Колебания и волны.-1. Учебнометодическое пособие по аудиторным практическим занятиями самостоятельной работе для студентов всех направлений подготовки Томск
 Скачать 1.21 Mb.
|
|
. Соответственно результирующие колебания – гармонические стой же частотой , те. 1 2 0 sin s s s A t , A 1 A x O 2 A 2 0 1 y 1 y 2 x 1 x 2 x 14 где 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 cos A A A A A и 1 1 2 2 0 1 1 2 2 sin sin cos cos A A tg A A Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колеба- нийодинаковой частоты. Пусть точка M одновременно колеблется вдоль осей координат OX и OY по законами, где x и y – декартовы координаты точки M . Уравнение траектории результирующего движения точки M в плоскости можно найти, исключив из выражений для x и y параметр Траектория имеет форму эллипса (рис. 1.7), причем точка M описывает этот эллипс за время, равное периоду складываемых колебаний. Поэтому результирующее движение точки M называют эллиптически поляризованными колебаниями. Рис. 1.7 Ориентация в плоскости осей эллипса, а также его размеры зависят от амплитуд и складываемых колебании и разности их начальных фаз 2 1 y 0 x 2 A 1 A 2 2 15 Если 2 1 2 1 2 m , где, 1, 2,... m то оси эллипса совпадают с осями координат OX и OY, а размеры его полуосей равны амплитудами Если, кроме того 2 A A , то траектория точки M представляет собой окружность. Такое результирующее движение точки M называют циркулярно поляризованными колебаниями, или колебаниями, поляризованными по кругу В тех случаях, когда 2 1 m (т 0, ±1, ±2,...), эллипс вырождается в отрезок прямой 2 1 A y x A Знак плюс соответствует четным значениям m, те. сложению синфазных колебаний (риса знак минус – нечетным значениям m, те. сложению колебаний, происходящих в противофазе. В этих случаях точка М совершает линейно поляризованные колебания Рис. 1.8 Рис. 1.9 y 0 x 2 A 1 A 1 A 2 A A 0 x B A B 16 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с циклическими частотами p и q , где р и q – целые числа 1 1 sin x A p t и 2 2 sin y A q t Значения координат хи у колеблющейся точки М одновременно повторяются через одинаковые промежутки времени равные общему наименьшему кратному 1 и 2 T q – периодов колебаний вдоль осей ОХ и OY. Поэтому траектория точки М – замкнутая кривая, форма которой зависит от соотношения амплитуд, частот и начальных фаз складываемых колебаний. Такие замкнутые траектории точки М, одновременно совершающей гармонические колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, называются фигурами Лиссажу. Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координата стороны параллельны осям координат ОХ и О и расположены по обе стороны от них на расстояниях, соответственно равных Аи А. Отношение частот p и q складываемых колебаний равно отношению числа касаний соответствующей им фигуры Лиссажу со стороной прямоугольника, параллельной оси и со стороной, параллельной осп ОХ 1.1.4. Затухающие колебания Затуханием колебаний называется постепенное ослабление колебаний стечением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание свободных механических колебании вызывается главным образом трением и возбуждением в окружающей среде упругих волн. Затухание в электрических колебательных системах вызывается тепловыми потерями в проводниках, образующих систему или находящихся в ее переменном электрическом поле, потерями энергии на излучение электромагнитных воли, а также тепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса. Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются входе процесса. Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями. Например, пружинный маятник, движущийся в вязкой среде, представляет собой линейную систему, если коэффициент сопротивления среды и упругость пружины не зависят от скорости и смещения маятника. В большинстве случаев реальные колебательные системы достаточно близки по своим свойствам к линейным. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид 2 2 0 2 2 0 d s ds s dt dt . Здесь s – изменяющаяся при колебаниях физическая характеристика системы, const 0 – коэффициент затухания, ациклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы, т. е. в отсутствие потерь энергии (при 0 ). Пример 1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. На маятник массы m, совершающий прямолинейные колебания вдоль оси ОХ под влиянием силы упругости пружины, действует также сила сопротивления сопр F b , где – скорость маятника, а const 0 b – коэффициент сопротивления Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний маятника 2 2 0 d x dx m b kx dt dt или 2 2 0 2 2 0 d x dx x dt dt , где 2 b m и 0 k m Если затухание не слишком велико ( 0 ), то зависимость s от t, удовлетворяющая уравнению затухающих колебаний, имеет вид 0 0 cos t s A e t Здесь 2 2 0 , а постоянные величины и 0 зависят от начальных условий, те. от значений s ив начальный момент 18 времени ( 0 t ). График зависимости s от t при 0 0 показан на рис. 1.10. Рис. 1.10 Затухающие колебания не являются периодическими. Например, максимальное значение колеблющейся величины, достигаемоев некоторый момент времени в последующем (при) никогда не повторяется. Однако при затухающих колебаниях величина s обращается в нуль, изменяясь в одну и туже сторону (например, убывая, а также достигает максимальных и минимальных значений через равные промежутки времени 2 2 0 2 2 T Поэтому величины Т иωусловно называют периодом (условным периодом и циклической частотой (условной циклической частотой) затухающих колебаний. Величина e называетсяам- плитудой затухающих колебаний, соответственно 0 A – начальной амплитудой Амплитуда затухающих колебаний уменьшается стечением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания β. Промежуток времени 1 , в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е разе основание натурального логарифма 2,71828 ), называется временем релаксации Логарифмическим декрементом затухания называется безразмерная величина δ, равная натуральному логарифму отношения значений амплитуды затухающих колебаний в моменты времени t и t + T Т – условный период колебании, 1 A t T In T A t T N , где N – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз. Связь между циклической частотой ω затухающих колебаний системы и логарифмическим декрементом затухания δ: 2 2 0 0 1 2 Добротностью колебательной системыназывается безразмерная физическая величина Q, равная произведению 2 на отношение энергии W t колебании системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток времени от t доте. за один условный период затухающих колебаний 2 W t Q W t W t T Поскольку энергия W t пропорциональна квадрату амплитуды колебании A t , то 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 T A t Q A t A t T e e При малых значениях логарифмического декремента затухания δ добротность колебательной системы Q . При этом условный период затухающих колебаний Т практически равен периоду свободных незатухающих колебании, так что 0 0 2 Q T . Например добротность пружинного маятника При большом коэффициенте затухания происходит не только быстрое уменьшение амплитуды, но и заметное увеличение периода колебаний. Когда сопротивление становится равным критическому, те. 0 , то 0 (обращается в нуль. Колебания прекращаются – 20 апериодический процесс рис. 1.11). Отличия в следующем при колебаниях тело, возвращающееся в положение равновесия, имеет какой-то запас кинетической энергии – в случае апериодического движения энергия тела при возвращении в положение равновесия оказывается израсходованной на преодоление сил трения. Рис. 1.11 1.1.5. Вынужденные механические колебания Переменная внешняя сила, приложенная к системе и вызывающая ее вынужденные механические колебания, называется вынуждающей или возмущающей, силой Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний простейшей линейной системы – пружинного маятника, – происходящих вдоль оси ОХ под влиянием переменной внешней силы F t : 2 2 0 2 1 2 x d x dx x F t dt m dt Если x F t – периодическая функция времени, то после приложения этой силы к маятнику вначале возникает переходный режим вынужденных колебаний. Маятник одновременно участвует в двух колебаниях Первый член соответствует свободным затухающим колебаниям маятника 1 0 0 sin t x t A e t , где 2 2 . s t 21 Второй член соответствует незатухающим периодическим колебаниям маятника с частотой, равной частоте возмущающей силы x F Амплитудное значение 1 x t , равное более или менее быстро уменьшается после начала вынужденных колебаний за время 0 4, 6 амплитуда 1 x t уменьшается враз. Следовательно, через некоторое время после начала колебаний ( 0 ) свободные колебания маятника практически прекращаются 2 x t x t . Маятник переходит в состояние установившихся вынужденных колебаний, совершающихся с частотой возмущающей силы. Если возмущающая сила изменяется по гармоническому закону, те, то установившиеся вынужденные колебания маятника также гармонические стой же частотой 0 cos x A t Амплитуда этих колебаний Аи сдвиг фаз 0 между смещением и возмущающей силой зависят от соотношения между циклическими частотами вынужденных колебаний и свободных незатухающих колебаний маятника 0 : 0 2 2 2 2 2 0 4 F A m и 0 2 2 0 2 tg При 0 получим 0 0 0 и 0 0 0 2 0 0 F F A A k m – статическое смещение маятника из положения равновесия под действием постоянной силы При амплитуда A и 0 tg 0 , а 0 . График зависимости A при различных значениях коэффициента затухания 1 2 3 показаны на рис. 1.12. Амплитуда смещения в случае установившихся вынужденных гармонических колебаний маятника достигает максимума при циклической частоте колебаний 2 2 2 2 P 0 2 , 22 где – циклическая частота свободных затухающих колебаний маятника. Частота P называется резонансной. Максимальная амплитуда 0 МАКС 2 F F A A m m , где – логарифмический декремент затухания. Если 0 , то P 0 , 0 P 2 и max 0 A QA , где Q – добротность маятника, астатическое смещение. Рис. 1.12 Резкое возрастание амплитуды вынужденных механических колебаний при приближении циклической частоты возмущающей силы к значению P называется явлением механического резонанса Соответственно графики зависимости А от , изображенные на рис. 1.12, называются резонансными кривыми. По мере увеличения коэффициента затухания β пики на резонансных кривых быстро сглаживаются (при малых β амплитуда max 1 A ). а резонансная частота медленно уменьшается. Скорость маятника при установившихся вынужденных гармонических колебаниях 0 sin cos x dx A t A t dt A 0 A 0 1 =0 2 3 23 Здесь и 0 2 – амплитуда скорости и сдвиг фаз между скоростью и возмущающей силой, причем 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 4 4 F F A m m и 2 2 0 0 tg ctg 2 Амплитуда скорости максимальна при 0 и равна 0 0 МАКС 2 F A A m В этом случаете. скорость маятника колеблется водной фазе с возмущающей силой. При амплитуда 0 A и , 2 а при 0 амплитуда и 2 Ускорение маятника при установившихся вынужденных гармонических колебаниях 2 2 0 0 2 cos cos x d x a A t A t dt . Здесь 2 a A A и 0 – амплитуда ускорения и сдвиг фаз между ускорением и возмущающей силой, причем 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 4 2 1 a F F A m m Амплитуда ускорения максимальна при 2 0 0 2 2 0 0 1 1 2 При 0 амплитуда 0 a A , а при амплитуда ускорения стремится к значению 0 a F A m . 24 1.2. Примеры решения задач Механические колебания Задача 1. Материальная точка колеблется по гармоническому закону, при этом максимальное отклонение ее от положения равновесия равно 6 см, а полная энергия колебаний 8,51·10 –4 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила, равная 8,46·10 –4 Н Решение Сила, действующая на точку в любой момент времени t может быть определена из го Закона Ньютона F ma . (1) Ускорение точки можно определить как 2 2 d x a dt , где 0 sin x A t – смещение точки в любой момент времени t (закон изменения координаты. После взятия двух производных имеем 2 2 0 sin a A t x Подставим получившееся выражение в (1), получаем 2 F m x (2) Полная энергия свободных колебаний не изменяется стечением времени t и может быть найдена по формуле 2 2 2 m A W (3) Из (2) следует, что 2 F m x , подставим получившееся выражение в (3): 2 4 2 2 2 4 4 8, 46 10 6 10 1, 789 м 2 2 8,51 Ответ хм. Дано А = 6 см = 6·10 –2 мДж Н x –? 25 Задача 2. Шарик, подвешенный на длинной нити, совершает гармонические колебания с частотой 4 Гц. Через сколько секунд после начала движения кинетическая энергия шарика в первый раз будет равна потенциальной, если начальная фаза равна 12 ? Дано ν = 4 Гц φ 0 = 12 t – ? Решение При малых углах отклонения колебания математического маятника можно описать с помощью уравнений справедливых для материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания. Следовательно, кинетическая и потенциальная энергия определяются следующими выражениями 2 2 0 1 1 cos 2 2 4 k W m A t ; 2 2 0 1 1 cos 2 2 4 n W m A t . Из условий задачи 0 0 0 1 cos 2 2 1 cos 2 2 cos 2 2 0; k n W W t t t 0 2 2 , 2 t n т.к. требуется определить момент времени, когда энергии в первый раз будут равны друг другу, то n = 0 0 2 0 1 4 2, 292 10 c 4 2 t Ответ 2 2, 292 Задача 3. Во сколько раз уменьшится полная энергия колебаний маятника за 1 мин, если логарифмический декремент затухания равен 0,00752. Период колебаний равен 3 с Дано t 1 = 1 мин = 60 с δ = 0,00752 T = 3 с 0 Решение Полная энергия маятника может быть определена как 2 2 1 2 W m A , 26 где 0 exp A A t – амплитуда колебаний (для данной задачи – амплитуда затухающих колебаний. Тогда, отношение энергии через момент времени равный 1 t определяется, как 2 2 0 0 1 1 1 exp exp 2 W A t t W A Для нахождения коэффициента затухания β воспользуемся следующей формулой T T В итоге получаем 0 1 1 2 2 0,00752 60 exp exp exp 0,3008 1,351 Ответ 0 Задача 4. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 3 мин уменьшилась враз. Во сколько раз она уменьшится за 7 мин Дано Решение 0 1 6 A A 1 3 мин = 180 с 2 7 мин = 420 с 0 Амплитуда затухающих колебаний изменяется по закону Отношение амплитуд для любого момента времени может быть определено из следующего выражения 0 exp A t A (1) Подставляя время t 1 , найдем коэффициент затухания β: 0 0 1 1 1 1 1 exp ln A A t A t A Подставляя коэффициент затухания β в (1) найдем искомое отношение амплитуд 27 2 1 0 0 0 2 2 2 1 1 1 exp exp ln 65, Ответ 0 2 65, Задача 5. На чашку весов массой М, подвешенную на пружине с жесткостью, с высоты h падает небольшой груз массой m. Удар груза одно чашки является абсолютно неупругим. Чашка в результате падения груза начинает совершать колебания. Определить амплитуду этих колебаний. Дано Решение M k h m A – Данную задачу решим в общем виде. Запишем закон сохранения энергии для груза 2 1 1 скорость груза в момент удара. Скорость чашки с грузом после удара можем определить с помощью закона сохранения импульса 1 2 m mv m M v v gh m M При ненагруженной чашке В начальный момент времени пружина растянута на длину l вследствие веса чашки, причем Положению равновесия чашки будет соответствовать смещение Mg l k – начальное растяжение пружины. По закону сохранения энергии 0 2 0 1 , 2 x l m M v m M g x l kxdx 2 2 2 0 0 2 1 1 2 , 2 2 m m M gh m M g x l k x l m M 28 где 0 x – максимальное растяжение пружины. Решаем уравнение относительно 0 x : 2 2 2 0 2 2 m M m g m gh x g k m M При нагруженной чашке Найдем новое положение равновесия с помощью следующей формулы m M m M новое положение равновесия. В итоге значение амплитуды будет равно 2 2 2 0 2 2 m g ghm A x l m M Ответ 2 2 2 2 2 m g ghm A m M k k |