Учебнометодическое пособие для студентов экономических специальностей орел 2005 2

• Название: Учебнометодическое пособие для студентов экономических специальностей орел 2005 2
• Дата: 19.09.2022
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: math_an_1.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #685348
• страница: 2 из 7

7)
|
2
|
4
)
(
−
+
−
=
x
x
x
f
8)
15 11 2
)
(
2
+
−
=
x
x
x
f
9)
2 5
)
(
−
+
=
x
x
x
f
10)
|
)
2
lg(
3
|
)
(
x
x
f
−
−
=
11)
2
)
(
−
−
=
x
x
f
12)
|
1
|
)
(
3
+
=
x
x
f
13)
x
x
f
−
=
4 2
)
(
14)
4 3
)
(
+
+
=
x
x
x
f
15)
|
5 4
|
)
(
1
+
−
=
x
x
f

11 Предел числовой последовательности и функции. Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,…,n,… ставится в соответствие по определенному закону вещественное число x
n
, то множество занумерованных вещественных чисел
x
1
, x
2
,…, x
n
,… (или {x
n
}) называется числовой последовательностью. Последовательность {x
n
} называется бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого положительного числа
ε
можно указать номер N=N(
ε
) такой, что при
N
n
≥
все элементы x
n
этой последовательности удовлетворяют неравенству Последовательность {x
n
} называется сходящейся, если существует такое число
A, что последовательность {x
n
−
A} является бесконечно малой. При этом число A называется пределом последовательности {x
n
}. Обозначение Предел бесконечно малой последовательности равен 0. Если {x
n
} – бесконечно малая последовательность, то, начиная с некоторого номера n, определена последовательность, которая является бесконечно большой, те. ее предел равен Число A называется пределом функции в точке
a
x
=
0
, если для любой сходящейся последовательности {
n
x
} значений аргумента x, элементы которой отличны от a (
a
x
n
≠
), соответствующая последовательность {
)
(
n
x
f
} значений функции сходится к A. При этом пишут Число A называется правым (левым) пределом функции в точке
a
x
=
0
, если для любой сходящейся к a последовательности {
n
x
}, элементы которой больше a (
a
x
n
>
) (меньше a (
a
x
n
<
)) соответствующая последовательность значений функции сходится к A. Обозначение для правого предела Обозначение для левого предела Если в точке a правый и левый предел функции
)
(x
f
y
=
равны, тов точке a существует предел этой функции, равный указанным односторонним пределам. Функция называется бесконечно малой в точке
a
x
=
0
, если lim ( )
0
x
a
f Функция называется бесконечно большой в точке
a
x
=
0
, если для

12 любой сходящейся к a последовательности {
n
x
} значений аргумента x, соответствующая последовательность {
)
(
n
x
f
} значений функции является бесконечно большой последовательностью. Обозначение lim ( )
x
a
f x
→
= ∞
, Пусть
)
(
α x
и
)
(
β x
две заданные на одном и том же множестве функции, являющиеся бесконечно малыми в точке Функции
)
(
α x
и
)
(
β x
называются эквивалентными бесконечно малыми, если Таблица эквивалентных функций Во всех формулах эквивалентности под
∆ подразумевается любое выражение, такое что
0
→
Δ
Δ
Δ

sin
Δ
Δ
tg
Δ
Δ
arcsin
Δ
Δ
arctg
2

cos
1 2
Δ
Δ
−
Δ
Δ
)
1
ln(
+
Δ
Δ

1
−
e
a
a
ln

1
Δ
Δ
−
m
m
Δ
Δ
1 1
−
−
e

)
1
(
/
1 Δ
Δ
+
e

1 1
Δ
Δ





 +При вычислении пределов применяют свойство эквивалентных бесконечно малых если бесконечно малые функции
)
(
α x
и
)
(
β x
эквивалентны соответственно функциями, то
1 1
( )
α( )
lim lim
β( )
( При нахождении предела
0
lim ( )
x
x
p x
→
некоторой функции p(x) (x
0
- конечное число или
±∞
) возможно появление неопределённостей типа
[
]
[
]
0 0
0 1.
; 2.
; 3.
; 4. 0
; 5. 1
; 6.
; 7. 0 0
∞
∞
 
 
 
 
 
∞ − ∞
⋅∞
∞
 
 
 
 
 
∞
 
 Пример 1. Найти предел Имеем неопределённость го типа. Умножив и разделив выражение на сопря- жённое, получим неопределенность го типа, которую легко раскрыть

13 2
2 2
2 2
4 4
lim
4
lim
4 4
4 4
lim lim lim
2 4
4 4
1 1
1 1
x
x
x
x
x
( x
x
x)( x
x
x)
( x
x
x)
x
x
x
x
x
.
x
x
x
x
x
x
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
+
−
+
+
+
− =
=
+
+
=
=
=
=


+
+
+ +
+ +Пример Найти предел
0 1 cos 4
lim Имеем неопределённость вида
0 0
 
 
 
. Применим эквивалентные бесконечно малые При нахождении пределов часто используются первый и второй замечательные пределы :
1)
0
sin lim
1
x
x
x
→
=
; 2)
(
)
1 0
1
lim 1
lim Пример 3. Вычислить
2 3
5 1
lim
5 2
x
x
x
x
+
→∞
−




+


2 3
2 3
5 1
3
lim
1
lim 1 5
2 5
2
x
x
x
x
x
x
x
+
+
∞
→∞
→∞
−




 
=
=
−




 Приведем полученное выражение кому замечательному пределу
3
( 2 3)
5 2
5 2
2 3
6 9
6
lim
3 5
2 5
3 3
lim 1
lim
1 5
2 5
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
x
x
→∞
−
+
+
+
+
−
− Пример 4. Найти предел
2 2
5 2
9 5
lim
4 5
x
x
x
x
x
→ Для раскрытия неопределённости
0 0
 
 
 находим корни числителя
(
2 1
5 2
1
=
−
=
x
;
x
) и знаменателя (
1 5
2 1
=
−
=
x
;
x
).

14 5
5 1
1 1
2 (
5 )(
)
2 (
)
2 ( 5
)
1 1 2
2 2
lim lim
(
5 )(
1)
1 5
1 6
x
x
x
x
x
x
x
x
→ −
→ −
+
−
−
− −
=
=
=
+
−
−
− ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. Упражнение 1. Вычислить пределы числовых последовательностей.
1.
(
) (
)
(
) (
)
2 2
2 2
3 3
lim
3 3
n
n
n
n
n
→ ∞
−
+ +
−
− +
2.
(
) (
)
(
) (
)
4 4
4 4
3 2
lim
1 1
n
n
n
n
n
→ ∞
−
− −
−
− +
3.
(
)
(
)
3 3
2 2
1 2 8
lim
1 2 4
n
n
n
n
n
→ ∞
+
−
+
+
4.
(
)
(
) (
)
2 3
3 3 4
lim
3 3
n
n
n
n
→ ∞
−
−
− +
5.
(
)
(
) (
)
3 2
3 3
lim
1 1
n
n
n
n
→ ∞
−
+
− +
6.
(
) (
)
3 4
4 8
2
lim
1 1
n
n
n
n
n
→ ∞
−
+
− −
7.
(
) (
)
(
) (
)
4 4
2 2
2 2
lim
5 5
n
n
n
n
n
→ ∞
+
− −
+
+ −
8.
(
) (
)
(
) (
)
4 4
3 3
1 1
lim
1 1
n
n
n
n
n
→ ∞
+
− −
+
+ −
9.
(
) (
)
2 2
2 2
1 1
lim
1
n
n
n
n
n
→ ∞
+
− +
+ +
10.
(
)
3 4
2 8
2 5
9 1
lim
7
n
n
n
n
n
n
n
n
→ ∞
+
+
+
− +
11.
2 3
4 3
5 1
1
lim
3 3
1
n
n
n
n
n
→ ∞
− −
+
+ +
+
12.
3 3
3 1
1
lim
1 1
n
n
n
n
n
→ ∞
+ −
−
+ −
−
13.
3 2
3 4
12 1
7
lim
1
n
n
n
n
n
n
→ ∞
− +
+ + −
14.
3 3
5 3
1 125
lim
n
n
n
n
n
n
→ ∞
− −
+
−
15.
(
)
4 2
4 2
3 3
1 81 1
lim
5
n
n
n
n
n
n
n
n
n
→ ∞
+ +
− +
+
− +
16.
5 5
5 3
3
lim
3 3
n
n
n
n
n
→ ∞
+ −
−
+ +
−
17.
3 3
3 5
4 4
1 27 4
lim
n
n
n
n
n
n
→ ∞
+ −
+
−
+
18.
3 3
3 2
4 5
7 4
lim
5
n
n
n
n
n
→ ∞
− +
+
+ +
19.
(
)
4 4
2 11 25 81
lim
7 1
n
n
n
n
n
n
n
n
→ ∞
+
−
−
− +
20.
(
)
3 6
2 3
71 64 9
lim
11
n
n
n
n
n
n
n
→ ∞
−
+
−
+
21.
(
)
3 10 6
3 3
4 1
lim
1
n
n
n
n
n
n
n
→ ∞
+
+
+
−
22.
(
)
2 2
lim
1 1 .
n
n
n
n
→ ∞
+ +
−

15 23.
(
)
(
)
2
lim
2 3 .
n
n
n n
n
→ ∞
−
−
−
24.
(
)
3 3
lim
5
n
n
n
n n
→ ∞
−
−
25.
(
)(
)
2 2
4
lim
1 4
9
n
n
n
n
→ ∞


+
− −
−




26.
(
)
5 2
8 5
lim
n
n
n n n
n
→ ∞
− −
+
27.
(
)
3 3
lim
5 8 2
n
n
n
n
→ ∞
+
−
28.
(
)
3 3
2 3
3
lim
5 3
n
n
n
n
→ ∞
+
−
+
29.
(
)
(
)
2 2
3 3
lim
2 3
n
n
n
→ ∞


+
−
−




30.
(
)
(
)(
)
3 1
1 3
lim
n
n
n n
n
n
→ ∞
+
−
−
−
31.
(
)
2 2
lim
3 2
3 .
n
n
n
n
→ ∞
+
− −
−
32.
(
)
lim
2 3 .
n
n
n
n
→ ∞
+ −
−
33.
(
) (
)
(
)
3 2
6 8
3 3
lim
4 1 .
n
n
n
n
n
→ ∞
+
−
−
34.
(
)(
)
lim
1 2
n
n n
n
n
n
→ ∞


−
+
+


35.
(
)
(
)
3 2
3 3
lim
1 .
n
n
n
n n
→ ∞
−
−
36.
(
)
4 4
lim
3 2 .
n
n
n
n
→ ∞
+ −
−
37.
1 2
3
lim
2 1
n
n
n
n
+
→ ∞
+




+


38.
4 2
2 1
lim
n
n
n
n
→ ∞


−




39.
2 1
lim
3
n
n
n
n
+
→ ∞
−




+


40.
1 2
2 3
6 7
lim
3 20 1
n
n
n
n
n
n
− +
→ ∞


−
+


+
−


41.
3 1
10
lim
1
n
n
n
n
+
→ ∞
−




+


42.
2 2
2 1
lim
1
n
n
n
n
n
n
−
→ ∞


+ +


+ −


43.
2 1
lim
1
n
n
n
n
→ ∞
−




+


44.
2 2
2 5
3 1
lim
5 3
3
n
n
n
n
n
n
→ ∞


+
−


+
+


45 3
2 3
3 1
lim
1
n n
n
n
n
−
→ ∞


+


−


46.
2 2
2 7
18 15
lim
7 11 15
n
n
n
n
n
n
+
→ ∞


+
−


+
+


47.
2 2
3 3
1
lim
2
n
n
n
n
n
→ ∞


+ +Упражнение 2. Вычислите пределы функций
1.
4 2
4 5
2 1
,
2 3 3
lim
x
x
x
x
x
→∞
−
+
+
−
2.
0
arcsin 2 4
lim
x
x
x
→
3.
2 2
3 3
(
1)
(
1)
,
(
1)
(
1)
lim
x
x
x
x
x
→∞
+
+ −
+
− −
4.
2 2
0 2
4
,
3
lim
x
x
x
→
−
+

16 5.
3 3
2 1 2
,
4
lim
x
x
x
x
x
→∞
+
+
+
6.
2 9
4 5
,
81
lim
x
x
x
→
− −
−
7.
3 3
2 3
,
1
lim
x
x
x
→∞
−
−
8.
3 1
2cos sin(
3 )
lim
x
x
x
π
π
→
−
−
9.
0
sin 2 9
3
lim
x
x
x
→
+ −
10. cos
2 1 cos 2 1
lim
x
x
x
e
π
→
+
−
11.
0
sin 2 9
3
lim
x
x
x
→
+ −
12.
3 0
sin lim
x
tgx
x
x
→
−
13.
3
sin
3 0
1
lim
x
x
e
x
→
−
14.
2 1
1
,
1
lim
x
x
x
→
−
−
15.
2 2
1 5
4 7
6
lim
x
x
x
x
x
→
−
+
−
+
16.
2 2
5
lim
x
tgx
tg x
π
→
17.
3 5
22
,
1 4
lim
x
x
x
→−
−
−
−
+
18.
2 1
1
,
1
lim
x
x
x
→
−
−
19.
0 1
1
,
lim
x
x
x
x
→
+ −
−
20.
2
cos cos3
lim
x
x
x
π
→
21.
2 0
1 1 cos lim
x
x
e
x
→
−
−
22. Упражнение 3. Вычислите пределы функций.
1.
(
)
(
)
3 4
2 1
2 1
1
lim
4 5
x
x
x
x
x
x
→ −
−
−
+
+
−
2.
3 2
1 3
2
lim
x
x
x
x
x
→ −
−
−
+
3.
(
)
2 2
3 2
1 2
1
lim
2 2
x
x
x
x
x
x
→
− −
+
− −
4.
(
)
3 5
0 1
(1 3 )
lim
x
x
x
x
x
→
+
− +
+
5.
3 2
1 3
2
lim
2
x
x
x
x
x
→ −
−
−
− −
6.
3 2
3 2
1 5
3
lim
1
x
x
x
x
x
x
x
→
+
−
+
− − +
7.
4 4
2 1
1
lim
2 1
x
x
x
x
→
−
−
−
8.
3 2
1 3
2
lim
2 1
x
x
x
x
x
→−
−
−
+
+
9.
2 3
2 1
2 1
lim
1
x
x
x
x
x
x
→
−
+
−
− +
10.
3 8
1 3
lim
2
x
x
x
→ −
− −
+
11.
3 2
1 1
lim
1
x
x
x
→
−
−
12.
2 3
13 2
1
lim
9
x
x
x
x
→
+ −
+
−
13.
3 3
2 6
2
lim
8
x
x
x
→ −
− +
+
14.
4 16 2
lim
4
x
x
x
→
−
−

17 15.
2 0
1 2
(1
)
lim
x
x
x
x
x
→
−
+
− +
16.
3 3
3 4
0 27 27
lim
2
x
x
x
x
x
→
+ −
−
+
17.
3 3
0 1
1
lim
1 1
x
x
x
x
x
→
+ −
−
+ −
−
18.
3 2
4 2
lim
2 2
x
x
x
x
→
−
+ −
19.
3 4
16 4
lim
4 2
x
x
x
x
→
−
+ −
20.
3 3
3 2
0 5
27 27
lim
x
x
x
x
x
→
+ −
−
+
21.
3 2
3 2
3 0
8 3 2
lim
x
x
x
x
x
→
+
−
−
+
22.
4 16 2
3 2
lim
(
4)
x
x
x
→
−
−
23.
3 3
3
-2 6
2
lim
8
x
x
x
→
− +
+
24.
3 2
3 13 2
1
lim
9
x
x
x
x
→
+ −
+
−
25.
(
)
0
ln 1 sin lim sin 4
x
x
x
→
+
26.
2 0
1 cos10
lim
1
x
x
x
e
→
−
−
27.
2 0
3 5
lim sin 3
x
x
x
x
→
−
28 0
1 cos 2
lim cos 7
cos 3
x
x
x
x
→
−
−
29.
0 4
lim tg( (2
))
x
x
x
π
→
+
30.
3 2
0 1 cos lim
4
x
x
x
→
−
31.
0
arcsin 3
lim
2 2
x
x
x
→
+ −
32.
0 2
1
lim ln(1 2 )
x
x
x
→
−
+
33.
0 2
lim sin(2 (
10))
x
arctg x
x
π
→
+
34.
0
ln(1 7 )
lim sin( (
7))
x
x
x
π
→
−
+
35.
2 0
cos(
5 2)
lim arcsin 2
x
x
tgx
x
π
→
+
36.
0 9ln(1 2 )
lim
4 3
x
x
arctg x
→
−
37.
0 1
3 1
lim cos[ (
1) 2]
x
x
x
π
→
−
+
+
38.
0 1
cos lim sin
x
x
x
x
→
−
39.
3 0
arcsin 2
lim ln 2.
2 1
x
x
x
−
→
−
40.
2 2
4 0
sin lim
x
x
tg x
x
→
−
41.
0
sin lim
(1 cos 2 )
x
tgx
x
x
x
→
−
−
42.
2 2
0
ln(
1)
lim
1 1
x
x
x
→
+
−
+
43.
3 0
2(
1)
lim
3( 1 1)
x
x
e
x
π
→
−
+ −
44.
2 1 cos 3
lim sin 7
x
x
x
π
→
+

18 45.
2 1
1
lim ln
x
x
x
→
−
46.
2 1
1 1
lim ln
x
x
x
x
→
− + −
47.
)
4
(
2
sin
1
lim
2 4
x
x
x
−
−
→
π
π
48.
2 1
1 cos lim tg
x
x
x
π
π
→
+
49.
2
tg3
lim tg
x
x
x
π
→
50.
2 1
1 1
lim tg
x
x
x
x
π
→
− + −
51.
2 2
4 2
sin 7
sin 3
lim
x
x
x
x
e
e
π
π
→
−
−
52.
2
ln(5 2 )
lim
10 3 2
x
x
x
→
−
−
−
53.
2 1
3 3 1
lim sin
x
x
x
x
π
→
−
+ −
54.
2 5
3 2
1 3
3
lim tg
x
x
x
x
π
−
→
−
55.
4 2
16
lim sin
x
x
x
π
→
−
56.
4
ln tg lim cos 2
x
x
x
π
→
57. lim sin 5
sin 3
x
x
e
e
x
x
π
π
→
−
−
58.
2 2
ln(9 2
)
lim sin 2
x
x
x
π
→
−
59.
2 4
2 2
1 2
lim
2( 2 3
5 2)
x
x
x
x
x
−
→
−
−
−
+
60.
3 1 2 cos lim
3
x
x
x
π
π
→
−
−
61.
2 2
arctg(
2 )
lim sin 3
x
x
x
x
π
→
−
62.
1
cos(
2)
lim
1
x
x
x
π
→
−

19 Непрерывность функций. Асимптоты. Функция называется непрерывной в точке
a
x