Том-1_РУ-1. Учебное пособие для студентов инженерно технических специальностей высших учебных заведений. Донецк
 Скачать 2.41 Mb.
|
|
Глава 10. Электрическое поле в вакууме §34 Электрический заряд. Закон Кулона Электрический заряд (q) – неотъемлемое свойство некоторых эле- ментарных частиц (протонов, электронов и т.д.), определяющее их взаи- модействие с внешним электромагнитным полем. с А 1 Кл 1 ); кулон ( Кл ] [ q 34.1 Свойства заряженных тел 1. Заряд элементарных частиц одинаков по величине. Его называют элемен- тарным зарядом Кл 10 6 , 1 19 e q e 2. Заряд тела образуется совокупностью элементарных зарядов, поэтому он яв- ляется величиной, кратной е 3 2 1 , , , N eN q (34.1) Это свойство называется дискретностью электрического заряда. 3. Алгебраическая сумма зарядов электрически изолированной системы заря- женных тел остается величиной постоянной: const 2 1 N q q q (34.2) или N i i q 1 const . Это утверждение называется законом сохранения заряда. Электростатика и постоянный ток 127 4. Величина заряда не зависит от того, движется заряд или нет, т.е., заряд – ве- личина инвариантная. 34.2 Закон Кулона Закон, который позволяет найти силу взаимодействия точечных зарядов, установлен экспериментально в 1785 году Ш. Кулоном*. Точечный заряд – заряженное тело, размерами которого можно пре- небречь по сравнению с расстоянием от этого тела до других заряженных тел. В результате опытов Кулон пришел к выводу: Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорци- ональна величине этих зарядов, обратно пропорциональна квадрату рас- стояния между ними и зависит от среды, в которой находятся эти заря- ды. 2 2 1 r q q k F , (34.3) где 2 2 9 0 Кл м Н 10 9 4 1 k – коэффициент пропорци- ональности в СИ. м Ф 10 85 , 8 12 0 – электрическая постоянная. – диэлектрическая проницаемость – характеристика среды. Для вакуума =1. Сила направлена по прямой, соединяющей заряды (рис. 34.1). § 35 Электрическое поле. Характеристики электрического поля Всякое электрически заряженное тело создает в окружающем его про- странстве электрическое поле. Электрическое поле – это материальная сре- да, существующая вокруг заряженных тел и проявляющая себя силовым действием на заряды. Особенностью его является то, что это поле создается электрическими зарядами и заряженными телами, а также воздействует на эти объекты независимо от того, движутся они или нет. Если электрически заряженные тела или частицы неподвижны в данной системе отсчета, то их взаимодействие осуществляется посредством электро- статического поля. Электростатическое поле является не изменяющимся во времени (стационарным) электрическим полем. 35.1 Напряженность электрического поля Для того, чтобы обнаружить и исследовать электрическое поле, исполь- зуют точечный положительный заряд, который называют пробным – q пр . Если _______________________________________________________________________________________________________________________ *Кулон Шарль Огюстен (1736–1806), французский физик и военный инженер. q F r F q r q F F q 1 12 21 2 21 12 1 2 F = F = F 12 21 Рисунок 34.1 Электростатика и постоянный ток 128 брать разные по величине пробные заряды, то и силы, которые действуют на эти заряды в данной точке поля, будут разными. Однако отношение силы к ве- личине заряда для данной точки поля для всех пробных зарядов будет одним и тем же. Поэтому можно принять это отношение в качестве величины, характе- ризующей электрическое поле. Введенную таким образом характеристику называют напряженностью электрического поля в данной точке. Напряженность электрического поля ( E ) – векторная физическая ве- личина, силовая характеристика электрического поля, численно равная си- ле, действующей на единичный положительный заряд, помещенный в дан- ную точку поля. пр q F E (35.1) м В Кл Н ] [ E Направление вектора напряженности совпа- дает с направлением силы, действующей на поло- жительный заряд (рис. 35.1). Если величина и направление вектора напряженности поля в каждой точ- ке одинаковы, то поле называется однородным. Исходя из закона Кулона, можно рассчитать напряженность электриче- ского поля, создаваемого точечным зарядом. 2 0 пр 4 1 r q q F E (35.2) Если поле создается несколькими зарядами, то напряженность результи- рующего поля равна векторной сумме напряженностей полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности (рис. 35.2). N i i N E E E E E 1 2 1 . (35.3) Данное утверждение называется прин- ципом суперпозиции (наложения) по- лей. Принцип суперпозиции позволяет рассчитать напряженность поля любой системы зарядов. На любой заряд q, внесенный в электрическое поле, действует электри- ческая сила E q F эл (35.4) Рисунок 35.2 + q 1 q 2 E 1 E 2 E 2 E 1 E = + _ E + q r E Рисунок 35.1 Электростатика и постоянный ток 129 35.2 Потенциал электростатического поля Рассмотрим электростатическое поле, создаваемое неподвижным точеч- ным зарядом q. В это поле внесем пробный заряд пр q . В любой точке поля на пробный заряд действует сила, которая в соответствии с законом Кулона равна 2 пр r q q k F Заряд пр q под действием сил поля перемеща- ется относительно заряда q вдоль некоторой линии (рис. 35.3). Элементарная работа по перемещению заряда равна cos dl F l d F A , где dr dl cos (см. рис. 35.3). При перемещении из точки 1 в точку 2 совер- шается работа 1 пр 2 пр 2 пр 2 1 2 1 r k r k dr r k dr F A r r r r (35.5) Из формулы (35.5) следует, что работа по перемещению заряда в электро- статическом поле определяется только начальным и конечным положением за- ряда. Следовательно, кулоновские силы являются консервативными. Работа консервативных сил (см. §9) равна убыли потенциальной энергии 1 2 п п W W A Тогда величину r k пр можно назвать потенциальной энергией заряда пр q в поле заряда q r k W пр п (35.6) Разные пробные заряды 1 пр q , 2 пр q и т.д. будут обладать в одной и той же точке поля различной потенциальной энергией 1 п W , 2 п W и т.д. Однако отноше- ние потенциальной энергии к величине пробного заряда будет одним и тем же. Эту величину называют потенциалом поля в данной точке и используют для описания электростатических полей. Потенциал ( ) – скалярная физическая величина, энергетическая ха- рактеристика электростатического поля, численно равная потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный положитель- ный заряд . r r r dr dl 2 1 1 2 q пр F q Рисунок 35.3 Электростатика и постоянный ток 130 пр п q W (35.7) ) вольт ( В Кл Дж ] [ * Потенциал может быть положительным или отрицательным. Подставив в (35.7) выражение для потенциальной энергии (35.6), получим формулу для расчета потенциала поля точечного заряда: r q r q k 0 4 1 , (35.8) где k – коэффициент пропорциональности; q – заряд, создающий поле; r – расстояние от заряда до точки, в которой определяется потенциал. Если r стремится к бесконечности ( r ), то потенциал стремится к ну- лю. Это означает, что потенциал поля точечного заряда обращается в нуль в бесконечно удаленной точке. Работа A , совершаемая силами электростатического поля при перемеще- нии заряда q из точки 1 с потенциалом 1 в точку 2 с потенциалом 2 равна убыли потенциальной энергии: 1 2 п п W W A Из формулы (35.7) следует, что const п q W , следовательно 2 1 1 2 q q q A (35.9) Величину 2 1 называют разностью потенциалов. Электрические по- ля принято связывать не с абсолютными значениями потенциалов, а с их разно- стями между различными точками пространства. Таким образом, q A (35.10) Потенциал бесконечно удаленной точки пространства принимают за ну- левой потенциал. Если заряд q из точки с потенциалом удаляется на беско- нечность (там, где по условию потенциал равен нулю) то работа сил поля равна q A Отсюда следует, что потенциал численно равен работе, совершаемой силами электростатического поля при перемещении единичного положи- тельного заряда из этой точки на бесконечность . ________________________________________________________________________________________________________________________ *Вольта Алессандро (1745–1827), итальянский физик, химик и физиолог. Электростатика и постоянный ток 131 q A На практике за нулевой потенциал обычно принимают потенциал Земли. Если поле создается системой зарядов, то, в соответствии с принципом суперпозиции, потенциал результирующего поля равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в отдельности: N i i N 1 2 1 (35.11) §36 Графическое изображение электростатических полей Графически электростатическое поле изображают с помощью силовых линий и эквипотенциальных поверхностей. Эквипотенциальная поверхность – это геометрическое место точек электростатического поля, потенциалы которых одинаковы. Работа, со- вершаемая силами электростатического поля при перемещении электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной поверхности, равна нулю. Силовая линия (линия напряженности) – это линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением вектора напряжен- ности E (рис. 36.1). Особенности силовых линий электростатического поля: 1. Силовые линии начинаются на по- ложительных зарядах, заканчива- ются на отрицательных или уходят в бесконечность. 2. Силовые линии не пересекаются. 3. По густоте силовых линий судят о величине напряженности электро- статического поля. 4. Силовые линии перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Эквипотенциальные поверхности обычно чертят так, что при переходе от одной эквипотенциальной поверхности к соседней потенциал меняется на одну и ту же величину . Чем меньше выбрано значение разности потенциалов , тем детальнее будет представлено распределение потенциала в пространстве. Для бóльшей наглядности чертят также силовые линии, перпендикуляр- ные поверхностям равного потенциала. Там, где (при постоянной разности по- тенциалов ) соседние эквипотенциальные поверхности наиболее близко подходят друг к другу, напряженность электрического поля максимальна. Наоборот, в местах, где расстояния между ними велики, будет мала и напря- женность поля E E E Рисунок 36.1 Электростатика и постоянный ток 132 Примеры картин силовых линий и эквипотенциальных поверхностей: 1. Поле точечного заряда. _ + Эквипотенциальные поверхности Силовые линии 2. Система точечных зарядов. _ + 3. Поле равномерно заряженной плоскости. + _ §37 Связь между напряженностью электрического поля и потенциалом Электростатическое поле можно описать с помощью векторной величины E или с помощью скалярной величины . Найдем связь потенциала с напря- женностью электрического поля на примере электрического поля точечного заряда. Такое поле является неоднородным, так как численное значение и направление вектора напря- женности E меняются при переходе из одной точки поля в другую. Изобразим три эквипотенциальные поверхности по- ля этого заряда с потенциалами d , , d , где d – бесконечно малое изменение потенциала (рис. 37.1). Эти по- верхности находятся на разном расстоянии друг от друга. Изменение потенциала в заданном направлении r характеризует произ- водная по направлению dr d . С уменьшением расстояния от заряда потенциал поля увеличивается. Это означает, что численное значение производной будет A E r Рисунок 37.1 Электростатика и постоянный ток 133 возрастать в сторону, противоположную вектору E . Для того, чтобы указать направление наиболее быстрого возрастания потенциала, вводят векторную ве- личину, которая называется градиентом потенциала. Градиент потенциала (обозначается grad ) – это вектор, направленный в сторону максимального возрастания потенциала и численно равный измене- нию потенциала, приходящемуся на единицу длины в этом направлении. Таким образом, градиент потенциала характеризует степень неоднородности поля. Установим, как связаны напряженность электрического поля E и гради- ент потенциала grad . Поместим в точку А указанного электрического поля пробный положительный заряд пр q . Пусть под действием поля он смещается из точки с потенциалом в точку с потенциалом d . При этом совершается работа Edr q Fdr A пр , (37.1) где dr – расстояние между эквипотенциальными поверхностями и d С другой стороны d q A пр . (37.2) Приравнивая (37.1) и (37.2) и сокращая на пр q , получим Edr d , откуда dr d E (37.3) Это означает, что напряженность электрического поля численно равна изменению потенциала, приходящемуся на единицу длины. Формулу (37.3) можно записать в векторном виде grad E . (37.4) Знак « – » говорит о том, что вектор напряженности направлен в сто- рону убывания потенциала . Формула (37.4) справедлива для любого электро- статического поля. Рассмотрим однородное электрическое поле. Примером такого поля явля- ется поле между двумя разноименно заряженными пластинами. В каждой точке однородного поля вектор E сохраняет свое численное значение и направление. В этом случае d U E , (37.5) где d – расстояние между эквипотенциальными плоскостями с потенциалами 1 и 2 , 2 1 U – разность потенциалов (напряжение). Электростатика и постоянный ток 134 §38 Расчет электростатических полей 38.1 Теорема Гаусса Теорема Гаусса* позволяет в ряде случаев найти напряженность поля бо- лее просто, чем с использованием формулы для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции электростатических полей. Прежде чем сфор- мулировать теорему, введем понятие потока вектора напряженности электроста- тического поля. Потоком вектора напряженности электрического поля через элемен- тарный участок поверхности dS называется величина cos EdS S d E d (38.1) где dS n S d , n – единичный вектор, перпендикуляр- ный площадке dS ; – угол между направлением n и E (рис. 38.1). Поток вектора напряженности через любую по- верхность S равен алгебраической сумме потоков напря- женности сквозь все элементарные участки этой поверхности. S S d E (38.2) м В м м В ] [ 2 Согласно теореме Гаусса для электростатического поля Поток вектора напряженности электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на произведение 0 . S N i q S d E 1 охв. 0 1 (38.3) Введем дополнительную характеристику D электростатического поля, которую называют вектором электростатической индукции (электрическим смеще- нием) E D 0 , (38.4) В этом случае теорему Гаусса можно записать следующим образом: S N i q S d D 1 охв (38.5) Поток вектора электрического смещения сквозь произвольную за- мкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью. ___________________________________________________________________________________________________________________________ *Гаусс Карл Фридрих (1777–1855), немецкий математик, астроном и физик. E n dS Рисунок 38.1 Электростатика и постоянный ток 135 38.2 Примеры расчета электростатических полей При расчете электростатических полей в этом разделе предполагается, что проводники находятся в вакууме, т.е. =1. 38.2.1 Поле равномерно заряженной бесконечно длинной нити Пусть бесконечно длинная нить заряжена равномерно с линейной плотно- стью заряда . Линейной плотностью заряда называется величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу длины. При равномерном распреде- лении заряда l q (38.6) м Кл ] [ В качестве замкнутой поверхности выберем коаксиальный цилиндр ради- уса r и высоты l (рис. 38.2). Из соображений симметрии следует, что напряжен- ность поля в любой точке будет направлена по радиальной прямой, перпендикулярной оси нити (заряд считается по- ложительным). Поток Ф через торцы цилиндра равен нулю, так как линии напряженности перпендикулярны оси. Поток через боковую поверхность rl E S d E S 2 По теореме Гаусса (см. формулу (38.3)): 0 0 1 2 l q rl E , Отсюда: r E 0 2 1 (38.7) Напряженность поля заряженной нити определяется линейной плотно- стью заряда и расстоянием от нити. Поле отрицательно заряженной нити отли- чается только направлением напряженности E Получим формулу для расчета разности потенциалов поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечно длинной нитью. Работа А, совершаемая си- лами электростатического поля при перемещении пробного заряда q пр из точки 1 с потенциалом 1 в точку 2 с потенциалом 2 равна 2 0 1 0 0 пр пр ln 2 ln 2 2 2 1 2 1 2 1 r r q r dr q Edr q dr F A пр r r r r r r . (38.8) l r E Рисунок 38.2 Электростатика и постоянный ток 136 Как уже отмечалось, существенным является не само значение потенциа- ла, а разность потенциалов. Сравнив полученное выражение для расчета работы с формулой (35.9), можно сделать вывод, что разность потенциалов двух точек поля нити определяется соотношением 1 2 0 ln 2 r r (38.9) 38.2.2 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости Пусть плоскость заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда . Поверхностной плотностью заряда называется величина, численно равная заряду, приходящемуся на единицу площади. При равномерном распределении заряда S q (38.10) 2 м Кл ] [ Применив теорему Гаусса, можно показать, что напряженность поля равномерно заря- женной бесконечной плоскости определя- ется следующим образом: 0 2 E (38.11) Это означает, что на любых расстояниях от бесконечной плоскости напряжен- ность поля одинакова по величине (рис. 38.3). Две равномерно, с одинаковой плотностью , разноименно заряженные бесконечные параллельные плоскости создают однородное электрическое поле. Напряженность Е поля между плоскостями определяется соотношением: 0 E (38.12) 38.2.3 Поле равномерно заряженной сферической поверхности Поле, создаваемое сферической поверхностью ради- уса R, заряженной с постоянной поверхностной плотно- стью заряда , будет центрально-симметричным (рис. 38.4). Это означает, что направление вектора E в любой точке проходит через центр сферы, а величина напряженности зависит от расстояния r от центра сферы. В R + + + + + + + + Рисунок 38.4 Рисунок 38.3 + + + + E E Электростатика и постоянный ток 137 качестве гауссовой поверхности выбирают концентрическую с заряженной сфе- рой поверхность радиуса r. Если r > R, то внутрь поверхности попадает весь за- ряд q, распределенный по сфере. Применив теорему Гаусса, можно получить формулу для расчета напряженности поля равномерно заряженной сферической поверхности: 2 0 4 1 r q E (38.13) Это означает, что вне шара напряженность убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда. Сферическая поверхность радиуса r < R не будет содержать зарядов, по- этому внутри сферы, заряженной с постоянной поверхностной плотностью, по- ле отсутствует, т.е. Е = 0. |