Колебания и волны.-1. Учебнометодическое пособие по аудиторным практическим занятиями самостоятельной работе для студентов всех направлений подготовки Томск

• Название: Учебнометодическое пособие по аудиторным практическим занятиями самостоятельной работе для студентов всех направлений подготовки Томск
• Дата: 25.03.2023
• Размер: 1.21 Mb.
• Имя файла: Колебания и волны.-1.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #1014022
• страница: 9 из 9

4.2. Примеры решения задач Задача 1. В вакууме вдоль оси x распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны составляет мВ/м. Определите интенсивность волны I, те. среднюю энергию, проходящую через единицу поверхности в единицу времени. Дано
1
 
1
 
2 мВ 5 10
В/м м 
I – ?
Решение Интенсивность электромагнитной волны это средняя энергия, проходящая через единицу поверхности за единицу времени, то

102


12 2
2 3
6 2
0 0
7 0
8,85 10 1
50 10 3,32 10
Вт/м .
4 10 1
I
S
E




 










 
 Ответ I = 3,32 мкВт/м
2
Задача 2. После того как между внутренними внешним проводниками кабеля поместили диэлектрик, скорость распространения электромагнитных волн в кабеле уменьшилась на 63%. Определите диэлектрическую восприимчивость вещества прослойки. Дано Решение с Преобразуем формулу к виду
1 0, 63,
v
c


(1) где – скорость электромагнитных волн в вакууме
v – фазовая скорость электромагнитных волн в среде.
?
 Фазовая скорость электромагнитных волн определяется выражением, где
0 0
v
c 
 
;
0

и
0

– электрическая и магнитная постоянная соответственно и  – электрическая и магнитная проницаемости среды соответственно. При
1:
 
;
c
v 

(2) Диэлектрическая восприимчивость вещества определяется формулой) Используя формулы (2) и (3) получаем
1
c
v 
 Подставляя получившуюся формулу в (1):
1 1
0,63.
1


 

103 Итоговая формула для вычисления восприимчивости вещества имеет вид
2 1
1 6,3.
1 0,63


 
 Ответ
6,3.
 Задача 3. Электромагнитная волна с частотой ν = 5 МГц переходит из немагнитной среды с диэлектрической проницаемостью ε = 2 в вакуум. Определите приращение её длины. Дано
ν = 5 = МГц =
= 5·10 6 Гц
ε = 2
μ = 1 Решение Длина волны в вакууме определяется по формуле
0
c
v
 Длина волны в среде, отличной от вакуума, будет меньше за счёт уменьшения скорости её распространения и будет определяться по формуле
Δλ = ?
,
c
v
nv

 где n – абсолютный показатель преломления. Он определяется как корень из произведения магнитной и диэлектрической проницаемостей среды n   . Тогда, заменив этим соотношением абсолютный показатель преломления в предыдущей формуле, можно получить следующее выражение для длины волны в немагнитной среде (μ=1)
1
c
v
 Приращение длины волны можно найти как разницу между значениями длины волны в вакууме и длины волны в некоторой среде
0
    Таким образом, результирующая формула для нахождения приращение длины волны будет иметь вид
8 6
1 3 10 1
1 1
17,57 м 5 10
c
c
c
v
v
v





 Ответ = 17,57 м.

104 Задача 4. В вакууме вдоль оси x распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряжённости электрического поля волны равна В/м. Определите амплитуду напряжённости магнитного поля волны. Дано
E
0
=10 В/м
Ε =1
μ =1 Решение Модули векторов напряжённости электрического и магнитного полей связаны между собой соотношением Значения относительной диэлектрической и относительной магнитной проницаемости для вакуума будут равны единице. Поэтому соотношение (1) примет следующий вид
0 0
E
H

 Учитывая, что напряженности магнитного и электрического полей достигают максимальных значений в заданной точке пространства в один момент времени (одинаковая фаза волны, получаем
0 0
0 0
E
H

 Выразим из этого выражения амплитудное значение напряжённо- сти магнитного поля волны
12 0
0 0
7 0
8,85 10 10 26,53 мА/м.
4 10
H
E








 Ответ
0 26,53 мА/м.
H Задача 5. Рассмотрите суперпозицию двух плоских монохроматических электромагнитных волн с одинаковыми амплитудами E
0
и H
0
, распространяющихся вдоль оси x в противоположных направлениях. Начальную фазу прямой и обратной волн примите равной нулю. Определите координаты пучностей и узлов для 1) электрического вектора E;
2) магнитного вектора H стоячей волны.

105
Дано
E
1
= E
0
cos(ωt – kx) – прямая волна
E
2
= E
0
cos(ωt – kx) – отражённая волна Решение
1) Согласно принципу суперпозиции, общая напряжённость электрического поля будет равна




1 2
0 0
cos cos
2 2
cos cos
E
E
E
E
t
kx
t
kx
x
E
t




 

 









1) х
п
= ? х
у
= ?
2) х
п
= ? х
у
= ? При суперпозиции двух сигналов, близких по частоте и по амплитуде образуются пучности и узлы, которые являются участками волны, в которых колебания имеют наибольшую и наименьшую амплитуды соответственно. Общая формула для пучностей электрического вектора стоячей волны выглядит следующим образом
2
x
m

  Выразим из него координаты пучностей электрического вектора стоячей волны п Узлы стоячей волны удовлетворяют следующему уравнению


2 1
x
m

 Выразим из него координаты узлов у 2 2
x
m



 





2) Принцип суперпозиции справедлив также и для магнитных полей Запишем общую формулу для пучностей магнитного вектора стоячей волны

106


2 1
x
m

 Выразим из него координаты пучностей магнитного вектора стоячей волны у 2 2
x
m



 Узлы стоячей волны удовлетворяют следующему уравнению
2
x
m

  Выразим из него координаты узлов п Из полученных уравнений видно, что пучности E совпадают с узлами и наоборот.
4.3. Задания для решения на практических занятиях
1. Электромагнитная волна с частотой ν = 3,0 МГц переходит из вакуума в немагнитную среду с диэлектрической проницаемостью
ε = 4,0. Найти приращение ее длины волны.
2. Плоская электромагнитная волна с частотой ν = 10 МГц распространяется в слабо проводящей среде с удельной проводимостью
σ = 10 мСм/м и диэлектрической проницаемостью ε = 9. Найти отношение амплитуд плотностей токов проводимости и смещения.
3. Плоская электромагнитная волна 
распространяется в вакууме. Считая векторы
m
E
и k известными, найти вектор Н как функцию времени t в точке с радиус-вектором r = 0.
4. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна


cos
m
E
E
t
kr

 
, где
m
m y
E
E e

,
x
k
ke

,
x
e
,
y
e – орты осей х, у. Найти вектор Н в точке с радиус-вектором r = xe
x
в момент a) t = 0; б) t = t
0
. Рассмотреть случай, когда
m
E
= 160 В/м, k = 0,51 мм и t
0
= 33 нс.
5. Найти средний вектор Пойнтинга <S> у плоской электромагнитной волны


cos
m
E
E
t
kr

 
, если волна распространяется в вакууме. В вакууме в направлении оси x установилась стоячая электромагнитная волна, электрическая составляющая которой
E  cos cos
m
E
kx
t



. Найти магнитную составляющую волны В. Изобразить примерную картину распределения электрической и магнитной составляющих волны (Е и В) в моменты t = 0 и t = T/4, где T – период колебаний.
7. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна


745cos
0, 74
E
t
x

 
В/м, где  – круговая частота, t – время. Найти модуль вектора напряжённости магнитного поля в точке с координатой м в момент времени t = 343 нс.
8. Найти среднюю мощность излучения электрона, совершающего гармонические колебания с амплитудой a = 0,10 нм и частотой
ω = 6,5·10 14
рад/с.
9. Определить длину электромагнитной волны в вакууме, на которую настроен идеальный колебательный контур, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора равна U
Cm
= 40 В, а максимальное значение силы тока в контуре I
m
= 5 мА. Емкость конденсатора С = 1,5 мкФ. Скорость света в вакууме равна см. Задания для самостоятельного решения Задачи для самостоятельного решения
1. В однородной и изотропной среде си распространяется плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряженности электрического поля волны
m
E 
10,0 В/м. Найти а) амплитуду напряженности магнитного поля волны
m
H
, б) фазовую скорость v волны.
2. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с амплитудой вектора напряженности электрического поля
0
E
= 0,775 В/м. На пути волны, перпендикулярно направлению ее распространения, располагается диск радиусом r = 0,632 м полностью поглощающий излучение. Какую мощность поглощает диск
3. В вакууме распространяется плоская электромагнитная волна с частотой ω = 10 10
с. Амплитуда электрического вектора волны
E
m
= 0,5 В/м. На пути волны располагается поглощающая волну поверхность, имеющая форму полусферы радиусам, обращенная

108 своей вершиной в сторону распространения волны. Какую энергию W поглощает эта поверхность за одну минуту
4. При падении плоской волны на преграду часть энергии волны уходит за преграду, а часть отражается. В образовавшейся отражённой волне отношение амплитуды колебаний в максимуме к амплитуде в минимуме равно 9. Какая часть энергии падающей волны уходит за преграду
5. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью
51 мкГн и конденсатора электроёмкостью 350 нФ. Величина ёмкости может изменяться от указанного значения на 11%. Определить величину абсолютного изменения длины волны, на которую может резонировать контур.
6. В вакууме распространяется вдоль оси OX плоская электромагнитная волна. Амплитуда напряжённости магнитного поля волны равна мА/м. Определить интенсивность волны.
7. Найти среднюю мощность излучения электрона, совершающего гармонические колебания с амплитудой 0,21 нм и круговой частотой е с.
8. Найти коэффициент затухания электромагнитной волны, если на расстояниях 8 мим от точечного изотропного источника интенсивности, порождаемой им волны отличаются друг от друга в 7,25 раза.
9. В однородной среде с плотностью 1351 кг/м
3
возникла продольная стоячая волна вида
 
 
10cos 4
cos 3
q
x
t

см, где t – время в секундах координата в метрах. Найти максимальную величину объём- ной плотности кинетической энергии волны в точке с координатой
x = 1 м.
10. Плоская электромагнитная волна с частотой ν = 10 МГц распространяется в слабо проводящей среде с удельной проводимостью
σ = 10 мСм/м и диэлектрической проницаемостью ε = 9. Найти отношение амплитуд плотностей токов проводимости и смещения. Таблица правильных ответов
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 22,361;
1,342·10 8
10
–3 2,5·10
–3 0,36 877 0,416 7,49110
–16 1,14110
–2 26 1,61

109 Тесты для самостоятельного решения
1. Согласно теории Максвелла электромагнитные волны излучаются) только при равномерном движении электронов по прямой
2) только при гармонических колебаниях заряда
3) только при равномерном движении заряда по окружности
4) при любом неравномерном движении заряда.
2. Что такое волна или волновой процесс Варианты ответа
1) это наложение двух и более колебаний в пространстве, в результате чего происходит перераспределение энергии колебаний в пространстве
2) это процесс распространения колебаний в пространстве
3) это процесс сложения однонаправленных колебаний, в которых одновременно участвует один колеблющийся объект.
3. При каких условиях движущийся электрический заряд излучает электромагнитные волны Варианты ответа
1) только при гармонических колебаниях
2) только при движении по окружности
3) при равномерном движении с большой скоростью
4) при любом движении с ускорением.
4. Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси Х со скоростью 600 мс, имеет вид


0, 01sin
1,57
t
x
 
 
. Частота колебаний ν в (с) равна
5. На рисунке представлен профиль поперечной упругой бегущей волны, распространяющейся со скоростью υ = 40 мс. Циклическая частота волны равна …
x, м, см 6
2 4
0 2
4
-2
-4 1) 31,4 рад/с; 2) 62,8 рад/с; 3) 12,56 рад/с; 4) 25,12 рад/с.

110
6. Радиостанция работает на частоте 60 МГц. Найдите длину электромагнитных волн, излучаемых антенной радиостанции. Скорость распространения электромагнитных волн с = 3· 10 8
мс.
1) 0,5 мм мм В первых экспериментах по изучению распространения электромагнитных волн в воздухе были измерены длина волны λ = 50 см и частота излучения ν = 500 МГц. На основе этих неточных значений скорость света примерно равна
1) 100 000 км/с;
2) 200 000 км/с;
3) 250 000 км/с;
4) 300 000 км/с. Ответы на тестовые задания
1 2
3 4
5 6
7 4
2 4
150 2
2 3
4.5. Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте основные положения электромагнитной теории Максвелла
2. Что называется электромагнитной волной
3. Запишите формулу для скорости распространения электромагнитной волны.
4. К какому типу волн относятся электромагнитные волны
5. Что называется плотностью потока электромагнитного излучения. Какова связь между интенсивностью излучения и скоростью распространения электромагнитного излучения
7. Как плотностью потока электромагнитного излучения зависит от расстояния то источника
8. Как плотностью потока электромагнитного излучения зависит от частоты излучения

111
Cписок рекомендуемой литературы
1. Савельев ИВ. Курс общей физики : учеб. пособие для втузов. Вт ИВ. Савельев. – е изд, стер. – СПб. : Лань, 2007. Т. 2: Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – 496 с.
2. Зисман ГА. Курс общей физики. В х тт. Электронный ресурс ГА. Зисман, ОМ. Тодес. – СПб.: Лань, 2007. Т. 1: Механика. Молекулярная физика. Колебания и волны. – е изд. – 352 с. Режим доступа on-line с компьютеров ТУСУР: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=505.
3. Савельев ИВ. Сборник вопросов и задач по общей физике Электронный ресурс / ИВ. Савельев. – е изд, стер. – СПб.: Лань,
2016. – 292 с. Режим доступа on-line с компьютеров ТУСУР: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=71766 .
2. Иродов И.Е. Механика. Основные законы / И.Е. Иродов. – е изд, стер. – М БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 309 с. (В библиотеке экз.
4. Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы : учеб. пособие для вузов / И.Е. Иродов. – е изд. – М БИНОМ. Лаборатория знаний с. (В библиотеке – 101 экз.
5. Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы : учеб. пособие И.Е. Иродов. – е изд. – М БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.
– 263 с. (В библиотеке – 100 экз.
7. Иродов И.Е. Задачи по общей физике : учеб. пособие для вузов /
И.Е. Иродов. – е изд, стер. – М БИНОМ. Лаборатория знаний, 2007.
– 431 с. (В библиотеке – 496 экз.
8. Чертов А.Г. Задачник по физике : учеб. пособие для втузов /
А.Г. Чертов, А.А. Воробьёв. – е изд, перераб. и доп. – М. : Физмат- лит, 2007. – 640 с. (В библиотеке – 99 экз.
9. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики : учеб. пособие для втузов / В.С. Волькенштейн. – е изд, испр. – М Наука, 1990. – 396 с. (В библиотеке – 148 экз.
12. Лозовский В.Н. Курс физики. В х т. Электронный ресурс /
В.Н. Лозовский. – е изд, испр. и доп. – СПб. : Лань, 2009. Т. 1: Физические основы механики. Электричество и магнетизм. Физика колебаний и волн. – 576 с. Режим доступа on-line с компьютеров
ТУСУР: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=
25&pl1_id=236.

112 13. Савельев ИВ. Курс общей физики. В х т. Электронный ресурс ИВ. Савельев. – СПб. : Лань, 2011. Т. Механика. Молекулярная физика. – е изд, стер. – СПб.: Лань, 2011. – 432 с. Режим доступа on-line с компьютеров ТУСУР: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=2038. Т. 2: Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – е изд, стер.
– СПб.: Лань, 2011. – 496 с. Режим доступа on-line с компьютеров ТУ-
СУР: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=25&pl1_id=2039.
14. Фриш С.Э. Курс общей физики. В х т. Электронный ресурс
/ С.Э. Фриш, А.В. Тиморева. – СПб. : Лань, 2009. Т. 1: Физические основы механики. Молекулярная физика. Колебания и волны. – е изд, стер. – СПб. : Лань, 2009. – 480 с. Режим доступа on-line: http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1_cid=
25&pl1_id=416 с компьютеров ТУСУР.

113 Оглавление Введение .................................................................................................... 3 1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
1.1. Краткая теория ............................................................................... 4 1.2. Примеры решения задач .............................................................. 24 1.3. Задания для решения на практических занятиях ....................... 28 1.4. Задания для самостоятельного решения ..................................... 31 1.5. Вопросы для самоконтроля ......................................................... 33 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ
2.1. Краткая теория ............................................................................. 34 2.2. Примеры решения задач (разобранные задачи 5 шт) ............... 47 2.3. Задания для решения на практических занятиях ....................... 50 2.4. Задания для самостоятельного решения ..................................... 53 2.5. Вопросы для самоконтроля ......................................................... 55 3. УПРУГИЕ ВОЛНЫ
3.1. Краткая теория ............................................................................. 57 3.2. Примеры решения задач .............................................................. 85 3.3. Задания для решения на практических занятиях ....................... 90 3.4. Задания для самостоятельного решения ..................................... 92 3.5. Вопросы для самоконтроля ......................................................... 94 4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
4.1. Краткая теория ............................................................................. 96 4.2. Примеры решения задач ............................................................ 101 4.3. Задания для решения на практических занятиях ..................... 106 4.4. Задания для самостоятельного решения ................................... 107 4.5. Вопросы для самоконтроля ....................................................... 110
Cписок рекомендуемой литературы .................................................... 111

114 Учебное издание Климов Александр Сергеевич
Медовник Александр Владимирович
Юшков Юрий Георгиевич
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Учебно-методическое пособие Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники
634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел. [phone].

1   2   3   4   5   6   7   8   9