Главная страница

Учебнометодическое пособие для студентов экономических специальностей орел 2005 2


Скачать 0.52 Mb.
НазваниеУчебнометодическое пособие для студентов экономических специальностей орел 2005 2
Дата19.09.2022
Размер0.52 Mb.
Формат файлаpdf
Имя файлаmath_an_1.pdf
ТипУчебно-методическое пособие
#685348
страница6 из 7
1   2   3   4   5   6   7
Пример3.Найти полный дифференциал функции
( Решение. Найдем частные производные первого порядка функции
2 2
4 1
2
y
x
y
x
z
+
=


;
2 2
4 Частные производные второго порядка
(
)
2 2
2 2
2 2
8 4
1 2
xy
y
x
y
x
z
+

=


;
(
)
y
x
y
x
x
y
z
2 2
2 2
2 2
8 4
1 2
+

=


(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 4
1 8
2 4
1 2
y
x
xy
x
y
x
y
x
z
+

+
=



;
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
2 4
1 8
2 4
1 Видим, что смешанные производные
y
x
z



2
и
x
y
z



2
равны. Имеет место теорема о равенстве смешанных производных, смысл которой заключается в следующем если функция дифференцируема дважды в точке и одна из ее смешанных производных непрерывна в данной точке, то смешанные производные функции в этой точке равны. Производной функции z = f(x, у) в точке М, y) в направлении вектора
1
М
М
l
=
называется конечный предел.
( ) ( )
l
z
ММ
М
f
М
f
MM


=


1 1
0 Если функциях, у) дифференцируема, то ее производная в направлении вектора вычисляется по формуле
β
α
cos где
β
α cos
,
cos
–– направляющие косинусы вектора В случае функции трех переменных u = f(x, у, z) производная в данном направлении определяется аналогично. Соответствующая формула имеет вид
γ
β
α
cos cos где
γ
β
α
cos
,
cos
,
cos
–– направляющие косинусы вектора Градиентом функции z = f(x, у) в точке М, y) называется вектор сна- чалом в точке Ми координатами
( )
( )
( Градиент указывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке. В случае функции трех переменных u = f(x, у, z) градиент функции равен Пример 4.
Пусть
2 3
( , )
3 8
f x y
x
xy
y
=

+
. Найти градиент функции в точке M(3;1), величину градиента функции в этой точке и производную функции в той же точке по направлению
( 1, 2)
l
= Решение Предварительно находим частные производные функции первого порядка и их значения в заданной точке

58
(
)
'
2 1/ 3 2
2 / 3 2
'
2 2
3 3
2 2
3 1
2 3
(
3 8 )
(
3 8 )
(
3 8 )
;
3 3 (
3 8 )
2 3 3 1 3
1
(
)
(3;1)
;
2 3 8 3 (3 3 3 1 8 1)
x
x
f
x
y
x
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
x
x
xy
y
f
f
M
x
x



=

+
=

+

+
=


+


⋅ − ⋅
=
=
=
=


− ⋅ ⋅ + ⋅
(
)
'
2 1/ 3 2
2 / 3 2
'
2 2
3 2
2 2
2 3
3 1
3 8
(
3 8 )
(
3 8 )
(
3 8 )
;
3 3 (
3 8 )
3 3 8 1
1 1
(
)
(3;1)
3 2 12 3 (3 3 3 1 8 1)
3 8
y
y
f
x
x
xy
y
x
xy
y
x
xy
y
y
x
xy
y
f
f
M
y
y


− +
=

+
=

+

+
=


+


− ⋅ +

=
=
=
= −
= −



− ⋅ ⋅ + Теперь воспользуемся формулами для градиента функции в точке и найдем модуль полученного вектора
1 1
grad ( , )
,
2 12
M
f x y



= 



;
2 2
1 1
1 1
37
grad ( , )
2 12 4
144 12
M
f x y

 


=
+
=
+
=
 


 Далее,
2 2
| |
( 1)
2 5
1
l
= −
+
=

, поэтому направляющие косинусы вектора
l
равны cos
1/ 5
α
= −
, cos
2 / 5
β
=
. Вычисляем производную функции
f
в точке М по направлению вектора
l
:
1 ( 1)
1 2
1 1
3 1 2
1
(
)
2 12 5
5 2 5 6 5 6 5 6 5 3 5
f
M
l



− +


= Полный дифференциал функции нескольких переменных (в нашем случае двух) с успехом применяется в приближенных вычислениях при оценке погрешностей. Пусть, например, мы имеем функцию
( )
y
,
x
f
z
=
двух переменных. При определении значений независимых переменных x и y будем допускать погрешности x

и
y

соответственно. Тогда приближенное значение функции вычисляется по формуле
(
) (
)
y
y
z
x
x
z
y
,
x
f
y
y
,
x
x
f



+



+
=

+

+
0 0
0 Если через z
δ
, x
δ
,
y
δ
обозначить максимальные абсолютные погрешности (или границы для абсолютных погрешностей, то
y
y
z
x
x
z
z
δ



+
δ



=
δ

59 Пример 5.
Дана функция
1 3
2 4
5 2
2
+

+

+
=
y
x
xy
y
x
z
и точка
(
)
999 0
001 1
0
,
;
,
M
. С помощью дифференциала вычислить приближенные значения функции в данной точке. Оценить абсолютную погрешность вычислений. Пусть
1 0
=
x
,
1 0
=
y
, тогда
001 0,
x
=

,
001 Вычислим приближенное значение функции
(
) ( )
( )
( )
y
,
z
x
,
z
;
z
,
;
,
z
y
x


+


+

1 1
1 1
1 1
999 0
001 Вычислим отдельно частные производные заданной функции
3 2
10
+

=

y
x
z
x
;
1 Вычислим значения функции и частных производных в точке
( )
1 1; :
( )
10 1
1 3
2 4
5 1
1
=
+

+

+
=
;
z
;
( )
11 3
2 10 1
1
=
+

=

;
z
x
;
( )
5 1
2 8
1 Тогда
(
)
.
,
,
,
,
,
,
;
,
z
006 10 005 0
011 0
10 001 0
5 001 0
11 10 999 0
001 Погрешность вычислений :
016 0
005 0
011 0
001 0
5 001 Ответ 10 999 0
001 1
,
,
;
,
z

,
016 0,
z
=
δ
. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. Упражнение 1. Дана функция
)
y
,
x
(
f
z
=
. Показать, что
0 2
2 2
2 2
=











)
y
x
z
,
y
z
,
x
z
,
y
z
,
x
z
,
z
,
y
,
x
(
F
1.
3 2
2
)
y
x
(
y
z

=
;
2 1
1
y
z
y
z
y
x
z
x
F



+


=
;
2.
)
xy
arcsin(
x
y
z
+
=
3 2
;
2 2
y
y
z
xy
x
z
x
F
+





=
;
3.
)
x
y
x
ln(
z
1 2
2 2
+
+
+
=
;
2 2
2 2
y
z
x
z
F


+


=
;

60 4.
xy
e
z
=
;
xyz
y
z
y
y
x
z
xy
x
z
x
F
2 2
2 2
2 2
2 2
2
+


+






=
;
5.
);
y
sin
y
y
cos
x
(
e
z
x

=
2 2
2 2
y
z
x
z
F


+


=
;
6.
y
x
z
=
;
y
z
y
x
z
x
F






=
2
;
7.
y
x
z
=
;
x
z
)
x
ln
y
(
y
x
z
y
F


+




=
1 2
;
8.
x
y
xe
z
=
;
2 2
2 2
2 2
2 2
y
z
y
y
x
z
xy
x
z
x
F


+



+


=
;
9.
)
ay
x
sin(
z
+
=
;
2 2
2 2
2
x
z
a
y
z
F





=
;
10.
y
sin
)
x
y
(
y
cos
z

+
=
; Упражнение 2.
Дана функция
)
y
,
x
(
f
z
=
и точка M
0
(x
0
;y
0
). С помощью дифференциала вычислить приближенное значение функции в данной точке. Оценить абсолютную погрешность вычислений.
1.
y
x
y
x
z
2 2
2 2
+

+
=
;
M
0
(1,08;1,94);
2.
x
y
xy
z
5 3
2 2

+
=
;
M
0
(3,04;3,95);
3.
y
x
y
x
z
2 4
2 2
+

+
=
;
M
0
(2,98;2.05);
4.
y
x
xy
x
z
+
+

=
2 3
;
M
0
(1,06;2,92);
5.
2 2
3 2
y
xy
x
z
+
+
=
;
M
0
(2,94;1,07);
6.
y
x
y
z
+
+
=
9 2
2
;
M
0
(1,96;1,04);
7.
2 2
3 2
y
xy
x
z
+
+
=
;
M
0
(0,96;1,95);
8.
y
xy
x
z
6 3
2

+
=
;
M
0
(3,96;1,03);
9.
x
y
xy
z
2 2
2

+
=
;
M
0
(0,97;2,03);
10.
1 2
3 2
2

+
+
+
=
y
x
y
x
z
;
M
0
(2,98;3,91). Упражнение 3. Дана функция
)
y
,
x
(
f
z
=
, точка A(x
0
,y
0
) и вектор

61
)
a
;
a
(
a
y
x
=
. Найти
1) grad z в точке A;
2) производную в точке A по направлению вектора a .
1.
2 2
y
xy
x
z
+
+
=
;
)
;
(
A
1 1
;
)
1
;
2
(

=
a
;
2.
2 2
3 2
y
xy
x
z
+
+
=
;
)
;
(
A
1 2
;
)
4
;
2
(

=
a
;
3.
)
y
x
ln(
z
2 2
3 5
+
=
;
)
;
(
A
1 1
;
)
2
;
3
(
=
a
;
4.
)
y
x
ln(
z
2 2
4 5
+
=
;
)
;
(
A
1 1
;
)
1
;
2
(

=
a
;
5.
xy
x
z
6 5
2
+
=
;
)
;
(
A
1 2
;
)
2
;
1
(
=
a
;
6.
)
xy
(
arctg
z
2
=
;
)
;
(
A
3 2
;
)
3
;
4
(

=
a
;
7.
)
y
x
arcsin(
z
2
=
;
)
;
(
A
2 1
;
)
2
;
5
(

=
a
;
8.
)
y
x
ln(
z
2 2
4 3
+
=
;
)
;
(
A
3 1
;
)
1
;
2
(

=
a
;
9.
2 2
4 2
3
y
x
x
z
+
=
;
)
;
(
A
2 1

;
)
3
;
4
(

=
a
;
0.
2 3
2 5
3
xy
y
x
z
+
=
;
)
;
(
A
1 1
;
)
1
;
2
(
=
a

62 Экстремумы функций двух переменных. Условные экстремумы. Самоопределение локальных экстремумов функции
)
,
(
y
x
f
z
=
фактически не отличается от случая функции одного переменного
)
(x
f
y
=
(только теперь точками локального экстремума будут точки вида
)
,
(
0 0
y
x
M
). Алгоритм поиска состоит в следующем.
1) Установить область определения функции.
2) Найти ее частные производные первого порядка и приравнять их к нулю, те. решить систему уравнений Решения этой системы дадут координаты стационарных точек.
3) Найти частные производные второго порядка для исследуемой функции и вычислить их значения в найденных ранее стационарных точках вида
)
,
(
0 0
y
x
M
4) Найти для каждой стационарной точки числовые характеристики
(
)
).
,
(
'
'
,
)
,
(
'
'
)
,
(
'
'
)
,
(
'
'
0 0
2 0
0 0
0 0
0
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
f
xx
xy
yy
xx
=


=

δ
5) Если
0
,
0
>
>

δ
, то
)
,
(
0 0
y
x
M
- точка локального минимума исходной функции и
)
,
(
0 0
min
y
x
f
f
=
; если
0
,
0
<
>

δ
, то
)
,
(
0 0
y
x
M
- точка локального максимума исходной функции и
)
,
(
0 0
max
y
x
f
f
=
; во всех остальных случаях
)
,
(
0 0
y
x
M
не является точкой экстремума. Пример 1. Найти экстремумы функции
2 2
2 2
15 Решение Функция определена при всех парах (x,y). Найдем частные производные первого порядка, приравняем их к нулю и решим систему уравнений
y
x
y
x
f
x


=
4 15
)
,
(
'
,
y
x
y
x
f
y
4
)
,
(
'


=
;







=
=
+


=
=







=


=


y
x
y
y
x
y
y
y
x
y
x
4 0
15 15 4
0
)
4
(
4 15 0
4 0
4 Отсюда получаем, что y = -1 и x = 4. Итак, найдена стационарная точка M(4;-1). Находим частные производные второго порядка

63 4
)'
4 15
(
)
,
(
'
'

=


=
x
xx
y
x
y
x
f
;
4
)'
4
(
)
,
(
'
'

=


=
y
yy
y
x
y
x
f
;
1
)'
4 В данном случае производные от x, y не зависят, поэтому и для стационарной точки
M(4;-1) имеем
4
)
1
;
4
(
'
'

=

xx
f
;
4
)
1
;
4
(
'
'

=

yy
f
;
1
)
1
;
4
(
'
'

=

xy
f
0 15 1
16
)
1
(
)
4
(
)
4
(
2
>
=

=





=

;
0 Учитывая знаки числовых характеристики соответствующее условие из 5), получаем, что M(4;-1) – точка локального максимума исходной функции, и
31 2
4 32 60 1
)
1
(
2
)
1
(
4 4
2 4
15 1
)
1
;
4
(
2 Пример 2. Считая, что x>0 и y>0, найти экстремумы функции
xy
y
x
y
x
f
3
)
,
(
3 Решение Область определения функции задана в условии Найдем частные производные первого порядка
y
x
y
x
f
x
3 3
)
,
(
'
2

=
,
x
y
y
x
f
y
3 Решаем систему уравнений (учитывая условие x>0, y>0):










=
=

=

=

=

=




=

=

1 1
0
)
1
(
0
)
(
0 3
3 0
3 3
3 2
2 2
2 Итак, определена стационарная точка M(1;1). Находим частные производные второго порядка
x
y
x
f
xx
6
)
,
(
''
=
;
y
y
x
f
yy
6
)
,
(
'
'
=
;
3
)
,
(
''

=
y
x
f
xy
. Вычисляем их значения в точке M:
6
)
1
;
1
(
'
'
=
xx
f
;
6
)
1
;
1
(
'
'
=
yy
f
;
3
)
1
;
1
(
'
'

=
xy
f
0 27 9
36
>
=

=

;
0 6
>
=
δ
. Учитывая знаки числовых характеристик
δ
,

, получаем, что M(1;1) – точка локального минимума исходной функции
1 3
1 При решении примера 2 мы столкнулись стем, что на переменные было наложено дополнительное ограничение. Фактически рассмотренный пример представлял собой задачу поискаусловного экстремума функции
)
,
(
y
x
f
, которая ставится следующим образом найти экстремумы функции
)
,
(
y
x
f
z
=
в случае, когда переменные удовлетворяют условиям
0
)
,
(
1
=
y
x
ϕ
,
0
)
,
(
2
=
y
x
ϕ
,...,
0
)
,
(
=
y
x
n
ϕ
. Для решения подобных проблем создана специальная теория, однако в некоторых случаях задачу удается свести к поиску обычного экстремума функции одного переменного. Пример 3. При условии
0 3
=

+
y
x
найти экстремум функции

64 Решение Из условия выразим y и подставим в формулу, задающую функцию, а потому
6 5
)
3
(
2
)
3
(
)
3
,
(
)
(
2 Мы получили функцию одного переменного, которую исследуем по схеме, разобранной в п.
Функция
)
(x
F
определена при всех
x,
3
/
5
,
1 0
5 Определив знак производной на интервалах, получаем
x
)
3
/
5
;
(

−∞
-5/3
)
1
;
3
/
5
(

1
)
;
1
(
+∞
)
(
' x
F
+
0

0
+ Вывод т.макс т.мин
Для известных значений x найдем соответствующие им значения y: при
x=1 y=2; при x=-5/3 y=14/3. Существующие в теории утверждения позволяют говорить о том, что точка M(1;2) будет точкой минимума исходной функции
)
,
(
y
x
f
, а точка N(-5/3;14/3) – точкой максимума этой функции. Соответственно,
,
3 4
2 1
)
2
;
1
(
min
=
+

=
=
f
f
27 337 3
14 2
3 3
14 5
27 Условный экстремум находится, когда переменные хи у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, те. существует некоторое соотношение х, у) = 0, которое называется уравнением связи. Тогда из переменных хи у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи.
Тогда u = f(x, y(x)). В точках экстремума
dx
dy
y
f
x
f
dx
du


+


=
=0
(1) Кроме того
0
=

ϕ

+

ϕ

dx
dy
y
x
(2) Умножим равенство (2) на число
λ
и сложим с равенством (1).

65 0
=





ϕ

+

ϕ

λ
+






+


dx
dy
y
x
dx
dy
y
f
x
f
0
=





ϕ

λ
+


+







ϕ

λ
+


dx
dy
y
y
f
x
x
f
Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент
λ
так, чтобы выполнялась система трех уравнений









=
ϕ
=

ϕ

λ
+


=

ϕ

λ
+


0
)
,
(
0 0
y
x
y
y
f
x
x
f
Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Чтобы проверить наличие экстремума в стационарной точке, необходимо вычислить величину
2 2
2 2
2 2
0
x
y
f
f
x
x y
x
f
f
y
y x
y
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ







∆ = −

∂ ∂





∂ Если
0
>
, тов данной точке локальный минимум, если
0
<
–– локальный максимум. В случае, когда
0
=
, требуется дополнительное исследование (сомнительный случай. Выражение u = f(x, y) +
λϕ
(x, y) называется функцией Лагранжа Приме 4.
Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи
2x + 3y – 5 = 0
)
5 3
2
(

+
λ
+
=
y
x
xy
u
;
3
;
2
λ
+
=


λ
+
=


x
y
u
y
x
u

66




=

+
=
λ
+
=
λ
+
0 5
3 2
0 3
0 2
y
x
x
y
5 5
5
;
;
12 4
6
x
y
λ
= −
=
=
0 2
3 2
0 1
12 0
3 1
0
∆ = −
= − <
Таким образом, функция имеет условный максимум в точке






6 5
;
4 5
, равный
25 Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа.

1   2   3   4   5   6   7


написать администратору сайта