Колебания и волны.-1. Учебнометодическое пособие по аудиторным практическим занятиями самостоятельной работе для студентов всех направлений подготовки Томск
 Скачать 1.21 Mb.
|
|
<< 1). Из найденного нами соотношения легко получить выражение для ΔP ξ γ P P P P x (3.14) Поскольку γ – величина порядка единицы, то из (3.14) вытекает, что P x P . Таким образом, условие ξ 1 x означает, что отклонение давления от среднего значения много меньше самого давления. Это действительно так для самых громких звуков амплитуда колебаний давления воздуха не превышает 1 мм рт. ст, в то время как атмосферное давление P имеет величину порядка 10 3 мм рт. ст. Продифференцируем (3.14) пои получим 2 2 ξ γ P P x x 75 Подставим это значение P x в формулу (3.12), получим некоторое дифференциальное уравнение 2 2 2 2 ξ ρ ξ γ Это волновое уравнение. Мы его рассмотрим несколько позже. Величина обратная выражению перед второй производной повремени даёт фазовую скорость звуковых волн в газе. Тогда имеем γ ρ P υ (3.15) Напомним, что P и ρ – давление и плотность невозмущенного волной газа. При атмосферном давлении и обычных температурах большинство газов по своим свойствам близки к идеальному газу. Поэтому из уравнения Менделеева – Клапейрона m P V RT отношение здесь R – газовая постоянная T – термодинамическая температура μ – масса одного моля газа. Подставим это значение в (3.15) и получим формулу для скорости звука в газе γ μ RT υ Из этой формулы следует, что скорость звука пропорциональна корню квадратному из температуры и не зависит от давления. Вычислим значение скорости звука в воздухе при комнатной температуре К. Для воздуха γ = 1,4, μ = 29·10 –3 кг/моль. Газовая постоянная равна 8,31 Дж/(моль·К). Подставим эти значения в формулу) и получим 3 1, 4 8,31 290 γ 340 мс Найденное нами значение скорости звука в воздухе хорошо согласуется со значением, полученным опытным путём. Скорость звука в жидкости K , где K – объемный модуль упругости жидкости, – её плотность. 76 3.1.4. Энергия упругой волны Пусть в некоторой точке среды в направлении x распространяется плоская волна ξ cos ω A t kx (3.16) Выделим в среде элементарный объём ΔV, чтобы в пределах этого объёма скорость смещения частиц среды ξ t и деформация среды ξ x были постоянны. Объём ΔV обладает кинетической энергией к (3.17) (ρ·ΔV – масса этого объёма). Этот объём обладает также и потенциальной энергией. Для понимания вспомним. Относительное смещение F S , α – коэффициент пропорциональности. Модуль Юнга E = 1/α. Нормальное напряжение T = F/S. Отсюда T E 0 0 ε Δ Δ Δ . S l E S F E S l l l l 0 0 , l E S l l В нашем случае x 2 2 2 п 0 0 0 1 1 1 Δ 1 Δ Δ ε . 2 2 2 2 l E S l W l l E S l E V l l l В нашем случае имеем п . 2 E W V x (3.18) Вспомним также , E υ тогда 2 ρ E υ подставим в (3). 77 п . 2 υ W V x (3.19) Для полной энергии получим 2 к п Поделим на элементарный объём ΔV и получим объёмную плотность энергии волны 2 2 2 0 1 ξ ξ ρ 2 W υ t x (3.20) Получим из (1) ξ t и ξ x sin , sin A t kx t A k t kx x (3.21) Подставим (6) в (5) и учтём, что 2 2 2 ω υ получим 2 2 2 0 ρ ω sin ω W A t kx (3.22) Из (3.22) следует, что объёмная плотность энергии в каждый момент времени в разных точках пространства различна. В данной точке пространства 0 W изменяется по закону квадрата синуса. А среднее значение этой величины от периодической функции 1 sin 2 t . Следовательно, средняя величина объёмной плотности энергии определится выражением 2 2 0 1 2 W A (3.23) Выражение (3.23) очень похоже на выражение для полной энергии колеблющегося тела 2 2 1 2 W A . Следовательно, среда, в которой распространяется волна, обладает запасом энергии. Эта энергия переда тся от источника колебаний в разные точки среды. Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии. 78 Если через данную поверхность за время dt переносится энергия dW, то поток энергии Ф будет равен Ф Ф – измеряется в ваттах. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, которая называется плотностью потока энергии. Она численно равна потоку энергии через единичную площадку, размещённую в данной точке пространства перпендикулярно направлению переноса энергии. Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением переноса энергии 0 ΔФ Ф Δ W W S S t Эта характеристика энергии, переносимой волной, была введена русским физиком НА. Умовым (1846–1915) в 1874 году. Рассмотрим поток энергии волны (рис. 3.8). Рис. 3.8 Поток энергии волны 0 Ф W W S t Энергия волны 0 W W S υ t 0 W – это объёмная плотность энергии. Тогда получим 0 Ф t W υ S t Так как волна распространяется в определённом направлении, то можно записать 0 Ф 79 Это вектор плотности потока энергии или поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны в единицу времени. Этот вектор называется вектором Умова 0 2 Ф sin W t Тогда среднее значение вектора Умова будет равно 0 2 2 Ф . 2 W W υ A υ Интенсивность волны I – среднее повремени значение плотности потока энергии, переносимой волной. Очевидно 0 Ф Ф W d dS 0 Ф Ф W S dS Соответственно 0 Ф Ф W S I dS 3.1.5. Звук Звук – есть колебание упругой среды, воспринимаемые ухом человека. Учение о звуке называется акустикой. Физиологическое восприятие звука громкий, тихий, высокий, низкий, приятный, противный – является отражением его физических характеристик. Гармоническое колебание определённой частоты воспринимается как музыкальный тон. Частота звука соответствует высоте тона. Ухо воспринимает диапазон частот от 16 Гц до 20000 Гц. При частотах меньше 16 Гц – инфразвука при частотах больше 20 кГц – ультразвук. Несколько одновременных звуковых колебаний есть созвучие. Приятное – консонанс, неприятное – диссонанс. Большое число одновременно звучащих колебаний с разными частотами – шум. Как мы уже знаем, под интенсивностью звука понимают среднее повремени значение плотности потока энергии, которую несёт с собой 80 звуковая волна. Для того чтобы вызвать звуковое ощущение, волна должна обладать некоторой минимальной интенсивностью, которая называется порогом слышимости (кривая 1 на рис. 3.9). Рис. 3.9 Порог слышимости несколько различен для разных людей и сильно зависит от частоты звука. Наиболее чувствительно человеческое ухо к частотам от 1 кГц до 4 кГц. В этой области порог слышимости составляет в среднем 10 –12 Вт/м 2 . При других частотах порог слышимости лежит выше. При интенсивностях порядка 1–10 Вт/м 2 волна перестаёт восприниматься как звук, вызывая в ухе лишь ощущение боли и давления. Значение интенсивности, при котором это происходит, называется порогом болевого ощущения (кривая 2 на рис. 3.9). Порог болевого ощущения, также как и порог слышимости, зависит от частоты. Таким образом, громкие звуки отличаются по своей мощности от самых слабых более чем враз. Поэтому ухо человека нечувствительно к малым изменениям силы звука. Для ощущения изменения громкости интенсивность звуковой волны должна изменяться не менее чем на 10–20 %. Поэтому в качестве характеристики интенсивности выбирают не саму силу звука, а следующую величину, которая называется уровнем силы звука (или уровнем громкости) и измеряется в белах. В честь американского электротехника А.Г. Белла (1847–1922), одного из изобретателей телефона 2 1 ν, Гц 20000 2000 200 20 L, дБ 120 100 60 40 0 I, Вт/м 2 10 –10 10 –12 10 –8 10 –6 10 –4 10 –2 1 20 80 81 где 0 I = 10 –12 Вт/м 2 – нулевой уровень (порог слышимости. 1 Б = Пользуются ив раз более мелкой единицей – децибел (дБ) 0 10 С помощью этой формулы может быть выражено в децибелах уменьшение интенсивности (затухания) волны на некотором пути. Например, затухание в 20 дБ означает, что интенсивность волны уменьшается враз. Энергия, которую несут с собой звуковые волны, крайне мала. Например, чтобы нагреть стакан с водой от комнатной температуры до кипения звуковой волной с уровнем громкости 70 дБ (в этом случаев секунду водой будет поглощаться примерно 2·10 –7 Вт) потребуется время порядка десяти тысяч лет. Ультразвуковые волны могут быть получены в виде направленных пучков, подобно пучкам света. Направленные ультразвуковые пучки нашли широкое применение в гидролокации. Идея была выдвинута французским физиком П. Ланжевеном (1872–1946) вовремя первой мировой войны (в 1916 году. Кстати, метод ультразвуковой локации позволяет летучей мыши хорошо ориентироваться при полёте в темноте. Эффект Доплера для звуковых волн Известно, что при приближении к неподвижному наблюдателю быстро движущегося электропоезда, его звуковой сигнал кажется более высоким, а при удалении от наблюдателя – более низким, чем тот же сигнал от неподвижного электропоезда. Это явление впервые теоретически обосновал в 1824 году австрийский физик Христиан Доплер (1803–1853). Звуковой эффект Доплера – это изменение частоты волны, принимаемой приёмником, при движении источника волн или при- ёмника относительно среды, в которой распространяется волн. Существует также оптический эффект Доплера. Его мы рассмотрим несколько позже. Рассмотрим подробнее звуковой эффект Доплера. 82 Пусть источники приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой x . Скорости движения источника и приемника относительно среды, в которой распространяется волна, обозначим соответственно ист и пр. Скорости положительны, если источники приемник сближаются и отрицательны, если удаляются. Скорость распространения волны – υ . Частота колебаний источника равна ν . Если источники приемник покоятся относительно среды, то частота принимаемого сигнала будет равна частоте колебаний источника ν . Если же источник или приемник, или оба движутся относительно среды, в которой распространяется волна, то частота колебаний ν , воспринимаемых приемником, оказывается отличной от частоты источника ν ν Рассмотрим источник звука A и приёмник B. Пусть они будут неподвижны относительно друг друга и относительно среды. За 1 с через наблюдателя (приемник) пройдёт ν колебаний λ υ ν , где υ – скорость распространения волны в среде. 1. Пусть теперь наблюдатель (приёмник) движется к источнику со скоростью пр (рис. 3.10). Рис. 3.10 Через 1 с наблюдатель окажется в точке B', пройдя путь пр . Через наблюдателя (приёмник) пройдёт некоторое количество колебаний волн) и плюс ещё столько, на какое число длин волн он продвинулся пр пр пр υ ν ν ν ν ν υ υ λ B В' А 83 В общем случае пр ' , υ плюс, когда приёмник приближается, а минус, когда удаляется. 2. Пусть теперь источник движется от наблюдателя со скоростью ист υ За время одного периода T колебания распространяются на длину волны λ (рис. 3.11). Рис. 3.11 Следующее колебание источник начнёт уже, находясь в точке A'. Поэтому волна будет иметь длину λ' ист Так как длина волны изменилась, то, следовательно, изменилась и частота. Она стала равной ν', так как фазовая скорость распространения волны v определяется лишь свойствами упругой среды ист отсюда имеем ист υ В общем случае ист υ В самом общем случае, когда движутся и источники приемник, можно записать пр ист υ ν ν υ υ где υ – скорость звука в среде. A' B λ' λ A 84 Если источники приёмник движутся навстречу друг другу, то имеем пр ист υ ν ν υ υ Если они удаляются друг от друга, то можно записать пр ист υ ν ν υ υ Акустический или звуковой эффект Доплера широко используется в гидролокации. Первые гидролокаторы были разработаны в 1916 году вовремя первой мировой войны совместно французским ученым П. Ланжевеном и россиянином КВ. Шиловским. Волновое уравнение В области волновых процессов существуют уравнения, называемые волновыми которые описывают всевозможные волны, независимо от их конкретного вида. По смыслу волновое уравнение подобно основному уравнению динамики, которое описывает всевозможные движения материальной точки. Уравнение любой конкретной волны является решением волнового уравнения. Получим его. Для этого продифференцируем дважды пои по всем координатам уравнение плоской волны cos A t kx 2 2 2 2 cos , A t kx t (3.24) отсюда получим 2 2 2 1 , t (3.25) 2 2 2 2 cos , x x k A t kx k x 2 2 2 2 cos , y y k A t kx k y 2 2 2 2 cos z z k A t kx k z Сложим уравнения (2) 85 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z k k k k x y z (3.26) Заменим виз уравнения (3.25), получим 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k x y z t Учтём, что 1 , k k и получим 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ξ ξ ξ 1 ξ x y z υ t , или 2 2 2 2 1 ξ ξ υ t (3.27) Это и есть волновое уравнение. В этом уравнении υ – фазовая скорость, 2 2 2 2 2 2 2 x y z – квадрат оператора набла или оператор Лапласа. Всякая функция, удовлетворяющая уравнению (3.27), описывает некоторую волну, причём корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при второй производной смещения от времени, даёт фазовую скорость волны. Легко убедиться, что волновому уравнению удовлетворяют уравнения плоской и сферической волна также любое уравнение вида 0 ω x y z f x, y,z;t f t k x k y k z Для плоской волны, распространяющейся в направлении x , волновое уравнение имеет вид 2 2 2 2 2 ξ 1 ξ d d dx υ Это одномерное волновое уравнение второго порядка в частных производных, справедливое для однородных изотропных сред с пренебрежимо малым затуханием. 3.2. Примеры решения задач Задача 1. Скорость звука вводе мс. На каком расстоянии находятся ближайшие точки, совершающие колебания в противоположных фазах, если частота колебаний равна 622 Гц 86 Дано υ =1450 мс ν =622 Гц Найти L=? Решение Длину волны можно определить по формуле υ ν , где υ – скорость звука вводе частота колебаний. Точки находятся в противофазе, если расстояние между ними равно половине длины волны, отсюда следует 1450 1,166 м 2 2 Ответ L = 1,166 м. Задача 2. Определить отношение интенсивностей звуков с уровнем громкости дБ и 20 дБ. Дано 1 L = 40 дБ 2 L = 20 дБ Найти 1 2 I I – ? Решение Для того, чтобы определить отношение интенсивностей звуков, необходимо воспользоваться формулой нахождения уровня громкости 1 12 где 12 1 2 2 Б L L L Выражая 1 2 / I I получаем 12 2 1 2 20 10 Ответ 1 Задача 3. Средняя квадратичная скорость кв молекул двухатомного газа при некоторых условиях составляет 480 мс. Определите скорость υ распространения звука в газе при тех же условиях. 87 Дано кв = 480 мс i =5 Найти υ – ? Решение Для нахождения скорости распространения звука в газе можно воспользоваться формулой Найти температуру и молярную массу мы можем воспользовавшись формулой для определения средней квадратичной скорости молекул газа кв Учитывая, что 2 P V C i C i , получаем кв 5 2 480 328 мс 3 3 υ i υ i Ответ 328 мс Задача 4. Два катера движутся навстречу друг другу. С первого катера, движущегося со скоростью 1 υ 10 мс, посылается ультразвуковой сигнал частотой 1 ν 50 кГц , который распространяется вводе. После отражения от второго катера сигнал принят первым катером с частотой кГц. Принимая скорость распространения звуковых колебаний вводе равной 1,54 км/с, определите скорость движения второго катера. Дано 1 10 мс 1 ν 50 кГц 4 5 10 Гц 2 ν 52 кГц 5, 2 10 1,54 км/с 1540 мс Найти 2 – Решение Воспользуемся формулами для акустического эффекта Доплера. Частота волны воспринимаемая вторым катером (первый катер источник, второй – приемник 2 1 1 1 ν ν (1) После отражения от второго катера, который теперь является источником, волна распространяется в сторону первого катера и воспринимается им с частотой 88 1 2 1 2 ν ν (2) Подставляя (2) в (1) получаем 1 2 2 1 2 1 ν ν (3) Приведя выражение (3) к виду 2 1 2 2 1 1 ν ν и решив его, получаем 2 1 1 b b , где 3 1 2 3 1 1 2 1540 10 52 10 1, 0267; 1540 10 50 10 1 1, 0266 1 1540 20, 21 мс 1, 0266 1 ν b ν b b Ответ 2 20,21 мс. Задача 5. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью v = 10 мс. Амплитуда колебаний точек шнура A = 5 см, а период колебаний T = 1 с. Запишите уравнение волны и определите 1) длину волны 2) фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, расположенной на расстоянии хм от источника колебаний в момент времени t 1 = 2,5 с. Дано v =10 мс A = 5 см T = 1 см с. Найти х) – ? λ – ? φ – ? Решение Длина волны равна расстоянию, которое эта волна проходит за 1 период и может быть найдена из соотношениям. Уравнение волны имеет вид cos / A t x v Фаза колеблющейся точки с координатой Х в момент времени t определяется выражением 89 ɛ – ? t – ? 2 2 t – ? / t x v учитывая, что 2 / T , получаем 2 2 9 2,5 3, рад 10 x t T v Для определения смещения точки подставляем амплитуду и получившуюся фазу в уравнение волны 3 cos 0, 05 cos 3, 2 4, 045 м Скорость точки находим, взяв первую производную от смещения повремени мс 1 10 x x A t A t t v T T v Ускорение определяется как вторая производная от смещения 2 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 3,14 2 3,14 9 0, 05 cos 2,5 1,595 мс . 1 1 10 x x A t A t v T T v t Ответ ɛ = 0,05·cos (3,2π −0,32πx), мм рад ɛ = –4,045·10 –3 м 0,1846 мс 2 2 2 1,595 мс |