Колебания и волны.-1. Учебнометодическое пособие по аудиторным практическим занятиями самостоятельной работе для студентов всех направлений подготовки Томск
 Скачать 1.21 Mb.
|
|
c. Обычно уравнению плоской волны придают симметричный относительно и t вид. Для этого вводится величина 2 k , которая называется волновым числом. Преобразуем выражение для волнового числа. Запишем его в виде k ω υ 2 , T k T . Подставим это выражение в уравнение плоской волны 0 0 ω ξ cos ω cos ω x x,t A t A t x υ υ Окончательно получим 0 , cos x t A t kx (3.4) Это уравнение плоской волны, распространяющейся в сторону возрастания x . Противоположное направление распространения волны 63 будет характеризоваться уравнением, в котором поменяется знак перед членом kx 0 , cos x t A t kx Удобна запись уравнения плоской волны в следующем виде 0 Re exp A i t kx Обычно знак Re опускают, подразумевая, что берётся только вещественная часть соответствующего выражения. Кроме этого вводится комплексное число Это число называется комплексной амплитудой. Модуль этого числа даёт амплитуду, а аргумент – начальную фазу волны. Таким образом, уравнение плоской незатухающей волны можно представить в следующем виде exp A i t kx Всё рассмотренное выше относилось к среде, где отсутствовало затухание волны. В случае затухания волны, в соответствии с законом Бугера (Пьер Бугер, французский учёный (1698–1758)), амплитуда волны будет уменьшаться при её распространении. Тогда уравнение плоской волны будет иметь следующий вид 0 0 , cos x x t A e t kx (3.5) – коэффициент затухания волны A 0 – амплитуда колебаний в точке с координатами 0 x , – это величина обратная расстоянию, при котором амплитуда волны уменьшается враз. Уравнение сферической волны Будем считать источник колебаний точечным. Это возможно, если ограничиться рассмотрением волны на расстоянии, много большем размеров источника. Волна от такого источника в изотропной и однородной среде будет сферической. Точки лежащие на волновой поверхности радиуса r , будут колебаться с фазой 0 r t Амплитуда колебаний в этом случае, даже если энергия волны не поглощается средой, не будет оставаться постоянной. Она убывает с 64 расстоянием от источника по закону 1 r . Следовательно, уравнение сферической волны имеет вид 0 , cos , A r r t t r υ или 0 , cos A r t t kr r . (3.6) В силу сделанных предположений уравнение справедливо только при r , значительно превышающих размеры источника волн. Уравнение) неприменимо для малых значений r , т.к. 0 r амплитуда устремилась бык бесконечности, а это абсурд. При наличии затухания в среде уравнение сферической волны запишется следующим образом. 0 0 , cos r A e r t t kr r Групповая скорость Строго монохроматическая волна представляет собой бесконечную во времени и пространстве последовательность горбов и впадин) Фазовая скорость этой волны ω υ k или λ ν. υ С помощью такой волны нельзя передать сигнал, т.к. в любой точке волны все горбы одинаковы. Сигнал должен отличаться. Быть знаком (меткой) на волне. Но тогда волна уже не будет гармонической, и не будет описываться уравнением (3.7). Сигнал (импульс) можно представить согласно теореме Фурье в виде суперпозиции гармонических волн с частотами, рис. 3.2, заключёнными в некотором интервале . Суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по частоте, называется волновым пакетом или группой волн. Рис. 3.2 x 65 Выражение для группы волн может быть записано следующим образом. 2 0 2 , cos E x t E t k x d Значок подчеркивает, что эти величины зависят от частоты. Этот волновой пакет может быть суммой волн с мало отличающимися частотами. Там, где фазы волн совпадают, наблюдается усиление амплитуды, а там, где фазы противоположны, наблюдается гашение амплитуды (результат интерференции. Такая картина представлена на рисунке. Чтобы суперпозицию волн можно было считать группой волн необходимо выполнение следующего условия В недиспергирующей среде все плоские волны, образующие волновой пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью v. Дисперсия это зависимость фазовой скорости синусоидальной волны в среде от частоты. В отсутствии дисперсии скорость перемещения волнового пакета совпадает с фазовой скорость. В диспергирующей среде каждая волна диспергирует со своей скоростью. Поэтому волновой пакет стечением времени расплывается, его ширина увеличивается (рис. 3.3). Если дисперсия невелика, то расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. Поэтому движению всего пакета можно приписать некоторую скорость U. Скорость, с которой перемещается центр волнового пакета точка с максимальным значением амплитуды) называется групповой скоростью. В диспергирующей среде υ U. Вместе сдвижением самого волнового пакета происходит движение горбов внутри самого пакета. Горбы перемещаются в пространстве со скоростью υ, а пакет в целом со скоростью U. Рассмотрим подробнее движение волнового пакета на примере суперпозиции двух волн с одинаковой амплитудой и разными частотами (разными длинами волн ). Рис. 3.3 66 Запишем уравнения двух волн. Примем для простоты начальные фазы 0 = 0. 1 0 2 0 cos , cos E E t kx E E t k k x Здесь 1 2 , k k k Пусть , соответственно k k. Сложим колебания и проведём преобразования с помощью тригонометрической формулы для суммы косинусов cos cos 2 cos cos 2 В первом косинусе пренебрежём t и kx, которые много меньше других величин. Учтём, что cos(–) = cos, тогда 2 0 0 2 cos 2 cos 2 2 2 2 cos cos 2 2 t kx t t kx kx E E E E t kx t t kx kx t kx t kx E Окончательно запишем. 0 2 cos cos 2 2 k E E t x t kx (3.8) Множитель в квадратных скобках изменяется от времени и координаты значительно медленнее, чем второй множитель. Следовательно, выражение (3.8) можно рассматривать как уравнение плоской волны с амплитудой, описываемой первым сомножителем. Графически волна, описываемая выражением (3.8) представлена на рисунке 3.2. Амплитуда 2 cos 2 Результирующая амплитуда получается в результате сложения волн, следовательно, будут наблюдаться максимумы и минимумы амплитуды. Максимум амплитуды будет определяться следующим условием 67 max 2 2 k t x m , (3.9) где m = 0, 1, 2…; x max – координата максимальной амплитуды. Косинус принимает максимальное значение по модулю через . Каждый из этих максимумов можно рассматривать как центр соответствующей группы волн. Разрешив (3.9) относительно x max получим max const Так как фазовая скорость ω υ k , то Δω Δ U k называется групповой скоростью. С такой скоростью перемещается максимум амплитуды волнового пакета. В пределе, выражение для групповой скорости будет иметь следующий вид Это выражение справедливо для центра группы произвольного числа волн. Следует отметить, что приточном учёте всех членов разложения для произвольного числа волн, выражение для амплитуды получается таким, что из него следует, что волновой пакет со временем расплывается. Выражению для групповой скорости можно придать другой вид ω υ k , следовательно, выражение для групповой скорости можно записать следующим образом d υ k dυ U υ k dk dk , (3.10) dυ dk – неявное выражение, так как и v, и k зависят от длины волны . λ λ dυ dυ d dk d dk 2π 2π λ λ k k 2 λ 2π λ d dk k k , тогда λ λ dυ dυ dk d k Подставим в (3.10) и получим 68 λ λ λ λ dυ dυ U υ k υ k d d Это так называемая формула Рэлея. Дж. У. Рэлей (1842–1919) английский физик, нобелевский лауреат 1904 года, за открытие аргона. Из этой формулы следует, что в зависимости от знака производной групповая скорость может быть больше или меньше фазовой. В отсутствии дисперсии 0 d U d Максимум интенсивности приходится на центр группы волн. Поэтому скорость переноса энергии равна групповой скорости. Понятие групповой скорости применимо только при условии, что поглощение волны в среде невелико. При значительном затухании волн понятие групповой скорости утрачивает смысл. Этот случайна- блюдается в области аномальной дисперсии. Наложение волн. Стоячие волны При распространении в упругой среде одновременно нескольких волн возникает их наложение. При этом волны не возмущают друг друга колебания частиц среды оказываются векторной суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны при наложении подчиняются принципу суперпозиции. Если две волны одной природы и одинаковой частоты, распространяющиеся вдоль одной прямой, приходят в какую-либо точку пространства, обладая постоянной разностью фаз, то такие волны называются когерентными. Рассмотрим практически важный случай, когда две гармонические волны с одинаковой частотой и амплитудой A распространяются вдоль оси x в противоположных направлениях. Пусть начальные фазы волн равны нулю. Запишем уравнения этих волн 1 cos A t kx , 2 cos A t kx Суперпозиция этих волн дает 1 2 cos cos A t kx t kx . 69 Преобразуем выражение, воспользовавшись тригонометрической формулой для суммы косинусов cos cos 2 cos cos 2 2 x y x y x y ; 1 2 2 cos cos 2 2 t kx t kx t kx t kx A Учтём, что cos(–) = cos. В итоге получим так называемое уравнение стоячей волны 2 cos cos A kx t . Также учтём, что 2π λ k и запишем 2π ξ 2 cos cos λ A x t (3.11) В выражение для фазы не входит координата, поэтому можно переписать следующим образом * cos A t , где 2 * 2 cos A A x Это амплитуда стоячей волны. В точках, где координаты удовлетворяют условию 2 , x n 2 0,1, 2,3, , cos 1 n x , амплитуда колебаний равна максимальному значению. Эти точки называются пучностями стоячей волны рис. 3.4). В пучности A* = 2A. Рис. 3.4 Координаты пучностей пучности x 0 2 70 В точках, где координаты удовлетворяют условию 2 1 2 , 0,1, 2,3, , cos 0 2 x n n x , амплитуда колебаний равна нулю (минимальному значению. Эти точки называются узлами стоячей волны. В узле A* = 0. Координаты узлов узла 2 2 x n Точки среды, находящиеся в узлах колебаний не совершают. Расстояние между соседними узлами или пучностями равно /2. Пучности и узлы сдвинуты относительно друг друга на /4. Из уравнения стоячей волны в форме (3.11) следует, что 2 2 cos A x при переходе через нулевое значение меняет знак, те. фазы колебаний по разные стороны от узла отличаются на . В стоячей волне в отличие от бегущей отсутствует перенос энергии, поскольку встречные бегущие волны одинаковой амплитуды переносят равную по величине энергию в противоположных направлениях. Энергия колебания между двумя узлами остается постоянной, совершается лишь превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Другими словами, нет никакого распространения возмущения вдоль оси x . Именно поэтому такая волна называется стоячей. 3.1.3 Распространение волн в твёрдых телах Распространения волн в твёрдых телах это распространение деформаций в них (рис. 3.5). Приложим сжимающие или растягивающие силы F. Возьмём произвольное сечение C. Для равновесия необходимо равенство сил все- чении C. Эти силы возникают при деформации стержня. Эти силы действуют в любом сечении деформированного стержня. Сила, отнесённая к единице площади стержня, называется напряжением. В случае растяжения напряжение называется натяжением F T S 71 Рис. 3.5 В случае сжатия напряжение называется давлением Ясно, что P T Пусть 0 l – длина недеформированного стержня. Тогда после приложения силы F его длина станет равной 0 l l l . А величина 0 l l – называется относительным удлинением. Из опыта известно, что при не слишком больших деформациях имеют место следующие соотношения, которые называются законом Гука (Роберт Гук, английский физик (1635–1703)). Для нормальных напряжений они имеют вид 0 l T E l и 0 l P E l , где E – постоянная, зависящая только от механических свойств материала. Она называется модулем Юнга (Томас Юнг, английский физик (1773–1829)). Физический смысл модуля Юнга заключается в следующем. Модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное удлинение равно единице, те. 0 l l Закон Гука справедлив только для малых деформаций. Скорость распространения упругой продольной деформации равна , E υ где – плотность материала. А A C C B B F F F F 72 Для поперечных волн скорость распространения деформации будет равна , J υ где J – модуль сдвига. Его физический смысл заключается в следующем Модуль сдвига равен такому тангенциальному напряжению, при котором угол сдвига оказывается равным 45 (рис. 3.6). Рис. 3.6 3.1.3. Распространение волн в газах Волна в газе представляет собой распространяющуюся в пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и разряжения газа. Следовательно, давление в каждой точке пространства испытывает периодически изменяющееся отклонение ΔP от среднего значения P, совпадающего с давлением, которое существует в газе в отсутствие волн. Мгновенное значение давления в некоторой точке пространства можно представить в следующем виде ; P P P P P Пусть волна распространяется вдоль оси х (рис. 3.70. Рассмотрим объём газа в цилиндре с площадью основания S и высотой Δx. Масса газа, заключённая в этом объёме равна ρ·S·Δx, где ρ – плотность не- возмущённого волной газа. Ввиду малости Δx проекцию ускорения на ось x для всех точек цилиндра можно считать одинаковой и равной 2 2 t Проекция силы на ось x равна x P F S x x φ F 1 F 2 73 Будем иметь ввиду, что Δξ << Δx. Рис. 3.7 Запишем для этого объёма газа уравнение второго закона Ньютона Сократим на S·Δx и получим 2 2 ξ ρ P x t (3.12) В полученном нами дифференциальном уравнении содержится две неизвестные функции ξ и P'. Выразим одну из этих функций через другую. Для этого найдём связь между давлением газа P' и относительным изменением его объёма x . Эта связь зависит от характера сжатия (или расширения) газа. В акустической волне сжатия и расширения газа следуют друг за другом так часто, что смежные участки среды не успевают обмениваться теплом, и процесс можно считать адиабатическим. При адиабатическом процессе связь между давлением и объёмом даётся следующим уравнением γ const, P V (3.13) где γ – отношение теплоёмкости газа при постоянном давлении к тепло мкости при постоянном объёме. Тогда в соответствии с (3.13) можно записать P'(x+Δx+ξ+Δξ) x x+Δx Δx+Δξ Δx ξ+Δξ ξ P'(x+ξ) S 74 γ γ γ γ Δ Δ Δξ ξ ξ Δ Δ Δ 1 γ P S x P S x P S x x P Сократим на (S·Δx) γ и получим Воспользуемся тем, что по предположению ξ 1 x , разложим выражение в скобках γ ξ 1 x вряд по степенями пренебре- жём членами высших порядков малости. В результате получим ξ 1 Решим это уравнение относительно P' ξ 1 γ ξ 1 γ P P P x x Мы воспользовались формулой 1 1 1 x x , справедливой для x |