Учебнометодическое пособие для студентов экономических специальностей орел 2005 2
 Скачать 0.52 Mb.
|
|
= 0 , если в этой точке существует предел равный значению функции в этой точке Функция называется непрерывной на сегменте [ α , β ], если она непрерывна в каждой точке сегмента [ α , β ]. Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва. Точка a x = 0 называется точкой устранимого разрыва функции ) (x f y = , если предел функции в этой точке существует, нов точке a функция ) (x f или не определена, или ее частное значение ) (a f в точке a неравно предельному значению. Пример = ≠ = 0 , 2 Точка a x = 0 называется точкой разрыва города функции, если в этой точке функция ) (x f имеет конечные, ноне равные друг другу правый и левый пределы ) ( lim ) ( lim 0 Пример < − = > = = 0 , 1 0 , 0 Точка a x = 0 называется точкой разрыва города функции, если в этой точке ) (x f не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности. Пример x x f 1 sin ) ( = 20 Пример 1. Исследовать функцию на непрерывность. Построить график функции. Указать точки разрыва функции, если они существуют. , 0 1 cos , 0 sin , x x x x x x π π ≤ − < В интервалах ( ) ( ) ( ) ∞ π π ∞ − , , , , , 0 0 функция непрерывна. Исследуем на непрерывность функцию в точках 0 = x и π = x 2 0 0 0 lim 0;lim(1 cos ) 1 lim cos 1 1 0 x x x x x x → → → = − = − = − При х имеем 2 0 0 0 lim 0;lim(1 cos ) 1 lim cos 1 1 0 x x x x x x → → → = − = − = − Таким образом, в точке х функция непрерывна. При х π функция имеет разрыв го типа. Строим график функции, выбирая удобный масштаб -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 ,1 41 59 27 -1 ,9 63 49 54 -0 ,7 85 39 82 0, 39 26 99 08 1, 57 07 96 33 2, 74 88 93 57 3, 92 69 90 82 5, 10 50 88 06 6, 28 31 85 31 7, 46 12 82 55 8, 63 93 79 Рис. 1 Пример 2. Найти и классифицировать точки разрыва функции 2 sin 2 ( ) x f Решение. Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, непрерывны при всех вещественных x. Однако знаменатель обращается в нуль при x=0 и x=-1, те. эти точки не принадлежат области определения и являются точками разрыва. Исследуем каждую из них. 21 2) Рассмотрим x=0. Так как 2 0 0 0 sin 2 2 2 lim lim lim 2 ( 1) 1 x x x x x x x x x x → → → = = = + + + , а рассматриваемая точка не принадлежит области определения, заключаем, что x=0 – точка устранимого разрыва. 3) Пусть теперь x=-1. Так как при 1 x → − 2 0 x x + → , а sin 2 sin 2 x → − , то заключаем, что 2 1 sin 2 lim x x x x →− = ∞ + . Следовательно, x=-1 – точка разрыва второго рода. Говорят, что прямая a x = является вертикальной асимптотой графика функции ) (x f y = , если хотя бы одно из предельных значений ) ( lim 0 x f a x + → или равно ∞ или Говорят, что прямая b kx Y + = называется наклонной асимптотой графика функции ) (x f y = при +∞ → x , если функции ) (x f y = представима в виде ) ( α ) ( x b kx x f + + = , где Для того чтобы график функции имел при +∞ → x наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предельных значения и Аналогично определяется наклонная асимптота при Пример 3. Найти асимптоты и построить график функции 2 Прямые хи х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой, т.к. 2 3 9 lim 9 x x →± = Найдем наклонные асимптоты 0 9 9 lim 2 = − = ∞ → x k x 22 0 1 9 9 lim 9 9 lim 2 2 = − = − = ∞ → ∞ → x x x x b x x y = 0 – горизонтальная асимптота. - 7. 5 - 5 - 2. 5 2. 5 5 7. 5 - 6 - 4 - 2 2 4 Пример 4. Найти асимптоты и построить график функции 2 3 2 Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой. Найдем наклонные асимптоты. 1 2 1 3 2 1 lim 2 3 2 lim ) 2 ( 3 2 lim 2 2 2 2 = + + − = + + − = + + − = ∞ → ∞ → ∞ → x x x x x x x x x x x k x x x 2 2 2 2 3 2 3 2 lim lim 2 2 3 4 4 3 lim lim 4 2 2 1 x x x x x x x x x x b x x x x x x x → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ − + − + − − = − = = + + − + − + = = = Прямая ух является наклонной асимптотой. 23 - 10 - 5 5 10 - 20 - 15 - 10 - 5 5 10 15 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. Упражнение 1. Задана функция ( ) y f x = . Найти точки разрыва функции, если они существуют, выяснить их характер. Сделать чертеж. 1. 1, 0, ( ) 1, 0 1, 2 , 1. x x f x x x x + < = ≤ ≤ > 2. 2 2 , 0, ( ) 1, 0 1, 2, 1. x x f x x x x − ≤ = + < ≤ > 3. 2 , 0, ( ) 1, 0 1, 2 , 1. x x f x x x x − ≤ = ≤ ≤ > 4. 2 ( 1), 1, ( ) ( 1) , 1 0, , 0. x x f x x x x x − + ≤ − = + − < ≤ > 5. 3 1, 1, ( ) 2, 1 2, 3 , 2. x x f x x x x + < = ≤ ≤ > 6. > − ≤ ≤ − < + = 2 , 2 1 , 2 0 , ) 1 ( , 0 , 1 ) ( 2 x x x x x x x f 7. > − ≤ < − − − ≤ = 1 , 1 1 , 1 1 , 2 , 1 , 2 ) ( x x x x x x f 8. 2 cos , 0 ( ) (1 ) , 0 1 4 , 1 x x f x x x x x < = + ≤ < − ≥ 24 9. 2 , 0 ( ) , 0 4 cos , 4 x x f x tgx x x x π π − < = ≤ < ≥ 10. 3sin , 0 ( ) 2 , 0 1 3 , 1 x x f x x x x x ≤ = + < < ≥ 11. > − ≤ ≤ < − = 2 1 2 0 0 2 x , x x , x x , x ) x ( f 12. ≥ + < ≤ < + = 2 2 2 0 2 0 1 2 x , x x , x x , x ) x ( f 13. ≥ − < < ≤ − = 2 4 2 0 2 0 1 2 x , x x , x , ) x ( ) x ( f 14. 0 sin 0 2 2 2 x, x π f(x) x, x π x, x − < = ≤ < − ≥ 15. 1 2 , 0 ( ) 2sin 1, 0 4 , x x f x x x x x π π − ≤ = + < < − ≥ 16. ≥ < < − ≤ + = 3 2 3 1 4 1 2 2 x , x , ) x ( x , x ) x ( f 17. 2 sin , 2 ( ) , 2 2 6 , 2 x x f x x x x x π π ≤ = < Упражнение 2. Исследовать функцию на непрерывность, исследовать характер точек разрыва, найти асимптоты и схематично построить график. 1. ( ) ( ) 2 17 4 5 . y x x = − − 2. ( ) 2 2 1 4 3. y x x = + − 3. ( ) ( ) 3 2 4 3 4 . y x x x = − − 4. ( ) ( ) 2 4 9 4 8 . y x x = + + 25 5. ( ) ( ) 2 2 6 4 3 2 . y x x x = − + − 6. ( ) 2 2 3 10 4 1. y x x = − − 7. ( ) ( ) 3 2 2 2 2 9 3 2 3 . y x x x x = + − − − 8. ( ) ( ) 3 4 e x y x − + = + 9. 3 e 3 x y x − = − 10. 6 ln 1. x y x + = − 11. 1 2 ln 1. x y x − = + 12. ( ) 4 1 1 . y x = − 13. ( ) ( ) 2 2 y x x = − + 14. ( ) 3 2 32 y x x = − 15. ( ) ( ) 2 2 4 1 2 4 . y x x x = + + + 16. ( ) 3 3 2 y x x = − 17. ( ) ( ) 2 2 6 9 1 . y x x x = − + − 18. ( ) 3 3 27 54 y x x x = − + 19. ( ) 3 2 4 y x x = − 20. ( ) ( ) 2 2 3 3 1 2 . y x x = + − + 21. ( ) 2 3 1 . y x x = − 26 Производная и дифференциал функции одной переменной. Формулы Тейлора и Маклорена. Производной функции ( ) x f y = называется предел, если он существует, отношения приращения функции y ∆ к приращению аргумента x ∆ , когда x ∆ стремится к 0: 0 ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) x o x y y x x y x y x f x x x ∆ → ∆ → ∆ + ∆ Кроме y ′ для производной функции ( ) x y используются также обозначения dx dy , где dy и dx называются соответственно дифференциалом функции ( ) x y и дифференциалом аргумента x . Дифференциалом первого порядка функции ( называется та часть приращения функции при приращении аргумента dx , которая линейно зависит от dx . То, по определению дифференциал функции dy равен произведению её производной на дифференциал аргумента dy : ( Если приращение x ∆ аргумента мало по абсолютной величине, то y dy ∆ ≈ и ( ) ( ) ( ) f x x f x f x x ′ + ∆ ≈ + ∆ . Таким образом, дифференциал функции может применяться для приближенных вычислений. Геометрически производная функции в точке x представляет собой тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси Ox: α = ′ tg ) x ( y . Т.к. производная характеризует скорость изменения функции при изменении аргумента, то физический смысл производной повремени от вектора перемещения – скорость dt r d → . Производная повремени от скорости – ускорение 2 Операция нахождения производной функции называется дифференцированием функции. При нахождении производных и дифференциалов функции ( ) y f x = применяются следующие правила ( ) ' ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x + = + (1) ( ) ' ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) f x g x f x g x f x g x = + (2) ( ) ' ( ) '( ) Cf x Cf x = (3) ' 2 ( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) f x f x g x g x f x g x g x − = (4) ' 0 C = (5) Необходимо также знать таблицу производных основных элементарных функций. В Таблице 1 формулы приводятся как для функции независимого аргумента ( ) y f x = , таки для сложной функции ( ( )) y f u Таблица 1 1) ' 1 x = , 1 ( ) ' x x α α α − = 2) (cos ) ' sin x x = − 3) (sin ) ' cos x x = 4) 2 1 (tg ) ' cos x x = 5) 2 1 (ctg ) ' sin x x − = 6) ( ) ' ln x x a a a = , 7) ( )' x x e e = 8) 1 (log ) ' ln a x x a = , 9) 1 (ln ) ' x x = 10) 2 1 (arctg )' 1 x x = + 11) 2 1 (arcctg ) ' 1 x x − = + 12) 2 1 (arcsin ) ' 1 x x = − 13) 2 1 (arccos ) ' 1 x x − = − 1 ′ ) 1 ( ) ' ' u u u α α α − = 2 ′ ) (cos ) ' sin ' u u u = − ⋅ 3 ′ ) (sin ) ' cos ' u u u = ⋅ 4 ′ ) 2 ' (tg ) ' cos u u u = 5 ′ ) 2 ' (ctg ) ' sin u u u − = 6 ′ ) ( ) ' ln ' u u a a a u = ⋅ , 7 ′ ) ( )' ' u u e e u = 8 ′ ) ' (log ) ' ln a u u u a = , 9 ′ ) ' (ln ) ' u u u = 10 ′ ) 2 ' (arctg ) ' 1 u u u = + 11 ′ ) 2 ' (arcctg )' 1 u u u − = + 12 ′ ) 2 ' (arcsin ) ' 1 u u u = − 13 ′ ) 2 ' (arccos ) 'Пример Найти производную '( ) f x для 3 ( ) ln(tg(3 ) ) x f x x = + и выписать дифференциал этой функции. Решение. Данную функцию можно представить в виде ( ) ln ( ) f x u x = , где 3 ( )=tg(3 ) x u x x + , и воспользоваться формулой 9 ′ ) из Табл. Далее к числителю 28 полученного выражения применяем (1), а функцию tg(3 также рассматриваем как сложную и находим ее производную с помощью 4 ′ ): ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 3 tg(3 ) ' tg(3 ) ' ( ) ' '( ) ln(tg(3 ) ) ' tg(3 ) tg(3 ) (3 )' 3 ln 3 3 3 3 ln 3 3 cos (3 ) cos (3 ) cos (3 ) tg(3 ) tg(3 ) cos (3 )(tg(3 ) ) x x x x x x x x x x x x x x x x x f Итак, 2 2 2 3 3 ln 3 3 cos (3 ) '( ) cos (3 )(tg(3 ) ) x x x x x f x x + = + , 2 2 2 3 3 ln 3 3 cos (3 ) cos (3 )(tg(3 Пример 2. Найти производную функции 2 ( ) 1 x f x x = − в точке x=2. Решение Функция представляет собой частное, поэтому применяем (4), а также формулу производной степенной функции (для 1/ 2 x x = и для 2 x ): 2 ' 1/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 2 ( ) '( 1) ( 1) ' 2 1 ( 1) ( 1) 1 4 1 3 2 ( 1) 2 ( 1) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − − − = = = − − − − − + = = Вычисляем производную в заданной точке, для этого подставляем в найденное выражение значение x=2: 2 2 2 1 3 (2) 13 '(2) 2 2(2 1) 18 2 f + Пример 3. Найти дифференциал функции 1 cos 1 cos ( ) x x f x e − + = в произвольной точке ив точке x= π/2. Решение Сначала найдем первую производную исходной функции, воспользовавшись формулами 7 ′ ), (4) и 2): 29 ' 2 2 2 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos (1 cos )'(1 cos ) (1 cos )'(1 cos ) '( ) 1 cos (1 cos ) sin (1 cos ) sin (1 cos ) 2sin (1 cos ) (1 cos ) x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x e e e e − − + + − − + + − − + − +Далее вычисляем производную в точке x= π/2. Поскольку cos( / 2) 0 π = и sin( / 2) 1 π = , то '( / 2) 2 f e π = / 2 Производную показательно-степенной функции v(x) (u(x)) y(x) = можно вычислить, предварительно прологарифмировав обе части равенства. В результате получим) Пример 4. Найти производную функции x ln ) x (sin y 2 = Логарифмируем обе части равенства, после чего дифференцируем полученное равенство ln ln 2 ln(sin ) 1 cos (ln 2 ) ln(sin ) ln 2 (ln(sin )) ln(sin ) ln Отсюда ln 2 1 1 ln(sin ) ln 2 (sin ) ln(sin ) ln 2 x y y x x ctgx x x x ctgx x x ′ Производная от первой производной функции ( ) x y обозначается y ′′ или 2 и называется производной го порядка или второй производной. Производной го порядка функции ( ) x y , если она существует, называется производная от производной (го порядка и обозначается ) n ( y или Если функция ( ) x y задана неявно и определяется уравнением ( ) 0 = y , x f , то дифференцируя обе части равенства по x получим уравнение первой степени относительно y ′ , из которого найдём y ′ , как некоторую функцию от x и y : ( Дифференцируя по x обе части последнего равенства и используя выражение для y ′ , можно получить выражение для второй производной y ′′ 30 Пример 5. Найти y ′ и y ′′ , если ( ) x y задано неявно уравнением sin 2 y y x + = Приведём уравнение к виду ( ) 0 = y , x f sin 2 0 y y x + − = ; продифференцировав, получим : а) cos 2 0 y y y ′ ′ + − Откуда б) 2 1 cos y y ′ Продифференцируем по x обе части равенства (а 2 cos sin 0 y y y (y в) 2 ( ) sin 1 cos y y y y ′ ′′ Подставляя в (виз (б) получим 3 4 sin (1 cos ) y y y ′′ Если функция ( ) x y задана в параметрическом виде = = ) t ( y y ) t ( x x , то производные определяются формулами 2 2 2 2 2 3 ' '' ' '' ' y y x x t (t) y t dy d y t t t ' '' y y x x ' ' dx dx (t) ( ) x x t t − = = = = (7) Пример 6. Найти и, если sin cos x t t y t = +Используя формулу (7) получим : sin ; 1 cos ' y t t ' y x ' ( t) xt − = = + cos 1 cos sin sin 2 3 1 cos cos 1 1 3 2 1 cos 1 cos ( t)( t) ( t)( t) '' y x ( t) ( t) ( t) − + − − − = = + − − = = Если существуют производные любого порядка функции ( ) x f y = , то функция ( ) x f может быть записана в виде 31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 2 1 1 0 f(x) f(x ) f (x )(x x ) f (x )(x x ) ...... ! ! (n) (n) n n f (x )(x x ) ..... f (x )(x x ) n! n! n ′ ′′ = + − + − + + ∞ + − + = − ∑ = (8) где под знаком суммы производная нулевого порядка ) (x ) ( f 0 0 принимается равной ( ) 0 x f ; n!= 3 2 1 ⋅ ⋅ ...n; 0!=1. Формула (8) называется формулой Тейлора разложения функции ( ) x f в точке 0 x по степеням ( ) 0 x x − . При этом предполагается, что правая часть формулы (8) должна быть ограниченной функцией от x . При 0 0 = x из (8) получим 1 1 0 0 0 1 1 0 0 (n) n f(x) f( ) f ( )x ...... f ( )x ..... ! n! (n) n f ( )x n! n ′ = + + + + = ∞ = ∑ = (9) Формула (9) называется формулой Маклорена разложения функции ( ) x f в точке по степеням x . Пример 6. Разложить функцию x f(x) 5 2 1 + = по формуле Тейлора в точке Вычисляем производные функции ( ) x f и увидев закономерность, запишем выражение для производной го порядка (x) (n) f : ; x) ( ) )( ( (x) f ; x) ( ) ( (x) f 3 5 2 2 5 2 1 2 5 2 5 1 + − − = ′′ + − = ′ 4 5 2 3 5 3 2 Легко увидеть, что имеет следующий вид 1 17 5 1 3 1 5 2 Подставляя ) ( f ) n ( 3 в формулу (9), получим : 0 1 5 ( ) ( 1) ( ) ( 3 ) 1 7 1 7 n n n n f x x ∞ = = − − ∑ 32 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. Упражнение Найти дифференциал dy 1. ( ) 2 arcsin 1 ln 1 , 0. y x x x x x = + + − > 2. ( ) 2 tg 2 arccos 1 2 , 0. y x x = − > 3. 1 2 ln 1 2 . y x x x = + − + + 4. 2 2 2 arctg 1 1. y x x x = − − − 5. ( ) 2 arccos 1 1 2 , 0. y x x = + > 6. 2 2 ln 3 3. y x x x x = + + − + 7. ( ) ( ) ( ) 2 2 arccos 1 2 y x x = − 8. 3 ctg tg 3. y x x = − 9 3 2 2 x y x + = − 10. 2 1 1 1 e 2 x y x − = − Упражнение 2.. Вычислить приближенно с помощью дифференциала. 1. 3 , 7,76. y x x = = 2. ( ) 2 5 2, 0,98. y x x x = + − = 3. arcsin , 0, 08. y x x = = 4. 2 3, 1,97. y x x x = + + = 5. 11 , 1,021. y x x = = 6. 2 1 2 1, 1,016. y x x x = + + = 7. 7 , 2,002. y x x = = 8. 3 , 0,98. y x x = = 9. 1 sin , 0,01. y x x x = + + = 33 10. 3 3 cos , Упражнение 3. Найти производную. 1. ( ) 3 2 2 3 4 2 15 1 x x x y x + − − = + 2. ( ) 3 2 3 1 3 x y x + = 3. ( ) 2 3 5 1 1 y x x x = − + 4. ( ) 2 ln 2 e 2 e e 1 . x x x y x = − + + + + 5. ( ) 2 e 2 sin 2 cos 2 8. x y x x = − − 6 1 e 3 arctg 2 2 x y − = 7. ( ) 1 ln 1 1 x x y x e e = + − + + 8. 3 3 1 x e y x = + 9. ( ) ( ) 2 2 1 cos 1 sin 2 x e y x x x x = − + − 10 2 arcsin 1 x x y e e − = − − 11. ( ) 2 4 2 1 2 2 . 2 x y e x x − = − + + 12. 2 2 1 x e y x = + 13. ( ) 2 4ln 2 y x x = − + 14. ( ) 2 ln cos y x x = + 15. 2 1 sin 3 sin 3 3 cos 6 x y x = + 16. 2 3 1 cos 4 ctg 5 8 sin 8 x y x = − 17. 2 arcsin 5 x y x − = 18. 2 4 4 arccos 16 x y x − = + 19. 2 3 1 arctg 3 6 x y x − = 20. 1 1 arctg 2 2 x y x x x + = + 21. ( ) 6 6 arcsin 4 2 2 x x y x x + = − − 34 22. ( ) 1 arctg x x x y x + − = 23. 2 2 1 arcsin 1 y x x x = − − − 24. ( ) 5e sin x y x = 25. ( ) 3 ln x y x = 26. arcsin x y x = 27. ( ) e cos5 x y x = 28. ( ) tg 3 4 x y x = + 29. 3 sin x y x = 30. ( ) 5 2 sin x y x = 31. ( ) cos 2 1 x y x = + 32. 19 19 19 x y x = 33. 3 2 . x x y x = ⋅ 34. ( ) 2 2 2 1 2 8 4 arcsin , 0. 24 16 x y x x x x = + − + > 35. ( ) ( ) 4 2 2 2 ln 1 1 e e arcsin e x x x y x − = − + − − 36. 2 2 2 1 2 2 ln 1 1 x x y x x x x + − = − + − − 37. 2 2 1 2 4 ln 2 1 2 1 x x y x x x x + − − = + − − + + 38. 2 2 1 1 2 1 arctg 4 4 3 2 2 x x y x x − − = + − + 39 ( ) ( ) 4 2 2 1 3 1 arcsin 3 2 1 9 6 , 3 1 0. 3 1 y x x x x x x x = + + + + + + > + 40. 2 2 arcsin ln 1 1 x x y x x = + − − 41. 2 3 2 2 arcsin 1 3 x y x x x + = + − 42. 2 2 ln arctg 1 1 x y x x = − − − 35 43. 2 2 2 2 arccos 1 3 x y x x x + = − − 44. 2 4 sin sin 3 2 cos cos x x y x x = + 45. ( ) 2 arctg 1 e x y x = + 46. ctg 1 ctg x x y x x + = − 47. ( ) 2 1 2 Упражнение 4.. Найти производную x y ′ 1. 2 3 3 3 1 , 3 sin 3 t x t t y t + = = + 2. 2 1 , tg 1 x t y t = − = + 3. ( ) 2 2 3 2 , 1 1 x t t y t = − = − 4. ( ) 2 2 ln 1 , 1. x t t y t t = + + = + 5. ( ) 2 2 , arcsin 1 . x t t y t = − = − 6.. 4 2 2 1 ln , 1 1 arcsin 1 x t t y t = − − = + 7. . 2 2 1 , 1 x t t y t = − = − 8. 2 2 , 1 1 1 ln t x t t y t = − + − = 9. ( ) 2 2 2 1 cos , cos sin x t t y t = + = 10. 2 1 arccos , 1 1 arcsin . x t y t t = = − + 36 11. ( ) 2 2 arcsin , 1 x t t y t = = − 12. 2 2 1, 1 1 ln x t t t y t = + + + = 13. 2 arctg , 1 ln 1 x t t y t = + = + 14. ( ) 2 2 ln 1 , arcsin 1 x t y t = − = − 15. 2 2 2 arcsin ln 1 , 1 1 t x t t t t y t = + − − Упражнение 5. Найти производную го порядка. 1. ( ) sin 2 cos 1 . y x x = + + 2. 5 7 1 e x y − = 3. 4 7 2 3 x y x + = + 4. ( ) lg 5 2 . y x = + 5. ( ) 2 3 2 x y x = + 6. y x = 7. 3 5 2 x y + = 8. 4 y x = 9. ( ) 3 log 5 . y x = + 10. 1 Упражнение 6. Найти производную указанного порядка. 1. ( ) 2 2 3 ln , ? III y x x y = − = 2. 2 cos , ? III y x x y = = 3. ( ) 3 2 1 4 5 e , ? x V y x y + = + = 4. ( ) 2 sin 5 3 , ? III y x x y = − = 5. 2 ln , ? IV x y y x = = 6. ( ) 2 1 arctg , ? III y x x y = + = 37 7. ( ) 4 3 2 , ? x V y x y − = + ⋅ = 8. ( ) 1 2 e sin 2 3 , ? x IV y x y − = ⋅ + = 9. 1 sin 2 , ? III y x y x = = 10. ( ) 3 4 3 3 e , Упражнение 7.. Найти производную второго порядка xx y ′′ от функции, заданной параметрически. 1. e cos , e sin . t t x t y t = = 2. sin , 2 cos . x t t y t = + = − 3. ( ) 2 1 , 1 1 x t y t = = + 4. tg , 1 sin 2 . x t y t = = 5. 3 , 1. x t y t = = − 6. ( ) ( ) cos 1 2cos , sin 1 2cos . x t t y t t = + = + 7. 1, 1 x t y t = − = 8. 2 2 cos , tg . x t y t = = 9. ( ) 3, ln 2 . x t y t = − = − 10. e , arcsin . t x y t = = 11. sin cos , cos sin . x t t t y t t t = − = + 12. ( ) 2 2 1 , 1 1 . x t y t = = + 13. cos sin , sin 2 . x t t y t = + = 14. ln , arctg . x t y t = Упражнение 8. . Показать, что функция y удовлетворяет уравнению (1). 1. ( ) 2 2 2 e , 1 . (1) x y x xy x y − = ′ = − 2. sin , cos . (1) x y x xy y x = ′ + = 38 3. ( ) 2 2 2 1 , 1 2 . (1) y c x x y xy x = + − ′ − + = 4. 2 3 1 , 2 . (1) y x x yy x x = − ′ = − 5. , cos tg 0. (1) c y x y x y = ′ − ⋅ = 6. 2 2 1 , 1 1 . (1) 1 x y x y y x + = − + ′ = + 7. 3 2 2 3 3 , 1 2 . (1) y x x x yy y = + − − ′ = 8. 2 2 2 1, 1 0. (1) y x y xyy = − − ′ + + = 9. ( ) sin 2 cos , sin sin cos sin cos . (1) x y x x x x y x x x y x x x = + ′ ⋅ + − = = ⋅ − 10. 4 2 2 4 , . (1) y x x xyy y x = − − ′ Упражнение 8. Разложить функцию ) (x f по формуле Маклорена.: 1. 5 cos ) ( x x f = 2. 3 sin ) ( x x f = 3. ) ( 3 arctgx x x f = 4. sin ) ( 2 x x f = 5. 1 ) ( 2 x x x f + = 6. ) ( 3 x e x f = 7. 3 1 1 ) ( 2 x x f + = 8. 3 Упражнение 9. Сделать разложение функции по формуле Тейлора при указанном значении x=x 0 1. 0 3 2 , 4 y(x) x x = + = 2. 0 1 ( ) , 2 4 3 y x x x = = − 3. 3 0 ( ) 2 5 , 1 y x x x = − = − 4. 0 1 ( ) , 2 1 4 y x x x = = + 39 5. 1 0 ( ) 2 , 0 x y x x + = = 6. 0 ( ) ln(2 1), 3 y x x x = + = 7. 0 2 1 ( ) , 1 (5 ) y x x x = = − − 9. 7 0 ( ) log ( 1), 5 y x x x = + = 40 Правило Лопиталя вычисления пределов. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в окрестности точки a, а также являются одновременно бесконечно малыми (или бесконечно большими) при x a → . Пусть, далее, '( ) 0 g x ≠ в окрестности точки a кроме, возможно, самой точки. Если существует '( ) lim '( ) x a f x g x → , то существует и ( ) lim ( ) x a f x g x → , причем ( ) '( ) lim lim ( ) '( ) x a x a f x f x g x g Пример. Найти с помощью правила Лопиталя: а) 2 3 0 2ln(1 ) 2sin lim x x x x x → + − + ; б) 0 lim ln(sin ) x x x →+ ; в) ( ) ) 1 ( ln lim 2 + − +∞ → x x x ; г) ( ) x x x 2 tg 2 sin Решение. |