Учебнометодическое пособие для студентов экономических специальностей орел 2005 2

• Название: Учебнометодическое пособие для студентов экономических специальностей орел 2005 2
• Дата: 19.09.2022
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: math_an_1.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #685348
• страница: 1 из 7

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОУ ВПО ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е.Н. Алексеева Математический анализ Часть 1 Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных
Учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей ОРЕЛ 2005

2
УДК 517.1/.2 (075.8) Печатается по решению редакционно-издательского совета университета, протокол № 1 от 29.09.05 Рецензенты кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и информатики Академии ФСО России Кирюхина Г.П. кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и информатики ОГУ Байдак В.Ю.
Е.Н. Алексеева. Математический анализ. Часть 1. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких действительных переменных
Учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей. –
ОГУ, 2005.
Учебно-методическое пособие составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом, с действующей программой по математике для экономических специальностей вузов и охватывает следующие разделы математического анализа Предел и непрерывность. Функции одной действительной переменной. Производная и дифференциал. Функции нескольких переменных. Пособие содержит учебную программу указанных разделов курса математического анализа, необходимые теоретические сведения, примеры решения задача также задания для самостоятельной работы студентов. Для студентов 1 курса экономических специальностей.
© ГОУ ВПО ОГУ, 2005
© Алексеева Е.Н.

3 Содержание Содержание. 3 Учебная программа ................................................................................................... 4 Рекомендуемая литература ........................................................................................ 5 Элементарные функции, их свойства и графики ...................................................... 6 Предел числовой последовательности и функции. 11 Непрерывность функций. Асимптоты. .................................................................... 19 Производная и дифференциал функции одной переменной. Формулы Тейлора и
Маклорена................................................................................................................ 26 Правило Лопиталя вычисления пределов. .............................................................. 40 Теоремы о дифференцируемых функциях. ............................................................. 48 Общая схема исследования функции ...................................................................... 51 Функции двух переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Производная по направлению. Градиент. ............................................................... 54 Экстремумы функций двух переменных. Условные экстремумы. ......................... 62

4 Учебная программа Раздел 1. Введение в математический анализ.
1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. Понятие множества. Операции надмножествами. Диаграммы Эйлера-Вена. Числовые множества. Промежутки. Модуль действительного числа. Окрестность точки. Понятие грани числового множества. Теорема о существовании конечных граней.
2. ФУНКЦИИ. Понятие функции. Основные свойства функции. Основные элементарные функции и их свойства. Определение обратной и сложной функции. Неявная функция. Элементарные функции. Преобразования графиков элементарных функций.
3. ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. Понятие предела числовой последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Теоремы о переходе к пределу в неравенствах. Признак сходимости монотонной последовательности. Понятие о числе е. Теорема о стягивающейся системе вложенных отрезков. Теорема Больцано-Вейерштрасса (формулировка. Понятие верхнего и нижнего предела последовательности.
4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. Понятие предельной точки числового множества. Определения предела функции в точке по Коши. Бесконечно большие функции. Свойства функций, имеющих в точке конечный предел. Теорема о предельном переходе в сложной функции. Односторонние пределы. Замечательные пределы. Бесконечно малые функции и их свойства. Эквивалентные бесконечно малые функции. Асимптоты.
5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ. Понятие непрерывной функции. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных в точке. Теоремы Больцано-
Коши и Вейерштрасса о функции, непрерывной на отрезке. Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ. Понятие производной. Геометрический, механический и экономический смысл производной. Дифференци- руемость функции. Дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифферен- цируемости функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного. Производная сложной функции. Производная неявной функции. Производные основных элементарных функций. (Таблица производных. Понятие о производных высших порядков. Логарифмическое дифференцирование.
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Правила Лопиталя. Условия монотонности функции на интервале. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Выпуклость функции. Точки перегиба. Общая схема исследования функции и построение ее графика. Формулы Тейлора и Маклорена. Использование формулы Маклорена для приближенных вычислений. Приложение производной в экономической теории. Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Функции нескольких переменных, их непрерывность. Частные производные. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала от функции двух переменных. Производная по направлению. Градиент. Понятие функции, заданной неявно. Теорема о существовании и дифференцировании неявно заданной функции. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора для функции двух переменных. Экстремумы функции двух переменных. Условные экстремумы. Метод Лагранжа решения задачи на условный экстремум. Функции нескольких переменных в экономической теории. Рекомендуемая литература
1. В.Ф. Бутузов, НЧ. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. Шишкин. Математический анализ в вопросах и задачах. - М, Физ-мат.лит, 2000 2. Высшая математика для экономистов. Учебник для ВУЗов. Под ред. Кре- мера Н.Ш., ЮНИТИ., г. (е изд. . 1999 г)
3. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. Ермакова В.И., М, ИНФРА - Мг. Справочник по математике для экономистов. Под ред. Ермакова В.И., М,
ВШ, 1997 г.
5. ПЕ. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах, в х ч, М, ВШ, 1997 г.
6. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. Ермакова
В.И., М, ИНФРА - Мг. О.О. Замков, Ю.А. Черемных, А.В. Толстопятенко. Математические методы в экономике - М, "Дело и сервис, 1999 8. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа ч. М Наука. Зорин В.А. Математический анализ ч М Наука, 1981.
10. Демидович Б.П. Сборник задачи упражнений по математическому анализу. М Наука, 1990.
11. Виленкин Н.Я., Мордкович А.Г., Куницкая Е.С. Математический анализ. М Просвещение, 1988.
12. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М Наука,
1967.

6 Элементарные функции, их свойства и графики Область определения, основные свойства.При решении задач необходимо использовать известные из школьного курса свойства основных элементарных функций показательной
x
a
x
f
=
)
(
, логарифмической
x
x
f
a
log
)
(
=
, тригонометрических, степенной
α
x
x
f
=
)
(
(и для любого вещественного показателя степени, и наиболее важные частные случаи
b
kx
x
f
+
=
)
(
,
c
bx
ax
x
f
+
+
=
2
)
(
,
x
x
f
=
)
(
,
1
( )
f x
x
=
). Пример 1. Найти область определения функции
4 Решение Известно, что корень четной степени определен только при неотрицательном подкоренном выражении. Таким образом, решая неравенство
0 4
2
≥
−
x
, получаем, что
2
≥
x
или
2
−
≤
x
. Поэтому
)
,
2
[
]
2
,
(
)
(
+∞
∪
−
−∞
=
f
D
(использовано стандартное обозначение для области определения функции f). Одним из наиболее важных, часто учитывающихся в практических задачах, свойств функции является ее четность или нечетность. Как известно, функция
)
(x
f
называется четной (нечетной, если выполняются два условия область определения функции симметрична относительно начала координат и при любом x из области определения справедливо равенство
)
(
)
(
x
f
x
f
=
−
(соответственно, Пример 2. Обладают ли свойством четности (нечетности) функции
1
)
(
3
+
=
x
x
f
на естественной области определения
2 3
)
(
2
−
=
x
x
g
на естественной области определения
2 3
)
(
2
−
=
x
x
p
при
]
2
;
1
[
−
∈
x
;
x
x
r
=
)
(
на естественной области определения
x
x
x
cos
)
(
=
ϕ
на естественной области определения. Решение В данном примере функция f(x) определена для всех вещественных аргументов, те. D(f) симметрична относительно начала координат. Так как
1 1
)
(
)
(
3 3
+
−
=
+
−
=
−
x
x
x
f
, то очевидно, что
)
(
)
(
x
f
x
f
≠
−
и
)
(
)
(
x
f
x
f
−
≠
−
, тени одним из интересующих свойств функция не обладает (такие функции называются функциями общего вида. Функция g(x), область определения которой также все множество вещественных чисел, является четной в силу равенства
)
(
2 3
2
)
(
3
)
(
2 2
x
f
x
x
x
f
=
−
=
−
−
=
−
. У функции p(x) область определения – отрезок [-1;2], ау интервал
)
;
0
[
+∞
. Эти множества несимметричны относительно начала координат, поэтому функции p(x), r(x) свойством четности и нечетности не обладают. Наконец,
( )
x
ϕ
определена на всей вещественной оси и
(
)
(
) cos(
)
cos
( )
x
x
x
x
x
f x
ϕ
− = −
− = −
= −
, поэтому это нечетная функция. Замечание График четной функции симметричен относительно оси OY, график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Примером могут послужить графики хорошо известных функций
2
x
y
=
, Преобразования графиков элементарных функций.В таблице 1 приведены правила, с помощью которых, зная графики основных элементарных функций, можно получать эскизы графиков более широкого класса функций. Следует обратить внимание на то, что некоторые преобразования проводятся либо с самим графиком, либо с осями координат. Таблица 1 Правила преобразования графиков функций ФУНКЦИЯ ДЕЙСТВИЯ С ГРАФИКОМ ДЕЙСТВИЯ С ОСЯМИ Переместить график на |b| единиц по оси OY вверх при и вниз при
0
<
b
) Перенести ось абсцисс на
|b| единиц вниз при вверх при
0
<
b
). Переместить график
)
( на |a| единиц по оси OX вправо при
0
<
a
, влево при
0
>
a
). Перенести ось ординат на
|a| единиц (влево при
0
<
a
, вправо при
0
>
a
). Отобразить график симметрично относительно оси абсцисс (оси иногда говорят о зеркальном отображении График
)
( x
f
отобразить симметрично относительно оси ординат (оси OY). Увеличить ординаты базового графика враз при
C>1 или уменьшить враз при 0 У базового графика уменьшить абсциссы враз при
C>1 или увеличить их враз при 0 Оставить график
)
(x
f
без изменения там, где
0
)
(
≥
x
f
; фрагменты графика, соответствующие условию, отобразить симметрично относительно оси OX. Пример 3. С помощью преобразования графика гиперболы
x
y
/
1
=
построить график функции
3 Решение Сначала необходимо выделить целую часть данной дробно- рациональной функции
3 1
1 3
1 3
3 2
+
−
=
+
−
+
=
+
+
=
x
x
x
x
x
y
. Далее последовательно выполняются следующие действия
1) построить график функции
x
y
1
=
;
2) сдвинуть его на 3 единицы влево по оси OX (получить график функции
)
3
(
1
+
=
x
y
);
3) полученный график симметрично отобразить относительно оси OX (график функции
)
3
(
1
+
−
=
x
y
);
5) сдвинуть его на единицу вверх вдоль оси OY (график заданной функции. Результат построений можно видеть на рисунке 1.1. Пример Построить график функции Решение Так как



<
−
≥
=
0
если
,
0
если
,
|
|
u
u
u
u
u
, то формулу, задающую функцию, можно преобразовать



<
<
−
≥
=



<
−
≥
=
=
1 0
если
,
lg
1
если
,
lg
0
lg если если (1.1) В соответствии с рекомендациями из таблицы, которые "подтверждены" формулой, необходимо оставить без изменения фрагмент "базового" графика десятичного логарифма при
)
,
1
[
+∞
∈
x
. Для
)
1
,
0
(
∈
x
соответствующий фрагмент базового графика отображается симметрично относительно оси OX. Результат см. на рисунке 1.2. Пример 5. Построить график функции
7 4
)
(
2
+
−
=
x
x
x
f

9 Решение При исследовании квадратичной функции полезно выделять полный квадрат
3
)
2
(
7 4
4 2
2
)
(
2 Теперь можно использовать правила преобразования графиков. Строим график параболы
2
x
y
=
, сдвигаем его по осина единицы вправо и поднимаем по осина единицы. См. рисунок ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. Упражнение 1. Найти область определения данных функций
1)
)
7 6
lg(
)
(
2
x
x
x
f
−
+
=
2)
x
x
f
2
cos
1
)
(
=
3)
x
x
x
f
−
+
−
=
6 1
1
)
(
4)
1
)
(
2
+
=
x
x
x
f
5)
)
1 2
lg(
)
(
2
+
+
=
x
x
x
f
6)
3 Упражнение 2. Проверить, являются ли данные функции четными (нечетными. При отсутствии дополнительных указаний рассматривать функции на естественной области определения.
1)
x
x
x
f
2
)
(
5
−
=
2)
x
x
x
f
sin
)
(
3
−
=
3)
2
lg
)
(
x
x
f
=
4)
,
3
sin
)
(
x
x
x
f
=
)
;
(
3 3
−
∈
x
5)
1 3
2
)
(
4
+
−
=
x
x
x
f
7)
x
x
x
f
tg
)
(
−
=
,
)
1
;
2
(
−
∈
x
8)
x
x
x
f
2
cos
)
(
4
+
=
9)
x
x
x
f
2
)
(
2
+
=
10)
x
x
x
f
+
=
3
)
(
,
]
1
;
3
[
−
∈
x
11)
3
)
(
x
x
f
=

10
6)
x
x
x
f
sin cos
)
(
−
=
12)
x
x
x
f
−
+
=
2 Упражнение 3. Найти области изменения данных функций
1)
x
x
f
3
cos
2 1
)
(
−
=
;
2)
14 5
)
(
2
−
+
=
x
x
x
f
;
3)
x
x
f
2 1
)
(
=
, Упражнение 4. Используя правила преобразования графиков элементарных функций, построить графики
1)
2 3
)
(
2
+
−
=
x
x
x
f
2)
x
x
x
f
−
=
|
|
)
(
3)
|
1 4
|
)
(
2
+
−
=
x
x
x
f
4)
10 3
lg
)
(
−
=
x
x
f
5)
|
3 18
|
)
(
2
x
x
x
f
−
−
=
6)
x
x
x
f
6
)
(
2
+
=