Колебания и волны.-1. Учебнометодическое пособие по аудиторным практическим занятиями самостоятельной работе для студентов всех направлений подготовки Томск

• Название: Учебнометодическое пособие по аудиторным практическим занятиями самостоятельной работе для студентов всех направлений подготовки Томск
• Дата: 25.03.2023
• Размер: 1.21 Mb.
• Имя файла: Колебания и волны.-1.pdf
• Тип: Учебно-методическое пособие; #1014022
• страница: 8 из 9

.

90
3.3. Задания для решения на практических занятиях Задачи для решения на практических занятиях
1. Подводная лодка, погружаясь вертикально, излучает короткие звуковые импульсы гидролокатора длительностью 51 мкс в направлении дна. Длительность отраженных сигналов, измеренных гидроаку- стиком на лодке, равна 50,8 мкс. Определить скорость погружения лодки. Скорость звука вводе мс. Дно горизонтально.
2. Гармоническая звуковая волна, порождаемая точечным изотропным источником, распространяется в однородной изотропной среде. Коэффициент затухания волны равен 144·10
–3
м. Найти отношение интенсивностей волны на расстояниях 4 мим от источника звука.
3. Найти во сколько раз скорость распространения звуковых волн в твердом теле, модуль сдвига которого равен 17 ГПа, а плотность –
6915 кг/м
3
больше чем в воздухе. Температура воздуха равна 12 o
C.
4. Амплитуда давления звуковой волны 9 Па. Найти поток энергии, падающий в 1 св ухо человека. Площадь уха считать равной
4 см. Ухо расположено перпендикулярно к направлению распространения волны. Плотность воздуха при нормальных условиях равна
1,3 кг/м
3
. Газ считать идеальным. Ответ дать в мкВт.
5. Волны, какой длины будут создавать в вакууме колебания заряда, которые происходят в колебательном контуре с последовательно соединенными емкостью 212 пФ, индуктивностью 824 мкГн и активным сопротивлением 88 Ом при резонансе напряжения
6. Во сколько раз скорость распространения продольных звуковых волн в металлическом стержне диаметром 6 мм больше скорости распространения поперечных звуковых волн, если модуль Юнга для этого металла равен 17 гПа, а плотность 6605 кг/м
3
? Сила натяжения стержня Н. Стержень рассматривать, как натянутый шнур.
7. Уравнение незатухающих гармонических колебаний дано в виде см, где t – время в секундах. Найти смещение от положения равновесия точки, находящийся на расстоянии 79 см от источника колебаний, для момента t = 3 мс после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 4913 мс. Ответ дать в см.
8. В однородной среде распространяется плоская упругая волна. Длина волны равна 23 см, а коэффициент затухания волны равен

91 0,06 м. Найти разность фаз волны в точках, для которых отношение амплитуд смещения частиц среды равно.
9. В водороде при температуре 335 К и атмосферном давлении распространяется звуковая волна. На каком расстоянии находятся ближайшие точки, совершающие колебания в противоположных фазах, если частота колебаний равна 14 кГц Ответ дать в см.
10. Локомотив, движущийся со скоростью 145 км/ч, дает гудок длительностью 6,37 с. Найти продолжительность гудка для неподвижного, относительно полотна железной дороги, наблюдателя, если локомотив приближается к нему. Скорость звука в воздухе 330 мс. Тесты для решения на практических занятиях
1. Что такое волна или волновой процесс Ответы
1) это наложение двух и более колебаний в пространстве, в результате чего происходит перераспределение энергии колебаний в пространстве
2) это процесс сложения однонаправленных колебаний, в которых одновременно участвует один колеблющийся объект
3) это процесс распространения колебаний в пространстве.
2. По характеру колебаний волны бывают а) плоскими б) поперечными в) продольными г) сферическими. Ответы 1) а, б 2) а, в 3) б, в 4) б, гаг В водороде со скоростью 350 мс распространяется звуковая волна. Определить в см расстояние между ближайшими точками, колебания в которых совершаются в противоположных фазах, если частота колебаний равна 1 кГц.
4. Уравнение плоской синусоидальной волны имеет вид 0, 01sin 10 2
t
x
 

. Чему равна скорость распространения волны в мс
5. Как связаны между собой амплитуда A и энергия W, переносимая волной

92 Ответы 1)
;
W
A

2) WA; 3) WA
2
; 4) WA
3
6. Некоторое тело приближается к неподвижному наблюдателю со скоростью 50 мс и издает звук частотой 600 Гц. Звук какой частоты будет восприниматься наблюдателем Скорость звука принять равной
350 мс.
3.4. Задания для самостоятельного решения
1. Источник звука с частотой 6 кГц приближается к неподвижному резонатору, настроенному на волну с длиной 2,13 см. С какой скоростью должен двигаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора Температура воздуха
280 К. Воздух считать идеальным газом с молярной массой
29 кг/кмоль.
2. Амплитуда давления звуковой волны 10 Па. Найти поток энергии падающий в 1 св ухо человека. Площадь уха считать равной 4 см
2
Ухо расположено перпендикулярно к направлению распространения волны. Плотность воздуха при нормальных условиях равна 1,3 кг/м
3
Газ считать идеальным. Ответ дать в мкВт.
3. За какое время звуковая волна пройдет расстоянием, если на этом расстоянии температура воздуха изменяется линейно от 252 К до 251 К Воздух считать идеальным двухатомным газом с молярной массой равной 29 кг/кмоль.
4. Определите, во сколько раз будет отличаться длина звуковой волны при переходе из воздуха вводу. Считать, что скорость распространения звука в воздухе 340 мс, вводе мс.
5. В водороде при температуре 272 К и атмосферном давлении распространяется звуковая волна. На каком расстоянии находятся ближайшие точки, совершающие колебания в противоположных фазах, если частота колебаний равна 13 кГц Ответ дать в сантиметрах.
6. Источник звука с частотой 1 кГц приближается к неподвижному резонатору, настроенному на волну с длиной 2,50 см. С какой скоростью должен двигаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора Температура воздуха
287 К. Воздух считать идеальным газом с молярной массой
29 кг/кмоль.

93 7. При помощи эхолота измерялась глубина моря. Какова была глубина моря, если промежуток времени между возникновением звука и его приемом оказался равным 0,16 с Коэффициент сжимаемости воды равен 4,6·10
-10 Па, а плотность морской воды равна 1030 кг/м
3 8. Источник звуковых колебаний, частота которых равна 53 кГц, движется со скоростью 25 мс. Волны, дойдя до неподвижной преграды, отражаются от нее и регистрируются приемником, движущимся вместе с источником. Какую частоту колебаний регистрирует приемник, если скорость звуковых волн равна 340 мс Ответ дать в килогерцах.
9. Плоская волна, возбуждаемая вибратором, колеблющимся по закону


70sin 49, 09
X
t

см, где t - время, распространяется со скоростью мс. Определить длину стоячей волны, образующейся в результате интерференции волны, идущей от вибратора, и волны, отраженной от преграды.
10. Электромагнитная волна с частотой 48 ГГц переходит из вакуума в немагнитную среду с относительной диэлектрической проницаемостью равной 73. Насколько см при этом изменится длина волны Ответы
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10 207,4 6,88 5,358 4.3 4,83 3,14 116,2 16,41 100 0,5518 Тесты для самостоятельного решения
1. Что такое волна или волновой процесс Ответы
1) это наложение двух и более колебаний в пространстве, в результате чего происходит перераспределение энергии колебаний в пространстве
2) это процесс сложения однонаправленных колебаний, в которых одновременно участвует один колеблющийся объект
3) это процесс распространения колебаний в пространстве.
2. Какое из предложенных выражений является волновым дифференциальным уравнением некоторой плоской упругой волны Ответы

94 1)
2 2
1
t
 
 


; 2)
2 2
2 2
2 1
;
x
t
 
 


 
3)
2 2
2 2
2 2
1 1
,
E
H
E
H
t
t


 


 






, где

– фазовая скорость волны.
3. По характеру колебаний волны бывают а) плоскими, б) поперечными, в) продольными, г) сферическими. Ответы 1) а, б 2) а, в 3) б, в 4) б, гаг По форме волновой поверхности волны разделяют на а) сферические б) продольные в) цилиндрические г) поперечные д) плоские. Ответы 1) а, б, в 2) а, в, г 3) б, в, г 4) в, г, дав, д 6) б, в, д.
5. Как связаны между собой амплитуда A и энергия W, переносимая волной Ответы
2 3
1)
; 2)
; 3)
; Ответы на тестовые задания
1 2
3 4
5 3
2 3
5 3
3.5. Вопросы для самоконтроля
1. Что называется волной
2. Какие волны называются продольными
3. Какие волны называются поперечными
4. В какой среде могут распространяться продольные и поперечные волны
5. Получите уравнение плоской волны.
6. Что называется фазой волны
7. Дайте определение волновой поверхности.
8. Какой волновой процесс называется плоской волной
9. Какая волна называется сферической
10. Дайте определение длины волны.
11. Запишите соотношения между длиной волны, циклической частотой, частотой и периодом волны.
12. Что называется волновым числом
13. Каков график зависимости смещения частиц от координаты

95 14. Почему скорость распространения фазы волны называется фазовой скоростью

96
4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
4.1. Краткая теория
4.1.1. Электромагнитные волны Электромагнитными, волнами называются возмущения электромагнитного поля (те. переменное электромагнитное поле, распространяющиеся в пространстве. Утверждение о существовании электромагнитных волн является непосредственным следствием уравнений Максвелла. Рассмотрим однородную нейтральную (
0
 
) непроводящую
(
0
j 

) среду, например, для простоты, вакуум. Для этой среды можно записать
0
ε
D
E



, Если рассматривается любая иная однородная нейтральная непро- водящая среда, тов записанные выше уравнения нужно добавить и  . Запишем дифференциальные уравнения Максвелла в общем виде rot
B
E
t

 



, diυ
0
B 

, rot
D
H
t





, diυ
ρ
D 

. Для рассматриваемой среды эти уравнения имеют вид rot
B
E
t

 



, diυ
0
B 

, rot
D
H
t





, diυ
0
D Запишем эти уравнения следующим образом
0
rot
μ
H
E
t

 



,
0
rot
E
H
ε
t





,diυ
0
H 

, diυ
0
E Любые волновые процессы должны описываться волновым уравнением, которое связывает вторые производные повремени и координатам. Из записанных выше уравнений путем несложных преобразований можно получить следующую пару уравнений
2 2
0 0 2
E
E
t


  



,
2 2
0 0 2
H
H
t


  Эти соотношения представляют собой идентичные волновые уравнения для полей E

и H


97 Вспомним, что в волновом уравнении
2 2
2 2
1
υ
t


 
  







множитель перед второй производной в правой части – это величина, обратная квадрату фазовой скорости волны. Следовательно,
0 0 2
1
  

. Оказалось, что в вакууме эта скорость для электромагнитной волны равна скорости света.
8 12 7
0 0
1 мс Тогда волновые уравнения для полей E

и H

можно записать как
2 2
2 си 2
1
H
H
с
t






Эти уравнения указывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых в вакууме равна скорости света. Математический анализ уравнений Максвелла позволяет сделать вывод о структуре электромагнитной волны, распространяющейся в однородной нейтральной непроводящей среде при отсутствии токов и свободных зарядов. В частности, можно сделать вывод о векторной структуре волны. Электромагнитная волна является строго поперечной волной в том смысле, что характеризующие ее векторы E

и перпендикулярны к вектору скорости волны
c

, тек направлению ее распространения, рис. 4.1. Рис. 4.1
Векторы
c

, E

ив том порядке, в котором они записаны, образуют правовинтовую ортогональную тройку векторов. В природе существуют только правовинтовые электромагнитные волны, и не
E

c
H

x
y
z

98 существует левовинтовых волн. В этом состоит одно из проявлений законов взаимного создания переменных магнитных и электрических полей. Из уравнений Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы E

и H

всегда колеблются в одинаковых фазах, а мгновенные значения E ив любой точке пространства связаны соотношением Рассмотрим для простоты вид и свойства одномерного волнового уравнения электромагнитной волны в однородной нейтральной непро- водящей среде. Пусть электромагнитная волна будет строго монохроматической и распространяется в направлении x . Векторы E

и перпендикулярны направлению распространения волны, следовательно, их проекции на ось x равны нулю. Волновые уравнения такой волны будут иметь вид
2 2
2 2
2 с,
2 2
2 2
2 1
z
z
H
H
x
с
t





Этим уравнениям удовлетворяют плоские линейно поляризованные монохроматические волны


0 0
cos
y
E
E
t
kx

 
 
,


0 0
cos
z
H
H
t
kx

 
 Мгновенная картина электромагнитной волны в некоторый момент времени изображена на рис. 4.2. Рис. 4.2 Индексы y и
z
означают, что векторы E

и H

направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей y и
z
0
E

и
0
H

соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей волны
0
z
y
λ
x
E

0
H
0
E
H

99

– частота волны k
υ


– волновое число
0

– начальные фазы колебаний в точках с координатой
0
x 
(колебания электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне происходят водной фазе, так что в обоих уравнениях
0

одинаково.
4.1.2. Энергия электромагнитных волн Электромагнитное поле обладает энергией. Поэтому распространение электромагнитных волн связано с переносом энергии электрического и магнитного полей, подобно тому, как распространение упругих волн в веществе связано с переносом механической энергии. Вспомним, что было сделано для упругих волн.
0 Ф Это вектор плотности потока энергии или поток энергии через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны в единицу времени. Этот вектор называется вектором
Умова. Рассмотрим электромагнитные волны. Электромагнитные волны переносят в пространстве энергию. Объемная плотность энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей энергии электрического и магнитного полей
2 2
0 0
0 0эл
0магн
μ
2 2
ε Поскольку мгновенные значения E и H связаны соотношением
0 0
E
H
 

, то выражение для объемной плотности энергии электромагнитной волны в произвольный момент времени в рассматриваемой точке пространства можно представить в виде
0 0
0 0
0 0 0 2
2
E
E
H
H
W
EH






  Поскольку,
0 0 2
1
  

то
0 0 0 Умножив полученное выражение для
W
на скорость волны c , получим модуль плотности потока энергии
0
S
W c
EH

 

100 Векторы E

и H

взаимно перпендикулярны и образуют с направлением распространения волны правовинтовую систему. Поэтому направление вектора
,
E H




 
совпадает с направлением переноса энергии, а модуль этого вектора равен
E H

Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии можно представить как векторное произведение E

и H

:
,
S
E H


 


 Вектор S

называется вектором Пойнтинга. Вектор Пойнтинга получен нами применительно к электромагнитной волне. На самом деле этот вектор является универсальным в том смысле, что он описывает движение электромагнитной энергии в любых условиях. Например, это вектор определяет обмен энергией между полями, непосредственно создающими ток в проводе, и электромагнитным полем за пределами провода. Запишем выражение для плотности энергии бегущей гармонической электромагнитной волны в вакууме.


2 2
0
ε
cos ω
m
W
E
t
kx


; плотность потока энергии




2 2
2 2
0 0
0 0 1
ε
cos
ω
ε
cos
ω
ε μ
m
m
S
W с  Окончательно запишем


2 2
0 0
ε
cos
ω
μ
m
S
E
t
kx


4.1.3 Интенсивность электромагнитной волны Для периодической волны более информативным, чем мгновенное значение вектора Пойнтинга, является значение, усредненное попе- риоду волны. Это интенсивность электромагнитной волны I


2 2
0 0
0
cos
ω
T
m
I
S
E
t
kx dt







101 Интегрирование квадрата косинуса по периоду дает величину При усреднении по периоду среднее значение квадрата косинуса равно
1 2
, следовательно, окончательно запишем
2 0
0 Импульс электромагнитной волны Перенос энергии электромагнитной волной сопровождается и переносом импульса. Импульс электромагнитного поля можно описать следующим образом
W
P
c

, где
W
– энергия электромагнитного поля. Запишем это выражение для плотностей импульса и энергии, те. для величин, отнесенных к единице объема
0
p
W Если умножить и разделить числитель и знаменатель этого выражения нас, получим в числителе плотность потока энергии
0
W c

, которая равна модулю вектора Пойнтинга. В векторном виде получим следующее выражение для импульса электромагнитной волны
2 1
,
p
E H
c





 
