Учебнометодическое пособие для студентов экономических специальностей орел 2005 2

• Название: Учебнометодическое пособие для студентов экономических специальностей орел 2005 2
• Дата: 19.09.2022
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: math_an_1.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #685348
• страница: 4 из 7

a) В данном случае после подстановки x=0 замечаем, что и числитель, и знаменатель дроби обращаются в нуль, темы имеем дело с неопределенностью. Однако использовать замечательные пределы и перейти к эквивалентным функциям нельзя, так как в числителе – сумма. Воспользуемся правилом
Лопиталя, предварительно проверив все условия. Неопределенность
0 0
 
 
 
уже отмечена. Функции, стоящие в числителе и знаменателе, дифференцируемы при всех вещественных x и )
3 0
g x
x
=
≠
при
0
x
≠
. В силу сформулированного выше утверждения, если в этом случае существует предел отношения производных, то его значение совпадет со значением искомого предела. Предположим, что это таки проведем вычисления
2 2
(0 / 0)
3 3
0 0
2ln(1
)
2sin
(2ln(1
)
2sin
)'
lim lim
( )'
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
+ −
+
+ −
+
=
=
'
2
(0 / 0 )
(0 / 0 )
2 2
0 0
0 1
1 2
sin
1
cos
2 cos
2 2
2
(1
)
1 1
lim lim lim
3 3
(
) '
3 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
→
−


+
+
−
+
−
+


+
+


+
=
=
=
=

41
'
2 3
( 0 / 0 )
0 0
1
( 1)( 2)
sin
1
cos
(1
)
1 1
2 1
(1
)
lim lim
1.
3
( ) '
3 1
3
x
x
x
x
x
x
x
→
→


−
− Итак,
2 3
0 2 ln(1
)
2sin lim
1
x
x
x
x
x
→
+ При решении этого примера правило Лопиталя фактически было применено трижды (в тех местах, где над знаком равенства указан вид неопределенности. При этом для обеспечения строгости рассуждений необходимо каждый раз проверять условия сформулированного выше утверждения. Рассмотрим теперь задание б При
0 (
0,
0)
x
x
x
→ +
→
>
sin
0
x
→ +
и ln sin x
→ −∞
. Это неопределенность вида
[
]
0
⋅ ∞
, к которой правило Лопиталя не применяется, однако можно учесть, что если f(x) – бесконечно малая при функция, то 1/f(x) будет бесконечно большой при
x
a
→
. Поскольку
1
ln sin ln sin
x
x
x
x
−
=
, то мы приходим к неопределенности
∞
 
 
∞
 
и далее действуем так, как при решении задания а. Обе функции требуемым условиям удовлетворяют, поэтому
2 1
1 2
0 0
0 0
0 0
cos ln sin
(lnsin )'
cos sin lim ln(sin )
lim lim lim lim lim cos
0
(
) '
sin
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
→+
→+
→+
→+
→+
→+
=
=
=
= учтено, что
0 0
sin lim lim
1
sin
x
x
x
x
x
x
→
→
=
=
). Итак,
0
lim ln(sin Решим предел в) Данную разность положительных бесконечно больших функций неопределенность вида
[
∞
–
∞
]) преобразуем в произведение








+
−
=
+
−
x
x
x
x
x
)
1
(
ln
1
)
1
(
ln
2 и убедимся с помощью правила Лопиталя в том, что стоящее в скобках отношение бесконечно больших функций оказывается бесконечно малой величиной
0 1
1
+
1
)
1
(
ln
2
lim
)
1
(
ln lim
2
=
+
=
+
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
, поскольку
0 1
1 1
lim
1
)
1
ln(
lim
=
+
=
+
+
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x

42
(
)
+∞
=
+
−
+∞
→
)
1
(
ln Таким образом, неопределенности вида [0·
∞
], [
∞
–
∞
] можно привести к виду




0 0
или




∞
∞
, а в случае неопределенностей вида
[1
∞
], [0
∞
], [∞
0
]
эти выражения рекомендуется прологарифмировать. Пусть
(
)
)
(
)
(
x
b
x
a
y
=
, тогда
(
)
)
(
ln
)
(
=
ln
x
a
x
b
y
. Допустим, что предел этого логарифма равен
k, +
∞
или
–
∞
; тогда
)
(ln lim ln lim lim
y
y
e
e
y
=
=
будет соответственно равен
+∞
,
k
e
или 0. Вычислим предел г. Так как функция
x
y
sin
=
непрерывна в любой точке,
1
)
2
sin(
=
π
, а
x
tg
– бесконечно большая функция при
2
π
→
x
, то имеем неопределенность вида
[1
∞
].
Соответственно, логарифм данной функции дает неопределенность вида
[0·
∞
]
, которую следует приводить к виду




0 0
, а не к




∞
∞
. Действительно, в последнем случае по правилу Лопиталя предел отношения производных пришлось бы находить для функций
x
2
tg и
1
)
sin
(ln
−
x
, что не привело бык ожидаемому упрощению. Итак 2
2 2
ctg sin ln lim sin ln tg lim
π
π
→
→
=
⋅
=
– поскольку числитель и знаменатель последней дроби являются дифференцируемыми функциями, знаменатель и его производная в достаточно малой проколотой окрестности точки
2
π
в нуль не обращаются, по правилу Лопиталя получаем
2 1
2
)
sin
(
lim sin
1
ctg
2
sin cos lim
2 2
2 Следовательно, в тождестве
(
)
(
)
x
x
x
e
x
sin ln tg tg
2 2
sin
⋅
=
показатель степени экспоненты стремится к –1/2, и окончательно получаем
(
)
e
e
x
x
x
1
sin lim
2 1
tg
2 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ. Упражнение 1. Для функции
3 1
5
)
(
1 2
+
=
+
x
e
x
f
x
найти

43 а, б)
)
(
lim
x
f
x
−∞
→
в) Существует ли
)
(
lim
x
f
x
∞
→
? Упражнение 2. Для функции 1
3
)
(
3 3
+
−
+
=
x
x
x
x
x
f
найти а, б)
)
(
lim
1
x
f
x
−
→
Упражнение 3. Для функции найти а, б)
)
(
lim
x
f
x
−∞
→
в) Существует ли
)
(
lim
x
f
x
∞
→
? Упражнение 4. Вычислить пределы с помощью правила Лопиталя:
1.
x
x
x
3
cos
1
sin
2
lim
6
−
→
π
2.
2
co s co s 3
lim
x
x
x
π
→
3.
1 2
2
lim
2 1
−
−
→
x
x
x
x
4.
2 0
cos 3
cos 5
lim
x
x
x
x
→
−
5.
2
)
7
ln(
lim
−
+
+∞
→
x
x
x
x
6.
0
ln(1
)
lim
x
x
x
e
e
x
−
→
−
+
7.






−
→
x
x
x
1
ctg
1
lim
0 8.
2
ln lim
x
x
x
→+∞
9.
x
x
x
3
tg ln lim
0
⋅
→
10.
0
l n (1
)
s i n li m
x
x
x
→
−
11.
( )
x
x
x
2
sin
2
tg lim
π
→
12.
2 0
2
lim
x
x
x
e
e
x
−
→
+
−
13.
)
2 5
ln(
8 6
lim
2 2
x
x
x
x
−
+
−
→
14.
3 1 2cos sin(
3 )
lim
x
x
x
π
π
→
−
−
15.
5 2
5
)
2 1
ln(
lim
−
+
+∞
→
x
x
x
16.
0
sin sin 6
sin 7
lim
x
x
x
x
→
−
17.




−
−
→
1 1
ln
1
lim
0
x
x
x
18.
0
ln lim
x
ctgx
x
→

44 19.
2 1
0
)
3
(cos lim
x
x
x
→
20. cos
2 1 cos 2 1
lim
x
x
x
e
π
→
+
−
21.
)
2 1
lg(
2
ln lim
0
x
x
x
−
⋅
→
22.
3 0
sin lim
x
tgx
x
x
→
−
23.
x
x
x
x
cos
1 1
0
sin lim
−
→




24.
2 0
sin sin Упражнение 5. Вычислить пределы функций.
1.
2
cos
2 2
1
lim ln sin
x
x
x
π
→
−
2.
(
)
2
sin sin 3 1 2 2
1
lim
x
x
x
x
e
e
π
π
−
→
−
−
3
(
)
(
)
(
)
3 2
ln
2 3
lim sin
2
sin
1
x
x
x
x
x
π
π
→
−
−
−
−




4.
(
)
2
tg tg 2
lim sin ln
1
x
x
x
→
−
−
5. tg 2
sin 2 2
lim sin
1
x
x
x
e
e
x
π
−
→
−
−
6.
(
)
2 6
ln sin 3
lim
6
x
x
x
π
π
→
−
7.
(
)
(
)
(
)
2 3
sin
2 3
5 1
lim ln
1
ln
1
ln 2
x
x
x
x
x
x
→
− − −
+
− −
+ +
8.
(
)
(
)
2 2
2
lim tg cos
1
x
x
x
π
π
→
−
−
9.
1 2
ln(4 1)
lim
1 cos
1
x
x
x
π
→
−
−
−
10 2
-2 2
arcsin (
2) 2
lim
3 9
x
x x
x
→
+ +
+
−
11 sin
3 3
2 1
lim ln(
6 8)
x
x
x
x
π
→
−
−
−
12 2
ln cos 2
lim
(1
)
x
x
x
π
π
→
−
13 2
3 1
2
tg ln(3 5)
lim
x
x
x
x
e
e
+
+
→
−
−
14 sin 2 2
ln cos lim
3 1
x
x
x
π
→
−
15 3
2 1
1 ln
1
lim
1 cos
x
x
x
π
→
+
−
+
16 sin sin 4
cos(
2)
lim
x
x
x
x
e
e
π
→
−
17 sin
3
ln(2 5)
lim
1
x
x
x
e
π
→
−
−
18 2
2
sin 6
sin 3 3
3
lim log cos 6
x
x
x
e
e
x
π
→
−
19 sin 2 2
2
lim ln(2
)
x
tg x
x
e
e
x
π
π
→
−
20 2
2 4
-2
tg(
)
lim tg tg2
x
x
x
e
e
x
+
−
→
−
+
21 1
3 1
2 7
2 5
lim
1
x
x
x
x
+
→
+ −
+
−
22 sin
2
ln(2 cos )
lim
(3 1)
x
x
x
π
→
+
−

45 23 2
3 3
sin
(
)sin 5
lim
1
x
x
x
x
e
π
π
→
−
−
24 3 3 2
-1 4
6
(
1)
lim
x
x
x
tg x
e
e
→
−
+
+
−
25 ln cos 2
lim ln cos 4
x
x
x
π
→
26 2
2
ln sin lim
(2
)
x
x
x
π
π
→
−
27.
2 3
0 7
5
lim
2
arctg 3
x
x
x
x
x
→
−
−
28 3
2 0
lim
2arcsin sin
x
x
x
e
e
x
x
−
→
−
−
29.
2 2
0 6
7
lim sin 3 2
x
x
x
x
x
−
→
−
−
30.
5 3
0
lim sin 2
sin
x
x
x
e
e
x
x
→
−
−
31.
2 3
3 0
3 5
lim arctg
x
x
x
x
x
→
−
+
32.
2 0
10 7
lim
2tg arctg
x
x
x
x
x
−
→
−
−
33.
2 2
0
lim tg
x
x
x
e
e
x
x
→
−
+
34.
3 2
3 0
2 3
lim arcsin
x
x
x
x
x
→
−
+
35.
2 0
1
sin cos 2
lim sin
x
x
x
x
x
→
+
−
36.
3
-1 1
lim sin(
1)
x
x
x
→
+
+
37.
3 0
1 tg
1 sin lim
x
x
x
x
→
+
−
+
38.
2 0
1
sin
1
lim
1
x
x
x
x
e
→
+
−
−
39.
(
)
3 2
1 0
lim
x
x
x
x
x
e
e
e
e
−
+
→
−
−
40.
3 1 2cos lim sin(
3 )
x
x
x
π
π
→
−
−
41.
2 1
1
lim sin
x
x
x
π
→
−
42.
4
sin cos lim ln tg
x
x
x
x
π
→
−
43.
2 0
1 cos 2
tg lim sin 3
x
x
x
x
x
→
−
+
44.
1 2
1
lim log
x
x
x
→
−
45.
1 2
2
lim ln
x
x
x
→
−
46.
0 2
2
lim sin 3
x
x
x
→
+ −
47.
0 1
cos lim
1 cos
x
x
x
→
−
−
48.
3 3
5 2
lim sin
x
x
x
π
→
+ −
49.
2 2
6 2sin sin
1
lim
2sin
3sin
1
x
x
x
x
x
π
→
+
−
−
+
50.
10
lg
1
lim
9 1
x
x
x
→
−
− −
51.
(
)
1 0
3 3
lim ln 1 1
x
x
x
x
xe
+
→
−
+
+
52.
2 0
cos
1
lim sin 2
x
x
x
→
−

46 53.
3 2
2 1 sin lim cos
x
x
x
π
→
−
54.
3 3
log
1
lim Упражнение 6. Вычислить пределы функций.
1.
(
)
1 0
lim cos
x
x
x
→
2.
2 1
0 1
2
lim
1 3
x
x
x
x
x
x
→


+ ⋅


+ ⋅


3.
(
)
2 2 sin arctg
0
lim 2 3
x
x
x
→
−
4.
2 1 sin 3 0
4
lim 5
cos
x
x
x
→


−




5.
(
)
(
)
1
sin
0
lim cos
x
x
x
x
π
π
→
6.
(
)
1 ln cos
2 0
lim 1 sin 3
x
x
x
→
+
7. ctg
0
lim tg
4
x
x
x
π
→




−








8.
(
)
(
)
3 1 ln 1 2
0
lim 1
sin
x
x
x
x
π
+
→
−
9.
(
)
( )
2 1 ln 1 0
lim 2 cos3
x
x
x
+
→
−
10.
(
)
ctg sin
0
lim 2
x
x
x
e
π
→
−
11.
2 0
lim
2 cos .
x
x
x
→
−
12.
(
)
(
)
2 1 1 cos
0
lim 2
x
x
x
e
π
−
→
−
13.
(
)
( )
2 1 ln 1 3 2
0
lim 1 tg
x
x
x
+
→
+
14.
1 0
sin 2
lim
x
x
x
x
+
→






15.
0 2
lim
3
x
x
x
x
→
+




−


16.
(
)
2
cos
3 4
0 1
lim
x
x
x
e
x
π
+
→


−




17.
(
)
3 0
lim cos
x
x
x
+
→
18.
2 3
2 0
4
lim
2
x
x
x
x
+
→


+


+


19.
2 0
tg4
lim
x
x
x
x
+
→






20. cos
0 2
lim
4
x
x
x
x
→
+




+


21.
(
)
(
)
( )
3 3 0
lim sin
2
x
x
x
+
→
+
22.
1 2
0 2
1
lim
x
x
x
x
+
→


−




23.
1 0
lim cos
x
x
x
π
+
→






24.
( )
2 5
0
arcsin lim
x
x
x
x
+
→






25.
(
)
4
cos
0
lim
x
x
x
e
x
→
+
26.
2
tg
0 5
lim 6
cos
x
x
x
→


−





47 27.
( )
3 1
1 1
3 1
lim
1
x
x
x
x
−
→
−




+


28.
( )
3 1
1 1
2 1
lim
x
x
x
x
−
→
−






29.
( )
1 2
2
cos lim cos 2
x
x
x
−
→






30.
( )
(
)
1 cos 3 4
4
lim tg
x
x
x
π
π
−
→
31. tg
2
lim 2
x
a
x
a
x
a
π
→


−




32.
(
)
ctg 2
sin 3 2
lim cos
x
x
x
x
π
→
33.
(
)
2 1 sin 2 2
lim cos
x
x
x
π
→
34. tg
6 3
6
lim
3
x
x
x
π
→
−






35.
(
)
6tg tg3 2
lim sin
x
x
x
x
π
⋅
→
36.
(
)
( )
1 1
1
lim 2 1
x x
x
x
e
−
−
→
−
37.
(
)
1 2
2
lim tg
2
x
x
x
π
π
−
→






38.
(
)
( )
( )
sin
1 1 sin
1 1
sin
1
lim
1
x
x
x
x
x
x
−
− −
−
→
−




−


39.
( )
1 ln 2 1
2
lim
x
x
x
x
−
→
−






40.
1 cos
2
lim ctg
2
x
x
x
π
→






41.
(
)
18sin ctg
2
lim sin
x
x
x
x
π
→
42.
( )
(
)
ln
1
ln 2 1
1
lim
x
x
x
x
+
−
→
 
 
 
43.
( )
ctg
4
lim tg
x
x
x
π
→
44.
(
)
6 6
lim sin
x
x
x
π
π
→
45.
1 2
2 2
2
lim
4
x
x
x
x
→


+ −


−


46.
(
)
1 tg
4
lim sin cos
x
x
x
x
π
→
+
47.
(
)
(
)
sin
8 8
lim tg2
x
x
x
π
π
+
→
48.
(
)
tg
1
lim arcsin
x
x
x
π
→
49.
(
)
arctg
1
lim
1
x
x
x
π
→
+
50.
(
)
sin
2
lim cos
1
x
x
x
π
→
+

48 Теоремы о дифференцируемых функциях. Будем считать, что функция
)
(x
f
y