Учебнометодическое пособие для студентов экономических специальностей орел 2005 2

• Название: Учебнометодическое пособие для студентов экономических специальностей орел 2005 2
• Дата: 19.09.2022
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: math_an_1.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #685348
• страница: 5 из 7

=
определена всюду в некоторой окрестности точки c. Говорят, что функция
)
(x
f
y
=
возрастает (убывает в точке c, если найдется такая окрестность точки c, в пределах которой
)
(
)
(
c
f
x
f
>
при
c
x
>
и
)
(
)
(
c
f
x
f
<
при
c
x
<
(
)
(
)
(
c
f
x
f
<
при
c
x
>
и
)
(
)
(
c
f
x
f
>
при
c
x
< ). Теорема 1. Если функция
)
(x
f
y
=
дифференцируема в точке c и
0
)
(
>
′ c
f
(
0
)
(
<
′ c
f
), то эта функция возрастает (убывает) в точке c. Говорят, что функция
)
(x
f
y
=
имеет в точке локальный максимум (минимум, если найдется такая окрестность точки c, в пределах которой значение
)
(c
f
является наибольшим (наименьшим) среди всех значений этой функции. Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум. Теорема 2 (Ферма Если функция
)
(x
f
y
=
дифференцируема в точке c и имеет в этой точке локальный экстремум, то
0
)
(
=
′ Точки из области определения функции, в которых производная существует и равна 0, называются стационарными. Теорема 3 (Ролля). Пусть функция
)
(x
f
y
=
непрерывна на сегмента
]
,
[ b
a
и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Пусть, кроме того,
)
(a
f
=
)
(b
f
. Тогда внутри сегмента
]
,
[ b
a
найдется точка
ξ
такая, что значение производной в этой точке
)
ξ
(
f
′
равна нулю. Теорема 4 (Лагранжа Пусть функция
)
(x
f
y
=
непрерывна на сегмента и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента, то внутри сегмента
]
,
[ b
a
найдется точка
ξ
такая, что справедлива формула Далее можно утверждать, что найдется такое (зависящее от
x
∆
) число из интервала
1 0
<
< θ
, что
x
x
∆
θ
+
=
0
ξ
. Тогда можно записать формулу Лагранжа в виде
)
(
)
(
)
(
0 В таком виде формула Лагранжа называется формулой конечных приращений.

49 Теорема 5. Если функция
)
(x
f
y
=
дифференцируема на интервале
)
,
( b
a
и если всюду на этом интервале
0
)
(
=
′ x
f
, то функция
)
(x
f
является постоянной на интервале
)
,
( Теорема 6. Для того чтобы дифференцируемая на интервале
)
,
( b
a
функция не убывала (не возрастала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная этой функции была неотрицательной (неположи- тельной) всюду на этом интервале. Теорема 7. Для того чтобы дифференцируемая на интервале
)
,
( b
a
функция возрастала (убывала) на этом интервале, достаточно чтобы производная этой функции была положительной (отрицательной) всюду на этом интервале. Теорема 8 (Первое достаточное условие экстремума Пусть точка c является стационарной точкой функции
)
(x
f
. Тогда, если в некоторой окрестности производная
)
(x
f
′
положительна (отрицательна) слева от точки c и отрицательна (положительна) справа от точки c, то функция
)
(x
f
имеет в точке c локальный максимум (минимум. Если же производная
)
(x
f
′
имеет один и тот же знак слева и справа от точки c, то экстремума в точке c нет. Теорема 9 (Второе достаточное условие экстремума Пусть функция
)
(x
f
имеет в стационарной точке c конечную вторую производную. Тогда функция
)
(x
f
имеет в точке c максимум, если
0
)
(
<
′′ c
f
, и минимум, если
0
)
(
>
′′ Теорема 10. Пусть функция
)
(x
f
дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки c, за исключением, быть может, самой точки c, и непрерывна в точке c. Тогда, если в пределах указанной окрестности производная
)
(x
f
′
положительна (отрицательна) слева от точки c и отрицательна (положительна) справа от точки c, то функция
)
(x
f
имеет в точке c локальный максимум (минимум. Если же производная
)
(x
f
′
имеет один и тот же знак слева и справа от точки c, то экстремума в точке c нет. Будем говорить, что график функции
)
(x
f
y
=
имеет на интервале
)
,
( b
a
выпуклость направленную вниз (вверх если график этой функции в пределах указанного интервала лежит не ниже (не выше) любой своей касательной. Теорема 11. Если функция
)
(x
f
имеет на интервале
)
,
( b
a
конечную вторую производную и если эта производная неотрицательна (неположительна)

50 всюду на этом интервале, то график функции
)
(x
f
y
=
имеет на интервале
)
,
( b
a
выпуклость, направленную вниз (вверх. Теорема 12. Пусть вторая производная функции
)
(x
f
y
=
непрерывна и положительна (отрицательна) в точке c. Тогда существует такая окрестность точки, в пределах которой график функции)
)
(x
f
y
=
имеет выпуклость, направленную вниз (вверх. Таким образом, направление выпуклости графика функции полностью характеризуется знаком второй производной этой функции. Точка
))
(
,
(
c
f
c
M
графика функции
)
(x
f
y
=
называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки c оси абсцисс, в пределах которой график функции
)
(x
f
y
=
слева и справа от нее имеет разные направления выпуклости. Теорема 13 (необходимое условие перегиба Если график функции
)
(x
f
y
=
имеет перегиб в точке
))
(
,
(
c
f
c
M
и если функция имеет в этой точке c непрерывную вторую производную, то
0
)
(
=
′′ Теорема 14 (Первое достаточное условие перегиба Пусть функция
)
(x
f
y
=
имеет вторую производную в некоторой окрестности точки c и
0
)
(
=
′′ c
f
. Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная
)
(x
f
′′
имеет разные знаки слева и справа от точки c, то график этой функции имеет перегиб в точке Теорема 15 (Второе достаточное условие перегиба Если функция
)
(x
f
y
=
имеет в точке c конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиями, то график этой функции имеет перегиб в точке Теорема 16 (Третье достаточное условие экстремума и перегиба Пусть n - некоторое целое положительное число, и пусть функция имеет в некоторой окрестности точки c производную порядка (n+1), причем указанная производная непрерывна в самой точке c. Пусть далее, справедливы следующие соотношения
0
)
(
)
(
)
(
)
(
=
=
=
′′′
=
′′
c
f
c
f
c
f
n
, Тогда, если (n+1) - нечетное число, то график функции
)
(x
f
y
=
имеет перегиб в точке
))
(
,
(
c
f
c
M
. Если же (n+1) - четное число и, кроме того,
0
)
(
=
′ c
f
, то функция
)
(x
f
y
=
имеет локальный экстремум в точке
c
x
=
, точнее, максимум, если
0
)
(
)
1
(
<
+
c
f
n
, и минимум, если Общая схема исследования функции Приведем план исследования дифференцируемой функции.
1. Определить область определения функции.
2. Выяснить, является данная функция четной или нечетной.
3. Исследовать функцию на непрерывность, выяснить характер точек разрыва, сделать вывод о наличии вертикальных асимптот.
4. Исследовать функцию на наличие наклонных асимптот.
5. Определить интервалы возрастания и убывания функции, а также точки экстремума с помощью первой производной, вычислить min
y
и max
y
6. С помощью второй производной найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.
7. Вычислить значение функции в некоторых контрольных точках (например, значение функции вначале координат, точки пересечения с координатными осями.
8. Построить график функции. Очевидно, что порядок следования пунктов может быть изменен при решении каждой конкретной задачи. Пример 1. Построить график функции
3 2
2 4
x
y
x
=
−
1. Функция определена и непрерывна при всех x
∈
R, кроме точек x = ± 2.
2. Функция нечетна, т.к. y(-x) = -y(x), график функции симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно провести исследование в интервале. Прямая x = 2 является вертикальной асимптотой, т.к.
3 2
2 2
lim
4
x
x
x
→
= ∞
−
4. Найдем наклонную асимптоту
2 2
2
lim
2 4
x
x
k
x
→±∞
=
=
−
,
2 8
lim (
2 )
lim
0,
4
x
x
x
b
y
x
x
→±∞
→±∞
=
−
=
=
−
то есть данная кривая имеет наклонную асимптоту y = 2x.
5. Для нахождения промежутков возрастания и убывания найдем первую производную
2 2
4 2
2 2
2 2
2 6
(
4)
4 2
(
12)
(
2)
(
4)
x
x
x
x x
y
x
x
− −
−
′ В промежутке [0,∞) функция обращается в нуль в точках x = 0, x = 2 3
и обращается в бесконечность в точке x = 2.

52 6. Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба, найдем вторую производную
2 2
3 16 (
12)
(
4)
x x
y
x
+
′′ =
−
y'' обращается в нуль в точке x = 0 ив бесконечность в точке x = 2. Ясно, что в интервале (0,2) y'' меньше нуля и поэтому функция выпукла вверх, а в интервале
(2,2 3
) и (2 3
,∞) y''>0 и функция выпукла вниз. Кроме того, точка x = 0 является точкой перегиба, т.к. вторая производная меняет знак при переходе через эту точку.
7. y
min
(2 3
) = 6 3 , y(0) = 0. Используя результаты исследования и учитывая нечетность функции, получим график (рис. Рис. График функции
3 2
2 4
x
y
x
=
−
x
(0,2)
2
(2,2 3)
2 3
(2 3, )
∞
y
′
<0
<0
>0 вып.
–-
↓
вогн. min
↑
вогн.
y
′′
<0
>0
>0

53 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. Упражнение 1. Провести полное исследование функций и построить их графики.
(
) (
)
2 2
9 6
3 2
13 .
y
x
x
x
x
= +
−
−
+
9.
(
) (
)
(
)
2 1
1
y
x
x
=
−
+
10.
(
)
4 3
3 1
y
x
x
=
+
11.
(
)
2 4
2 3 .
y
x
x
=
+
−
12.
(
)
( )
2 1
2 3 e
x
y
x
−
+
=
+
13.
( )
(
)
2 1
e
2 1
x
y
x
+
=
+
14.
3ln
1.
3
x
y
x
=
−
−
15. ln
1.
2
x
y
x
=
+
+
16.
( )
(
)
2 1
e
2 1
x
y
x
−
=
−
17.
5
ln
2.
x
y
x
−
=
+
18.
(
)
(
)
2 3
2 4
1 .
y
x
x
x
=
−
−
+
19.
(
)
2 2
3 4
3 .
y
x
x
=
−
+
20.
(
)
2 2
3 2 .
y
x
x
=
+
21.
(
)
2 3
2 3
1
y
x
x
=
−
−
22.
(
)
(
)
2 2
3 3
1 2 .
y
x
x
=
−
−
−
23.
(
)
1 sin cos
y
x
x
=
−
24.
(
)
ln sin cos
y
x
x
=
−
25.
(
)
2 1 sin cos
y
x
x
=
+
26.
3
sin .
y
x
=
27. cos .
y
x
=
28. cos sin e
x
x
y
−
=

54 Функции двух переменных. Частные производные. Полный дифференциал. Производная по направлению. Градиент. Пусть даны два непустых множества D и E. Если каждой паре действительных чисел х у, принадлежащей множеству D, по определенному правилу ставится в соответствие один и только один элемент из E, то говорят, что на : множестве D задана функция f со множеством значений E. При этом пишут z = f(x, у. Множество D называется областью определения функции, а множество E, состоящее из всех чисел вида f(x,y), где х y )
∈ D , — множеством значений функции. Область определения функции z = f(x, у) в простейших случаях представляет собой либо часть плоскости, ограниченную замкнутой кривой, причем точки границы области могут принадлежать или не принадлежать области определения, либо всю плоскость.Графиком функции z = f(x, у) в прямоугольной системе координат хОу является некоторая поверхность. Аналогично определяется функция любого конечного числа независимых переменных Линией уровня функции z = f(x, у) называется линиях, у) = Сна плоскости хОу. Рассмотрим понятие частной производной функции на примере функции двух действительных переменных. Для функций трех и более переменных данное понятие вводится аналогично. Частной производной от функции z = f(x, у) попеременной х называется конечный предел
(
) ( вычисленный при постоянному Частной производной от функции z = f(x, у) попеременной называется конечный предел
(
) ( вычисленный при постоянном x. Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.
Пример1.Найти частные производные функции
y
xy
x
xy
y
z
ln sin
5 2
2 Решение. Рассматривая у как постоянную величину, получим

55
xy
y
x
y
x
z
cos
10 2
2
+
−
−
=
∂
∂
; Рассматривая как постоянную величину, получим
y
xy
x
x
y
y
z
1
cos
2 Полным приращением функции z = f(x, у в точке Мху называется разность
)
,
(
)
,
(
y
x
f
y
y
x
x
f
z
−
∆
+
∆
+
=
∆
, где
y
x
∆
∆
,
— произвольные приращения аргументов. Функция z = f(x, у называется дифференцируемой в точке (х у, если в этой точке полное приращение можно представить в виде
)
(
ρ
ο
+
∆
+
∆
=
∆
y
B
x
A
z
,
)
(
ρ
ο
- бесконечно малая от
ρ
,
( ) ( )
2 Полным дифференциалом функции z = f(x, у называется главная часть полного приращения, те. Доказывается, что
( )
M
x
z
A
∂
∂
=
,
( )
M
y
z
B
∂
∂
=
. Приращения переменных x и y называются дифференциалами аргументов и обозначаются Таким образом, полный дифференциал функции z=f(x, у) вычисляется по формуле Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов u = f(x, у, z) вычисляется по формуле
dz
z
u
dy
y
u
dx
x
u
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
Пример2.Найти полный дифференциал функции
y
x
x
z
+
−
=
2 Решение. Найдем частные производные функции
y
x
x
z
+
−
=
∂
∂
2 1
4
;
y
x
y
z
+
−
=
∂
∂
2 2
1

56 Следовательно,
dy
y
x
dx
y
x
dz








+
−
+








+
−
=
2 2
1 2
1 Частными производными второго порядка функции z = f(x, у называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Обозначения частных производных второго порядка
2 2
x
z
x
z
x
∂
∂
=






∂
∂
∂
∂
;
2 2
y
z
y
z
y
∂
∂
=




∂
∂
∂
∂
;
y
x
z
y
z
x
∂
∂
∂
=




∂
∂
∂
∂
2
; Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и более высокого порядка.