Матан. Учебнометодическое пособие для проведения лабораторных работ и организации самостоятельной работы по теме Методы вычислений неопределенных интегралов
 Скачать 0.87 Mb.
|
Интегрирование простейших выражений содержащих квадратный трехчлен.В этом пункте мы рассмотрим следующих четыре типа интегралов
Прежде чем перейдем к интегралам, напомним процедуру выделения полного квадрата. Она нам понадобится. Пусть имеется квадратный трехчлен . Для начала с первым коэффициентом равным единице. Напомним школьную формулу Мы считаем, что первые два слагаемых квадратного трехчлена у нас соответствуют формуле. То есть или . Добавим и отнимем то, что не хватает до формулы Мы выделили формулу квадрата суммы. Поэтому данную процедуру и называют выделение полного квадрата. То же самое проделаем если перед вторым слагаемым в квадратном трехчлене стоит минус. Получим формулу квадрата разности. Данный технический прием полезен в разных разделах математики. Одно из основных достоинств – убираем слагаемое с в первой степени. Добавим, что если первый коэффициент в квадратном трехчлене не равен единице, можно вынести его за скобки и повторить рассмотренные действия внутри скобок. Пример 1. Пример 2. Пример 3. Пример 4. Вернемся к интегралам и разберем типы интегралов i и ii. В обоих случаях выделение полного квадрата в знаменателе, с последующим применением 2 правила из пункта 2, приведет к табличным интегралам. Покажем как это происходит на примерах. Пример 5. Пример 6. Пример 7. В следующих двух типах интегралов (интегралы вида iiiиiv) всегда можно подобрать числа и так, что стоящее в числителе выражение будет равно . После замены на указанное выражение каждый из интегралов типа iii или iv разбивается на сумму двух интегралов. Один будет табличным, а другой принадлежать одному из первых двух типов. Проясним предлагаемый порядок действий на примерах. Пример 8. Заметим, что числа и в равенстве Мы нашли следующим образом. Раскроем скобки в правой части. Для соблюдения равенства коэффициент при должен быть равен 3, а все остальное должно быть равно 1. Получаем , Из первого равенства . Подставляем во второе и находим . Пример 9. Пример 10. Интегрирование рациональных дробейСделаем естественное обобщение квадратного трехчлена на случай, когда старшая степень произвольна. Выражение , где n-целое положительное, , называется многочленом степени . Пусть многочлен степени , а многочлен степени . Назовем рациональной дробью, выражение Дробь называем правильной, если . То есть дробь правильная, а нет. Суть всего, что мы будем разбирать в этом пункте легко объяснить. Рассмотрим школьный пример на приведение к общему знаменателю. Пусть, теперь нам требуется найти интеграл Простым он не выглядит, да и не является. Но, если мы знаем, что подынтегральное выражение можно представить в виде суммы простых дробей, то легко получаем . Вывод прост: «если мы научимся представлять рациональную дробь в виде суммы простых дробей, то мы решим задачу их интегрирования». Можно сказать, что нам предстоит освоить процесс обратный к приведению к общему знаменателю. Пусть Предположим, что рациональная дробь – правильная. Рассмотрим план действий, позволяющий найти сумму «простых» дробей равную . Первый шаг – представить знаменатель в виде произведения простейших из возможных сомножителей. Задача это не простая, в некоторых случаях, но всегда можно представить в виде произведения сомножителей вида где некоторое (не обязательно положительное) вещественное число или . где a, b и c некоторые вещественные числа. Если появилось несколько одинаковых сомножителей, то можно считать, что появятся сомножители вида или , где k и p количество одинаковых сомножителей первого и второго вида соответственно. Замечание. Два слова о возможном способе найти разложение знаменателя на сомножители. Если мы знаем 2 корня и квадратного трехчлена то его можно представить в виде Аналогично, если мы нашли n вещественных корней многочлена то будет выполнено Таким образом, если мы нашли n вещественных корней многочлена, то нашли разложение на множители первого вида. Второй шаг – представить в виде суммы простых дробей. Каждому сомножителю знаменателя будет соответствовать слагаемое. Сомножителю в знаменателе вида будет соответствовать слагаемое вида где некоторое, пока неизвестное вещественное число. Рассмотрим случай, когда есть несколько одинаковых сомножителей первого вида. Тогда сомножителю вида будут соответствовать k слагаемых вида где некоторые, пока неизвестные вещественные числа. Сомножителю вида будет соответствовать слагаемое вида где B и C некоторые, пока неизвестные вещественные числа. Если есть несколько одинаковых сомножителей вида квадратный трехчлен, то сомножителю типа будет соответствовать p слагаемых вида где , , , , , некоторые, пока неизвестные вещественные числа. Проиллюстрируем сказанное на примерах. Пусть например имеется правильная рациональная дробь со знаменателем уже разложенным на сомножители. Все три сомножителя – первого типа и, следовательно, разложение на сумму будем искать в виде Рассмотрим ситуацию, когда в знаменателе есть одинаковые сомножители первого вида, например имеем правильную рациональную дробь Тогда разложение на сумму будем искать в виде Пусть в знаменателе есть квадратный трехчлен, в виде сомножителя, например имеем правильную рациональную дробь Тогда разложение на сумму будем искать в виде Пусть в знаменателе есть квадратный трехчлен в какой-то степени, например Тогда разложение на сумму будем искать в виде Третий шаг – найдем конкретные значение неопределенных чисел в разложении на сумму (смотри примеры ниже). Четвертый шаг – находим интеграл от Проясним предложенную методику на примерах. Тем, кто не любит читать теорию можно начать прямо с них. Пример 1. Найдем интеграл Рациональная дробь является правильной дробью, поскольку старшая степень знаменателя 3 строго больше старшей степени числителя 2. Первый шаг. Заметим, что все сомножители первого типа. Второй шаг. Нашу рациональную дробь можно представить в виде Третий шаг. Найдем числа , и . Для этого приведем получившуюся сумму к общему знаменателю. Правая часть должна равняться левой части для любого значения переменнойx. Знаменатели у них равны. Поэтому, если мы подберем числа , и так, что будут равны числители – мы добьемся своей цели. Чтобы найти три неизвестных числа, требуется составить три уравнения. Пользуясь тем, что числители должны быть равны для любого значения переменной x, возьмем три различных значения переменной x и приравняем числитель левой части к числителю правой части для каждого из трех значений x. Значения переменной xмогут быть любыми, но гораздо выгоднее брать значения упрощающие выражение в числителе правой части. В данном случае удобно взять . После упрощений получаем первое уравнение. -4=-2 . Откуда . Для получения второго уравнения возьмем . После упрощений получаем второе уравнение. . Имеем . Для получения третьего уравнения возьмем . После упрощений получаем третье уравнение. . Следовательно . Мы нашли неизвестные числа , и . Третий шаг завершен. Подынтегральная рациональная дробь равна сумме следующих простейших дробей. Четвертый шаг. Находим интеграл Пример 2.Найти интеграл Рациональная дробь является правильной дробью, поскольку старшая степень знаменателя 4(если раскрыть скобки) строго больше старшей степени числителя 3. Первый шаг. В знаменателе уже есть произведение двух сомножителей. Однако первый сомножитель можно представить в виде Сделаем это. Второй шаг. Нашу рациональную дробь можно представить в виде Третий шаг. Найдем числа , и . Для этого приведем получившуюся сумму к общему знаменателю. Правая часть должна равняться левой части для любого значения переменнойx. Знаменатели у них равны. Поэтому, если мы подберем числа , и так, что будут равны числители – мы добьемся своей цели. Чтобы найти четыре неизвестных числа, требуется составить четыре уравнения. Пользуясь тем, что числители должны быть равны для любого значения переменной x, возьмем четыре различных значения переменной x и приравняем числитель левой части к числителю правой части для каждого из четырех значений x. В данном случае удобно взять . После упрощений получаем первое уравнение. 4=2 . Откуда . Для получения второго уравнения возьмем . После упрощений получаем второе уравнение. . Для получения третьего уравнения возьмем . После упрощений получаем третье уравнение. . Для получения четвертого уравнения возьмем . После упрощений получаем четвертое уравнение. . С учетом того, что получаем систему уравнений . Умножим последнее уравнение на 2 и сложим со вторым. Результат запишем вместо последних двух уравнений. Имеем После сокращений Сумма получившихся уравнений дает Из предыдущих уравнений, последовательно находим и Мы нашли неизвестные числа , и . Третий шаг завершен. Подынтегральная рациональная дробь равна сумме следующих простейших дробей. Четвертый шаг. Находим интеграл. После расписывания суммы и разности получаем 3 табличных интеграла Мы разобрали метод нахождения интеграла от рациональной дроби в случае, когда рациональная дробь правильная. Напомним, что это означает старшая степень переменной x в знаменателе строго больше старшей степени переменной x в числителе. Осталось понять, что делать, если рациональная дробь неправильная. Давайте вспомним соответствующие понятия для чисел. Аналогия получается почти полная. Дробь считаем правильной, если знаменатель строго больше числителя. Например или дроби правильные, а или неправильные. В этом случае выделяем целую часть и дробь представляется в виде целого числа плюс правильная дробь. Чисто технически, это можно найти с помощью деления углом. Получили остаток 2. Можно сказать, что при делении 5 на 3 получилось 1 плюс 2 не «доделилось» на 3. В результате Точно так же можно поступать с многочленами. Пример 3. Рассмотрим неправильную дробь Выделим целую часть. Для этого поделим углом Получаем 2x и остаток . Следовательно В результате, если нам требуется найти интеграл от данной неправильной дроби, то Интеграл от никаких трудностей не представляет и задача сводится к нахождению интеграла от правильной рациональной дроби Применяя рассмотренную ранее схему действий, окончательно получаем. В общем случае, если рациональная дробь неправильная и , то всегда можно выделить целую часть. Для этого многочлен числителя поделим углом на многочлен знаменателя. Получим как результат некоторый многочлен , степени и остаток, некоторый многочлен степени . Неправильная рациональная дробь будет равна полученному многочлену плюс остаток деленный на многочлен знаменателя. Заметим, что дробь правильная. Таким образом интеграл от неправильной рациональной дроби равен Поскольку интеграл от многочлена это всегда сумма табличных интегралов по формуле 1 с числовыми сомножителями, то задача сводится к интегрированию правильной рациональной дроби |