и поделить на одно и то же выражение. Пример 6. Примеры можно продолжить, но думается самое время обратиться к задачам из основного набора задач и попробовать собственные силы, собственный интеллект. Заметим, что задачи на данную тему содержатся в самом первом наборе задач (Задача 1). В дальнейшем от таких отсылок мы воздержимся, так как способов решения одного и того же примера, «как правило», больше одного. Метод подведения под знак дифференциала. Первая часть.Обратим ваше внимание на то, что в таблице интегралов мы используем не независимую переменную x, а произвольную функцию u=u(x). Этот факт содержит самый большой потенциал для подсчета интегралов. Можно сказать: «Если вы освоили метод подведения под знак дифференциала, то вы научились интегрировать». Поясним на конкретных примерах. В таблице есть формула Это означает , а также и многие другие. Главное, что бы степень числа e и выражение под дифференциалом совпадали. Далее мы постараемся прояснить это, в том числе на примерах, но пока коротко скажем: «В силу упомянутой особенности таблицы, часто проще получить удобное нам выражение под знаком дифференциала, чем пытаться преобразовать подынтегральное выражение». Разберем, сперва простой и часто встречающийся частный случай. Пусть является табличным. Посмотрим как можно найти интеграл Коротко скажем - надо получить под дифференциалом выражение (ax+b). Поскольку тоже табличный, мы легко решим пример. Разберем способ решения на примерах. В таблице есть интеграл Рассмотрим интеграл Он станет табличным, если под дифференциалом появится 2x вместо x. В этом разделе нам необходимо постоянно помнить формулу для дифференциала функции . В частности Можно сказать, что двойка выносится из под дифференциала. То же свойство, имеет интеграл. Получаем Понятно, что вместо двойки может быть любое число. Сформулируем первое правило: «Если надо умножить выражение под дифференциалом на число, то мы можем это сделать, если интеграл умножим на обратное. Проиллюстрируем это правило еще парой примеров. Пример 1. Пример 2. Это может быть отрицательное число Пример 3. Это может быть дробное число Подчеркнем, еще раз, что это касается любого табличного интеграла, а не только синуса. Пример 4 Посмотрим, для конкретности на пятую формулу из таблицы Заметим, что для любого числа b Поскольку дифференциал находится через производную получается, что прибавляя или вычитая под дифференциалом число мы прибавляем или вычитаем ноль. Сформулируем второе правило: «Под дифференциалом можно прибавлять или вычитать любое число. Равенство сохраняется». Таким образом, получаем Пример 5. . Пример 6(На использование первой формулы). Комбинируя оба рассмотренных, получаем третье правило: «Если требуется мы можем заменить под дифференциалом x на выражение ax+b, при этом перед интегралом возникнет множитель ». Пример 6. Пример 7(На использование первой формулы). Пример 8 (На использование одиннадцатой формулы). Пример 9 (На использование восьмой формулы). Метод подведения под знак дифференциала. Вторая часть.В целом, метод подведения под знак дифференциала, заключается в следующем. В подынтегральном выражении мы пытаемся «узнать» дифференциал некоторой функции. При успехе попытки, интеграл может стать табличным или, хотя бы проще. Большую помощь в этой процедуре может оказать таблица дифференциалов основных функций (смотри ниже). Поскольку дифференциал функции это производная умноженная на , то таблица дифференциалов мало отличается от таблицы производных. При этом, у неопытного читателя могут возникнуть вопросы. Поясним, что первая формула, например, получается из равенства , если выразить . Во всех формулах таблицы дифференциалов, в левой части присутствует . Удобно воспринимать символ dкак некий «волшебный портал», который «превращает» проходящее через него во что-то другое. Говорят, что в первой формуле x «заходит» под дифференциал и становится с числовым коэффициентом, в десятой «заходит» под дифференциал и становится с минусом и так далее. |