Колебания и волны.-1. Учебнометодическое пособие по аудиторным практическим занятиями самостоятельной работе для студентов всех направлений подготовки Томск

• Название: Учебнометодическое пособие по аудиторным практическим занятиями самостоятельной работе для студентов всех направлений подготовки Томск
• Дата: 25.03.2023
• Размер: 1.21 Mb.
• Имя файла: Колебания и волны.-1.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #1014022
• страница: 4 из 9

2.1.3. Вынужденные электрические колебания Для компенсации потерь в колебательном контуре нужно оказывать на контур периодически изменяющееся воздействие. Это можно осуществить, например, включив последовательно с элементами контура переменную э.д.с. или, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение max cos t
  

, рис. 2.5. Рис. 2.5 Это напряжение нужно прибавить к э.д.с. самоиндукции в исходной формуле для затухающих колебаний. Рассмотрим этот вопрос кратко используя аналогию с механическими колебаниями. Уравнение вынужденных электрических колебаний имеет вид.
2 2
max
0 2
2
cos
d q
dq
q
t
dt
L
dt

 
 

 Мы имеем уже известное нам неоднородное линейное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний Решение неоднородного дифференциального уравнения представим в виде его частного решения для установившихся колебаний. Это решение, как и для механических вынужденных колебаний, имеет вид


max os
q
q
c
t

   ,
C
L
R



42 где max
q
– амплитуда заряда на конденсаторе

(пси) – разность фаз между колебаниями заряда и внешней э.д.с. Выражения для постоянных величин max
q
и

, как и для механических колебаний, запишем без вывода


max max
2 2
2 2
2 0
4
L
q


  
  Если подставить значения
0

и  , получим выражения для этих величин, записанные через параметры контура


max max
2 2
1
q
R
L
C



  





,


arctg
1
R
C
L
 

 С использованием соотношений для постоянных величин max
q
и

можно провести анализ параметров вынужденных колебаний в контуре. Как ив случае затухающих свободных колебаний ограничимся лишь общими выводами о сдвиге фаз колебаний тока и напряжения на элементах контура. Эти выводы следующие
– напряжение на емкости отстает по фазе оттока на угол
2
 ;
– напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе стоком напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на угол
2
 . Величина


2 2
2 2
1
L
C
Z
R
L
R
R
R
C



  








называется полным сопротивлением цепи (или импеданс. Величина
1
L
C
X
R
R
L
C


 


называется реактивным сопротивлением цепи. При последовательном соединении L, C, R, при X = 0 1
L
C


 



 


наблюдается резонанс напряжений. При этом угол сдвига фаз между током и напряжением обращается в нуль. На конденсаторе напряжение достигает максимума при круговой частоте равной
2 рез 2

    .

43 Полное сопротивление Z = R и тогда U = U
R
, аи одинаковы по величине и противоположны по фазе. рез рез
L
C
U
U

Такой вид резонанса называется резонансом напряжений или последовательным резонансом. Можно записать.




max max max рез рез При резонансе на ёмкости можно получить напряжение с амплитудой в узком диапазоне частот. Это свойство используется в усилителях напряжения. Ниже приведены графики зависимостей напряжения на конденсаторе и тока через индуктивность (напряжения на резисторе) от частоты рис. 2.6). Рис. 2.6
2.1.4. Переменный электрический ток Установившиеся вынужденные электрические колебания можно рассматривать как протекание вцепи, обладающей ёмкостью, индуктивностью и активным сопротивлением R, переменного тока. Под действием внешнего напряжения (оно играет роль внешней э.д.с. ) max cos
U
U
t


(1) Ток вцепи изменяется по закону


max cos
I
I
t

  
(2)


max max
2 2
1
U
I
R
L
C

  





,
1
tg
L
C
R
 

 
(3)

44 Задача сводится к определению амплитуды силы тока и сдвига тока по фазе относительно напряжения U. Полученное выражение для амплитуды силы тока
 
max
I
 можно формально трактовать как закон Ома для амплитудных значений тока и напряжения. Стоящую в знаменателе выражения (3) величину, имеющую размерность сопротивления, называют полным сопротивлением или импедансом.
2 2
1
Z
R
L
C



  





(4) Видно, что при
0 1
L C
   

это сопротивление минимально и равно активному сопротивлению R. Величину, стоящую в круглых скобках формулы (4) называют реактивным сопротивлением.
1
X
L
C
 


(5) При этом величину
L

называют индуктивным сопротивлением и обозначают следующим образом.
L
R
L
 Величину
1
C
R
C


называют ёмкостным сопротивлением.
2 2
,
L
C
X
R
R
Z
R
X





(6) Заметим, что индуктивное сопротивление растёт с увеличением частоты , а ёмкостное сопротивление – уменьшается. Когда говорят, что вцепи отсутствует ёмкость, то это надо понимать в смысле отсутствия ёмкостного сопротивления, которое равно 1
C

и, следовательно, обращается в нуль, если
C  
(при замене конденсатора закороченным участком цепи. Важно отметить. Хотя реактивное сопротивление измеряют в тех же единицах, что и активное сопротивление, между ними существует принципиальное отличие. Оно заключается в том, что только активное сопротивление определяет необратимые процессы вцепи, такие, например, как преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту. Рассмотрим мощность, выделяемую вцепи переменного тока. Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений напряжения и тока

45
 


max max cos cos
P t
U I
U
I
t
t

 


 
  
(7) Воспользуемся формулой


cos cos cos sin sin
t
t
t
   
 
 
 
 и преобразуем (7) к следующему виду
 


2
max max cos cos sin cos sin
P t
U
I
t
t
t



 
 
 
 Практическое значение имеет среднее за период колебания значения мощности.
Учтём и запомним на будущее, что
2 1
cos
2
t


2 1
sin
2
t


, sin cos
0
t
t
 

 . Получим max max cos .
2
U
I
P



(8) Это выражение можно привести к другому виду, если рассмотреть векторную диаграмму, рис. 2.7. Рис. 2.7 Из векторной диаграммы следует, что max max cos
U
R I

 

. Поэтому получим
2
max
1 2
P
I
R


(9) Такую же мощность развивает ток max
2
I
I 
L,I
max
(U
L
)
max
I
C

(U
C
)
R

I
max
(U
R
)
max
1
L
I
C


 






 Ось тока

46 Величины max
2
I
I 
, max
2
U
U 
(10) называются действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуированы по действующим значениям тока и напряжения. Выражение средней мощности (8) переписанное через действующие значения напряжения и тока имеет следующий вид cos
P
U I

 
.
(11) Множитель cos называется коэффициентом мощности. Таким образом, выделяемая вцепи мощность зависит не только от напряжения и силы тока, но и от сдвига фаз между током и напряжением. При
/ 2
  
значение
0
P  , какими бы небыли величины U и I. В этом случае энергия, передаваемая за четверть периода от генератора во внешнюю цепь, в точности равна энергии, передаваемой из внешней цепи в генератор в течение следующей четверти периода, и вся энергия бесполезно колеблется между генератором и внешней цепью. Зависимость мощности от cos необходимо учитывать при проектировании линий электропередачи на переменном токе. Если питаемые нагрузки имеют большое реактивное сопротивление X, то cos может быть заметно меньше единицы. В этих случаях для передачи потребителю нужной мощности (приданном напряжении генератора) необходимо увеличивать тока это приводит к возрастанию бесполезных потерь энергии в подводящих проводах. Поэтому нужно всегда распределять нагрузки, индуктивности и ёмкости так, чтобы cos был по возможности близок к единице. Для этого достаточно сделать реактивное сопротивление X как можно меньше, те. обеспечить равенство индуктивного и ёмкостного сопротивлений (RL = RC). В заключение заметим, что понятие активного сопротивления шире, чем понятие электрического сопротивления проводников, образующих цепь. Последнее обуславливает переход энергии тока только в джоулеву теплоту, но возможны и другие превращение этой энергии, например, в механическую работу (электромоторы. Активное сопротивление тогда уже не сводится к электрическому сопротивлению, а обычно превосходит его.

47
2.2. Примеры решения задач разобранные задачи 5 шт.)
Электрические колебания Задача 1. Колебательный контур с ёмкостью 6,80·10
–9
Ф настроен на частоту
791 кГц. Максимальное напряжение на конденсаторе равно 84 В. Пренебрегая активным сопротивлением контура, определите максимальный ток в контуре. Дано Решение
C = 6,80·10
–9 Ф
ν = 791 · 10 3 Гц
U
max
= 84 В Максимальный ток в контуре может быть определен, как max max max
2
I
q
q

  
   Максимальный заряд на обкладках конденсатора max max
q
C U


I
max
– ? В итоге получаем max max max max
9 3
2 2
6,8 10 84 2 3,14 791 10 2,837 A.
I
q
q
C U


  
    

    



 Ответ 2,837 А. Задача 2. Контур состоит из катушки с индуктивностью 6,3510
–2
Гн, сопротивлением Ом и конденсатора ёмкостью 1,5010
–9
Ф. Найти логарифмический декремент затухания колебаний в контуре и волновое сопротивление контура. Дано Решение
C = 1,50·10
–9 Ф
L = 6.35·10
–2
Гн
R = 9 Ом Если затухание невелико, то логарифмический декремент затухания для электромагнитного контура может быть найдет последующей формуле
9 3
2 1,5 10 3,14 9 4,346 10 .
6,35 10
C
R
L




  

 



δ – ?
ρ –? Волновое сопротивление контура
6506 Ом Ответ, 6506 Ом

48 Задача 3. Какая часть запасенной энергии сохранится в контуре через 6,3 с, если собственная частота колебаний контура составляет 2010 6
рад/с, а добротность контура равна Дано Решение
t = 6,3 с
ω
0
= 20·10 6
рад/с
Q = 586 1. Запишем уравнение затухающих колебаний заряда на конденсаторе
0
( )
;
t
q t
q e


2 2
0
    
– циклическая частота затухающих колебаний.
2. Запишем формулу нахождения добротности
,
Q



где δ = βT;
2 2
0 0
2 2
1
T
v






  Из этих двух формул следует
6 0
17,065 10 .
2Q

 


3. Найдем отношение энергии запасенной энергии к полной
2 з з
п п, Ответ 2,4075. Задача 4. Контур состоит из катушки с индуктивностью 4,8410
-2
Гни сопротивлением Ом и конденсатора ёмкостью 8,4310
-7
Ф. Какую мощность должен потреблять контур, чтобы в нём поддерживались незатухающие колебания, при которых максимальное напряжение на конденсаторе равно 4,123 В Дано Решение
2 4,84 10
Гн
L



R = 86 Ом Используя закон Джоуля – Ленца можно вычислить мощность, которая выделяется в виде тепла на активном сопротивлении R контура

49 7
8,43 10
Ф
С



4,123 B
c
m
U

P – ?
2
,
P
I
R


(1) где I – действующее значение силы тока. Это и будет потребляемая мощность контуром, которую необходимо восполнять для компенсации потерь на активном сопротивлении. Действующее значение силы тока можно определить последующей формуле
,
2 2
2
c
c
m
m
m
U
C
U
I
C
I
L
 где
1
LC
 
Подстав получившееся выражение в (1) получаем


2 2
2 4,123 86 8, 43 0,01273 Вт 12, 73 мВт 2 4,84 Ответ P = 12,73 мВт. Задача 5. В цепь колебательного контура, содержащего катушку индуктивностью Гни активным сопротивлением R = 9,7 Ома также конденсатор емкостью C = 40 мкФ, подключено внешнее переменное напряжение с амплитудным значением U
m
= 180 В и частотой рад/с. Определите 1) амплитудное значение силы тока вцепи) разность фаз φ между током и внешним напряжением
3) амплитудное значение напряжения U
Lm
на катушке 4) амплитудное значение
c
m
U
на конденсаторе. Дано Решение
L = 0,2 Гн
R = 9,7 Ом
C = 40 мкФ
U
m
= 180 В
ω = 314 рад/с
I
m
– ? Находим амплитудное значение переменного тока вцепи контура
2 2
1
m
m
U
I
R
L
C




  







2 2
5 180 9, 27 A.
1 9, 7 314 0, 2 314 4 10










 



50
φ – ?
m
L
U
– ?
m
C
U
–? Сдвиг фаз между напряжением и силой тока из следующей формулы Далее находим амплитудное значение напряжение на катушке






2 2
2 При
9, 27 9,7 314 0, 2 589 B.
m
L
m
C
U
I
R
L
 

 Амплитудное значение на конденсаторе можем найти последующей формуле
2 5
1 При 1
9, 27 738 B.
314 4 10
m
C
m
m
L
R
U
I
I
C
C


















 Ответ
m
I
= 9,27 А φ = –60
;
m
L
U
= 589 В
m
C
U
= 738 В.
2.3. Задания для решения на практических занятиях Задачи для решения на практических занятиях
1. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью 800 пФ и катушку с индуктивностью 2 мкГн. Каков период собственных колебаний контура
2. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью Си катушки с индуктивностью L. Как изменится период свободных электромагнитных колебаний в этом контуре, если электроемкость конденсатора и индуктивность катушки увеличить в 3 раза.

51 3. Амплитуда силы тока при свободных колебаниях в колебательном контуре 100 мА. Какова амплитуда напряжения на конденсаторе колебательного контура, если емкость этого конденсатора 1 мкФ, а индуктивность катушки 1 Гн? Активным сопротивлением пренебречь.
4. Заряд на обкладках конденсатора колебательного контура изменяется по закону
7 3 10
cos800
q
t

 
 . Индуктивность контура 2 Гн. Пренебрегая активным сопротивлением, найдите электроемкость конденсатора и максимальное значение энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки индуктивности.
5. Рамка площадью S = 3000 см имеет N = 200 витков и вращается в однородном магнитном поле с индукцией
2 1,5 10
B



Тл. Максимальная ЭДС в рамке 1,5 В. Определите время одного оборота.
6. В цепь переменного тока с частотой v = 500 Гц включена катушка индуктивностью L = 10 мГн. Определите емкость конденсатора, который надо включить в эту цепь, чтобы наступил резонанс.
7. Контур с индуктивностью 9,9410
–2
Гн, активным сопротивлением Ом и некоторой ёмкостью возбуждается короткими электрическими импульсами. С какой максимальной частотой их можно подавать, чтобы возникающие колебания не накладывались друг на друга Колебания не накладываются, если их амплитуда за период между импульсами уменьшается не менее чем враз. Контур состоит из катушки с индуктивностью 3,4210
–2
Гни сопротивлением Ом и конденсатора ёмкостью 5,9210
–9
Ф. Найти логарифмический декремент затухания колебаний в контуре.
9. Колебательный контур состоит из конденсатора с ёмкостью
6,7510
–3
Фи катушки с индуктивностью 1,1410
–7
Гн. На какую длину волны настроен контур Активным сопротивлением контура пренебречь. В колебательной системе возбуждаются вынужденные колебания с частотой 85 Гц. При увеличении возбуждающей частоты враз амплитуда колебаний не изменилась. Найти собственную частоту колебаний системы, пренебрегая коэффициентом затухания Тесты для решения на практических занятиях