Матан. Учебнометодическое пособие для проведения лабораторных работ и организации самостоятельной работы по теме Методы вычислений неопределенных интегралов
 Скачать 0.87 Mb.
|
Интегрирование тригонометрических функцийМы выделим несколько специальных случаев, когда интегралы от тригонометрических функций найти достаточно просто. Затем разберем универсальный способ, в случае, когда подынтегральное выражение рационально зависит от и . Рассмотрим интеграл вида Отдельно рассмотрим две ситуации. Степень m или nявляется целым нечетным положительным числом. Пусть, для определенности, это будет n. В этом случае, можно один косинус отправить под дифференциал и получить дифференциал от синуса (смотри таблицу дифференциалов), а оставшийся косинус в четной степени превратить в синус с помощью основного тригонометрического тождества Пример 1. Пример 2. Обе степени являются целыми четными положительными числами. В этом случае, последовательно используя формулы понижения степени, придем к табличным интегралам или к интегралам рассмотренным в предыдущем случае. Напомним, как выглядят формулы понижения степени. Пример 3. Пример 4. Подчеркнем, что разобранные случаи a) и b) описывают две часто встречающиеся ситуации и не исчерпывают все возможности, которыми можно воспользоваться. Рассмотренные ранее методы, тригонометрические формулы плюс ваша фантазия могут гораздо больше. Приведем, лишь пару примеров. Пример 5. Пример 6. Разберем, теперь более общую ситуацию. Выше мы освоили интегрирование рациональных дробей. Интеграл от тригонометрических выражений очень часто можно свести к интегралу от рациональной дроби. Пусть мы имеем интеграл вида . Подынтегральная функция подразумевает рациональную дробь у которой на место x подставлены или . Например или В этом случае мы имеем возможность привести ситуацию к интегралу от обычной рациональной дроби. Получается это поскольку и и хорошо выражаются через тангенс половинного угла. Если мы перейдем к новой переменной то получим интеграл от рациональной дроби относительно новой переменной. Напомним две известные тригонометрические формулы и Найдем как заменится dx. Так как то и Тогда Суммируя получаем Отметим, что данная замена носит название «универсальная тригонометрическая подстановка. Пример 4.Найти интеграл Заметим, что если в подынтегральном выражении степени синусов или косинусов больше двух, то интеграл от рациональной дроби как правило получается очень громоздкий. Рекомендуем, в таких случаях, сначала попробовать найти другой подход. Например, проверить не удовлетворяет ли интеграл условиям описанным в начале данного пункта. Отметим также случай, когда рациональная дробь включает в себя только четные степени синусов и косинусов. В этом случае быстрее приводит к цели замена В этом случае Пример 5.Найти интеграл Линейные и дробно – линейные иррациональности.В этом пункте мы разберем интегралы содержащие иррациональности специального вида. Слово иррациональность подразумевает наличие корней, а специальный вид вызван сложностью процесса интегрирования. Далеко не все интегралы можно найти, при этом, интегралы содержащие корни различных порядков, мы умеем находить только в специальных случаях. Рассмотрим интегралы вида Подынтегральная функция подразумевает рациональную дробь у которой на место x в некоторых местах поставлены выражения , и так далее. Отметим, что выражение всюду одно и то же. Например или Метод нахождения таких интегралов выглядит достаточно естественно. Главная проблема – наличие корней, тем более различных степеней. Предлагается ввести новую переменную t согласно формуле где k такое целое положительное число, что все корни, присутствующие под интегралом извлекутся. В результате такой замены наша подынтегральная функция превратится в рациональную дробь относительно новой переменной t. Как находить такие интегралы мы разбирали в предыдущем пункте. Пример 1. Найдем интеграл Корни извлекутся, если сделаем замену . Выразим и найдем дифференциал от обеих частей последнего равенства. Теперь мы готовы делать замену переменной. Получаем Полученная под знаком интеграла рациональная дробь является неправильной. Поэтому делим углом и выделяем целую часть. В результате имеем Полученная кроме многочлена правильная дробь уже простейшая и мы окончательно получаем 3 Отметим, что точно так же можно решать интегралы вида В этом случае мы руководствуемся тем же самым стремлением убрать корни и делаем аналогичную замену Чуть больше усилий требуется для нахождения и |